Série n° 7

(1)

www.guessmaths.co E-mail : abdelaliguessouma@gmail.com whatsapp : 0604488896 Série n° 7 d’exercices « Ensemble et applications »

Exercice 1.

a) Soit

n  IN

. Montrer qu'il existe des entiers naturels (dépendant de n)

u

_n et

v

_n tels que :

 ¹ ^ ² 

ⁿ

^ ^u

ⁿ

^ ^v

ⁿ

²

^Donner

^u

ⁿ^¹^et

^v

ⁿ^¹en fonction de

u

_n et

v

_n. b) Montrer alors que pour tout

n  IN

on a : un²²vn²  

 

¹ ⁿ. Exercice 2

Dans chacun des cas suivants, déterminer ^{f I}

 

puis vérifier que f réalise une bijection de I sur ^J ^ ^{f I}

 

^puis

préciser

f

^¹ .

1) f x

 

x²⁴x3 I  



; 2



. 2)

  ² ¹  2; 

2 f x x I

x

    



^.

3)

 

² 3 1 ³;

f x  x  I   2 ^.

4)

  IR

1 x

f x I

 x 



Exercice 3

Soient f une application d’un ensemble E vers un ensemble F et g une application de F vers un ensemble G.

Montrer que :

( g f injective  f injective )

et

( g f surjective  g surjective )

. Exercice 4

A et B sont des parties d’un ensemble E. Montrer que : 1.



^{A B}^{  }^A ^B



^⁽^A^{  }^B ⁾ .

2.

( A  B )  ( B  C )  ( C  A )  ( A  B )  ( B  C )  ( C  A )

. 3.

A B    B A

.

4.



^{A B}^{    }



^C ^A



^{B C}



. 5.

A B      A B

. 6.

A C      B C A B

.

Série n° 7

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n  IN

u

v

 1  2 

 u

 v

2

u

v

u

v

n  IN

 

 

 

f

 





  2 1  2; 

2

f x x I

x

    



 

  IR

1 x

f x I

 x 



( g f injective  f injective )

( g f surjective  g surjective )





( A  B )  ( B  C )  ( C  A )  ( A  B )  ( B  C )  ( C  A )

A B    B A









A B      A B

A C      B C A B

 ¹ ^ ² 

^ ^u

^ ^v

²

^u

^v

  ² ¹  2; 