I) Rappels
La droite des milieux :
1. Dans un triangle, si une droite passe par le milieu de 2 côté alors elle est parallèle au 3ème côté.
2. Dans un triangle, si un segment joint le milieu de 2 côté alors il mesure la moitié de la longueur du 3ème côté.
3. Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté en étant parallèle à un 2ème, alors elle coupe le 3ème côté en son milieu.
Théorème de Thalès dans un triangle
Si, dans un triangle ABC, M est un point de la demi-droite [AB), N un point de la demi-droite [AC) et les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors :
AM AB =AN
AC=MN BC
II) Théorème de Thalès : version complète
Théorème de Thalès
Soient (d) et (d’) deux droites sécantes en A.
Soient B et M deux points de (d), distincts de A.
Soient C et N deux points de (d) et (d’), distincts de A.
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors : AM AB =AN
AC=MN BC
Exemples :
Sur la figure ci-contre, les droites (CD) et (HT) sont parallèles. On donne DG = 25 mm ; GH = 45 mm ; CG = 20 mm et HT = 27 mm. Calculer GT et CD.
Sur la figure ci-contre, TR = 11 cm ; TS = 8 cm ; TM = 15 cm et TE = 10 cm.
Montrer que les droites (RS) et 5ME) ne sont pas parallèles.
Réciproque du théorème de Thalès
Soient (d) et (d’) deux droites sécantes en A.
Soient B et M deux points de (d), distincts de A.
Soient C et N deux points de (d) et (d’), distincts de A.
Si AMAB=ANAC et si les points A, B, M et les points A, C, N sont alignés dans le même ordre, alors : (BC) et (MN) sont parallèles.
Exemple :
Sur la figure ci-contre, les droites (LA) et (HT) sont-elles parallèles ? 1
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