Fonctions de références et fonctions associées
I- Le sens de variation
Soitf une fonction définie sur un intervalle I. On dit que
• cette fonction est strictement croissante sur I si « f conserve l’ordre » sur cet intervalle.
Pour toutaetbde I, sia < balorsf(a)< f(b).
x
y f(x)
f(a) a f(b)
b
• cette fonction est strictement décroissante sur I si «f inverse l’ordre » sur cet intervalle.
Pour toutaetbde I, sia < balorsf(a)> f(b).
x y
f(x) f(b) b
f(a)
a Définition
II- Les fonctions de références
Pour résoudre des équations ou des inéquations à l’aide des variations de fonctions, il est nécessaire de connaître quelques fonctions dites fonctions de référence.
1) Les fonctions affines
Soitf la fonction affine définie parf(x) =mx+psurRoùmetpsont des réels.
Propriété
x y
m >0
x y
m <0 Rappel : la représentation graphique d’une fonction affine est la droite d’équationy=mx+p.
Exemple 1 :
Que pensez-vous des propositions suivantes ? Justifiez vos réponses en utilisant les variations des fonctions affines.
1. sia < balorsa+ 3< b+ 3. 2. sia < balors−a+ 10<−b+ 10. 3. si−x <5alorsx <−5.
4. si−1
2x <10alorsx >−20.
2) La fonction carrée
Soitf la fonction carrée définie parf(x) =x2surR.
• f est strictement décroissante surR−;
• f est strictement croissante surR+.
x y
Rappel : la représentation graphique de la fonction carrée est une parabole.
x
f(x) =x2
−∞ 0 +∞
+∞ +∞
0 0
+∞ +∞ Propriété
Exemple 2 :
Que pensez-vous des propositions suivantes ? Justifiez vos réponses en utilisant les variations de la fonction carrée.
1. si0< x <5alorsx2<25. 2. six <−3alorsx2<9. 3. sia < balorsa2< b2. 4. six >10alorsx2>0.
3) La fonction inverse
Soitf la fonction inverse définie parf(x) =1x surR∗.
• f est strictement décroissante sur ]− ∞; 0[ ;
• f est strictement décroissante sur ]0; +∞[.
x y
Rappel : la représentation graphique de la fonction inverse est une hyperbole.
x
f(x) = 1x
−∞ 0 +∞
0 0
−∞
+∞
0 0 Propriété
Exemple 3 :
Que pensez-vous des propositions suivantes ? Justifiez vos réponses en utilisant les variations de la fonction inverse.
1. si0< x <5alors 1x < 15. 2. six <−3alors 1x < 13. 3. sia < balors 1a <1b. 4. six >0alors 1x >0.
4) Effets sur les inégalités Exemple 4 :
On considère une fonction définie surRdont les variations sont données par le tableau suivant :
x
f(x)
−∞ 2 +∞
20 20
0 0
10 10
Que pensez-vous des propositions suivantes ? Justifiez vos réponses.
1. f(10)> f(100). 2. f(−10)< f(−5). 3. f(4)<0.
4. la fonctionf est positive surR. 5. l’équationf(x) = 0admet une unique solution surR. Exemple 5 :
1) Comparer sans calcul : a. 5,182et6,172
d. Si−7< x <−2alors 1 x Exemple 6 :
Trouver l’erreur dans cette suite d’inégalités (justifier par l’usage d’une fonction de référence).
a > b a−5> b−5 (a−5)2>(b−5)2
a2−10a+ 20> b2−10b+ 20.
Exemple 7 :
Encadrerf(x)dans chacun des cas suivants :
1) f(x) =−4x2+ 3, si1≤x≤3 2) f(x) = 2x2−5, si−5≤x≤0 3) f(x) = 5
x+ 2 si,4≤x≤6
III- La fonction racine carrée
1) Définition
On appelle fonction racine carrée la fonctionf définie surR+=]0; +∞[ par : f :x7−→
√ x Définition
2) Sens de variations
La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0; +∞[
x
f(x) =√ x
0 +∞
0 0
+∞ +∞ Propriété
Démonstration
On pourra utiliser, après l’avoir prouvé, que pour tousaetbpositifs, on ab−a=√ b−
√ a
√ b+
√ a
.
3) Représentation graphique
x y
4) Comparaison dex,x2,
√
xsur[0; +∞[
Ci-dessous on a représenté les fonctions :x7→x,x7→x2etx7→
√ x.
En utilisant le graphique comparerx,x2et√
xsurR+.
x y
y=√ x y=x2
y=x
Démonstration
Pour comparerxetx2on étudie le signe dex2−x.
Pour comparerxet
√
xon étudie le signe dex−
√ x.
IV- La fonction valeur absolue
1) Valeur absolue d’un nombre réel Définition
0 1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
bc
I
bc
M1
bc
M2
bc
M3
√2
bc
M4
−π
2) Avec un algorithme
Algorithme 1 :Valeur absolue Variables :x
Entrées : nombrex Traitement
six>0alors
|x|=x sinon
|x|=−x fin
Fin
3) Proriétés
• |x|=|−x|
• |x|= 0 ⇐⇒ x= 0
•
√ x2=|x| Propriété
4) La fonction valeur absolue
On appelle fonction valeur absolue la fonctionf définie surRpar f :x7−→ |x| Définition
a) sens de variation
La fonction valeur absolue est strictement décroissante sur ]− ∞; 0] et strictement croissante sur [0; +∞[ Propriété
d’ou le tableau de variations ci-dessous : x
f(x) =|x|
−∞ 0 +∞
+∞ +∞
0 0
+∞ +∞
b) Représentation graphique
La courbe représentative de la fonction valeur absolue est une fonctionaffine par morceaux
x y
V- Fonctions associées
Objectif :
t Construire la courbe d’une fonctionf à partir de celle d’une fonctionu t En déduire le sens de variation def.
Dans la suite on se place dans un repère (O ;#»ı , #»).
1) Fonctions de la formex7→u(x) +λ,λréel donné a) Interprétation graphique
Soitλun réel,u etf deux fonctions définies sur I telles que f(x) =u(x) +λ. La courbe def est l’image de celle deupar . . .
Théorème Admis
b) Sens de variations
Soitλun réel,u etf deux fonctions définies sur I telles que f(x) =u(x) +λ. f etu ont les mêmes variations sur I.
Théorème
2) Fonctions de la formex7→λu(x),(λ,0)
Soitλun nombre réel non nul,f etudeux fonctions définies sur un intervalle I telles que f(x) =λu(x).
• siλest positif,f etuvarient dans le même sens sur I.
• siλest négatif,f etuvarient en sens contraires sur I.
Théorème
3) Fonctions de la formex7→
√ u
Soituune fonction définie sur un intervalle I telle que pour toutxde I,u(x) est positif etf la fonction définie sur I parf(x) =p
u(x).
Les fonctionsu etf ont le même sens de variations sur I.
Théorème
4) Fonctions de la formex7→ 1
u
Soituune fonction définie sur un intervalle I telle que pour toutxde I,u(x),0 etf la fonction définie sur I parf(x) = 1
u(x).
Les fonctionsu etf varient en sens contraires sur I.
Théorème
5) Exemples d’utilisation Exemple 9 :
Soituune fonction ayant le tableau de variations suivant.
Dresser les tableaux de variations deu−3,−2u,
√ uet1u.
x
variations deu
−∞ 3 8
4 4
2 2 1
0
Exemple 10 :
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer l’ensemble de définition et le sens de variation.
1. f(x) =−2
x. 2. g(x) =
√
−4x+ 2. 3. h(x) =x12.
