Tenseur_Deviateur1 , Licence LPA , Année 2009-2010, Daniel Huilier (tiré du web de Ryhming, Medit , Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne )
http://linpc3.epfl.ch/e-lin/Ryhming/
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Tenseur déviateur d'un fluide newtonien
L'expression des composantes du tenseur déviateur τrr d'un fluide newtonien peut être définie en tenant compte des observations suivantes:
• Chacune des contraintes normalesσxx,σyy,σzz est exactement égale et opposée en signe à la pression hydrostatique p lorsque les gradients de vitesse ont disparu.
• La rotation du fluide à la manière d'un corps solide implique la disparition des contraintes tangentielles.
• La relation entre contrainte et taux de déformation est linéaire.
• Les fluides newtoniens sont isotropes.
Ces quatre conditions permettent de généraliser dans le cas tridimensionnel. Etant donné que le tenseur τrr est symétrique, il possède six composantes indépendantes au lieu de neuf. Un repère constitué par les axes principaux d'un tenseur symétrique est caractérisé par la seule existence des composantes normales. Pour un fluide isotrope les axes principaux du tenseur des taux de déformation coïncident avec ceux du tenseur déviateur (3.23). Ainsi, dans un tel repère on admet qu'une contrainte normale, par exempleτxx =σxx +p, peut s'écrire sous forme linéaire τxx =C∂u/∂x+ξ∂v/∂y+ξ∂w/∂z.
Dans cette expression ∂u/∂x,∂v/∂y,∂w/∂z, représentent les composantes de taux de déformation dans les directions respectives de τxx,τyy,τzz. C et ξ sont des coefficients traduisant les propriétés internes du fluide. On peut donc écrire également
x / u 2 v
xx =ξ∇. + μ∂ ∂
τ r où 2μ=C−ξ. Les composantes τyy et τzz peuvent être exprimées de manière analogue. On utilise ensuite la règle de transformation d'un tenseur pour obtenir τrr dans un repère quelconque. Ainsi, l'unique relation vérifiant les quatre conditions entre contraintes et taux de déformations s'écrit
( )
.vr Ivv 2 Dvvrr =ξ∇ + μ
τ (1) En utilisant les coordonnées cartésiennes, on obtient :
) z / u x / w (
) y / w z / v (
) x / v y / u (
z / w 2 ) v . ( p
y / v 2 ) v . ( p
x / u 2 ) v . ( p
xz zx
zy yz
yx xy
zz zz
yy yy
xx xx
∂
∂ +
∂
∂ μ
= τ
= τ
∂
∂ +
∂
∂ μ
= τ
= τ
∂
∂ +
∂
∂ μ
= τ
= τ
∂
∂ μ +
∇ ξ
= + σ
= τ
∂
∂ μ +
∇ ξ
= + σ
= τ
∂
∂ μ +
∇ ξ
= + σ
= τ
r r r
(2)
Dans ces formules, μ représente la viscosité dynamiqueμ > 0 et ξ est un deuxième coefficient de viscosité. Il apparaît dans (1) que ξ n'a pas d'intérêt pour un fluide incompressible puisque ∇.vr=0et que tous les termes contenant ξsont nuls.
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Dans le cas général la somme des trois contraintes normales peut s'écrire sous la forme :
( )
.v3 2 3
p 1 XX YY ZZ ⎟∇r
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ξ+ μ
= σ + σ + σ
+ (3)
On voit alors que pour un fluide incompressible
(
XX YY ZZ)
3
p=−1 σ +σ +σ (4)
Cela veut dire que, dans ce cas, la pression s'exprime par la valeur moyenne des contraintes normales. Pour un fluide compressible on peut montrer à l'aide du deuxième principe de la thermodynamique que
3 0 '=ξ+ 2μ≥
μ (5)
où ’ est dénommée μ viscosité de volume . Cependant, le cas où en (4) μ’ est égal à zéro se produit uniquement pour un gaz mono-atomique. Dans ce cas, la théorie cinétique des gaz montre que
μ
−
=
ξ 3
2 (6)
Donc, en général, pour un fluide compressible on ne peut plus conclure que la pression s'exprime comme la valeur moyenne des contraintes normales. Dans ce cas, p représente la pression thermodynamique déterminée par l'équation d'état du gaz. Il s'avère cependant qu'il est très difficile de mesurer ’ expérimentalement. Néanmoins les connaissances expérimentales disponibles indiquent que la valeur de
μ
μ’ est très faible, voire négligeable.
Stokes supposait d'ailleurs que μ’=0.
Par l'introduction dans les équations différentielles de la quantité de mouvement des composantes définies selon (2), on obtient les équations de Navier-Stokes . Dans un repère cartésien, elles s'écrivent :
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
∂ +∂
∂ μ ∂
∂ + ∂
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂ +∂
∂ μ ∂
∂ + ∂
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +ξ ∇
∂ μ∂
∂ + ∂ ρ
∂ +
−∂
=
ρ x
w z u z x
v y u ) y
v . x (
2 u f x
x p Dt
Du
x r
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂ +∂
∂ μ ∂
∂ + ∂
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂ +∂
∂ μ ∂
∂ + ∂
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ +ξ ∇
∂ μ∂
∂ + ∂ ρ
∂ +
−∂
=
ρ y
w z v z y
u x v ) x
v . y (
2 v f y
y p Dt
Dv
y r
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂ +∂
∂ μ ∂
∂ + ∂
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
∂ +∂
∂ μ ∂
∂ + ∂
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +ξ ∇
∂ μ∂
∂ + ∂ ρ
∂ +
−∂
=
ρ z
v y w y
z u x w ) x
v . z (
2 w f z
z p Dt
Dw
z r
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Le cas particulier de l'écoulement incompressible et à coefficient μ constant conduit à une simplification considérable. On obtient
v f
Dt p v
Dr r r 2r
∇ μ + ρ +
∇
−
= ρ
Les résultats selon le développement esquissé ici sont dus essentiellement à Stokes [1] et à Saint-Venant [2]. Navier [3] et Poisson [4] ont obtenu auparavant les mêmes résultats sur la base d'un modèle d'interaction moléculaire pour décrire le frottement interne.
[1] G.G. STOKES, On the Theories of Internal Friction of Fluids in Motion, Trans. Cambr.
Phil. Soc., vol. 8, 1845, p. 287.
[2] B. DE ST. VENANT, Note à joindre au mémoire sur la dynamique des fluides, Comptes Rendus, vol. 17, 1843, p. 1240.
[3] C.L.M.H. NAVIER, Mémoire sur les lois du mouvement des fluides, Mém. de l'Acad. de Sci., vol. 6, 1822, p. 389.
[4] S.D. POISSON, Mémoire sur les équations générales de l'équilibre et du mouvement des corps solides élastiques et des fluides, J. de l'École Polytechnique, vol. 13, 1831, p. 139.
