L2 Parcours sp´ ecial 2012-2013 Universit´ e Paul Sabatier Approfondissement math´ ematiques
Probl` eme I ` a rendre le 6 mars 2013
Fonction analytique d’un endomorphisme
Autour de la norme op´ erateur
Soit n ∈ N
∗, on consid` ere M
n( R ) l’ensemble des matrices carr´ es d’ordre n. Soit A ∈ M
n( R ), on pose
k|A|k := sup
u∈Rn,u6=0
kAuk
kuk , o` u k · k est une norme sur R
n.
1. Montrer que k| · |k est bien une norme sur M
n( R ).
2. Montrer que M
n( R ) muni de k|·|k est un espace complet. On rappelle que sur R
k(k ∈ N
∗), toutes les normes sont ´ equivalentes. Soit A, B ∈ M
n( R ), montrer que
k|AB|k ≤ k|A|kk|B|k.
3. A partir de maintenant, on suppose que k·k est la norme euclidienne standard sur R
n. Soit A ∈ M
n( R ). Dire pourquoi la matrice A
TA est diagonalisable dans une base orthonorm´ ee.
Soit λ
1≤ λ
2≤ · · · λ
nles valeurs propres de A
TA (´ eventuellement dupliqu´ ees suivant leur multiplicit´ e). Montrer que λ
1≥ 0.
4. Soit u
nun vecteur propre associ´ e ` a λ
n. Calculer kAu
nk et en d´ eduire que k|A|k ≥ √ λ
n. 5. Soit u
1, · · · , u
nune base orthonorm´ ee de vecteurs propres de A
TA (u
jest associ´ e ` a λ
j).
Soit x
1, . . . , x
ndes r´ eels avec P
ni=1
x
2i= 1. On pose u := P
ni=1
x
iu
i. Montrer que kAuk
2≤ λ
n. En d´ eduire que k|A|k ≤ √
λ
n. Puis k|A|k = √ λ
n. 6. Calculer k|A
0|k pour
A
0=
4 0 −1
−1 1 3
0 −1 4
,
Fonction analytique
Soit f une fonction d´ eveloppable en s´ erie enti` ere sur R . On pose, pour N ∈ N , f (x) =
∞
X
i=0
a
ix
i, f
N(x) =
N
X
i=1
a
ix
i.
Soit A ∈ M
n( R ), montrer que la suite (f
N(A)) est une suite de Cauchy. En d´ eduire que f(A) = P
∞i=0
