Fonctionexponentielle 12

ANALYSE

12

Fonction

exponentielle

Les savoir-faire du chapitre

◮ 240.Transformer une expression en utilisant les propriétés de la fonction exponentielle.

◮ 241. Résoudre des équations ou inéquations contenant des exponentielles.

◮ 242.Représenter graphiquement les fonctionst7−→e^−kt ett7−→e^kt(k>0⁾

◮ 243.Modéliser une situation par une croissance, une dé- croissance exponentielle.

Activités mentales

1 Ecrire sous forme décimale :

1)2⁻¹ =... 3)2⁻²=...

2)4⁰ =... 4)5⁶×5⁻⁵=....

2 Ecrire sous la formeaⁿavecaréel etnentier re-

latif :

1)3⁵×3⁶=... 4)5²×2²=...

2)3²

3⁷ =... 5)2×2⁸=....

3)2⁻¹×3⁻¹=...

3 On considère la suite géométriqueude premier

terme 2 et de raison 3.

1)Exprimeru_n+1en fonction deu_n.

2)Exprimeru_nen fonction den.

4 On considère la suite géométriquevdéfinie pour

tout entier naturelnpar :v_n=2×2, 7ⁿ.

1)Calculerv₀etv₁.

2)Exprimerv_n+1en fonction dev_n.

3)Quelle est la nature de cette suite ?

5 Calculer les fonctions dérivées des fonctionsf,g,

h,kettdéfinies par :

1) f(x) =5−2x²+x f^′(x) =...

2) g(x) = 1

x−3x g^′(x) =...

3) h(x) = 2

3x³+5x²+1 h^′(x) =...

4) k(x) =√

x−x k^′(x) =...

5) t(x) = 1

3x−5 t^′(x) =...

➤➤➤

1

S’entraîner

Savoir-faire - Méthodes

240 Transformer une expression en utilisant les propriétés de la fonction exponentielle.

1)Simplifier les expressions suivantes pourxréel quelconque :

a)A=e^x×e^−x b)B= e^2x2

×(e^−x)² c)C= e^3x×e^4x e^2x−1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2)Etablir que pour tout réelx: 1

1+e^−x = e^x

e^x+1.

. . . . . . . . . . . .

3)Simplifier les expressions suivantes pourxréel quelconque :

a)A= (e^x)²− 1

e^−2x b)B= (e^x+e^−x)²−(e^x−e^−x)² c)C= e^2x+1

e^1−x

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

241 Résoudre des équations ou inéquations contenant des exponentielles.

Résoudre dansRles équations et inéquations suivantes :

1)e^x=1 2)e^2−x=1 3)e^x2 =e 4)e^2x <e² 5)e^x2 >e⁴ 6)e^x2+x−1=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Chapitre A12. Fonction exponentielle

S’entraîner

242 Représenter graphiquement les fonctionst7−→e^−ktett7−→e^kt(k>0)

Soit f la fonction définie et dérivable surRpar f(t) =e^−0,8t.

1)Calculer f^′(t).

2)En déduire le sens de variation de f.

3)Compléter le tableau suivant et représenter graphique-

ment la fonction f.

t −3 −2 −1 −0, 5 0 0, 5 1 2 3

f(t)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 3 4

1 2

−¹

−² 0

Soitgla fonction définie et dérivable surRparg(t) =e^0,6t. 1)Calculer f^′(t).

2)En déduire le sens de variation deg.

3)Compléter le tableau suivant et représenter graphique-

ment la fonctiong.

t −3 −2 −1 −0, 5 0 0, 5 1 2 3

g(t)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 3 4

1 2

−¹

−² 0

Chapitre A12. Fonction exponentielle 3

S’entraîner

243 Modéliser une situation par une croissance, une décroissance exponentielle.

On injecte à un patient une dose de 3,6 mg d’une substance médicamenteuse.

On suppose que la substance se répartit instantanément dans le sang, puis qu’elle s’élimine progressivement.

On modélise la quantité de substance médicamenteuse présente dans le sang, exprimée en mg, à l’instantt, exprimé

en heure, parQ(t), oùQest une fonction définie et dérivable sur[0 ; +∞[. L’injection est réalisé à l’instantt=0.

On admet que la fonctionQet sa dérivée vérifient :

Pour touttpositif,Q^′(t) =−kQ(t) oùkest une constante liée à l’expérimentation.

1) a)Montrer que la fonction f : t7−→3, 6e^−kt, définie sur[0 ; +∞[, vérifie l’égalité f^′=−k f.

On admet dans la suite du problème que la fonctiont7−→3, 6e^−ktest égale à la fonctionQ.

b)Interpréter f(0)dans le contexte de la situation étudiée.

2)Au bout d’une heure, la quantité de substance présente dans le sang a diminué de 20 %.

a)Montrer que la constantekvérifié légalité e^−k=0, 8.

b)A l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement dekà 10⁻³près.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Chapitre A12. Fonction exponentielle