Les fonctions caractéristiques analytiques

A NNALES DE L ’I. H. P.

E UGENE L UKACS

Les fonctions caractéristiques analytiques

Annales de l’I. H. P., tome 15, n

^o

4 (1957), p. 217-251

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Les fonctions caractéristiques analytiques

par

Eugene ^LUKACS (1).

1. Introduction. ^- Cet article traite d’une classe de fonctions

caractéristiques qui

^contient

beaucoup

de fonctions

caractéristiques importantes

dans la théorie des

probabilités

^{et dans la}

statistique

^mathé-

matique.

Nous donnerons un

exposé

^{de cette théorie et nous}

parlerons

aussi de

quelques problèmes spéciaux qui

^{y sont liés. La}

plus grande partie

des résultats fut obtenue ^{au cours} des ²⁰ dernières années et ces résultats sont

dispersés

^dans différentes

publications

^{et souvent}

même dans des

journaux qu’on

^ne

peut

^{obtenir aisément. C’est}

pourquoi

nous

espérons qu’une exposition systématique

^sera

peut-être

^utile.

Soit

F(x)

^une fonction de

répartition,

c’est-à-dire ^une fonction non-

décroissante,

continue de

gauche

^et telle que

F(-oo) = o,

^tandis

que ^{== i. La} transformée de Fourier de

F(x),

^{ou bien B}

)

s’appelle

^{la fonction}

caractéristique

^{de la}

répartition p’ (x)

^{et cette}

fonction est définie pour ^{tout t} réel. On sait que la fonction

J(t)

^est

continue et bornée et que

f ( o )

^{_ I .}

Alors cp ( t)

⁼

log f( t)

^{est définie}

au moins dans un intervalle contenant

l’origine.

^La

fonction q(t) s’appelle

la seconde

caractéristique

^{de la}

répartition F (x).

Nous dirons

qu’une

^fonction

caractéristique

^{est une fonction carac-}

téristique analytique

^si elle coïncide avec une fonction

qui

^{est holo-}

morphe

^{dans le}

voisinage

^de

l’origine

^du

plan complexe.

^Plus

préci-

( 1 ) Recherches subventionnées par l’Office of Naval Research ^et par la National Science Foundation ( NSF, ^G 2781).

sément : soit

f ( t )

^{une fonction}

caractéristique

de la variable réelle ^t

et soit

A(z)

^{une fonction}

holomorphe

^{dans le}

cercle .~ ~

^C p telle que

A ( t)

^-

f (t)

pour ^t réel tel que

~ t ~ ^~;

^{dans ces}

conditions,

^nous

dirons que

f ( t )

^{est une fonction}

caractéristique analytique.

. L’existence des moments d’une fonction de

répartition F (x)

^{est liée}

intime.ment à la différentiabilité de ^sa fonction

caractéristique f (t).

Désignons

par

=

~-~ xk

^dF(x)

le moment

(algébrique)

^{d’ordre k de}

F(x)

^et par

;~k=

x

^{k dF(x)}

son moment absolu d’ordre h~. N’ous aurons besoin des résultats suivants. ^. LEMME 1.1. ^- Faisons

l’hypothèse

^{que la}

fonction

caractéris-

tique f(t)

^{de la}

répartition F(x)

^{ait une} dérivée d’ordre k au

point

t = o; alors ^tous les moments de

F(x)

^d’ordre

inférieur

^ou

égal

^à k existent si k est un nombre

pair,

^{mais seulement des ordres}

in férieurs

^ou

égaux

^à

( k

^-

i )

^{si k est un entier}

impair.

La

première

démonstration de ce lemme fut donnée par R.

Fortet [7];

un résultat

plus général

fut obtenu d’une manière

simple

par 0. Szasz

et par l’auteur

~~~. ~.

LEMME 1.2. ^-

Supposons

^{que le moment d’ordre r, 03B1r de la}

fonction

de

répartition F(x)

existe. Alors on

peut différentier

^sa

fonction caractéristique f (t)

^r

,fois

^{et l’on obtient}

(1. t)

f(r)(

t) ^{= xe} dF(x).

- x

Il s’ensuit que

f(r)(o)

^{= et} que ! ^x |r dF(x) ⁼

03B2r.

Si r est un nombre

pair, ;

^_-__

2,k,

^{et il devient :}

| |f2k(o) | = ^03B12k.

2. La bande de

régularité

^{et la}

représentation

par ^une intégrale. ^-

Dans ce

qui

^{suit nous} considérerons des fonctions

caractéristiques analytiques.

^Soit

f ( t~

^une telle fonction. On déduit alors du lemme 1. ~.

que ^tous les moments de sa fonction de

répartition ^existent,

^{donc on}

peut développer f ( t )

^en série de Mc Laurin (2.I)

f(z) = 03A3 ik03B1k k! zk

pour |z| 03C1 (z complexe),

k=0

où p > ^{o est} le ray on de convergence de cette série.

Nous

désignons

^la

partie paire

^de

f (2 ~

par

J~(H) ^wt~~e‘,(~

^V

et la

partie impaire

^par

,1’,

)

-- ^lJ°

^{z > -}

^J’

^{- = >1 .}

Alors les deux séries

convergent aussi dans des cercles autour de

l’origine.

Nous

désignons

par po ^et p1 les _rayons de convergence des séries pour

fo ( z)

^et

f1(.~).

On déduit de

l’inégalité

^-

|x2k-1|

I 2

(x2k+ x2k-2) que

(2.3)

03B12k-1 (2k-I)! 03B22k-1 (2k-I) ! I 2 [03B12k (2k) ! (2k) + 03B12k-2 (2k-2) !].

Il s’ensuit que p~ ~ po ~ _p ^et aussi que la série

~ ^lj~ j

^{converge pourvu}

k=0

que |z|

03C10.

Soit )

^un nombre réel

quelconque

^et

désignons

par

03C10(03BE) [respecti-

vement par

p~ (~)~

^le rayon de convergence de la série de

Taylor

pour

f o (z ) ~ respectivement

pour

fi ~ 2 )~

^{autour du}

point

^{z _-_}

^~.

^On

^voit,

à l’aide du lemme

1 . 2,

que

alors

03C10(03BE)

03C10(o) ^{= et} P1(°) ⁼ 03C11 P.

Les séries de

Taylor

^{des fonctions}

f o (z)

^et

fi (z) ayant

pour ^centre

convergent

alors dans l’intérieur des cercles dont les rayons ^{sont au} moins

égaux

à’ p. Par

conséquent,

^{ceci est}

également

vrai pour

f(z)

et

f(z)

^est

holomorphe

^au moins dans la

bande

^{p. Le fait}

qu’une

^fonction

caractéristique analytique

^est

holomorphe

^{dans une}

bande horizontale fut démontré

indépendamment

^par

plusieurs

^auteurs,

par

exemple

par R. P. Boas

[1]

^et par D. A. Raikov

[27].

Nous avons

déjà

mentionné que ^{la série}

~

^converge

pour

~ ( p. Alors

pour ^{A > o, B > o}

quelconque.

^{On voit que}

l’intégrale J

^e’

existe pourvu que

|y| 03C1

^{et que}

l’intégrale ~-~eiz,x dF (x)

^converge

si

|eizx|e|yx|,

^{où z = t +}

^iy.

^{Cela veut dire que}

l’intégrale ~-~ eizx dF ^(x)

est

convergente pour ~ quelconque

^et

^~y p.

^Cette

^Intégrale

^{est une}

fonction

holomorphe

dans la bande

~p

^{et coïncide}

^avec/(~)

pour ~

réel;

^II faut alors que

/(~)

^soit

^égale

^{à cette}

^intégrale

^{pour des}

valeurs

complexes

^{== ~ -+-}

^rr

pourvu que

~y

^p.

L’intégrale

f(z) = ~-~ eizx dF(x), où z = t + iy,

converge dans ^une bande

où x~p?

P~P

et elle est

holomorphe

^{dans cette bande.}

^Écrivons

Jo

^~-~

Les fonctions ^et

L~)

^{sont des}

Intégrales qui

^convergent

respectivement

^{dans les}

demi-plans

^{y >2014 oc et ~-}

^f3.

^{Posons ~ ==}

^~

alors

w = - iz = - it + y

^et

0

converge pour Rew ⁼ y ^{> - 03B1.}

On sait que ^la transformée de

Laplace

y(,s) ⁼

e-.~c

^{U dG(t) .}

d’une fonction monotone G

( t)

^{a une}

singularité

^au

point

d’intersection de son axe de convergence ^avec l’axe réel. Pour une

démonstration,

nous renvoyons le lecteur ^à

([30],

p.

58,

^{th. Comme}

F(x)

^est

non-décroissante,

^on peut

appliquer

^{ce résultat à}

03A6(w)

^{et l’on voit}

que - ? ^{est une}

singularité

^{Alors - ia doit être une}

singu-

larité de

f(z).

^{On démontre de même} que ⁺

i03B2

^{est aussi une}

singularité

de

f(z).

^{D’où le théorème :}

THÉORÈME 2. 1. ²⁰¹⁴ Une

fonction caractéristique qui

^est

holomorphe

dans un

voi’sinaye

^de

l’origine

^est

toujours holomorphe

^{dans une}

bande horizontale. A l’intérieur de cette bande on peut

repré-

senter

f (2)

par ^une

intégrale

de Fourier. La bande

peut

^{être le}

plan entier;

^{sinon elle a une}

frontière composée

^{d’une ou cle deux}

droites. Les

points

purement

imaginaires

^{de la}

frontière

^{sont des}

singularités de f(z).

Une indication de ce théorème se trouve dans une note d’un article de l’.

Lévy ~1~~;

^à peu

prés

^{à la même}

époque,

^{D. A. Raikov}

~~1 ~

^a

démontré

indépendamment qu’une

^fonction

caractéristique analytique

est

holomorphe

^{dans une} bande horizontale et

qu’elle

^est

représentée

par ^une

intégrale

^{de Fourier à} l’intérieur de cette bande.

On peut déduire ^du théorème ~ .’1

quelques conséquences

^utiles.

COROLLAIRE DU THÉORÈME 2.1. ²⁰¹⁴ Une condition nécessaire pour

qu’une fonction holomorphe

^{dans un}

voisinage

^de

l’origine

^{soit une}

fonction caractéristique

^est que dans

chaque demi-plan

^la

singularité

la

plus proche

de l’axe réel soit située sur l’axe

imaginaire.

A l’aide de ce corollaire on peut reconnaître si une fonction

holomorphe

donnée peut ^{être une} fonction

caractéristique.

Soit

f(z)

^{une fonction}

caractéristique analytique

^{avec une bande}

de

régularité

^{- a Im z}

03B2,

^alors

f(z)

= ~-~ eizx

^{dF (x) ;}

on a

f(r)(z) = dr dzr f(z) = ir ~-~ xr eizx dF (x).

Écrivons

^{z = t} +

i y,

^{avec t et} y réels et ^- a y

03B2,

^alors

+

/

^,

( ~ )

__ , ^x

^~~~

^{dF (x).}

Si r ⁼ 2 k

( k

^- o, 1, 2,

... ),

^{cela entraîne}

l’inégalité

f ~~~~~(t+ i y)

^!

x~~~

^{(x) =}

^~

et, par

conséquent,

Max

"

. - ~t+~

Ainsi on obticnt le théorème suivant :

THÉORÈME 2.2. ^- Le module maximum d’une

fonction

^caracté-

ristique analytique

ainsi que celui de ^ses dérivées d’ordre

pair,

^le

long

^d’une

ligne

horizontale située à l’intérieur de sa bande de

régularité

^{est atteint sur l’axe}

imaginaire.

Ge résultat fut trouvé par ^D.

Dugué ~û~.

^.

GOROLLAIRE DU THÉORÈME 2.2. ^- Une

fonction caractéristique analytique

n’a pas de ^{zéro sur} le segment ^{de l’axe}

imaginaire qui

est situé à l’intérieur de ^sa bande de

régularité.

^{Les zéros et les}

singularités

^d’une

fonction caractéristique analytique

^{sont situés}

symétriquement

par

rapport

^{à l’axe}

imaginaire.

La

première partie

du corollaire est une

conséquence

immédiate du théorème ‘~ . ~. On déduit l’énoncé ^sur les zéros et sur les

singularités

^de

la relation fonctionnelle

(?~4) >

=f (-~)

)

qui

^{est valide non} seulement dans la bande de

régularité,

^{mais dans}

tout le domaine

d’analyticité de f ’( N ) .

Une fonction

caractéristique analytique,

^{dont la bande est le}

plan entier,

^{est une} fonction entière. M. P.

Lévy [15]

^{a obtenu un théorème}

sur l’ordre des fonctions

caractéristiques

entières que ^nous

reproduirons

maintenant.

Soit

f (N)

^{une fonction}

caractéristique

^entière.

Désignons

par

~

M(r; f’) = ~

le module maximum

de f (N )

dans le cercle

( .~ ~

^r. Ce maximum est

atteint sur la circonférence et nous voyons, ^{en vertu} du

théorème 2.2,

que

M(r;

f)

⁼⁼

Max(f(ir), f (-

ir)).

LEMME 2. 1^{. -} Soit une

fonction caractéristique ^entière,

^on

el alors les

inégalités

(f(l,’)~f(-’ir))~M(r~,f~)~ ~(f(a~’)+’,Î(-ir)).

Une

fonction caractéristique

^entiène

peut

^être

représentée

par ^une

intégrale

^{cle Fourier dans tout le}

plan complexe,

^donc

(2.5) f(ir)+f(-ir)=2~-~ ch r x dF(x).

Il s’ensuit

( compte

^{tenu du lemme}

2.1)

que

M (r ;

f) f ^eh

^{rx dF (x)}

^{I 2}

^{(e~r +}

e-~r) |x|~

^dF (x)

I 2

[ |x|~

^dF

^(x)]e~r,

où E est un nombre

positif quelconque.

Nous écrirons

la condition nécessaire et suffisante _{pour que} ^{a =} o pour ^ê > ^o

quel-

conque ^est que

F (x)

^{soit une} fonction de

répartition dégénérée.

^On

obtient de

l’inégalité précédente

^{la formule}

(2.6) ^M (r ; f) ^{03B1 2 e~r.}

L’ordre _p d’une fonction entière est définie par ^. (2.7) 03C1 ⁼ Lim sup Log Log M (r;

f) Log r

^.

On déduit aisément de

(2.6)

^que

p ~

^I pourvu

que

^{et l’on}

obtient le théorème suivant : ^:

THÉORÈME 2.3. - L’ordre d’une

fonction caractéristique

^entière

qui

n’est pas constante est au moins

égal

^{à 1. .}

Nous continuerons l’étude des fonctions

caractéristiques

^entières

^dans

la section suivante et traitons maintenant des

propriétés

de convexité des fonctions

caractéristiques analytiques. Supposons

que

l’intégrale

(2.8) ^’

existe pour

( y ~ R,

^{où R est une constante}

positive quelconque, s’appelle

alors la fonction

génératrice

^{de la}

répartition F(x).

^Soit

f (z )

^{une fonction}

caractéristique analytique.

^En

posant R = Min (a, p)

nous voyons que la fonction

génératrice

^{de la}

répartition

^de

f (z )

^existe

et que

M( y) = f (- L y).

^Gomme

M(y)

^{est réelle et}

positive

^tandis

que

M"(y) o,

^on voit que

f(- iy)

^{est réelle et convexe pour tout y}

tel que

l’intégrale (2 . 8)

existe. On

peut

^{même dire} que ^NI

(y ~

⁼

f(- i y)

est strictement convexe pourvu

que f (z ) ~

^i.

Nous allons discuter des

propriétés

de convexité moins triviales des fonctions

caractéristiques analytiques

^et de leurs dérivées d’ordre

pair.

Soit

f (z )

^{une fonction}

caractéristique analytique

dont la bande de

régularité

^{est - a Im z}

p

^et écrivons z = t +

i y.

^{Il s’ensuit du}

théorème 2.2 que

~‘~~9)

~ _-_ f (2~)(i.Y)~

Supposons

maintenant

qu’il

^{existe un nombre yo} tel que

- et = o.. ^.

Alors

f ~2~ï~ (z)

^{- o et}

f (z),

^ainsi que

f (t~

pour ^t

réel,

^{est un}

polynome

d’ordre 2k. C’est une

conséquence

immédiate de

l’équation (2. g)

^{et de}

l’analyticité

^de

fez).

^Mais

J(t)

^{est bornée et} ceci n’est

possible

que si et

f (t)

^=1. Ainsi les dérivées

f ~?~e (z )

^d’ordre

pair

^d’une

fonction

caractéristique analytique

^{n’ont pas de zéros sur le}

^segment

de l’axe

imaginaire

situé dans l’intérieur de sa bande de

régularité.

Chaque point iy

^{de ce} segment ^{a un}

voisinage

^dans

lequel (z)

^est

holomorphe

^et différente de zéro. Dans ce

voisinage,

^on peut ^donc

écrire

f(2k)(z) =

exp(gk(z)),

où est

holomorphe

^{en tout}

point

^du segment

- a Imz .

Soit

Ak (

^t,

y)

^la

partie

^{réelle et}

Bk(

^t,

y)

^la

partie imaginaire

^de

( z ) ; alors,

f(2k)(z)

= exp(Ak(t, y) ^{+ i Bk(t,} y)).

Ainsi

) ^_-_. Log

|f(2k)(z)

) ^et y) ^_

Argf(2k)(z).

On peut transformer

l’inégalité (~ . g )

^et l’on obtient Ak(t, y’) Ak(o, y),

donc la fonction

A/t(t, y)

^{a un maximum au}

point

^{t - o pourvu}

que

y (- 03B1 y

soit fixé. Cela ^veut dire que

~Ak ~t (o, y) = o, ~2Ak ~t2 (

^{o, y) o.}

Comme est

holomorphe

^au

point z

⁼⁼

i~~^,

^on peut

appliquer

^les

équations

^de

Cauchy-Riemann

^{et de}

Laplace,

^{et l’on a}

y~~

^{(°, Y)=° ~}

~)~ ~ .~

^(°~y)~a.

Nous avons ainsi établi le résultat suivant :

THÉORÈME 2.4. ^- Soit

f (z)

^une

fonction caractéristique analytique

dont la bande de

régularité

^est lcc bande - a Im z ⁼ y

fi

^et

soit If un entier non

négatif.

^{Alors est}

indépendante

de y et

Log|f(2k)(iy) |

^{est une}

fonction

^convexe de y pourvu que ^{- et}

y 03B2.

^La

fonction f(- i y )

^{est une}

fonction ^réelle,

^non

négative

^{et convexe et elle est même} strictement convexe si

f (z )

^{i .}

3. Les fonctions caractéristiques

analytiques

^et leurs fonctions de

répartition.

^- Nous examinerons dans cette

partie

la relation

qui

^existe

entre une fonction

caractéristique analytique

^{et sa fonction de}

répar-

tition. Nous commençons par donner ^une condition nécessaire et

suffisante

qui

^{doit être} satisfaite _{par la} fonction de

répartition

pour que

sa fonction

caractéristique

^{soit une fonction}

caractéristique analytique.

Nous avons

déjà

^vu que ^la fonction

génératrice (2.8)

existe pour

chaque

fonction de

répartition F (x) qui

^{a une fonction}

caractéristique analytique.

^La

réciproque

^{est aussi}

^vraie,

^{c’est une}

conséquence

^du

raisonnement utilisé dans le théorème 2.1. Ainsi les fonctions de

répartition ayant

^{une fonction}

caractéristique analytique

^sont

identiques

aux fonctions de

répartition possédant

^{une fonction}

génératrice (2.8).

Le critère suivant est donc immédiat. Pour que ^la fonction de

répar-

tition

F (x)

^{ait une fonction}

caractéristique analytique,

^{il faut et il suffit}

que :

loF (x)

^{ait des} moments 03B1k de tous ordres

A ;

’1

2° Lim ^oo.

Alors la

série 03A3 03B103BD 03BD ! (iz)03BD

^converge dans le cercle

( z

p ^et coïncide

03BD=0

avec la fonction

caractéristique

^de

F(x)

pour des valeurs réelles de ^z.

Le résultat suivant ^est

plus

^{utile et il}

peut

^être

appliqué

^immédia-

tement.

THÉORÈME 3.1. ^- Pour que ^la

fonction

^de

répartition

^F

(x)

^{ait une}

fonction caractéristique analytique

^il

faut

^{et il}

suffit

que

(3.1) 1-F(x)+F(-x)=o(e-e.x)

quand

pour ^tous les r tels que ^r R. Ici R est une constante

positive quel-

conque ^et la bande de

régularité

^{de la}

fonction caractéristique

^de

F ( x )

contient la bande

I

^{Im z R.}

Remarque:

^{- R}

peut

^être

infini,

^alors

(3. i)

^est satisfait pour ^toutr réel et la fonction

caractéristique f(z)

^{de F}

(x)

^{est une} fonction entière.

La relation

(3.i)

^est évidemment

équivalente

^{aux deux relations}

simultanées :

Nous commencerons par démontrer que ^ces conditions sont suffi-

santes. Soit y ^un nombre réel tel

que 1 y

^{R et} choisissons r > ^o tel que ^{r R.} Soit k ^un entier

positif,

^{on voit} immédiatement que

Il s’ensuit de la relation

(i) qu’il

^{existe un nombre}

^Ci

tel que

l’inégalité

I ^- F ( ^{k -} ) ^{Ci e-rk}

soit satisfaite pour ^k suffisamment

grand,

^soit

pour k

^>

^K1.

^Alors

e|y|x dF(x) 1e-k(r-|y| ⁾ _pour ^{k fl} K1.

Nous choisissons un entier K >

Ki

^et deux nombres réels a et b tels que a

K,

^b > ^{o .} Alors

e|y|xdF(x)03A3

_{a ~} e|y|xdF(x)1

03A3e-k(r-|y|)=1e-(r-|y|)K 1-e-(r-|y|).

k=K

i ^- e- -

Le membre de droite de cette

inégalité

devient aussi

petit qu’on

veut pourvu que ^K soit suffisamment

grand.

^{Mais cela veut} dire que

l’intégrale : a+bae|y

^|x

^dF(x)

devient aussi

petite

que l’on veut,

quelle

a

que soit la valeur de

b,

^{si l’on choisit a assez}

grand.

^Alors

l’intégrale

0. 0

existe et est finie.

De la méme

façon.

nous avons

l’inégalité

-k-1k e|yx|dF(x) e|y|kF(-k+I)

et la relation

(ii)

^entraîne

qu’il

^{existe une constante}

’1

^telle que

F (- k -f-1 ~

e~’’~~ pour ^{tout k} suffisamment

grand,

soit pour ^k ~

K1.

Nous choisissons un nombre entier

K’> K1

^{et deux nombres réels}

c > K’ et d > ^{o et nous} démontrons aisément que

-e-c-de|yx|dF(x) ’1 e-9r-|y|)K’ I-3-(r-|y|).

A l’aide d’un raisonnement semblable au

précédent,

^on voit que

l’intégrale 0-~e|yx|dF(x)

^{existe et est unie.} Mais alors il est immédiat

que

l’intégrale ~-~e|yx|dF(x)

^{et donc aussi}

l’intégrale ~-~eyxdF(x)

existent et sont finies _pourvu

que |y|

^{R. Soient z = t + iy, alors}

l’intégrale

/(~)= f ^eizx

^{dF (x)}

est convergente pour t

quelconque

^et

( y ~

^{R et}

f ’(,~ )

^{est une fonction}

holomorphe.

^Ainsi nous avons démontré _que notre condition est

suffisante.

Pour établir la nécessité de la condition

(3. i),

^nous posons

l’hypo-

thèse que la fonction

caractéristique

f(z)

= ~-~ eizx dF(x)

est une fonction

caractéristique analytique

^{dont la bande de}

régularité

est la

bande - 03B1 Im z = y 03B2.

^{Soit et soit x un}

nombre

positif;

^{alors les}

intégrales

eyu

dF(u)

^{et eyu} dF(u)

~’ - r

.

existent et sont finies _pour tout y satisfaisant

l’inégalité ~

^{R. Nous}

choisissons un nombre n R ainsi

qu’un

^{nombre ~°z} tel que ^{r ri} R.

Alors il existe un nombre réel et

positif

tel que

eur1dF(u)er1x(I-F(x))

ou

o ( ²⁰¹⁴ F ( s )) erx ^’’

Comme lr1 > r, le membre de droite tond vers zéro

quand

^{x tend}

vers l’infini et nous voyons que

1- F ( x) = o ( e-’~v’ ) quand

^{x -+ ce. ,}

De même, ^on établit que la condition

(ii)

^est satisfaite.

Nous disons

qu’une

fonction de

répartition F(x)

^{est bornée à}

gauche

et que ^{et est son} extrémité

gauche

^{- en formule a ==}

gext(F)

^{- si}

pour ~ ~

^o

quelconque

^F

(a - ~ )

^{= o,} tandis que F

( a

⁺

E )

^{> o. Nous}

définissons de la môme

façon

des fonctions de

répartitions qui

^sont

bornées à droite et leur extrémité

droite, dext(F) (2).

Nous disons

qu’une

^{fonction de}

répartition

^est unilatérale si elle est bornée ou

à

gauche

^{ou à}

droite,

^{mais nous}

parlons

d’une fonction de

répartition

finie si elle est bornée en même

temps

^à

gauche

^{et à droite.}

(’- ) ^{Dans la} littérature anglaise ^{on a la notation} lext( F ) pour gext(F) ^et rext( F)

pour dext ( F ) ( voir [ 26 ] ).

Soit F

(x)

^une foncion de

répartition finie,

^alors

- F (x) -f- F (-x) = o

pour ^x suffisamment

grand.

^Ainsi

F(x)

^{satisfait à la condition}

(3. ! )

^et

l’on voit que ^la fonction

caractéristique

^d’une

répartition

^{finie est}

toujours

^une fonction entière. Mais ^on

peut

donner des énoncés

plus précis qui

^{sont liés aux}

propriétés

^des fonctions de

répartitions

^uni-

latérales dont la fonction

caractéristique

^est

analytique.

^{C’est cette}

classe de fonctions de

répartitions

que ^nous allons étudier maintenant.

THÉORÈME 3.2. ^- Soit

F(x)

^une

fonction

^de

répartition qui

^{a une}

f onction caractéristique analytique.

^La condition nécessaire et

suffi-

sante pour

que

F(x)

^{soit bornée à}

gauche (èc droite)

^est que

f(z)

^soit

holomorphe

^{dans le}

demi-plan supérieur (inférieur)

^et

qu’il

^{existe un}

nombre

positif

^c tel que

|ec|z |,

pourvu que ^{> o}

(Im z o).

Supposons

^que

F ( x )

soit bornée à

gauche

^et que a ⁼

gext ( F ) .

^Alors

l’intégrale ~a eixz ^dF(x),

^{où z == t +}

^iy,

^{est une fonction}

^holomorphe

de z pourvu que y = Imz ^{> o.} C’est presque immédiat

quand

^{a > o,}

si a o nous écrivons

eixz dF(x) = eixz dF(x) + eixzdF(x).

La

première intégrale

^{du côté droit est une} fonction entière de z tandis que la seconde

intégrale

^est

holomorphe

^{pour y > o. Nous avons}

posé l’hypothèse

^que

f(z)

^{est une fonction}

caractéristique analytique.

Donc

f (z)

^est

holomorphe

^{dans une bande}

qui

contient l’axe réel à l’intérieur et

f (2) peut

^être

représentée

par ^une

intégrale

^{de Fourier}

(z)=

~-~eixz

^dF(x).

Comme f(z)

^est

holomorphe

^{dans le}

demi-plan supérieur,

^on voit que le domaine de validité de cette

représentation

contient le

demi-plan

Imz _> o à l’intérieur.

Ainsi,

^{nous avons}

~/(~=! / ^{’a f} /

^{~ t.. a .}

à condition que y ⁼ Imz _> o et l’on voit aisément que

Ainsi nous avons démontré que ^la condition est nécessaire.

Supposons

maintenant que soit une

fonction caractéristique analytique holomorphe

pour y ⁼⁼

Imz >

^{o et}

qui

satisfait dans ce demi-

plan

^à

l’inégalité

~,f(’~) ~

^{ec l ~} l ^,

où c est un nombre

positif.

^{Posons z =}

iy(y

^>

o ),

^on

peut

^alors démontrer que

h = - Lirn

sup - Log f

(i,y)

1+ z y

est fini. Soit s un nombre

positif quelconque

^{et soient X1 et X2 deux}

nombres réels tels que ^et h - x2 = 2~.

Représentant f(z)

comme une

intégrale

^de

Fourier,

^nous voyons que

f (iy) =

Il résulte de la définition de Il que ^{- la + E}

> .Y I Log f ( iy) ,

^ou

f(

iy) ^{C e-y(h-~) = e-y(r2+~).}

Par

conséquent, e-~~00FF > F (x2~ - F (x1’) ~ o pour ~ ~

^c>

quelconque

pourvu que y soit ^assez

grand.

Mais ceci n’est

possible

^{que si}

’

quand

cela veut dire que

F (x)

^{est bornée à}

gauche

^et que

gext(F)

^{Ainsi .}

le théorème est établi pour des fonctions de

répartition

^{bornées à}

gauche.

Mais il s’ensuit encore de

(3 . 2)

que

Log f ( i y )

^{alors on}

a nécessairement aussi

l’inégalité

^{Il > a =}

gext(F),

^{où h = a et nous}

obtenons la formule

(3.3) gext(F) gext(f) = - Lim sup I y Log f (iy). ^{=- Lim} sup Nous pouvons maintenant ^énoncer le

COROLLAIRE 1 DU THÉORÈME 3 . 2. ^- Soit F

(x)

^une

fonction

^de

répar-

tition bornée à

gauche (à droite)

^{dont la}

fonction caractéristique

est une

fonction canactéristique analytique.

^Alors

Nous avons démontré le théorème 3.2 et son corollaire seulement pour les fonctions de

répartitions qui

^{sont bornées à}

gauche.

^{De la même}

façon,

^on démontre le

théorème

_{pour les}

répartitions

^{bornées à droite.}

Si la fonction de

répartition

^est

^finie,

^{on obtient un résultat}

plus

^fort.

THÉORÈME 3.3. ^- Soit

F(x)

^une

fonction

^de

répartition finie

^et

supposons

qu’elle

n’est pas

dégénérée.

^{Alors sa}

fonction

caractéris-

tique

^{est une}

fonction

^{entière d’ordre i et du}

type exponentiel qui

^a

une

infinité

^de

zéros. Réciproquement,

^une

fonction caractéristique

entière d’ordre 1 et du

type exponentiel correspond tou jours

^{à une}

fonction

^de

répartition finie.

^Les extrémités de

F(x)

^{sont données}

par les

formules (3.4~.

Soient

a = gext[F],

^{b =}

dext[F],

^{c =}

max(|

^a

|, |b |)

^. Il résulte du

théorème 3.2 que

]

^donc Utilisant le théo-

rème

2.3,

^nous voyons

que f(z)

^{est une} fonction entière d’ordre 1 et

du

type exponentiel.

^{En vertu} du théorème de

Hadamard,

^{on a}

f (,~ )

⁼

G ( z ) e"~ ,

^où

G ( z ~

^{est le}

produit canonique

déterminé par les zéros de

f(z).

^Comme

|

^I pour ^t

réel, G(z)

^ne

peut

pas ^{être un}

polynome

^et doit ainsi avoir une infinité de zéros. Le second énoncé du théorème 3.3 et les formules pour les extrémités ^{sont une}

conséquence

du théorème 3.2.

La

première partie

^du théorème 3.3 fut démontré par P.

Lévy [15],

la

réciproque

par G.

Pôlya [26].

Notre dérivation du théorème 3.2 se sert de la méthode de démonstration de

Pôlya.

Ici il faut faire deux remarques :

I. Une fonction de

répartition

unilatérale n’a pas nécessairement ^une fonction

caractéristique analytique.

^Comme

exemples

^nous citons les lois stables avec indices _o~(x;i i

et ;3 = ±

^I

spécifiquement

^nous

faisons mention d’une loi trouvée par N. V. Smirnov

(voir

^Gnedenko-

Kolmogorov [9],

p.

I7I)

^et par P.

Lévy ([18],

p. 18 ⁱ

et [19]).

^Cette

loi a la densité de

probabilité

et la fonction

caractéristique

Il serait intéressant de ^trouver des conditions suffisantes pour

qu’une

fonction de

répartition

unilatérale ait ^une fonction

caractéristique

^ana-

lytique.

II. Il y ^a des fonctions de

répartition

unilatérales

qui

^{ont des fonc-}

tions

caractéristiques

entières d’ordre

supérieur

^{à i.} On obtient ^une telle fonction de

répartition

^en

tronquant

^la distribution de

Laplace

03A6(x)

= 1 ~-~e-t2 2 dt

^au

^point

^{x = o.}

Il y ^a des fonctions

caractéristiques

entières d’ordre

quelconque

^et

l’on

peut

^{dériver une} condition suffisante pour

qu’une

^{fonction de}

répar-

tition ait une fonction

caractéristique

entière d’ordre donné.

THÉORÈME 3.4. ^- Soit ^a un nombre

positi f

^{et F}

(x)

^une

fonction

^de

répartition. Supposons qu’il

existe deux constantes réelles

et positives,

K > ^{o et} o, , telles que

pour

chaque

^{x xo. L’ordre} 03C1 de

f(z)

^est alors 03C1 ^{= I +}

I 03B1.

Soit

y ~

^{o et} choisissons un nombre

entier y

^{> i} tel que

1

(3.5) x = (g|y|)03B1 ^{> x0.}

Soient B et v deux nombres réels tels que

B ~

^p ~ x, alors (~.6~~)

Calculons

l’intégrale

~ ~L

x x

Intégrant

par

pardes

^{nous obtenons}

Bxe-y03BDdF(03BD)=e-yx[I-F(x)]-e-yB[I-F(B)]-yBxe-y03BD[I-

^{F(03BD)]d03BD.}

Comme ^il s’ensuit de

( i )

^{et de}

( 3 . 6 a )

que

De la même

façon,

^{on déduit de}

(i)

^et

(3.6a) l’inégalité

~ ~B

~ ~.

t~)

Alors les

intégrales

~

^et

~

~ ~ ~~

existent et sont unies et nous avons

Donc on a

~x e-y03BD dF(03BD) K e-x|y|+|y| ~xe-y03BD[I-F(03BD)] d03BD 2 K e-x|y|

et

(3.7a)

~x e-y03BDdF(03BD)

2 K exp[- g

1 03B1

|y| 1+1 03B1]

^.

Soit maintenant A _{> x} et soit v tel que

A ~ ~ v ~ ~

^x, il s’ensuit alors de

(3.5)

(3.6b) ~

et nous voyons ^à l’aide de

( i )

^{et de}

(3.6 b )

que

e~~’~ F(_ ^{et lim} F(_ A ) = o.

A~~

De la même

façon,

^on voit. que

quand ^{v o.}

En vertu de

( 3 . ~ b ),

^{nous obtenons}

En

répétant

^le raisonnement

qui

^{nous donnait}

(3. ~ a)

^nous établissons que

l’intégrale -x-~ e-y03BD

_

^{dF (p)}

^{existe et est finie et que}

234

Enfin,

^nous considérons

l’intégrale x-~e-y03BD dF (03BD).

^Comme

-

y03BD |y| . |03BD| |y| x,

nous déduisons de

(3.5) l’inégalité

(3.70)

x-x e-y03BD dF (03BD) exp [g1 03B1 |y|1+1 03B1].

Additionnant les

intégrales (3.~), (3.~~)

^et

(3.~ c),

^{on obtient}

(3.8)

(3.8) ~-~e-y03BD d F(03BD) 4 K exp[- g1 03B1 |y| 1+1 03B1] +exp

[g1 03B1 |y| 1+1 03B1].

Cette relation montre que

l’intégrale

existe pour z

complexe quelconque

^et

que f(z)

^{est une} fonction entière.

En accord avec le lemme

2.1,

^{nous avons}

/(~)+/(-~)~M(y;/),

et) par

conséquent,

^de

(3.8),

Nous en déduisons aisément que

(3.9) ¹

+ [ S

^P.

Pour établir

l’inégalité inverse,

^nous utiliserons le lemme

2 . 1

^{et nous}

remarquerons que

N’ (J/ ;

f) 2 ( ^{lf iy)}

⁺

^f(-

^{l S}

( / /

^{(e>’’ +} e->.> ^iF ( v >, ^où J/ > ^o.

Alors

où x est déterminé par

(3.5). ^Écrivons

en vertu

de (ii)

^nous voyons que ~ ^(X > ^{o et} obtenons ^_

Alors,

^{on a aisément}

(3.gb)

P~~+ ~.

^°

L’assertion ^du théorème 3.4 est une

conséquence

^{immédiate des}

Inégalités ( 3 . g cc) et 3 . g b ).

D.

Dugué

^{a donné un énoncé semblable dans une Note}

[5].

^{Cette Note}

ne contient pas la démonstration ^et les

hypothèses

^{faites sont un} peu

plus

restrictives que celles du théorème 3.4.

Enfin nous remarquerons

qu’il

y ^a aussi des fonctions

caractéristiques

entières d’ordre infini.

Soit f (t)

^{une fonction}

caractéristique quelconque,

on sait alors que la fonction exp

~ f ( t)

^-

i ~

^{est aussi une fonction carac-}

téristique.

^En

répétant

^ce

raisonnement,

^on _{voit que} ^{toutes les fonctions}

de la suite définie par

f(1)(t) =f(t),

f(n)(t) ⁼

exp[fn-1(t)

- I]

sont des fonctions

caractéristiques. Commençant

^avec

f(1)(t)

^{= eit on}

construit ainsi ^une suite de fonctions

caractéristiques

entières d’ordre infini et de croissance de

plus

^en

plus rapide.

4. La

décomposition

des fonctions caractéristiques

analytiques.

^- Soit

J( t)

^{une fonction}

caractéristique

arbitraire

qui

^{n’est pas néces-}

sairement

analytique.

^Il

peut

^arriver

qu’il

^soit

possible

^de

représenter f (t)

^{comme le}

produit

de deux fonctions

caractéristiques

(4.i~)

f(t) = fl (t) f~(~)~

Supposons,

^de

plus,

que les fonctions

f ~ ( t)

^et

f ~ ( t) correspondent

^à

des fonctions de

répartition

^non

dégénérées,

^on dit alors que

f (t)

^est

décomposable

^et

qu’elle

^a les facteurs

fi ( t)

^et

f 2 ( t ). Désignons

par

F(x), ^Fs (x), ^Fz (x)

les fonctions de

répartition qui correspondent

^aux

fonctions

caractéristiques f ( t), f, ( t), f ~ ( t).

^Le théorème de

composi-

tion

([20],

p.

193)

^fait que l’assertion

(4.1 a)

^est

équivalente

^à

Nous n’avons pas l’intention de

discuter

^les

problèmes

^de

décompo-

sition des fonctions

caractéristiques.

^{C’est un}

^sujet

^très

intéressant,

^mais

nous n’examinerons ^ici

qu’une question spéciale

^{et nous nous occuperons}

seulement

de la

décomposition

^{des fonctions}

caractéristiques analytiques.

Soit ^une fonction

caractéristique analytique

dont la bande de

régularité

^{est la bande}

-- a Im,~ ~,

^où

a > o, ~i > o.

^Faisons

l’hypothèse

que

f’~2)

^est

décomposable,

^alors

^{~4.1 a)}

^est satisfaite pour ^t réel

quelconque.

^Soient

^{A, B, ~~, ~2 quatre}

nombres réels tels que

A> 0,

B _{> o,}

~2 > ~i,

^{il s’ensuit alors de}

(4. I b)

que

Fixons un nombre réel v tel que ^{- « v}

03B2 ;

^{comme est une}

fonction

caractéristique analytique.

^{on sait que}

l’intégrale dF(x)

existe et est finie et que

/ ~

^{- x}

/ ~

^{- lt}

pour ^{a et} b

positifs quelconques.

Afin d’écrire

l’intégrale

^e-03BDx

dF(x)

comme la limites des sommes de

Riemann-Stieltjes

^nous construisons

une suite de subdivisions ^de

l’intervalle ~ ab ~

^en introduisant

Ainsi ^.

Désignons

par

237

pour j

^{== ï, 2, ..., 2’t et} par

2n

gn(y; ~)

=~h;’(y~

^v).

j=1

Alors il s’ensuit de

(4.2) et (4.5)

que

(4.6)

ba e-03BDx dF (x)

^{~c lim}

^v)dF2(y).

Évidemment

x(a+1 ) C ^{x(ra+9 )} C x(n+1)2 j+1,

de cette

inégalité

^{et de}

(4.4)

^on conclut que ^,

v) ^~ v) ⁺ v)

et l’on a ainsi

gn (,Y; v ) ~ (,i’; v ).

Regardant

les fonctions comme des sommes de Riemann-

Stieltjes,

^on voit que

lim 03BD)

_ _

_~-~ .’ . ^dF1(z).

Appliquons

le théorème de convergence ^{monotone à} la formule

(4.6),

alors

ba

e-03BDx dF (^x)

B-03BB

[

^l

i

^{m gn(y; 03BD}

)]

^dF2(y)

e-vx dF(x) B-A[lim gn(y;

03BD)] dF2(y)

ou

~> ~-~e-03BDx dF(x) ba e-03BDx dF(x) B-A

^e-03BDy

[b-ya-y e-03BDz

^dF1

^{(z)] dF2(y)}

^.

Remarquons

que

b-ya-y e-03BDz dF1(z) b-B

^{e-03BDz dF1(z ),}

a-y a+A

ainsi

~-~ e-03BDx dF(x) [B-A e-03BDy dF2(y)][b-Ba+A e-03BDz dF1(z)].

L’intégrale

dans le membre de

gauche

^{de cette}

inégalité

^{est finie et}

est

indépendante

^{de a,}

b, A,

^{B. Par}

conséquent,

^les

intégrales