Nombres Calculs Equations.

Nombres Calculs Equations.

« Le nombre entier vient de Dieu, tout le reste est l’œuvre de l’homme » Leopold Kronecker (1823-1891)

« Un nombre pair est un nombre qui croît en deux. » Denis Guedj (1940-2010)

0 Une petite histoire des ombres.

I Ensembles.

II Nombres premiers.

III Développer, factoriser.

IV Puissances, radicaux.

V Résoudre une équation.

0 Une petite histoire des nombres.

Les premiers chiffres se trouvent dans le Siddhantha de Bramagupta (598-660, Multan au Pakistan): eka, dva, tri, catur, panca, sat, sapta, asta, nava. Et le zéro : çunya qui veut dire vide en sanskrit, traduit en arabe il devient sifr qui traduit en latin devient zéphirum, qui traduit en italien devient zéphiro. Puis zéro et on a gardé sifr pour désigner les chiffres. Il faut attendre le Ve siècle pour avoir un zéro complet, à la fois chiffre (101) et nombre acteur d’une opération (n-n=0).

L’algèbre vient de al jabr (réduire une fracture en arabe) et les nombres précédés d’un signe moins doivent disparaître des équations : on les appelle les naquis (qui veut dire amputé en arabe). Al-khwarizmi (788-850) ne travaillait pas avec les irrationnels qu’il appelait assam qui veut dire sourd car ils étaient considérés comme inexprimables par la parole.

Le mot fraction vient de la traduction de kasr en arabe qui veut dire rompu. La notation en elle-même vient de la guerre de Cent ans avec Nicolas Oresme (1325-1382, évêque de Lisieux en 1377 le plus grand mathématicien du XIVième siècle) qui invente aussi les mots numérateur et dénominateur, et beaucoup d’autres idées trop novatrices pour son époque.

La notation exposant (positif et négatif) est due au français Nicolas Chuquet au Xvième siècle. Viète (1540-1603) introduisit les notations des inconnues (par des voyelles) et les paramètres (par des consonnes) et c’est Descartes (1596-1650) qui impose les premières petites lettres a,b,c… pour les paramètres (quantités connues) et x,y,z pour les inconnues.

(Au début du règne d’Henri IV, celui-ci était en guerre avec l’Espagne. Viète déchiffra le code utilisé par les espagnols et contribua à faire gagner la France. Les espagnol, sûrs de l’inviolabilité du code se plaignirent auprès du Pape de l’utilisation par Viète de pratique magique contraires à la foi chrétienne.

En 1593, le mathématicien flamand Romanus lança le défi de résoudre l’équation

45 43 41 3

45 945 ... 3795 45

x − x + x + − x + x=a

L’ambassadeur des Pays-bas auprès d’Henri IV prétendit qu’aucun mathématicien français n’était capable de résoudre l’équation. Viète fut chargé de relever le défi et trouva les 23 racines positives en posant a=sin(45t) et x=2sin(t). Très admiratif, Romanus devint un grand ami de Viète.)

A l’époque de Viète, on pouvait lire :

« B in A quadratorum plus D plano in A aequari C solido. » ce qui signifie BA²+DA=C Voici la table de multiplication, parfois

appelée table de Pythagore, telle que nous la connaissons.

Au Japon, voici comment elle se présentait en 1856 (extrait de Seisan Sokuchi de Hanai Kenkichi).

Tous les chiffres de notre numération décimale y apparaissent

1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3 6 9 12 15 18 21 24 27 4 8 12 16 20 24 28 32 36 5 10 15 20 25 30 35 40 45 6 12 18 24 30 36 42 48 54 7 14 21 28 35 42 49 56 63 8 16 24 32 40 48 56 64 72 9 18 27 36 45 54 63 72 81

Les chiffres de 0 à 9 y apparaissent.

A l'instar de Champollion et sa pierre de Rosette, on peut ainsi deviner comment s'écrivaient les chiffres de 0 à 9.

De même, voici une table arabe. Nos chiffres dits "arabes" y apparaissent et il n'est pas difficile de les y reconnaître. Toutefois l'écriture arabe se fait de droite à gauche.

Curieusement, nous constatons que les nombres sont écrits de droite à gauche en commençant par les unités, alors que nous les énonçons par la droite! Notons que cet usage se retrouve dans les langues germaniques parlées.

I Ensembles.

Quels sont les nombres que l’on connaît ? On écrit plein de nombres : des petits, des gros, des jolis, des bizarres…

On va essayer de classer tout ça.

Les premiers qui nous intéressent (on les entoure au fur et à mesure de l’étude) sont les plus connus :

• 0 ;1 ; 2 ; 3 ; 4 … Dans les sociétés primitives on comptait 1 ; 2 ; beaucoup. Donc déjà le 3 est un vrai progrès. Pour la plupart des penseurs grecs, les nombres commençaient à 2. La multiplicité était du ressort des nombres alors que le nombre un parlait d’existence (« Est un ce qui est. »). Archytas de Tarente est considéré comme « le père du un ».

C’est aussi au passage le premier ingénieur. Bien plus tard, les Incaset les indiens introduiront le zéro de position.

L’ensemble de ces nombres s’appelle ensemble des entiers naturels.

On le note ℕ. (à la suite de Peano (1858-1932), naturale en italien)

Parfois, on peut trouver la notation suivante : [[2 ;5]] pour l’ensemble des entiers naturels de 2 à 5.

• …, -2 ; -1 les nombres négatifs.

L’ensemble des nombres entiers naturels auquel on adjoint l’ensemble des entiers négatifs s’appelle l’ensemble des entiers relatifs. On le note ℤ. (à la suite de Dedekind (1831-1916), zahlen, compter en allemand)

• 1

2 ; 0,125 = 1

8 ; -357,562398741 …

Ce sont des exemples de nombres décimaux. Ils ont tous une partie décimale finie (rappel de la partie entière (0 pour le premier cité) et de la partie décimale (125 toujours pour le premier)). Imaginez que vous veniez d’apprendre à faire une division et que certaines ne finissent pas… C’est déroutant et vous mettez ces quotients de côté.

L’ensemble des nombres obtenus comme quotients ^a_b de deux nombres entiers relatifs (ici a et b) et dont la partie décimale est finie s’appelle l’ensemble des nombres décimaux.

On le note ID (D double barre). Les calculatrices, par exemple, ne fonctionnent qu’avec des nombres décimaux.

Ex 1 : Ecriture d’un nombre décimal.

1. Prouvez que le quotient d’un nombre naturel par 2 est toujours un décimal.

2. Prouvez que le quotient d’un nombre naturel par 5 est toujours un décimal.

3. L’inverse d’un nombre entier naturel non nul est-il toujours un décimal ? Justifier.

4. Les lettres a, m et n désignent des entiers naturels. Prouvez que tout nombre rationnel de la forme a

2ⁿ×5^m est un nombre décimal.

5. (plus dur) Prouvez maintenant que tout nombre décimal s’écrit sous la forme précédemment énoncée.

• Voici les nombres que l’on a mis de côté.

1 3 ; 3

7

− …

Il faut maintenant les inclure dans un ensemble plus gros. Ici on n’impose plus que la partie décimale soit finie. On appelle l’ensemble de tous les nombres qui s’écrivent sous la forme de quotient a/b avec a et b entiers relatifs l’ensemble des rationnels. On le note ℚ. (Eudoxe de Cnide au IV^ième siècle introduit pour la première fois les nombres rationnels mais c’est Peano qui les baptise, quotiente, quotient en italien).

• On a presque fini de classer tous les nombres que l’on connaît. Il reste : 2 ; - 3 ; π …

Par opposition aux rationnels, tous ces nombres s’appellent les irrationnels. Quand on met les rationnels et les irrationnels ensemble, on obtient le plus gros des ensembles que vous connaissez : l’ensemble des réels. On le note ℝ. (à la suite de Cantor (1845-1918), real en allemand)

Ces nombres se sont tout d’abord appelés nombres impossibles puis nombres imaginaires (terme impropre de nos jours). La première définition des nombres réels vient de Dedekind en 1872. Celui-ci donne aussi l’idée de les voir comme les points d’une droite.

L’ensemble des réels se représente sous la forme d’une droite appelée droite réelle.

Placer 2 avec précision en utilisant un carré et 1/3 avec Thalès.

En résumé et sous forme de patatoïdes (appelé aussi diagramme de Venn:

Raisonnablement, on ne peut pas faire de patatoïdes toute notre vie. On utilise donc le symbole de l’inclusion :

⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ.

Ex 2 : Combien y-t-il de nombres de deux chiffres dont le chiffre des dizaines est strictement supérieur à celui des unités ?

Ex 3 : Pour écrire les numéros des pages d’un livre, on a utilisé 1311 chiffres. Combien le livre a-t-il de pages ?

Ex 4 : En écrivant des + et des – entre les chiffres de gauche, rendez juste cette égalité : 987654321=100

0 1 2 3 4

-1 -2

-4 -3

5 2

− 2 π

Ex 5 : Que vaut ℝ⁺∩ℤ?

Ex 6 : Défi : Justifiez le fait que 0,999999…. est une autre façon d’écrire 1.

II Nombres premiers.

La division de 18 par 3 tombe juste (il s’agit d’un entier). On dit que 3 divise 18 ou que 18 est divisible par 3 ou encore que 3 est un diviseur de 18. On note 3|18.

Trouvez tous les diviseurs de 6 : 1 ; 2 ; 3 ; 6.

Trouvez tous les diviseurs de 7 : 1 ; 7.

19/9=2+1/9

Définition : Un entier naturel qui n’admet que deux diviseurs (distincts) : 1 et lui- même est appelé nombre premier.

Attention ! On dit que deux nombres a et b sont premiers Remarque : Par convention, 1 n’est pas premier.

Théorème 1.A.(Archimède) (vient du grec thêorêma, qui signifie « objet d’étude ») Il existe une infinité de nombres premiers.

Démonstration : Raisonnement par l’absurde. Hypothèse : supposons qu’il existe un nombre fini de nombres premiers. On les note p1, p2, … , pn.Alors le nombre q= p1 ×p2 × … × pn + 1 n’est divisible par aucun des nombres p1, p2, … , pn, il est donc premier. Absurde. !

Ex 7 : Trouvez les 25 premiers nombres premiers (ils sont tous inférieurs à 100) :

Ex 8 : Pierre et Nathalie jouent au jeu suivant : Nathalie commence et choisit un nombre entre 1 et 7 inclus. Ensuite, chaque joueur à tour de rôle choisi un nombre entier entre 1 et 7 inclus qu’il ajoute au total précédent. Ce total doit être un nombre premier. Celui qui ne peut pas obtenir un total premier a perdu. Nathalie est sure de gagner. Comment ?

Ex 9 : Tous les chiffres d’un nombre sont 1, et c’est un nombre de 73 chiffres. Ce nombre est-il divisible par 18 ?

Ex 10 : La somme de trois nombres consécutifs peut-elle être un nombre premier ? Conjecture de Golbach (1742) : « Tout nombre pair différent de 0 et de 2 est somme de deux nombres premiers. »

Il s’agit d’une conjecture. Inutile d’essayer de la démontrer, beaucoup de chercheurs se sont cassés les dents dessus. A ce propos, vous pouvez lire « La conjecture de l’oncle Petros ».

Ex 11 : Vérifiez-la pour les 30 premiers nombres pairs satisfaisant les conditions de la conjecture.

Définition : Deux nombres premiers sont dits jumeaux si leur différence vaut 2.

Exemples : 3 et 5 ; 5 et 7 ; 11 et 13…

Déterminer s’il y a une infinité de nombres premiers jumeaux n’a toujours pas été démontré.

Voir leçon d’arithmétique de terminale sur les Nombres de Mersenne.

Postulat de Bertrand « Si n>3, entre n et 2n, se trouve au moins un nombre premier. » (preuve de Tchebycheff en 1850). Ainsi, les nombres premiers ne sont pas

« trop » dispersés.

Ex 12 : Certains s’amusent avec les nombres premiers. Quelqu’un a notamment déterminé qu’il existait 512233 lipopremiers (nombres premiers s’écrivant sans ‘e’, mot formé sur lipogramme). Question (difficile) combien y a-t-il de lipopremies entre 1 et 100 ?

On peut écrire 6=2×3 avec 2 et 3 premiers entre eux. De même, on a 18=2×3×3=2×3². On appelle cela une décomposition en nombre premiers (ou décomposition en facteurs premiers).

Théorème (1.B). Tout entier supérieur ou égal à 2 est premier ou admet une décomposition en nombre premier.

Ex 13 : Trouver les décompositions de 28 ; 32 ; 327.

Ex 14 : On a longtemps pensé que les nombres de Fermat dit le « Prince des amateurs » (Fn=2puis(2ⁿ) +1) étaient tous premiers. « Je suis persuadé que 2puis(2ⁿ) +1 est toujours un nombre premier. Je n’en ai pas la démonstration exacte, mais j’ai exclu une si grande quantité de diviseurs par des démonstrations infaillibles, et j’ai de si grandes lumières qui établissent ma pensée, que j’aurais peine à me dédire. ». C’est L. Euler (1707-1783) qui a montré en 1732 qu’en fait F₅=4 294 967 297 n’est pas premier. Seriez-vous capable d’en faire autant avec les calculatrices que vous possédez et qu’il n’avait pas ? En fait, on sait maintenant que de F5 à F30, aucun n’est premier. On conjecture même qu’il n’y en a pas d’autres !

Ex 15 : Soient A=24×14 et B=56×67. Déterminer une forme irréductible de la fraction B/A.

Ex 16 : Montrer que n⁵-n est divisible par 5.

III Développer, factoriser.

Théorème (1.C). (Identités remarquables) Pour tout nombres a, b, c, on a :

2 2 2

2 2 2

2 2

( )

( ) 2

( ) 2

( )( )

formes factorisées formes développées

a b c ab ac

a b a ab b

a b a ab b

a b a b a b

+ = +

+ = + +

− = − +

− + = −

Interprétation géométrique (a-b).(a+b):

Ex 17 : Un cloître, pour les compagnons doit avoir les proportions suivantes : l’aire de la couronne doit être égale à l’aire de la cour intérieure. Quelles en sont les mesures des côtés ?

Ex 18 : Factoriser A=(x+1)(2x+3)-(x+1)(-x+2)+5(x+1)². Ex 19 : Montrez que x+1/x 2 pour tout x>0.

Remarques : En général, la factorisation est plus difficile que le développement. Pensez-y si vous devez montrer que (x+1)(2x-1)² est égal à 4x³-3x+1.

On factorise pour résoudre des équations, simplifier des écritures et étudier le signe d’une expression.

A droite, interprétation géométrique du développé du cube

(

)

Théorème (1.D). (Chouette ! De nouvelles identités remarquables) Pour tout nombres a, b, c, on a :

3 3 2 2 3

3 3 2 2 3

2 2 3 3

( ) 3 3

( ) 3 3

( )( )

formes factorisées formes développées

a b a a b ab b

a b a a b ab b

a b a ab b a b

+ = + + +

− = − + −

− + + = −

Ex 20 : J’ai acheté deux cubes dont les mesures des côtés sot des entiers. Le gros cube a 819cm3 de plus que le petit. Quel est le volume de chacun des cubes ?

Ex 21 : Je suis un nombre de trois chiffres. Si on coupe mon carré en deux tranches de trois chiffres, en additionnant ces deux moitiés, on trouve 1000. Qui suis-je ?

Ex 22 : (Piège) Que vaut l’expression :

(

)(

)(

)(

) (

)

Test de factorisation (à faire de suite !): Mettre (x+1) en facteur.

1. 3x+3

2. (x+1)(x+5)+7(x+1)

11. 2(x+8)(x+1)+x+1 12. (x+1)²+x+1

3. (x+1)(3x+4)+(x+1)(x-3) 4. (x+1)(4x+9)-5(x+1) 5. (x+1)(8x-3)+4x+4 6. (x+1)(9x-5)-7x-7 7. (x+1)(2x+4)-(x-7)(x+1) 8. 2(x+1)(x-4)+3(x+1)(x+8) 9. 7(x+1)(2x+1)-2(x+1)(3x-4) 10. 3(x+5)(x+1)+4x+4

13. (x+1)(x-1)+(2x-6)(3x+3) 14. (x+1)(5x+9)+(4x-7)(-3x-3) 15. (x+1)²+x²-1

16. x²+2x+1+3(x+1) 17. (x+1)(x+9)-x-1 18. 3x²-3+x+1 19. (2x+2)²+x+1 20. x⁴-1

IV Puissances et radicaux.

Vient du latin ponere, « poser pondre » et exponere, « mettre hors de ». La notation de puissance est introduite en 1620.

Très vite on a eu besoin d’écrire de très grands nombres, notamment en astronomie.

D’où l’intérêt d’introduire les puissances.

Les grands nombres commencent à être nommés par les grecs (et les chinois) la myriade qui valait 10⁴. Pendant longtemps, le plus grand nombre imaginé par un humain fut donné par Archimède qui évaluait le nombre de grains de sable contenus dans une boule ayant pour centre la Terre et atteignant le soleil. Soit, selon lui 10^{8.10^8}. (myriades de myriades… )

Au IIIe siècle, les indiens donnent des noms aux puissances de 10, jusqu’à 10¹⁷. Ce n’est que bien plus tard qu’apparaissent le million (qui vient d’Italie vers 1270). En 1484, Nicola Chuquet propose byllion (10¹²), tryllion (10¹⁸), quadryllion, quyllion, sixlion, septilion, octyllion et nonyllion. C’est ce que l’on appelle l’échelle longue qui compte de puissance sixième en puissances sixièmes. On obtient ainsi les 10⁶ⁿ.

Au XVIIe siècle, on introduit une échelle courte de 3 en 3, dans laquelle tout est décalé 10³ⁿ⁺³ : le billion vaut un milliard, le trillion vaut 10¹² et ainsi de suite. Les USA adoptent l’échelle courte et les britanniques l’échelle longue qui est la plus appropriée de nos jours.

Notation : Soit a un nombre réel et n un entier naturel. On écrit

facteurs n ...

n

a = × × ×a a a et _n 1 a n

a

− = (si a≠0).

On rappelle que par convention, on pose a⁰ = 1 (si a≠0) et que d’après ce qui précède, ¹ 1

a a

− = Nota : Newton et Descartes écrivaient yy au lieu de y². En revanche, ils utilisaient y³. Exemples : - Les puissances de 10: 10⁵ = 100 000 ; 10 ^-3 = 0,001.

mega (10⁶) Gk grand , « mega ». micro (10^-6) L petit, « mikros » giga (10⁹) Gk géant , « giga » nano (10^-9) GK nain, « nanos » tera (10¹²)

= (10³)⁴

Gk monstre, « tera » ou quatre, « tetra »

pico (10^-12) = (10^-3)⁴

It petit, « piccolo » peta (10¹⁵)

= (10³)⁵

Gk étalé, « petalos » ou cinq,

« penta »

femto (10^-15)

= (10^-3)⁵

Nom original : « fentem », fifteen en danois.

exa (10¹⁸) = (10³)⁶

Gk dehors, « exo » ou six,

« hexa »

atto (10^-18) = (10^-3)⁶

Nom original : « atten », eighteen en danois.

zetta (10²⁴)

= (10³)⁷

L dernière lettre, z, « zeta » zepto (10^-24)

= (10^-3)⁷

L dernière lettre, z, « zeta » yotta (10²⁴)

= (10³)⁸

L avant-dernière lettre, y,

« iota »

yocto (10^-24)

= (10^-3)⁸

L avant-dernière lettre, y,

« iota »

- L’écriture scientifique consiste en un nombre (éventuellement à virgule, mais dont la partie entière est toujours un chiffre non nul, multiplié par une puissance de 10).

Exemples : 0,03562 = 3,562.10 ^–2 ; 3 562 = 3,562.10 ³. Rayon de la molécule d’H₂O : 3.10^-8m.

Diamètre de la voie lactée : 100 000 années-lumière, soit 9,5.10²⁰m.

Ex 23 : Savez-vous combien de secondes se sont écoulées depuis le Big Bang (13,8 milliards d’années?

Ex 24 : Le mathématicien Euler avait, avant de devenir aveugle, appris toutes les puissances de 2 à 6 des nombres de 1 à 100, ce qui fait 500 nombres. Mais on peut voir facilement que 4²=2⁴, ce qui aide à retenir moins de nombres. Combien de nombres doit-il alors retenir s’il utilise ce type d’égalités ?

Ex 25 : A chaque génération, on multiplie par deux le nombre d’ascendants (2 parents, 4 grands-parents, 8 arrière-grands-parents…) En comptant 4 générations par siècles, montrez que nous avons tous de la consanguinité quand on remonte à nos ascendants de l’époque de Clovis.

Ex 26 : Hardy rend visite au sanatorium à Ramanujan, gravement malade. Pour briser la glace, il déclare que le taxi portait le numéro 1729, nombre assez ennuyeux car ayant peu de propriétés si ce n’est le fait d’être premier. Ah non ! s’exclame Ramanujan, c’est le plus petit nombre premier qui s’exprime comme somme de deux cubes de deux manières différentes.

Ex 27 : Trouver les deux plus petits cubes palindromes.

Ex 28 : Le légendaire problème du souverain indien Chiram : Pour récompenser le créateur du jeu d’échecs du nom de Sêta, le souverain indien Chiram lui demanda ce qu’il voulait. « Payez-moi avec un grain de riz sur la première case d’un échiquier, deux grains sur la seconde, trois sur la troisième et ainsi de suite jusqu’à la 64^ième case. »

1. Combien de grains de riz dut-il donner ?

2. En moyenne, 16 grains font 1g. Combien de sacs de 50kg peut-on remplir avec ces grains ? 3. Combien faut-il de camions (36T) pour transporter tous ces grains ?

4. Comparer à la production mondiale annuelle :500 milliards de tonnes.

Nota : La notation puissance permet des économies d’énergie : (9^9)^9 est un nombre égal à 9^81, soit 78 chiffres. Mais 9^9^9=9^(9^9) est un nombre à …. 369 693 100 chiffres à peu près/ soit 33 volumes de 1000 pages.

Théorème (1.E). (Puissances en formule) Soient a et b deux nombres réels. Soient m et n deux entiers relatifs.

m n m n

a ×a =a ⁺ ; (a^{m n}) =a^mn ; (ab)ⁿ = ×aⁿ bⁿ ;

m

m n n

a a

a

= − ;

n n

n

a a

b b

  =

   Avec a et b non nuls, respectivement pour l’avant-dernière et la dernière..

Il n’existe pas de formule pour aⁿ×b^m.

Ex 29 : Simplifier sous la forme 2^a.3^b.10^c les nombres suivants : a = (2^-5×3^-2)¹⁰ ; b =

4 3 10

(0, 06) ×1, 6 × ×30 0, 002⁻ .

Ex 30 : Compléter: 20 ²×5 ² = …² ; 15³×…³ = 60³ ; 1₃ 1₃ 28₃ 12 +4 =...

Ex 31 : Quel est le dernier chiffre de 1117²⁰⁰³?

Définition: Soit a un nombre positif. La racine carrée de a, notée a, est le nombre positif dont le carré est égal à a.

Attention! Un nombre négatif n’a pas de racine carrée. C’est là le piège principal. Si personne n’écrira −3, en revanche, certains ne manqueront pas d’écrire x-1 qui est incorrect si x<1.

Remarques:- On a 0=0.

- Par définition, si a est positif, a²=a.

- On peut voir la racine carrée comme une puissance 1 2 : ( a)² = (a^1/2,)² = a^2/2,=a.

- On rappelle les ordres des opérations. On effectue d’abord les calculs dans les parenthèses, puis, quand il n’y en a pas, les puissances et racines carrées, puis les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions.

-

Théorème (1.F) . (Racines en formule) Soit a et b deux nombres réels positifs.

ab = a× b et a a

b = b avec b non nul.

Ex 32 : Que valent les nombres suivants ? 111 111 555 555 + 1 et

10 10

4 11

8 4

8 4

+ + .

Ex 33 : Simplifiez 3 20

4 5 3

a= × × . En déduire que a est un décimal.

Ex 34 : Sauriez-vous trouver le nombre dont les racines carrée et cubique diffèrent de 18 ? (résolu par le calculateur prodige Inaudi en 1mn50s)

Ex 35 : Dans une lettre de Niels Abel adressée à son bon professeur Bernt Holmboe,

« Copenhague, l’an racine cubique de 6 064 321 219, tenir compte des décimales ».

The saddest day of my life: cube root of 8 078 468 864. Why?

Ex 36 : Simplifier 1 1

n+ − n .

V Résoudre une équation.

Dans tout ce qui suit, x est une inconnue. On rappelle que l’on peut transformer une équation en la multipliant de part et d’autre par un même réel non-nul sans en changer les solutions. De

même, on peut ajouter de part et d’autre de l’équation n’importe quel réel sans en changer les solutions.

1. Equation du premier degré : On peut toujours se ramener à une équation du premier degré de la forme ax+b=0 (avec a et b deux réels fixés et a non nul), alors il n’y a qu’une seule solution, b

a

− . On écrit S= b a

−

 

 

 

Remarque : Si a=0 et b=0, alors l’équation a toutes les solutions possibles : S=3.

Si a=0 et b≠0, alors l’équation n’a pas de solution : S=∅.

Ex 37 : L’énigme du Père Galion : Le père Galion a un jardin carré. Il en augmente tous les côtés de 4m. La mesure de la surface augmente alors de 72m². Trouver le côté du carré initial.

Ex 38 : On raconte que sur la tombe de Diophante était inscrit un problème résumant sa vie : « Sa douce enfance dura le sixième de sa vie. Puis après un douzième de sa vie, son menton s’est couvert de barbe. Après un septième encore, il se marie. Cinq année passent et la naissance d’un fils le comble de joie. Le sort voulut que la vie de ce fils soit finalement deux fois plus courte que celle de son père et après la mort de son enfant, Diophante vécut encore quatre années. »

Ex 39 : Résoudre les équations suivantes : 8x-3=4, 2x+1=x-2, -3x+3=3, x²+x+2=x(x+2).

Ex 40 : « J’ai passé la moitié de ma vie à courir, 5 ans à me nourrir et un tiers à dormir »

Aldous.

Quel age a Aldous au moment où il écrit ces vers ?

Test de résolution (degré 1 – à faire de suite !): Résoudre les équations suivantes.

1. x+2=0 2. x-3=0 3. -x+6=0 4. –x-6=0 5. 2x+2=0 6. 3x-2=0

7. 7

5 0 x+− = 8. 5

1 0 3x− =

9. 15 5

12 x 3 0

− + =

10. 7 5

3x+−2 =0

−

11. 1 5 3x+ =3 0 12. x− 5=0 13. x− 5x=0 14. 1− 5x=0 15. 7x+ =7 0 16. x+ − =7 x 0 17. x+ − − =7 x 7 0 18. πx− =1 0 19. (x+1)²-x²+1 20. − 170x− =π 0

2. Equation du second degré : On utilise la propriété classique :

Vieille propriété (dite d’intégrité): « Le produit de deux facteurs est nul si et seulement si l’un des deux facteurs est nul. » Soient A et B deux réels, on a :

AB=0 ⇔ A=0 et B=0 !

Une seule façon de procéder pour le moment, la factorisation : Algorithme

- Passez tous les termes du même côté de façon à obtenir un Truc=0.

- Puis factorisez par les identités remarquables de façon à avoir le produit de deux équations de degré 1.

- Enfin, résoudre avec le paragraphe précédent et la propriété.

Ex 41 : Résoudre les équations :25x²-81=0, 4(x+3)²= x²-9, 4x²+4x+1=0, (x+3)(2x+5)²=3+x.

Ex 42 (spécial pour ceux qui continuent à utiliser le produit en croix) : 1. Essayer de résoudre l’équation suivante : ⁵ ₅ ^{4 40}

7 13

x x

x x

+ − = −

− −

2. Voici ma solution :

5 4 40 5 5( 7) 4 40 4 40 4 40

7 5 13 7 13 7 13

x x x x x x x

x x x x x x

+ − = − ⇔ + − − = − ⇔ − = −

− − − − − −

Et comme les numérateurs sont égaux, 7− = − ⇔ =x 13 x 7 13. Oups!

Qu’ai-je donc fait d’interdit ?

SOLUTIONS (parfois partielles):

Ex 1 : Ecriture d’un nombre décimal.

1. Si a est un entier naturel, alors a est soit pair (auquel cas le nombre est divisible par 2 et a/2 est entier), soit a est impair et s’écrit sous la forme a=2n+1, avec n un entier. Dans ce dernier cas, a/2=n+1/2, qui est bien décimal car sa partie décimale est 5.

2. Avec le même raisonnement que précédemment, Prouvez que le quotient d’un nombre naturel par 5 est toujours un décimal.

3. Non. Prendre 7.

4. On utilise les questions 1 et 2 par itération.

Ex 2 : 45.

Ex 3 : 473.

Ex 4 : 9+8+76+5+4-3+2-1=100.

Ex 5 : On procède comme d’habitude avec les intersections : Si x∈ℝ⁺∩ℤ, alors x∈ℝ⁺ ET x∈ℤ. Si x∈ℤ, alors x est un entier positif ou négatif. Dans le cas ou il est positif, il appartient à ℝ⁺. Sinon, il n’appartient pas à ℝ⁺. Ainsi, ℝ⁺∩ℤ est l’ensemble des entiers positifs, i.e. ℝ⁺∩ =ℤ ℕ.

Ex 6 : 1/9=0,1111111…. et 9/9=0,999999…=1

Ex 7 : 2 ;3 ;5 ;7 ;11 ;13 ;17 ;19 ;23 ;29 ;31 ;37 ;41 ;43 ;47 ;53 ;59 ;61 ;67 ;71 ;73 ;79 ;83 ;89 ; 97.

Ex 8 : Il faut trouver un trou de longueur 7 dans la liste des nombres premiers. 89 est gagnant, 83 perdant,79 gagnant, 73p, 71g, 67p, 61g, 59p, 53g, 47p, 43g, 41p, 37p, 31g, 29p, 23g 19p, 17p 13g, 11p, 7p, 5g, 3p, 2p. Pour gagner, il suffit de jouer dans la liste {5, 13, 23, 31, 43, 53, 61, 71, 79, 89} On peut montrer qu’il y a des trous de longueur aussi grande que l’on veut.

Ex 9 : C’est ce que l’on appelle un Rep-unit. Pour qu’il soit divisible par 18, il faut et il suffit qu’il soit divisible par 9 et par 2. Or il n’est ni l’un ni l’autre.

Ex 10 : Non car il est divisible par 3 (considérer la division euclidienne ou écrire (n− + + + =1) n (n 1) 3n).

Ex 11 : 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=7+3, 12=7+5, 14=11+3, 16=11+5, 18=11+7, 20=13+7, 22=11+11, 24=13+11, 26=13+13, 28=17+11, 30=17+13, 32=19+13, 34=31+3, 36=31+5, 38=31+7, 40=23+17, 42=23+19, 44=31+13, 46=29+17, 48=29+19, 50=31+19, 52=41+11, 54=41+13, 56=43+13, 58=41+17, 60=41+19, 62=43+19.

Ex 12 : Reprendre la liste de l’exo 7. Il y en a trois : 3, 5, 23.

Ex 13 : 28= ×2² 7, 32=2⁵, 327= ×3 109. Ex 14 : F₅ =4 294 967 297=641 6 700 417× Ex 15 : C = B

A = 67

6 qui est une fraction irréductible.

Ex 16 : Un chiffre élevé à la puissance 5 garde la même unité (le vérifier pour 0, 1, 2, …9), donc n⁵−n aura pour unité 0. Il sera donc divisible par 5 (et même par 10).

Ex 17 : On appelle x la longueur du côté du carré intérieur et y la longueur du côté du carré extérieur. On a alors comme hypothèse : x² =y² −x². Ainsi, 2x² = y², ce qui donne y= 2x car on ne cherche que des solutions positives (longueurs).

Ex 18 : A=(x+1)(8x+6) Ex 19 : On écrit

2 2 2

1 1 1 2 ( 1)

2 x 2 x x 0 x 0

x x x x x

+ + − −

+ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ce qui est toujours vrai avec la condition x>0.

Ex 20 : Il faudrait résoudre l’équationx³−y³ =819 (voir cours de terminale pour des outils plus adaptés (congruence). Sinon, on peut utiliser un tableur excel ou une calculatrice (c’est mal) pour obtenir 11 et 8.

Ex 21 : Soit x le nombre cherché et A et 1000-A les moitiés. On a x² =1000A+1000−A ce qui donne x²− =1 999(A+1). On discute des quatre possibilités et on trouve x+1 multiple de 999 (x=998) ou x-1 multiple de 27 et x+1 multiple de 37 (x=406) ou le contraire qui donne x=593.

Ex 22 : 0.

Ex 23 : 4, 35.10 ¹⁷

Ex 24 : En fait, il est facile de voir qu’il n’y a que 2 et 4 pour lesquels ceci est vrai (la preuve stricte est vue en terminale) Il doit donc apprendre 499 nombres… Il devait avoir une autre astuce !

Ex 25 : Clovis est mort en 511, soit il y a 15 siècles. Ainsi, il faudrait 245 ≃35 184 372 088 832 aïeuls, ce qui est plus grand que la population mondiale (surtout à cette époque)

Ex 26 : On trouve assez vite1729 12= ³+ =1³ 10³+9³. Ex 27 : Il suffit de lister les cubes: 343 et 1331

Ex 28 :

1. Il dut donner 2⁰+ + + +2¹ 2² ... 2⁶³ (il existe une formule de première pour calculer cette somme, mais on peut le faire à la main), ce qui est égal à

=18446744073709551615 1,8.1019

a ≃ .

2. Le nombre de sacs est 1₃ ¹³

2,3.10 50.10 16

a×

× ≃ .

3. Le nombre de sac par camion est 36 200× =7200. Il faut donc 3, 2.10 camions pour ⁹ transporter tous ces grains.

4. Le nombre de tonnes nécessaires est donc 3, 2.10⁹×36≃1, 2.10¹¹, soit un cinquième de la production mondiale.

Ex 29 : a = 2^-50×3^-20 ; b =2².3³.10^-36

Ex 30 : 20 ²×5 ² = 100² ; 15³×4³ = 60³ ; 1₃ 1₃ 28₃ 12 +4 =12

Ex 31 : On regarde les puissances de 7 successives. On remarque que 7 finit par un 1. On ⁴ écrit donc 1117²⁰⁰³ =1117^{4 500 3× +} =(1117 )^{4 500}×1117³. Le premier facteur finit par un 1 et le second par un 3. Le dernier chiffre cherché est donc 3.

Ex 32 : Pour le premier, il faut chercher des carrés, donc une identité remarquable. On a 111 111 555 555 + 1=111 111 × (999 999 + 6) + 1= (111 111 × 3 + 1 )² , donc

111 111 555 555 1+ =333 334^.

Le second est plus facile : On écrit tout en puissance de 2 et on simplifie en utilisant les règles énoncées.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

10 10

3 2 20 10

10 10 30 20 20

8

4 11

4 11 3 2 12 22 12 10 12

2 2 2 2 1

8 4 2 2 2

2 256

8 4 2 2 2 2 2 2 1 2

+ +

+ = = + = = = =

+ + + + .

Ex 33 : On trouve 3 4 5 ²

4 4 4 4

5 3

a= × × × = × = (Ceux qui ont développé, c’est mal !). On en déduit que a=4.

Ex 34 : Là encore, un tableur donne la solution sans trop réfléchir. Voyons ce qu’un matheux ferait : On cherche a tel que a−³a =18. En posant p=⁶ a, on transforme l’équation en : p³−p² =18. On voit bien que, plus p est grand, moins il peut être solution, la croissance du cube étant bien plus rapide que celle du carré. E.g. p=10 est déjà trop grand. On teste les valeurs inférieures et on trouve p=3. Donc a=3⁶ =729.

Ex 35 : 216^e jour de l’année 1823, le 4 août.

Ex 36 : On utilise l’expression conjuguée :

1 1 1 1

( 1) 1

1 1 1

n n n n

n n

n n

n n n n n n

+ + + +

= × = = + +

+ − + − + + + − .

Ex 37 : La mise en équation donne (x+4)² =x²+72 ⇔ =x 7m. Ex 38 : 1/6x+1/12x+1/7x5+x/2+4=x d’où x=84.

Ex 39 : On trouve successivement x=7/8, x=-3, x=0 et x=2.

Ex 40 : La mise en équation donne 5 30

2 3

x x

x x

+ + = ⇔ = . Ex 41 : On trouve successivement : 9 9

5 5,

S − 

= 

 , ^{S = − −}

{

}

S −2 

= 

 , ^{S = − −}

{

}

Ex 42 : J’ai inversé alors que le numérateur est nul et vaut 0 quand x=10, ce qui est précisément la solution.

Test de factorisation:

1. 3(x+1) 2. (x+1)(x+12) 3. (x+1)(4x+1) 4. 4(x+1)² 5. (x+1)(8x+1) 6. (x+1)(9x-12) 7. (x+1)(x+11) 8. (x+1)(5x+16) 9. (x+1)(8x+15) 10. (x+1)(7x+19)

11. (x+1)(2x+17) 12. (x+1)(x+2) 13. (x+1)(7x-19) 14. (x+1)(-7x+30) 15. 2x(x+1) 16. (x+1)(x+4) 17. (x+1)(x+8) 18. (x+1)(3x-2) 19. (x+1)(4x+5) 20. (x+1)(x-1)(x²+1)

R1 : Résoudre les équations suivantes : a) 2x=3 ; b) x+2=3 ; c) 2x=0 ; d) 2x=1 ; e) x+2=0 ; f) x+2=1 ; g) 2-x=0 ; h) 2-x=1 ; i) x-2=1 ; j) 0

2

x = ^{; k)} 1 2

x= ^{; l)} 5 2

x= ^{; m)} 2

x=1 ^{; n)} 2 x =5 ^; o) 2

x=0 ^{; p) 2} 5

3x= ; q) 2 0

3x= ; r) 2 1

3x= − ; s) 2 1 3 0

x− = ; t) 2 1 x 0

x− = ; u) 2 1 1

x =

+ ; v) 3 1

3

x =

− ; R2 : Résoudre les équations suivantes : a) 9x²-1=3x+1; b) x(3x-2)=4-9x² c) (2x-1)²-(3x+2)²=0 ; d) (3x+2)²=(5-2x)² ; e) 2(x-1)²-3(2x+1)²=0 ; f)

(

)

4 9

x+ x

− = ; g) (x+3)(2x+5)²=3+x ; h) 4x²+4x+1=0 ; i)

2 2

9 3 1 0

x x

+ + = ^{; j) 3x2}-2 3 x + 1=0.

R3 : Résoudre les équations suivantes : a) x²=25 ; b) 4x²=25 ; c) 5x²=0 ; d) 3x²= -2 ; e) 25x²-81=0 ; f) 121x²+1=0 ; g) πx²+ 11 =0; h) (2x-1)²=3 ; i) (x+2)²=x²-4 ; j) 4(x+3)²=x²-9 .;

D1 : Développer et réduire les expressions suivantes : a) (x+3)(x+4); b) (2x-3)(-x+2);

c) (-4x+3)(2x+1); d) (7x-2)(3x+2); e) ( 1 2

x-3)(x+ 2 3

); f) ( 3 5

x-1)(x+15); g) 2(3x-5)-(5x-3)(-2x+1) ;

h) 4x-5(2x+1)+(3x-4)(7x+2); i) 2x-3(x+2)(-4x+1); j) –(1

2x+3)-3(x-1)(¹ 2

x-3).

D2 : Développer et réduire les expressions suivantes : a) (3x+5)²-2x(x-4) ; b) (4x-1)²-(5x+2)(3x-1);

c) 2x(-3x+1)-(2x+3)²; d) (4x-3)(4x+3)-(2x+1)(2x-1); e) (3x-2)(3x+2)-4(x-3)²; f) (4x-3)²-2(5+3x)(5-3x); g) (-2x+7)²-(3-4x)²; h) (2x-7)²-(x+3)(-x+3);

i) (-2x+5)²-3x(-x+2)+(4x-5)(5+4x); j) (² 3

x-1)(2

3 x+1)-(-5x-2x)².

D3 : Développer et réduire les expressions suivantes : a) (3x+2)²-2(x-1)(x+1);

b) –5+2(3x-1)²-(3x+3)(2x-3); c) (x-1)(x²+x+1); d) (x-1)(x-2)(x-3); e) (x-3)³; f) (x²-x+3)²; g) (x⁵+5x²)²; h) (x-5)²-x²-25; i) ((x)²)²-(x²-2)²; j) (2x-2

3⁾

2(4 9^+2x)

2.

IR : Dans chacune des questions suivantes, déterminez s’il faut factoriser ou développer puis trouvez l’identité remarquable à utiliser et conclure : a) Calculez 55²- 45² ; b) Complétez (x+…)²=…+…+25 ; c) Montrer que a²+ab+b²=(a+

2 b₎2+

3 2

4

b ; d) Calculez 105×95 ; e) Résoudre (3x+1)²-(2x-3)²=0 ; f) (3x+1)²-(2x-3)²=… ; g) Résoudre (7x-2)²-3x(4 -14x)=0 ; h) ( 5-3 2)²-( 2+3 5)² est-il un entier ? h) (3t+…)² =…-12t+… ; i) Quel est le signe de (x²+1)(x²+2)+x⁴-1 ?

P1 : Ecrire sous forme de fractions irréductibles : a)

7 3

23

13 10 45 10 9 10

− −

−

× × ×

× ^{; b)}

( )

3

4 10 10

12 10

−

−

× ×

×

c)

( )

9

25 10 121 11 75 10

−

−

× ×

× × ^{; d)}

2 3

2 6

42 10 0, 4 10 36 10⁻ 35 10

× × ×

× × × ^{; e)}

3 4 3

3 2

4 5 7 56 5 7 32

× × ×

× × ^{; f)}

3 2

2 4

9 27 75 5 3

× ×

× ^{; g)}

3 3 2

2 4

7 10 0, 6 12 10 5

× − ×

× × ^{; h)}

3 4

2 3

0, 03 5 10 6 50 10

× ×

× × ^{; i)}

2 13 5 14

11 10 5 10 121 10

3 10

−

×

××

×

; j)

4 2

9 3

72 10 3 10 60 10 25 10

−

−

× × ×

− × × ×

RAC1 : Ecrire sous la forme la plus simple possible : a) 3× 6; b) 24× 18; c) 5 2×9 30;

d) 28× 63× 12; e) 2 5+ 45-3 20; f) 27+7 75- 300 ; g) 24 7 ^{× 14×}

6;

h) 3(2 2- 3); i) 8 3 15

27× 2× 5^{; j) 105 .}

RAC2 : Ecrire sous la forme la plus simple possible : a) 10³; b) 5⁷; c) 2 13× 26 ×5 32 d) 3+2 3(1+ 3); e) 5- 5(2-3 5); f)

10 10

4 11

8 4

8 4 +

+ ^{; g) 43+ 31+ 21+ 13+ 7+ 3+ 1}

h) 625-25; i) 24 24

1 1

25 25

− × + ^{; j)}

2 2

10 2 5 1 5

4 4

 −   + 

  + 

   

 

..

R1 : (a) 3/2 (b) 1 (c) 0 (d) ½ (e) –2 (f) –1 (g) 2 (h) 1 (i) 3 (j) 0 (k) 2 (l) 10 (m) 2 (n) 2/5 (o) ∅ (p) 15/2 (q) 0 (r) -3/2 (s) ½ (t) ½ (u) 1 (v) 6

R2 : (a) {-1/3 ;2/3} ; (b) {-1/2 ;2/3} ; (c) {-3 ;1/5} ; (d) {-7 ;3/5} ; (e)

8 3 6 8 3 6

10 , 10

− − − + 

 

 

 

  ;(f) {-3/4 ;-3/8} ; (g) {-3 ;-2} ; (h) {-1/2} ; (i) {-3} ; (j) { 3/3}

R3 : (a) {-5 ;5} ; (b) {-5/2 ;5/2} ; (c) {0} ; (d) ∅ ; (e) {-9/5 ;9/5} ; (f) ∅ ; (g) ∅ ;

(h) 1 3 1 3

2 , 2

 − + 

 

 

 

  ; (i) {-2} ; (j) {-5 ;-3}.

D1 : (a) x²+7x+12 (b) –2x²+7x-6 (c) –8x²+2x+3 (d) 21x²+8x-4 (e) 1/2x²-8/3x-2 (f) 3/5x²+8x-15 (g) 10x²-5x-7 (h) 21x²-28x-13 (i) 12x²+23x-6 (j) –3/2x²+10x-12

D2 : (a) 7x²+36x+25 ;(b) x²-9x+3 ;(c) –10x²-10x-9 ;(d) 12x²-8 ;(e) 5x²+24x-40 ;(f) 34x²-24x- 41 ; (g) –12x²-4x+40 ;(h) 5x²-28x+40 ; (i) 23x²-26x ; (j) –77/9x²-1

D3 : (a) 7x²+12x+6 ;(b) 12x²-9x+6 ;(c) x³-1 ; (d) x³-6x²+11x-6 ; (e) x³-9x²+27x-27 ; (f) x⁴- 2x³+7x²-6x+9 ; (g) x¹⁰+10x⁷+25x⁴ ; (h) –10x ; (i) 4x²-4 ;

(j) 16x⁴+(-32/9)x³+(-171/81)x²+(64/243)x+64/729

P : (a) 5.13.10¹³ (b) 30^-1 (c) 11.30^-1 (d) 4.30^-1 e) 2⁴.5.7² f) 3⁹ g) 73

2 .10^-10 h) 5

2.10^-3; i) 3 55 .10²⁴ ; j) -

2 3

2 3 5

× .

RAC1 : (a) 3 2 (b) 12 3 (c) 90 15 (d) 84 3 (e) - 5 (f) 28 3 (g) 12 2 (h) 2 6-3 (i) 2 5 (j) 100 10

RAC2 : (a) 10 10 ; (b) 125 5 ; (c) 1040 ; (d) 6+3 3, (e) 15- 5 ; (f) 4 ; (g) 7 ; (h) 0 ; (i) 1/25 ; (j) 1.