TS2 / TS3 – DS2 bis Page 1 sur 2 Terminale S2 et 3 – Lycée Desfontaines – Melle NOM : ………; Prénom : ………
Devoir surveillé n°2 - bis - Corrigé
Exercice 1 (Adapté de France – septembre 2007) 10 points La suite u est définie par : u0=2 et un+1=1
3un+23 27.
1. Démontrons que si la suite u est convergente alors sa limite est l=23
18 : 2 points
La suite u est définie par un+1=f
( )
un où f est une fonction affine donc continue sur Ë donc continue en l ( ┐ l☻Ë).Par conséquent, si u est convergente alors sa limite l est solution de l’équation f(x)=x. Or f(x)=x ñ 1
3x+23
27=x ñ 23 27=2
3x ñ x=23 18. Conclusion : Si u est convergente alors sa limite est l=23
18 .
2. On a représenté dans un repère orthonormé direct du plan la droite d’équation y=1 3x+23
27 et le point A de coordonnées (2;0). Construisons sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite u. 2 points
A 2 2
0 1
1
x y
u0 u1
u2
A u3
TS2 / TS3 – DS2 bis Page 2 sur 2 3. Montrons par récurrence que pour tout entier n, on a : unÃ23
18 : 3 points
• Initialisation : la propriété est vraie au rang n=0 : u0=2 donc u0Ã23 18
• Montrons que la propriété est héréditaire :
Supposons qu’il existe un rang pÃ0 pour lequel la propriété est vraie cad upÃ23 18. Alors 1
3upÃ1 3×23
18 alors 1
3up+23 27Ã1
3×23 18+23
27 soit up+1Ã23
18. La propriété est donc héréditaire.
• Conclusion : La propriété est héréditaire et elle est vraie au rang n=0 donc ┐nÃ0 , unÃ23 18
4. Etudions la monotonie de la suite u et donnons sa limite : Monotonie : 2 points Limite : 1 point
┐n, un+1−un=1 3un+23
27−un=-2
3un+23 27. or ┐nÃ0 , unÃ23
18 donc -2
3unÂ-23
27 donc -2
3un+23
27Â0 donc ┐nÃ0 , un+1−un Â0.
Par définition, u est décroissante.
De plus u est minorée par 23
18 (d’après 3.) donc u converge. Par conséquent, d’après 1., u converge vers 23
18
