Une alternative au tenseur des déformations en tant que variable d'état : le tenseur de conformation moyenne des liaisons interatomiques (VERSION 3)

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Preprint submitted on 3 Feb 2015

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Une alternative au tenseur des déformations en tant que variable d’état : le tenseur de conformation moyenne des

liaisons interatomiques (VERSION 3)

Thierry Désoyer

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Thierry Désoyer. Une alternative au tenseur des déformations en tant que variable d’état : le tenseur de conformation moyenne des liaisons interatomiques (VERSION 3). 2015. �hal-00374901v3�

Une alternative au tenseur des déformations en tant que variable d’état : le tenseur de conformation moyenne des liaisons interatomiques (Version 3)

Thierry DÉSOYER (thierry.desoyer@centrale-marseille.fr), LMA, Centrale Marseille, CNRS, UPR 7051, Aix-Marseille Univ., F-13451 Marseille, France

Cette troisième version de mon étude consacrée au tenseur de conformation diffère de la précédente :

– dans la définition du tenseur de conformation associé au système discret consti- tué par deux atomes (Paragraphe 2). J’y ai remplacé la longueur normalisée de la liaison interatomique par son logarithme, ce qui a pour mérite de faire que la seule valeur propre non nulle de ce tenseur n’est ainsi plus réelle et positive mais seulement réelle. En conséquence, le tenseur de conformation défini dans le cas continu a désormais trois valeurs propres réelles, et non plus réelles et po- sitives. Sa trace est donc elle aussi réelle, dont la vitesse d’évolution n’est ainsi plus contrainte et peut alors bien être égale à celle, quelconque, du taux de dé- formations – cette égalité étant en revanche intenable si la trace du tenseur de conformation est astreinte à rester positive, ce qui est le cas dans la Version 2.

– dans le choix de l’ensemble des atomes avec lesquels un atome donné a une liai- son interatomique (Paragraphe 3). Je l’ai de nouveau restreint aux "premiers voi- sins", comme je l’avais initialement fait dans le Version 1. À l’instar du nombre d’atomes, le nombre de liaisons interatomiques dans un corps pur considéré comme un système discret est ainsi une grandeur extensive, à laquelle il est en- suite possible d’associer, dans le cas continu, une densité massique – ce qui n’est pas possible dans la Version 2, où chaque atome est supposé avoir une liaison in- teratomique avec tous les autres atomes du système considéré ; d’où mon recours, dans le cas continu, à la notion de "...densité massique d’atomes ayant au moins une liaison interatomique CCC-conformée" qui, à vrai dire, ne me satisfaisait pas.

– dans l’expression de la vitesse d’évolution du tenseur de conformation (Para- graphe 5). Dans les Versions 1 et 2, je prétends qu’elle est égale au tenseur objec- tif des taux de déformations, c.-à-d. qu’à une grandeur tensorielle objective – le tenseur de conformation –, je peux associer une vitesse d’évolution objective ; ce qui est définitivement faux, comme l’ont montré plusieurs auteurs, et depuis plusieurs décennies. Dans sa nouvelle version, la vitesse d’évolution du tenseur de conformation apparaît comme la somme d’un partie objective – la même que dans les deux précédentes versions – et d’une partie non objective, à laquelle je donne une expression.

Résumé

La plupart des modèles de comportement thermomécanique des matériaux à l’état so- lide s’inscrivent dans un cadre méthodologique où un tenseur de déformations, quel qu’il soit, est considéré comme une variable d’état thermodynamique. Indéniablement perti- nente dans le cas de la thermo-élasticité, cette façon de faire, toutefois, n’est peut-être pas la seule possible ; et dans le cas de la thermo-élastoplasticité, le fait de considérer un tenseur de déformations comme variable d’état ne va pas sans poser problème, no- tamment quant au sens physique de la variable censée rendre compte des déformations permanentes. Aussi propose-t-on, dans cette étude, une variable d’état alternative au ten- seur des déformations : le tenseur de conformation moyenne des liaisons interatomiques.

Dans le double souci de bien mettre en relief les concepts importants et de ne pas alourdir l’écriture des équations, le cadre de l’étude est cependant restreint aux seuls corps purs.

La liaison chimique (métallique, par exemple) qui rend solidaire deux atomes d’un corps pur à l’état solide est schématiquement assimilée à une barre – au sens d’une structure déformable unidimensionnelle globalement caractérisée par sa longueur et sa direction et ne travaillant qu’en traction-compression. On montre alors que sa cinématique et sa sthénique globales peuvent être entièrement caractérisées par un tenseur, dit "de confor- mation", et une fonction à valeur scalaire de ce tenseur : le potentiel d’état d’énergie libre de la liaison (ou potentiel d’interaction). Ces deux notions sont ensuite étendues, en moyenne, à chacun des éléments d’un ensemble fini d’atomes, c.-à-d. d’un "petit" volume de corps pur considéré comme un milieu discret. Toujours en moyenne, elles sont trans- posées au cas continu, où la notion discrète d’ensemble fini d’atomes est tout d’abord remplacée par celle de densité massique d’atomes. On en déduit alors une expression du tenseur des contraintes de Cauchy en tant que dérivée première d’un potentiel d’état de densité massique d’énergie libre moyenne des liaisons interatomiques, lequel est expli- citement fonction du tenseur de conformation moyenne des liaisons interatomiques. Par une argumentation désormais classique en Thermodynamique des milieux continus, on montre finalement que, dans le cas où le comportement du corps pur est thermo-élastique, la partie objective de la vitesse d’évolution de cette nouvelle variable d’état est nécessai- rement égale au tenseur de la partie symétrique du gradient eulérien des vitesses (ou taux de déformations).

Mots-clés :Mécanique des milieux continus, état solide, liaisons interatomiques, tenseur de conformation, tenseur des contraintes de Cauchy, thermodynamique des milieux continus.

Nomenclature

– Notations générales (Unité) :

Soitxun réel,YYY un vecteur deR³etZZZun tenseur symétrique de(R³×R³)_s. G

G

G tenseur métrique

˙

x(resp.YYY˙ ouZZZ)˙ vitesse d’évolution ou dérivée particulaire dex (resp. deYYY ou deZZZ)

dev(ZZZ) partie déviatoire deZZZc.-à-d. Tr(dev(ZZZ)) =0 Tr(ZZZ)=ZˆZZ:::GGG premier invariant deZZZ:

ZZZ= ¹₃Tr(ZZZ)GGG+dev(ZZZ) Tr ZZZ²

ˆ

= (ZZZ...ZZZ):::GGG deuxième invariant deZZZou carré de sa norme euclidienne Tr ZZZ³

= (Zˆ ZZ...ZZZ...ZZZ):::GGG troisième invariant deZZZ

CCC∈(R³×R³)_s tenseur de conformation d’une liaison interatomique fff ∈R³ vecteur de l’effort intérieur à une liaison interatomique

(enN)

f ∈R valeur algébrique de fff (enN)

F F

F ∈(R³×R³)_s tenseur de l’effort intérieur à une liaison interatomique (enN)

±nnn∈R³ vecteur unitaire caractéristique de la direction d’une liaison interatomique

NN

N = (±nnn)⊗(±nnn)∈(R³×R³)_s tenseur de direction d’une liaison interatomique

r∈R^+∗ distance entre deux noyaux atomiques ponctuels, c.-à-d.

longueur de la liaison entre ces deux atomes (enm) r_r ∈R^+∗ longueur de référence ; celle d’une liaison interatomique

au zéro absolu de température, par exemple (enm) r = _r^r

r ∈R^+∗ longueur normalisée d’une liaison interatomique

u potentiel d’état d’énergie libre d’une liaison interatomique ou potentiel d’interaction entre deux atomes

u(CCC)∈R énergie libre d’une liaison interatomiqueCCC-conformée (enJ)

– Notations particulières à l’approche discrète, cf. Paragraphe 3 (Unité) :

CCC^i,j∈(R³×R³)_s tenseur de conformation de la liaison entre les atomesiet jded

CCCⁱ

∈(R³×R³)_s tenseur de conformation moyenne

des liaisons interatomiques de l’atomeided Cbb

CCb∈(R³×R³)_s tenseur de conformation moyenne

de l’ensemble des liaisons interatomiques ded

d⊂

E

domaine occupé par un corps pur en phase

solide considéré comme un milieu discret Fbb

Fb

F ∈(R³×R³)_s tenseur des efforts intérieurs

moyens aux liaisons interatomiques ded(enN)

[k]∈N nombre de premiers voisins d’un atome ded

ou coordinence

m_a∈R^+∗ masse atomique du corps pur considéré (enkg)

N_a∈N^∗ nombre d’atomes dansd

N N

N^i,j∈(R³×R³)_s tenseur de direction de la liaison entre les atomesiet jded

r^i,j∈R^+∗ longueur de la liaison entre les atomesiet jded(enm) r^i,j = ^r_r^i,j

r ∈R^+∗ longueur normalisée de la liaison entre les atomesiet jded

br∈R^+∗ longueur moyenne des liaisons interatomiques ded(enm)

u potentiel d’état d’énergie libre d’une quelconque

liaison entre deux atomes ded

ub énergie libre moyenne des liaisons

interatomiques ded(enJ)

U

potentiel d’état d’énergie libre moyenne des

liaisons interatomiques ded

U

^{(CCC)bbb ∈}R énergie libre moyenne des liaisons interatomiques ded(enJ)

v∈R^+∗ volume ded(enm³)

– Notations particulières à l’approche continue, cf. Paragraphe 4 et Paragraphe 5 Γ

Γ

Γ∈(R³×R³)_s tenseur de conformation moyenne des liaisons interatomiques enP

γ^k∈R k-ième valeur prope deΓΓΓ

D

^⊂

E

domaine occupé par un corps pur à l’état solide

considéré comme un milieu continu DD

D∈(R³×R³)_s tenseur de la partie symétrique du gradient eulérien des vitesses enPou taux de déformations (ens⁻¹) δ(r,NNN)∈R⁺ densité massique de liaisons interatomiques

C

CC-conformées enP(enkg⁻¹)

∆_l = ([k]m_a)⁻¹∈R⁺ densité massique de liaisons interatomiques (enkg⁻¹)

e potentiel d’état de densité massique d’énergie interne

moyenne des liaisons interatomiques enP Ec=R^+∗×EN espace des conformations

EN ⊂(R³×R³)_s espace des directions HH

H(r) tenseur de densité massique de liaisons interatomiques r-longue enP(enkg⁻¹)

K∈R⁺ conductivité thermique du corps pur considéré (enW.m⁻¹.K⁻¹)

P∈

D

point quelconque de

D

P P

P^k∈ R³ vecteur propre unitaire deΓΓΓassocié à la valeur propreγ^k qq

q∈R³ vecteur densité de flux de chaleur enP(enW.m⁻²)

ρ∈R^+∗ masse volumique enP(enkg.m⁻³)

s∈R entropie massique enP(enJ.kg⁻¹.K⁻¹) σ

σ

σ∈(R³×R³)_s tenseur des contraintes de Cauchy enP(enN.m⁻²)

T∈R^+∗ température absolue enP(enK)

TTT

^∈R³×R³ tenseur du gradient de la transformation enP

ϒ potentiel d’état de densité massique d’énergie libre

moyenne des liaisons interatomiques du corps pur considéré

ϒ(ΓΓΓ)∈R densité massique d’énergie libre moyenne des liaisons interatomiques enP(enJ.kg⁻¹)

V ∈R^+∗ volume de

D

^(enm3)

V_N∈R^+∗ "volume" de l’espace des directions Φ

Φ

Φ∈(R³×R³)_s tenseur de la densité massique des efforts intérieurs enP(enN.kg⁻¹)

ω∈R⁺ puissance volumique dissipée enP(enW.m⁻³) WWW ∈(R³×R³)_s tenseur de la partie antisymétrique du gradient

eulérien des vitesses enP(ens⁻¹) X

X

X ∈(R³×R³)_s tenseur des déformations enP

1 Introduction

Tout modèle de comportement thermomécanique d’un matériau à l’état solide se présente sous la forme d’un ensemble d’équations, dites "constitutives", parmi lesquelles on trouve systématiquement une équation liant le tenseur des contraintes de Cauchyσσσà la tempéra- ture absolueT, à un tenseur des déformationsXXX et, bien souvent, à d’autres variables dites internes¹. Dans la très grande majorité des cas – et dans le souci de définir précisément les conditions d’admissibilité thermodynamique du modèle de comportement thermomé- canique proposé, c.-à-d. de ses équations constitutives –, cette équation tensorielle est obtenue par différentiation d’un potentiel d’état de densité massique d’énergie libre ϒ, soit :

σσ

σ = ρ∂ ϒ

∂XXX (1)

oùρest la masse volumique du matériau. Au même titre queTet les éventuelles variables internes, un tenseur de déformationsXXX, que celles-ci soient infinitésimales ou non, est ainsi l’un des arguments du potentiel d’étatϒ, c.-à-d. qu’il est supposé être une variable d’état. Depuis, notamment, les travaux pionniers de Truesdell, [1], et Mandel, [2], cette façon d’envisager l’écriture d’un modèle de comportement thermomécanique a été de très nombreuses fois mise en œuvre, et, bien souvent, avec un indéniable succès. Ainsi, la plupart des modèles de comportement thermo-élastique dont la pertinence physique est reconnue par la communauté des mécaniciens des matériaux s’inscrivent-ils dans ce cadre méthodologique. Ils sont d’ailleurs parfois présentés comme des modèles de com- portement hyper-thermo-élastique pour souligner le fait que la relation entre σσσ, T etXXX dérive d’un potentiel d’état.

Aussi pertinents soient-ils, ces modèles reposent toutefois sur l’hypothèse tacite² que la seule variable cinématique à laquelle peut être associé le tenseur des contraintes est un tenseur de déformations. Or, s’il est vrai que la multitude de résultats expérimen- taux relatifs au comportement thermo-élastique de la plupart des matériaux, sinon de

1. Une façon de rendre compte de la viscosité du matériau consiste à lier également le tenseur des contraintes de Cauchy au tenseur des taux de déformationsDDD. Ces effets de viscosité sont hors du propos développé dans cette étude.

2. Cette hypothèse tacite est probablement très ancienne. Son origine pourrait bien se trouver, en effet, dans les travaux de Hooke relevant de la mécanique, dont il avait lui même résumé le résultat essentiel par la célèbre phrase "ut tensio sic vis" en ... 1675 !

tous les matériaux, prouvent queσσσpeut toujours être exprimé en fonction deXXX; s’il est également vrai que les innombrables simulations numériques basées sur des modèles de comportement thermo-élastiques obéissant à Eq. (1) mènent à des résultats physiquement pertinents ; il est tout aussi vrai que ni ces expériences, ni ces simulations numériques ne permettent d’affirmer queXXX est la seule variable cinématique pouvant être associée àσσσ.

Même si elle semble sans grand intérêt dans le cas thermo-élastique, la question de savoir si une variable d’état alternative àXXX existe qui permettrait une nouvelle expression deσσσ n’est donc pas sans objet.

Cette question devient à la fois fondée et intéressante lorsqu’on considère des modèles de comportement plus sophistiqués que ceux de thermo-élasticité, relevant eux aussi de Eq. (1) mais faisant intervenir, outre T etXXX, d’autres variables d’état, dites "internes".

Les modèles d’élastoplasticité en sont un exemple bien connu, qui tous, cependant, se heurtent à un problème inhérent au choix deXXX comme variable d’état : celui de la défini- tion de la variable d’état interne associée aux déformations permamentes (ou plastiques).

La solution apportée par les mécaniciens des matériaux à ce problème repose sur l’hy- pothèse que le tenseur du gradient de la transformation

TTT

– ingrédient de base de la ci- nématique des milieux continus, dont tout tenseur de déformationsXXX découle ; cf. p. ex.

Garrigues [3] – doit être décomposé multiplicativement en parties élastique,

TTT

^{e, et plas-}

tique,

TTT

^p. La plupart de ces mêmes auteurs optent pour la décomposition

TTT

⁼

TTT

^e...

TTT

^p

(cf. p. ex. Mandel [2]). Ce choix n’est cependant guère justifié, ni cinématiquement, ni physiquement, qui semble avoir comme unique vertu de mener à des calculs et expres- sions relativement plus simples que ceux découlant du choix de la décomposition inverse,

TTT

⁼

TTT

^p...

TTT

^e. Outre cela, ces deux décompositions font intervenir une configuration³dite

"relâchée", laquelle sert de référence pour le calcul de

TTT

^{e (resp. de}

TTT

^p) dans le cas de la décomposition

TTT

^e...

TTT

^p (resp. de la décomposition

TTT

^p...

TTT

^e). Or, si la notion de confi- guration est purement cinématique, celle de configuration relâchée ne peut être comprise qu’en invoquant également un argument sthénique, soit p. ex., dans le cas de la décompo- sition

TTT

^e...

TTT

^p, celui de la nullité des contraintes. En d’autres termes, la notion de configu- ration relâchée présuppose un certain type de modèles de comportement, c.-à-d. qu’elle ne peut être directement transposée à d’autres types de modèles. Il faut aussi souligner que la configuration relâchée est généralement fictive : elle ne coïncide avec la configu- ration réelle du domaine matériel plastifié, telle qu’elle est observée après que tous les efforts extérieurs ont été annulés, que dans les très rares cas où aucune contrainte rési- duelle n’existe dans le milieu. C’est pourtant à partir de la configuration relâchée que des tenseurs de déformations plastiques, XXX^p, et élastiques,XXX^e, sont construits, ce qui pose inévitablement un nouveau problème, auquel aucune réponse convaincante n’a été ap- portée à ce jour : celui du lien entre ces deux tenseurs et le tenseur de déformationsXXX – clairement défini, quant à lui, et sur la seule base de considérations cinématiques. Au mieux, cette dernière remarque, liée aux précédentes sur la configuration relâchée, laisse ouverte la question de l’interprétation physique deXXX^e etXXX^p. Au pire, elle sème le doute sur leur pertinence cinématique.A minima, elle impose de reconnaître que, dans l’écriture d’un modèle de comportement élastoplastique, le choix d’un tenseur de déformationsXXX en tant que variable d’état pose le problème de la définition de la variable d’état interne qui doit lui être associée pour rendre compte de l’existence de déformations permanentes

3. On rappelle que la configuration d’un domaine matériel continuDà l’instanttpeut être définie par l’ensemble des vecteurs positions, par rapport à une origine quelconque, de ses points à ce même instant.

(ou plastiques).

Ce problème tend à suggérer qu’un tenseur des déformations n’est peut-être pas la gran- deur la mieux à même de jouer le rôle de variable d’état dans un modèle de comportement thermomécanique, en particulier dans le cas de déformations non infinitésimales et non réversibles. En tout état de cause, le problème auquel la présente étude entend apporter quelques éléments de réponse est bien celui de l’existence d’une variable d’état, notéeΓΓΓ dans le cas continu, alternative à un tenseur des déformationsXXX, quel qu’il soit. Plus for- mellement, et dans la mesure où ce problème est étroitement lié à celui de la définition du tenseur des contraintes de Cauchyσσσ, la question centrale de cette étude est la suivante :

Existe-t-ilΓΓΓ6=XXX et existe-t-ilϒ(T,ΓΓΓ, ...)tels que σσσ =ρ∂ ϒ

∂ΓΓΓ ? (2)

la variable d’étatΓΓΓproposée, si elle existe bien, devant être physiquement pertinente et, en particulier, objective⁴ . Dans le souci de simplifier la présentation des nouvelles no- tions, la question Eq. (2) ne sera toutefois abordée que dans le cas des corps purs⁵à l’état solide.

Cette étude est organisée comme suit : deux atomes d’un corps pur à l’état solide, c.- à-d. maintenus solidaires par une liaison interatomique, sont considérés dans le Para- graphe 2, de façon à précisément définir la grandeur cinématique et la grandeur sthénique indispensables à la suite de l’étude, à savoir le tenseur de conformation d’une liaison interatomique et le tenseur de l’effort intérieur associé. La description discrète d’un en- semble fini d’atomes d’un corps pur à l’état solide, sous l’hypothèse que chacun des atomes a une liaison interatomique avec ses seuls "premiers voisins", est abordée dans le Paragraphe 3. Par généralisation des notions introduites au Paragraphe 2, on y définit le tenseur de conformation moyenne des liaisons interatomiques ainsi que le tenseur des efforts intérieurs moyens associé. Le Paragraphe 4 est consacré à la description conti- nue d’un corps pur à l’état solide, où la notion discrète d’ensemble fini d’atomes est tout d’abord remplacée par celle, continue, de densité massique d’atomes. On y donne les définitions, entièrement compatibles avec l’hypothèse de distribution continue de la matière, du tenseur de conformation moyenne des liaisons interatomiques et du tenseur de la densité massique des effort intérieurs. En lien direct avec celui-ci, on y propose également une définition du tenseur des contraintes de Cauchy. Les notions introduites au Paragraphe 4 sont inscrites dans un cadre thermodynamique au Paragraphe 5, ce qui permet notamment de donner une expression à la vitesse d’évolution (ou dérivée particu- laire) du tenseur de conformation moyenne des liaisons interatomiques.

Il est finalement important de souligner dans cette Introduction que tous les raisonne- ments, hypothèses et équations proposés dans les Paragraphes 2, 3 et 4 sont relatifs à un état figé de la matière du corps pur à l’état solide considéré, observé à l’instant géné- riquet. Les expressions proposées dans ces trois Paragraphes pour les diverses grandeurs

4. À propos de l’objectivité, on rappelle que le gradient de la transformationTTT n’est pas objectif et ne peut donc pas être retenu comme variable d’état. En revanche, le produitTTT^...TTT^Test objectif, propriété dont héritent tous les tenseurs de déformations basés sur ce produit. À l’inverse, le produitTTT^T...TTT n’est pas objectif.

5. À strictement parler, il sagit en fait de corps purs simples, c.-à-d. constitués d’un seul type d’atomes, et non pas d’un seul type de molécules.

sthéniques ne sont donc valables qu’aux effets thermiques près, lesquels ne sont effecti- vement pris en compte que dans le Paragraphe 5.

2 Tenseur de conformation de la liaison entre deux atomes et tenseur de l’effort intérieur associé : définitions

Soient deux atomes d’un corps pur à l’état solide, c.-à-d. maintenus solidaires par une liaison interatomique (métallique par exemple). Dans toute la suite de ce Paragraphe, cette liaison sera très schématiquement assimilée à une barre, soit, selon la terminolo- gie usuelle en Mécanique des milieux continus, à une structure unidimensionnelle glo- balement caractérisée par sa longueur et sa direction et ne travaillant qu’en traction- compression.

La masse de chacun de ces atomes est essentiellement concentrée dans son noyau, qu’on assimile à un point (cf. Rmq. 2-1). La distance entre ces deux noyaux atomiques – la lon- gueur de la barre – est notée r, le vecteur unitaire de la direction qu’ils définissent – la direction de la barre –,±nnn . Ces deux grandeurs sont objectives, dont le produit, ±r nnn, est simplement le vecteur de la position relative des deux noyaux atomiques.

On noter_rune longueur dite "de référence" de la liaison interatomique (par exemple celle qu’elle aurait au zéro absolu de température). On définit alors la distance normalisée entre ces deux noyaux atomiques par :

r = r

r_r (3)

Puisqueretr_rsont des grandeurs objectives,r >0 est également une grandeur objective.

L’arbitraire sur le vecteur unitaire de la direction définie par les deux noyaux atomiques est levé en considérant le tenseur du second ordreNNNdéfini par :

NNN =nnn⊗nnn = (−nnn)⊗(−nnn)

Par construction, ce tenseur est symétrique et uniaxial. C’est une grandeur objective, puisqu’elle est définie comme le produit tensoriel d’une grandeur objective,nnn, par elle- même. Ses trois invariants sont liés puisque :

Tr(NNN) = Tr(NNN...NNN) = Tr(NNN...NNN...NNN) =1

En d’autres termes, 1 est la seule valeur propre non nulle de ce tenseur. La conforma- tion⁶de la liaison interatomique étant définie par le couple(r,NNN), on en retiendra ici une représentation tensorielle, définissant ainsi le tenseur de conformation de la liaison entre ces deux atomes par :

CCC = ln(r)NNN

Dans cette définition, le logarithme fait que la seule valeur propre généralement non nulle du tenseur de conformation, ln(r), est réelle, alors querest réel et positif. Par construc- tion,CCCest symétrique et uniaxial. PuisqueretNNNsont des grandeurs objectives,CCCest une

6. En Chimie, on appelle conformation d’une molécule l’arrangement spatial des atomes qui la composent, c.-à-d. les positions relatives de ces atomes. Bien qu’un corps pur simple soit composé d’atomes et non de molécules, c’est bien la notion de position relative de deux atomes maintenus solidaires par une liaison interatomique qui est représentée parCCC, d’où son nom de tenseur de conformation de la liaison interatomique.

grandeur objective.

L’énergie de la liaison interatomique qui maintient les deux atomes solidaires peut ensuite être classiquement caractérisée par un potentiel d’état d’énergie libre⁷, p(r(r)) = q(r), parfois appelé potentiel d’interaction, dont on ne cherchera pas à spécifier l’expression ici (Rmq. 2-2). Tout aussi classiquement, la valeur algébrique de l’effort intérieur agissant dans la liaison est donnée par la dérivée première du potentiel d’état d’énergie libre, soit :

f(r) = 1

r_r p⁰(r(r)) = q⁰(r) puisque, selon Eq. (3) : r(r) = 1

r_rr (4) Dans Eq. (4), par convention, f >0 (resp. f <0) quand l’effort intérieur est de traction (resp. de compression)⁸.

La direction de cet effort intérieur, quant à elle, est celle de la direction définie par les deux noyaux atomiques,±nnn, d’où fff =±f nnn. À l’instar du vecteur de la position relative des deux noyaux atomiques,±r nnn, le vecteur de l’effort intérieur fff est une grandeur ob- jective.

On propose cependant ici une autre écriture de cet effort qui, là encore, permet de lever l’arbitraire sur le vecteur unitaire de la direction. L’énergie libre, tout d’abord, est réexpri- mée en fonction deCCC, soitu(CCC). Pour que le principe d’objectivité (cf. p. ex. Truesdell [4]) soit bien respecté, le potentiel d’état d’énergie libreune doit en fait dépendre que des in- variants deCCC, lesquels sont liés, comme on l’a signalé précédemment. On retiendra ici le carré de la norme de ce tenseur comme argument de u,CCC:::CCC, qui vaut ln²(r). L’état d’énergie libre de la liaison interatomique étant évidemment le même que le potentiel d’état d’énergie libre soit exprimé en fonction deCCC:::CCC, der ou der, la relation suivante est nécessairement vérifiée :

u(CCC:::CCC) = p(r) = q(r) (5) On en déduit immédiatement que :

2ln(r)

r u⁰ = p⁰ = r_rq⁰ (6) oùu⁰(respectivement p⁰etq⁰) désigne la dérivée première deu(respectivement de pet deq). Par ailleurs, on a (cf. Rmq. 2-3) :

∂u

∂CCC = u⁰∂CCC:::CCC

∂CCC = 2u⁰CCC =2 ln(r)u⁰NNN d’où, d’après Eq. (6) :

∂u

∂CCC = r p⁰NNN = r q⁰NNN On peut alors définir le tenseur de l’effort intérieur suivant :

FF F = 1

r

∂u

∂CCC = 1

r_r p⁰NNN = q⁰NNN (7)

7. Il s’agit bien ici de l’énergie libre, parfois appelée énergie de déformations en Mécanique des matériaux. Elle n’est formellement égale à l’énergie interne que si l’on décide d’ignorer les effets de température ; ce qui est le cas dans ce Paragraphe et les deux suivants ; ce qui n’est plus le cas dans Paragraphe 5, où il s’avère crucial de bien distinguer ces deux types d’énergie.

8. L’effort intérieur des Mécaniciens – conventionnellement, là encore – est l’opposé de la force d’interaction usuellement consi- dérée par les Physiciens.

Ce tenseur symétrique, en effet, n’a qu’une valeur propre non nulle, q⁰(r)qui, d’après Eq. (4), est la valeur algébrique de la force intérieure vectorielle habituellement consi- dérée (cf. Rmq. 2-4). Cette valeur propre, qui plus est, est associée à la direction propre unitaire±nnn. Enfin, parce qu’il est défini à partir de grandeurs qui sont toutes objectives, le tenseurFFF est lui-même une grandeur objective.

—–

– Remarque 2-1 : On rappelle que la taille d’un nucléon (proton ou neutron) est d’envi- ron 10⁻¹⁵met que le premier rayon de Bohr vaut environ 5.10⁻¹¹m. Dans un corps pur à l’état solide dont le noyau atomique est constitué den nucléons, la tailler_n du noyau est donc d’environn^1/310⁻¹⁵m, la distancerentre deux noyaux atomiques, quant à elle, étant au moins égale à deux fois le premier rayon de Bohr, soit environ 10⁻¹⁰m. On a doncr_n/r≈n^1/310⁻⁵: à l’échelle du rayon de Bohr, le noyau est bien assimilable à un point. On rappelle également que la masse d’un nucléon est d’environ 10⁻²⁷kg quand celle de l’électron est d’environ 10⁻³⁰kg : la masse d’un atome, quel qu’il soit, est donc bien essentiellement concentrée dans son noyau.

– Remarque 2-2 : Le casr =0 correspondrait à la fusion des noyaux atomiques. Ce phé- nomème est clairement en dehors du cadre de cette étude, où l’on a donc bienr > 0. La question de l’existence d’une borne supérieure àr, en revanche, est plus complexe. Dans le cas (idéal) de deux atomes considérés comme un système thermodynamique fermé, il n’est pas inconcevable de supposer que la liaison qui les maintient solidaire existe quel que soitr, le potentiel d’interactionpn’étant finalement astreint qu’à la vérification de la condition suivante :

r→lim+∞

p(r) = 0

Dans le cas plus réaliste d’un système discret constitué d’un grand nombre d’atomes, N_a1, tel celui considéré dans le Paragraphe 3, la question n’est pas si simple de savoir quel type d’interaction a un atome donné et, surtout, avec quels autres atomes du système.

Dans un souci de simplicité, on supposera, dans cette étude, qu’un atome donné n’a une liaison interatomique qu’avec ses "premiers voisins", le nombre de ceux-ci étant connu sous le nom de coordinence.

– Remarque 2-3 : Compte tenu queCCC=ln(r) (±nnn)⊗(±nnn) =ln(r)NNN est un tenseur uni- axial, la différentiation de toute fonction H(CCC:::CCC) =g(r) est soumise à contrainte. À l’inverse, à partir de la représentation vectorielle de la conformation, soitccc=±ln(r)nnn, on peut définir la fonctionhtelle que :

h(ccc...ccc) = H(CCC:::CCC) =g(r) dont la différentiation n’est pas soumise à contrainte, soit :

dh= ∂h

∂ccc...dccc avec ∂h

∂ccc = r g⁰(r) (±nnn)

Anticipant les développements ultérieurs – où les diverses fonctions à valeur scalaire considérées auront pour arguments des tenseurs symétriques mais généralement non uni-

axiaux –, mais sans pouvoir étayer cette expression par une démonstration mathématique rigoureuse, on écrira, malgré tout, dans ce Paragraphe⁹:

dH= ∂H

∂CCC:::dCCC avec ∂H

∂CCC = r g⁰(r)NNN

ce qui revient à considérer que la dérivée partielle deCCC:::CCC par rapport àCCC n’est pas contrainte. Sans prétendre y voir une preuve de la validité de cette dernière assertion, on notera simplement que :

∂H

∂CCC = ∂h

∂ccc⊗(±nnn)

– Remarque 2-4 : Ainsi qu’on l’a déjà signalé, le système constitué par les deux noyaux atomiques et la liaison interatomique est ici assimilé à une barre. Notantnnn^ala normale ex- térieure unitaire à l’extrémité de la barre où se trouve le noyau de l’atomea, on peut alors remarquer que le tenseur de l’effort intérieurFFF permet bien de retrouver les conditions aux limites sthéniques puisque, sachant queNNN=nnn^a⊗nnn^a:

FFF...nnn^a = q⁰(nnn^a⊗nnn^a)...nnn^a = q⁰nnn^a

soit encore, selon Eq. (4) :FFF...nnn^a= f nnn^a. De la même façon, on obtient, pour l’autre extré- mité de la barre, où la normale extérieure est−nnn^a:FFF...(−nnn^a) =−f nnn^a.

—–

9. Les trois invariant deCCCétant liés, on aurait tout aussi bien pu considérer ici une fonctionKtelle queK(CCC:::GGG) =H((CCC:::CCC)^1/2).

Si l’on avait alors différentiéKsans tenir compte de la contrainte imposée par le fait queCCCest un tenseur uniaxial, on aurait obtenu un résultat ostensiblement faux, à savoir :∂K/∂CCC=g⁰(r)GGG.

Résumé du Paragraphe 2 :

La liaison interatomique qui rend solidaire deux atomes d’un corps pur à l’état solide, schématiquement représentée par une barre de longueur r et de direction±nnn(nnnunitaire), est entièrement caractérisée par :

– sontenseur de conformation CCC(adimensionnel), tel que : CCC=ln(r)NNN ∈(R³×R³)_s avec r= r

r_r >0 (adimensionnel) etNNN= (±nnn)⊗(±nnn) oùr_rest une longueur de référence (par exemple celle de la liaison au zéro absolu de température),

– unpotentiel d’état d’énergie libre u, tel que u(CCC)(enJ) est l’énergie libre de la liaison, dont dérive letenseur de l’effort intérieurà la liaison interatomiqueFFF(en N) :

FFF = 1 r

∂u

∂CCC ∈ (R³×R³)_s

Le tenseur de conformation de la liaison interatomique, CCC, est une grandeur objective. Il est symétrique et uniaxial : deux de ses valeurs propres sont nulles, la troisième vaut ln(r).

Le potentiel d’état d’énergie libre u ne dépend en fait que de la seule valeur propre non nulle deCCC(ou, de façon équivalente, que de la norme deCCC). L’énergie libreu(CCC)de la liaison interatomique est donc une grandeur objective.

Le tenseur de l’effort intérieur à la liaison interatomique, FFF, est une grandeur objective. Il est symétrique et uniaxial : sa seule valeur propre non nulle est égale à la valeur algébrique de la force intérieure habituellement considérée.

3 Tenseur de conformation moyenne des liaisons interatomiques et tenseur des efforts intérieurs moyens associé : approche discrète

Soit un corps pur à l’état solide, considéré comme un milieu discret occupant un "pe- tit" domaine d de volumev (cf. Rmq. 3-1) et comptantN_a1 atomes. En accord avec Rmq. 2-2, on suppose qu’un quelconque atome i ded a une liaison interatomique avec ses seuls premiers voisins, dont le nombre est donné par la coordinence[k].

D’après les notions introduites au Paragraphe 2, la liaison interatomique entre les atomes iet jest entièrement caractérisée par son tenseur de conformationCCC^i,j=ln(r^i,j)NNN^i,j, où r^i,j=r^i,j/r_r etNNN^i,j=nnn^i,j⊗nnn^i,j.

On peut alors définir le tenseur de conformation moyenne des[k]liaisons interatomiques de l’atomei,

CCCⁱ

, soit (cf. Rmq. 3-2) : CCCⁱ

= 1 [k]

[k]

∑

j=1

CC

C^i,j = 1 [k]

[k]

∑

j=1

ln(r^i,j)NNN^i,j (8)

Puisque les tenseursCCC^i,j sont symétriques, le tenseur CC Cⁱ

est symétrique. En revanche, à la différence desCCC^i,j, il a en général trois valeurs propres non nulles et distinctes.

De la même manière qu’à l’atomeided, un tenseur de conformation moyenne des liai- sons interatomiques peut évidemment être associé à chacun des autres atomes ded. Il est donc possible de définir le tenseur de conformation moyenne de l’ensemble des liaisons interatomiques ded, soit¹⁰ :

CCCbbb= 1 N_a

Na

∑

i=1

CCCⁱ

= 1 N_a

Na

∑

i=1

1 [k]

[k]

∑

j=1

CCC^i,j

!

(9) Parce qu’il est défini par une somme de tenseurs symétriques et objectifs, le tenseurCCCbbbest un tenseur symétrique et objectif. Sa trace vaut (GGGdésigne le tenseur métrique) :

Tr Cbb CCb

= 1 N_a

Na

∑

i=1

1 [k]

[k]

∑

j=1

C CC^i,j:::GGG

!

= 1 N_a

Na

∑

i=1

1 [k]

[k]

∑

j=1

ln(r^i,j)

!

= ln(r)d (10) De ce résultat, on peut déduire facilement une interprétation géométrique des valeurs propres ˆc^kdeCCC. Dans une base proprebbb

ˆ pˆ

ppˆ^k deCCC, et compte tenu de Eq. (10), la décom-bbb position partie sphérique - partie déviatoire de ce tenseur s’écrit en effet :

3

∑

k=1

ˆ

c^kpppˆˆˆ^k⊗pppˆˆˆ^k = 1

3ln(r)d GGG+

3

∑

k=1

ˆ

c_d^kpppˆˆˆ^k⊗pppˆˆˆ^k (11) où les ˆc_d^k désignent les valeurs propres du déviateur deCCC. Posant que :bbb

ˆr = exp(ln(r))d et dˆ^k= exp(cˆ_d^k)−1 on déduit alors aussitôt de Eq. (11) que :

3 ˆc^k=ln(rˆ(1+dˆ^k)³) (12) résultat qui s’interprète de la façon suivante : dans la direction propre ˆpppˆˆ^k, les noyaux ato- miques sont en moyenne distants de exp(3 ˆc^k) = rˆ(1+dˆ^k)³.

Suivant Eq. (5), l’énergie libre de la liaison entre les atomesiet jpeut ensuite être carac- térisée par son potentiel d’étatu. L’énergie libre moyenne des liaisons interatomiques de dest alors simplement donnée par (cf. Rmq. 3-3) :

ub= 1 N_a

Na

∑

i=1

1 [k]

[k]

∑

j=1

u(CCC^i,j)

!

(13) On postule alors que cette énergie libre moyenne est la valeur d’une fonction

U

^{, que}

l’on appellera par la suite potentiel d’état d’énergie libre moyenne des liaisons interato- miques ded, dont l’unique argument est le tenseur de conformation moyenne des liaisons interatomiques des atomes ded, cf. Eq. (9), soit :

U

^{(CCC) =bbb} ub= 1 N_a

Na

∑

i=1

1 [k]

[k]

∑

j=1

u(CCC^i,j)

!

10. PuisqueCCC^i,j=CCC^j,i, chaque tenseur de conformation élémentaire intervient deux fois dans Eq. (8). Autrement dit, il n’y a pas [k]Naliaisons interatomiques dansd, mais seulement[k]Na/2.

Suivant la démarche développée au Paragraphe 2, Eq. (7), on définit alors le tenseur des efforts intérieurs moyens aux liaisons interatomiques ded par :

Fb FF = 1

br

∂

U

∂CCCb (14)

où la longueur moyenne des liaisons interatomiques des atomes ded,br, grandeur objec- tive, est donnée par (cf. Rmq. 3-4) :

br = 1 N_a

Na

i=1

∑

1 ([k])

[k]

∑

j=1

r^i,j

!

Pour que le principe d’objectivité soit bien respecté, le potentiel d’état

U

^{ne doit en}

fait dépendre que des trois invariants deCCCbbbou, de façon équivalente, de ses trois valeurs propres. PuisqueCCCbbb et br sont des grandeurs objectives, le tenseur FFFbbb est également une grandeur objective. CommeFFF, cf. Eq. (7),FFFbbbest un tenseur symétrique. En revanche, à la différence deFFF, il a en général trois valeurs propres non nulles et distinctes.

—–

– Remarque 3-1 : C’est en anticipant les développements du Paragraphe 4, où la matière est vue comme uncontinuum, que l’on a jugé utile de considérer ici un "petit" domaine, l’idée sous-jacente étant que ce "petit" domaine discret peut être assimilé à un point à l’échelle du continu. Il ne semble pas irréaliste de supposer que les notions usuelles en mécanique des milieux continus, et notamment celle de contraintes, commencent à faire sens dès que l’on considère quelques millions d’atomes. En cohérence avec Rmq. 2-1, on peut en déduire que le volume du "petit" domaine discret considéré dans le présent Paragraphe est de l’ordre de quelques milliers de nanomètres cubes.

– Remarque 3-2 : Les atomes appartenant à la frontière ded ont moins de premiers voi- sins que ceux strictement à l’intérieur de d. Leur coordinence[k^f] est donc inférieure à [k], et leur tenseur de conformation moyenne des liaisons interatomiques s’écrit :

CCCⁱ

= 1 [k^f]

[k^f]

∑

j=1

CC

C^i,j = 1 [k^f]

[k^f]

∑

j=1

ln(r^i,j)NNN^i,j

Toutes choses égales par ailleurs, le tenseur de conformation moyenne des liaisons inter- atomiques n’est donc pas le même selon que l’atome considéré appartient ou n’appartient pas à la frontière ded. Cette particularité mériterait d’être étudiée en détails, qui pourrait trouver des applications en physique des surfaces. Elle ne le sera pas dans la présente étude, dont le propos, par conséquence, se voit restreint aux seuls atomes strictement à l’intérieur du domaine matériel considéré, quel qu’il soit.

– Remarque 3-3 : L’hypothèse que chaque liaison interatomique de d a son propre po- tentiel d’état, indépendant de toutes les autres liaisons interatomiques, est certainement réductrice, voire discutable. Il serait probablement plus réaliste de supposer que l’énergie

libre moyenne des liaisons interatomiques de d est donnée par un potentiel d’état dont les arguments sont les ^3[k]N₂ ^a invariants desCCC^i,j =CCC^i,j ainsi que leurs ^3[k]N₄ ^a_[k]N

a

2 −1 invariants mixtes. Que l’on retienne cette hypothèse ou celle, naïve, menant à Eq. (13) ne change cependant rien à l’idée développée dans ce Paragraphe, à savoir que l’énergie libre moyenne des liaisons interatomiques dedpeut toujours s’exprimer à partir d’un po- tentiel d’état

U

dont l’unique argument est le tenseur de conformation moyenne des liai- sons interatomiquesCCCbbb(plus précisément, ses trois invariants ou ses trois valeurs propres).

– Remarque 3-4 : On rappelle que, du point de vue discret adopté dans ce Paragraphe, la masse des atomes est essentiellement concentrée dans leurs noyaux ponctuels, lesquels sont, en moyenne, distants debr. Dans le Paragraphe 4, où la matière sera vue comme un continuum, cette notion de masse ponctuelle discrète sera remplacée par celle, classique, de masse volumique :ρ. Or,bretρpeuvent être mis en relation par le simple raisonnement suivant :

le domaine matériel d défini par lesN_a atomes occupant le volume fini v a une masse égale à N_am_a, où m_a est la masse unitaire desN_a noyaux ponctuels, c.-à-d., à la masse des électrons près, la masse atomique du corps pur considéré. Du point de vue discret, ces noyaux étant distants de br en moyenne, le "libre volume moyen" offert à chacun d’eux est un cube d’arête br : on a doncv=N_abr³. Du point de vue continu, la masse n’étant plus considérée comme ponctuellement distribuée mais comme continuement répartie, la définition d’un champ de masse volumique régulier devient possible. Si l’on suppose celui-ci uniforme dansv– et étant donné que la masse du domaine ddoit être la même, que le point de vue adopté soit discret ou continu –, on obtient alors la relation suivante entrebret la masse volumiqueρ:

ρ = N_am_a N_abr³ = m_a

br³

—–

Résumé du Paragraphe 3 :

D’un point de vue discret, l’ensemble des liaisons interatomiques qui rendent solidaires lesN_aatomes compris dans un "petit" volume fini d’un corps pur à l’état solide peut être caractérisé en moyenne par :

– letenseur de conformation moyenne de ces liaisons interatomiques,CCCbbb(adimen- sionnel), tel que :

CCCbbb= 1 N_a

Na

i=1

∑

CCCⁱ

∈ (R³×R³)_s avec CCCⁱ

= 1 [k]

[k]

∑

j=1

CCC^i,j

où[k]est la coordinence, C C Cⁱ

, le tenseur de conformation moyenne des[k]liai- sons interatomiques de l’atomeietCCC^i,j, le tenseur de conformation de la liaison entre les atomesiet j,

– un potentiel d’état d’énergie libre moyenne

U

^{, tel que}

U

^{(bCCC)bb (en} J) est l’éner- gie libre moyenne des liaisons interatomiques, dont dérive letenseur des efforts intérieurs moyensaux liaisons interatomiquesFFFbbb(enN) :

FFFbbb= 1 br

∂

U

∂CCCbbb ∈ (R³×R³)_s

oùbrest la distance moyenne (enm) entre les noyaux atomiques.

Il est également à noter que la notion discrète de distance moyenne entre noyaux atomiques,br, et la notion continue de masse volumique,ρ, sont liées par :

ρ= m_a br³

oùm_aest la masse atomique du corps pur considéré.

Le tenseur de conformation moyenne CCCbbb est symétrique et objectif. Ses trois valeurs propres sont en général distinctes.

Le potentiel d’état d’énergie libre moyenne

U

ne dépend en fait que des trois valeurs propres deCCCbbb(ou, de façon équivalente, de ses trois invariants). L’énergie libre moyenne

U

^(CCC)bbb des liaisons interatomiques est donc une grandeur objective.

Le tenseur des efforts intérieurs moyens aux liaisons interatomiques FFFbbb est symétrique et objectif. Ses trois valeurs propres sont en général distinctes.

4 Tenseur de conformation moyenne des liaisons interatomiques, ten- seur de la densité massique des efforts intérieurs et tenseur des contraintes : approche continue

Soit un corps pur à l’état solide, considéré comme un milieu continu et occupant le do- maine

D

, de volumeV, de l’espace euclidien

E

. Puisque ce corps est considéré comme un milieu continu – et puisque le nombre d’atomesN_aconsidéré au Paragraphe 3 est une grandeur extensive –, on peut y définir le champ continu et uniforme de la densité mas- sique d’atomes, qui n’est en fait rien d’autre que l’inverse de la masse atomique, soitm⁻¹_a . Pour les mêmes raisons, on peut également y définir :

– le champ continu et uniforme de la densité massique de liaisons interatomiques, qui vaut∆_l = ([k]m_a)⁻¹,

– le champ continu – mais a priorinon uniforme – de la densité massique de liaisons interatomiquesCCC-conformées, soit, puisqueCCC = ln(r)NNN,δ(r,NNN).

À l’instar de toutes les grandeurs considérées jusqu’à maintenant, la densité massique δ(r,NNN)doit être objective. Une condition suffisante pour qu’elle le soit est qu’il existe un tenseur symétrique, défini positif et objectif,HHH(r), tel que :

δ(r,NNN) =HHH(r):::NNN (15) Physiquement,HHH s’interprète comme le tenseur de la densité massique de liaisons inter- atomiques de longueur (normalisée)r. Plus précisément, la densité massique de liaisons interatomiques de longueur (normalisée)rest maximale dans la direction±EEE¹, où±EEE¹ est le vecteur propre unitaire associé à la plus grande valeur propre deHHH; elle est mini- male dans la direction±EEE³, où±EEE³est le vecteur propre unitaire associé à la plus petite valeur propre deHHH. Dans toute la suite de l’étude, on postulera que le tenseurHHH existe bien (cf. Rmq. 4-1).

L’ensemble des tenseurs de conformation défini ce que l’on appelle l’espace des confor- mations, Ec. La longueur (normalisée) d’une liaison,r > 0, et sa directionNNN étant des grandeurs indépendantes, cet espace peut s’écrire (cf. Rmq. 4-2) :

Ec = R^+∗×EN avec EN = {NNN =nnn⊗nnn ; nnn...nnn= 1} ⊂ (R³×R³)_s

où l’espace des directionsENa pour "volume"¹¹V_N = 2π. En un quelconque pointPde

D

, la densité massique de liaisons interatomiques ∆_l et la densité massique de liaisons interatomiquesCCC-conformées,δ(r,NNN), sont liées par la relation suivante (cf. Rmq. 4-3) :

∆_l = Z +∞

0

Z

VN

δ(r,NNN)d r dV_N = Z +∞

0

Z

VN

(HHH(r):::NNN)d r dV_N (16) À partir de∆_l et deδ(r,NNN), et de façon analogue à ce qui a été fait dans le Paragraphe 3, on peut alors définir le tenseur de conformation moyenne des liaisons interatomiques en P(que l’on noteraΓΓΓpour bien distinguer les approches discrète et continue), soit :

ΓΓΓ = 1

∆_l Z +∞

0

Z

VN

δ(r,NNN)ln(r)NNN d r dV_N = 1

∆_l Z +∞

0

Z

VN

δ(r,NNN)CCC d r dV_N (17)

11. Tout vecteur unitaire nnn de R³ peut s’écrire, dans une quelconque base orthonormée (eee1,eee₂,eee₃): nnn = sinθcosφeee1+ sinθsinφeee2+cosθeee3avecφ∈[0,2π]etθ∈[0,π]. L’ensemble de ces vecteurs décrit donc la surface de la sphère de rayon unitaire, soit 4π. Mais, puisqueNNN=nnn⊗nnn= (−nnn)⊗(−nnn), l’ensemble des tenseursNNN(ou espace des directions) correspond à la surface de la seule demi-sphère de rayon unitaire : le "volume" de cet ensemble vaut donc bienVN =2π.

dont la trace vaut, puisqueNNN:::GGG = 1 : Tr(ΓΓΓ) = 1

∆_l Z _+∞

0

Z

VN

δ(r,NNN)ln(r)d r dV_N

soit la valeur moyenne de ln(r). De ce résultat, et par un raisonnement identique à celui présenté dans le Paragraphe 3, Eqs. (11) et (12), on déduit facilement une interprétation géométrique des valeurs propres deΓΓΓ. À l’instar deCCC, cf. Eq. (9), le tenseurbbb ΓΓΓest symé- trique et a, en général, trois valeurs propres distinctes. Puisque ∆_l, r,NNN et δ(r,NNN) sont des grandeurs objectives, le tenseurΓΓΓest une grandeur objective.

Selon ce qui a été présenté au Paragraphe 2, l’énergie libre d’une liaison interatomique CCC-conformée peut être caractérisée par un potentiel d’état d’énergie libre u, fonction de r, à partir duquel on peut exprimer l’énergie libre moyenne des liaisons interatomiques enP, soit :

ub= 1

∆_l Z +∞

0

Z

VN

δ(r,NNN)u(r)d r dV_N

On définit alors la densité massique d’énergie libre moyenne des liaisons en P, dont on postule, là encore, qu’elle est la valeur d’une fonctionϒ, que l’on appellera par la suite potentiel d’état de densité massique d’énergie libre moyenne des liaisons interatomiques, et dont l’unique argument est le tenseur de conformation moyenne des liaisons interato- miques enP, cf. Eq. (17), soit :

ϒ(ΓΓΓ) = ∆_lub= Z +∞

0

Z

VN

δ(r,NNN)u(r)d r dV_N

De la même manière que dans le Paragraphe 3, où le tenseur des efforts intérieurs moyens a été défini à partir d’un potentiel d’état d’énergie libre, cf. Eq. (14), le tenseur de la densité massique des efforts intérieurs enPest alors donné par :

ΦΦ Φ = 1

br

∂ ϒ

∂ΓΓΓ (18)

oùbrest la longueur moyenne des liaisons interatomiques enP, soit, puisquer = r_rr, où r_r est une longueur de référence :

br r_r = 1

∆_l Z _+∞

0

Z

VN

δ(r,NNN)r d r dV_N

Pour que le principe d’objectivité soit bien respecté, le potentiel d’état d’énergie libre moyenne ϒ ne doit en fait dépendre que des trois invariants deΓΓΓ ou, de façon équiva- lente, des trois valeurs propres de ΓΓΓ. La distance moyenne entre noyaux atomiques br étant une grandeur objective, la densité massique des efforts intérieurs enP,ΦΦΦ, est alors nécessairement une grandeur objective.

La notion de densité massique des efforts intérieurs n’est pas considérée en Mécanique des milieux continus, où la grandeur sthénique unaninement utilisée est le tenseur des contraintes de Cauchy¹² , σσσ. On propose ici de définir très simplement celui-ci à par- tir de l’expression Eq. (18) de la densité massique des efforts intérieurs et de la masse

12. Trois avatars du tenseur de Cauchy sont parfois utilisés, soient le premier tenseur de Piola-Kirchhoff ou tenseur de Boussinesq, le second tenseur de Piola-Kirchhoff ou tenseur de Piola-Lagrange et le tenseur de Kirchhoff. Les relations liant ces quatre tenseurs sont clairement établies et ce n’est que pour des raisons de commodité de calculs que, selon les situations, l’un est retenu plutôt que l’autre.

volumiqueρ(cf. Rmq. 3-4) , soit : σ

σσ = ρbrΦΦΦ= ρ∂ ϒ

∂ΓΓΓ (19)

qui est nécessairement une grandeur objective puisqueρ, br etΦΦΦsont des grandeurs ob- jectives. Cette expression du tenseur des contraintes de Cauchy est bien celle recherchée dans cette étude, cf. Eq. (2), oùΓΓΓest une grandeur physique objective, de même queϒ(ΓΓΓ).

Anticipant les développements ultérieurs, cf. Paragraphe 5, on rappelle toutefois ici que l’expression Eq. (19) de σσσ n’est valable que pour un état figé de la matière, c-.à-d. en l’absence de tout effet de viscosité et de température.

La définition Eq. (19) du tenseur des contraintes de Cauchy présente une claire analo- gie avec celle, très usuelle en Mécanique des milieux continus à l’état solide, où la rela- tion entreσσσet un quelconque tenseur des déformationsXXX est également supposée dériver d’un potentiel d’état d’énergie libre massique. Une différence essentielle existe cependant entre ces deux points de vue qui tient au fait que le tenseur de conformation moyenneΓΓΓ est indépendant de toute configuration de référence alors que, par définition, un tenseur de déformationXXX, quel qu’il soit, est intrinsèquement lié à une configuration de référence.

En d’autres termes, le champ des conformations moyennes des liaisons interatomiques est une caractéristique de la seule configuration actuelle de

D

alors qu’un champ de dé- formations caractérise la transformation entre les configurations de référence et actuelle de

D

^.

—–

– Remarque 4-1 : La définition Eq. (15) de la densité massique de liaisons interatomiques CCC-conformées pourrait être généralisée en supposant qu’il existe, outreHHH, une série de tenseurs d’ordre 2j (j ≥ 2),HHH^22j2jj, symétriques, définis positifs et objectifs, et tels que (le symbole "•" désigne le produit scalaire) :

δ(r,NNN) =HHH(r):::NNN+

+∞

j=2

∑

H^2j

HH^2j2j(r)•(NNN⊗NNN...⊗NNN)

| {z }

jfoisNNN

Une telle décomposition rendrait possible, au moins en principe, une description infini- ment fine deδ(r,NNN)– au sens de infiniment proche de la densité massique de liaisons in- teratomiquesCCC-conformées telle qu’elle est physiquement observée. Les valeurs propres (ou les invariants) des tenseurs HHH^2j22jj, en revanche, sont plus délicates à interpréter que celles deHHH. Dans la présente étude, on retiendra seulement que ces valeurs propres sont réelles et positives puisque les tenseursHHH^2j22jjsont symétriques, définis positifs.

– Remarque 4-2 : Le sous-espace de l’espace des conformations relatif aux longueurs normaliséesrest ici supposé égal àR^+∗. En conséquence, dans ce Paragraphe, toutes les intégrales relatives à des fonctions deront pour bornes 0 et+∞. Il faut toutefois souli- gner que ces bornes ne sont jamais atteintes, dans quelque corps pur à l’état solide que ce soit. En effet :

– le casr → 0⁺ correspondrait à la fusion de deux noyaux atomiques, phénomène dé- finitivement hors du propos de cette étude (et physiquement impossible dans un corps pur à l’état solide, qui plus est),

– le cas r → +∞ serait celui de deux noyaux atomiques infiniment éloignés l’un de l’autre mais maintenus solidaires par une liaison interatomique ; ce qui est physique- ment irréaliste et en totale contradiction avec l’hypothèse faite dès le Paragraphe 3 qu’un atome donné n’a des liaisons interatomiques qu’avec ses premiers voisins.

En d’autres termes, la physique du comportement des corps purs à l’état solide fait quer ne varie pas dans toutR^+∗ mais seulement dans un intervalle[r_min,r_max]; ce qui signifie que la la densité massique de liaisons interatomiquesCCC-conformées δ(r,NNN) est en fait telle que :

δ(r,NNN) = 0 pour r < r_min et pour r > r_max

– Remarque 4-3 : Dans Eq. (16), la densité massique de liaisons interatomiques, ∆_l = ([k]m_a)⁻¹, est indépendante du point P de

D

considéré puisqu’il s’agit d’une caracté- ristique intrinsèque du corps pur considéré. En revanche, la densité massique de liaisons interatomiquesCCC-conformées,δ(r,NNN), dépend du pointP, soit (xxxdésigne le vecteur po- sition du pointPdans un quelconque référentiel) :

δ(r,NNN,xxx) =HHH(r,xxx):::NNN

On peut alors se poser la question de savoir s’il existe effectivement des fonctions tenso- riellesHHH des argumentsretxxxvérifiant Eq. (16), c’est-à-dire :

∆_l = Z _+∞

0

Z

VN

(HHH(r,xxx):::NNN)d r dV_N où∆_l est indépendant dexxx.

SoitH_k(r,xxx)l’une des trois valeurs propres deHHH(r,xxx); soitϖ_kune distribution statistique définie sur R^+∗ telle, par exemple, la distribution Gamma des paramètres κ_k(xxx)>0 et µ_k(xxx)>0 :

ϖ_k(r,xxx) = α_kµ_k(xxx)^κk(xxx)

Γ(κ_k(xxx)) r^{(κk(xxx)−1)}exp(−µ_k(xxx)r)

avec Γ(κ_k(xxx)) = Z +∞

0

y^κk(xxx)exp(−y)dy Si l’on pose alors :

H_k(r,xxx) = α_k(xxx)ϖ_k(r,xxx)

la densité massique de liaisons interatomiques ∆_l est bien indépendante de xxx dans la mesure où les "poids"α_k(xxx)sont tels que :

∆_l =

3 k=1

∑

α_k(xxx) Z

VN

(uuu^k...NNN...uuu^k)dV_N

où les vecteursuuu^k sont les vecteurs propres deHHH, qui, eux aussi, dépendent dexxx. Cette égalité montre, en effet, qu’il est toujours possible d’exprimer l’un des trois "poids" en fonction des deux autres. Il est donc toujours possible d’associer une densité massique de liaisons interatomiquesCCC-conformées δ dépendant de xxx à une densité massique de liaisons interatomiques∆_l qui, par définition, est indépendante dexxx.