Exercices sur sommes et produits

(1)

Exercices sur sommes et produits

1 Calculer

1 1

n n

p q

 



 ^oùn est une entier naturel supérieur ou égal à 1.

2 Pour tout entier natureln2, on pose : ₂

2

1 1

n

n k

P k



 

   

 



^.

Démontrer que

2 2

1 1

n n

n

k k

P k k

 

 



 

 ; en déduire une expression simplifiée deP_n. 3 Pour tout entier natureln2, on pose :

3 3 2

1 1

n n

k

P k

 k

 



 ^. 1°) Démontrer que

2 2

1 1

n n

n

k k

k k k

P k k k

 

  

 

  

 

^.

2°) Pour tout entier naturelk, on poseu_kk² k 1. Calculeru_k_₁.

3°) En déduire une expression simplifiée deP_n.

4 Pour tout entier natureln, on pose :

0

1 1

n n

k

S

k k





  ^.

Déterminer une expression simplifiée de S_n.

5 Pour tout entier natureln non nul, on pose :

1

1 1

n n

k

P k



 





  ^. 1°) Simplifier l’expression deP_n.

2°) En déduire lim _n

n P

   .

6 Calculer pour tout entier natureln la somme

0 0

2

n q p n

q p

S

 





^.

7 Une roue de loterie est divisée en 36 sections, chacune d’elles étant numérotée de 1 à 36 et ceci dans un ordre quelconque.

Démontrer que quel que soit l’ordre dans lesquels sont disposés les numéros il y a trois numéros consécutifs dont la somme est supérieure ou égale à 55.

8 1°) Vérifier que pour tout k^* on a :



¹ 1



¹ ¹1 k k  k k

  .

2°) En déduire une expression simplifiée

 

1

1 1

n

k k k

 



^oùn est un entier naturel supérieur ou égal à 1.

9 Démontrer que pour tout entier naturelk on a : ₁

2 2 2

1 1 2

2^k 12^k 12^k 1

   .

En déduire une expression simplifiée de

1

2 0

2 2^k 1

n k

k



 



^pourⁿ^^*^.

10 Démontrer que

 

¹

2 0

0

!

n n

n k

k

n n

k





 

   

   

 

 

 

^.

11 à trouver

12 Pour tout entier naturelk non nul, on pose 1 1

1 ...

k 2

u    k. Exprimer

1 n

k k

u



 en fonction den et deu_n.

13 Calculer

 

1

sin 1 1

1 1

cos cos 1

n

k

k k

k k





 



^pour ⁿ^^^*^.

14 Calculer

 

2

ln 1

ln ln ln 2

n

k

k k



  

 

   

 



^pourⁿ^²^.

15 Soit

 

ai ₁_{ }i n une famille de nombres réels.

Démontrer que

 

1 1

cos 0

n n

i j

ij a a

 



 ^ ^. 16 Pour tout entier naturelk, on pose 2^{ }¹

kk

uk ^ . Calculer

0 n

k k

u



 ^oùn est un entier naturel.

(2)

17 On considère la suite

 

un définie sur par son premier termeu₀a oùa est un réel fixé non nul et la relation de récurrence ₁ 2

n n

u ^ u pour tout entier natureln.

Calculer

0 n

k k

u



 ^oùn est un entier naturel.

18 Soitx un réel non nul etn un entier naturel supérieur ou égal à 1.

Déterminer une expression simplifiée de la somme

1

0

1

n k

k k

x x







 ^.

19 Démontrer que pour tout entier natureln, on a :

     

²



0

1 2

1 2 1

2

n

k

n n n

k k k



 

  



^.

20 Déterminer une expression simplifiée de

 

²

0

1

k n k k

k





 ^pourn entier naturel quelconque.

21 Démontrer que pour tout entier natureln, on a

 

₂

   

0

1 1

1 2

k n n

k k

k n n



 

 



^.

22 Soitn un entier naturel non nul. On considère une famille

 

^a_{i i}__{ }_1;_n de réels strictement positifs.

Exprimer

1 1

n n

i n

i j

S a

a a

 





 en fonction den.

23 Soitn un entier naturel non nul. On considère une famille

 

^a_{i i}__{ }_1;_n^{de réels.}

1°) Écrire de deux façons différentes la somme _,

1 i j i j n



a

  

.

2°) Calculer cette somme lorsque

2

, 2 1

i j

a i

 j

 (donner le résultat sous forme factorisée).

24 Soitn un entier naturel supérieur ou égal à 1.

1°) Calculer la somme

 

1

1 !

n

k

 k



^.

2°) Calculer la somme

   

1

1 ! ! 1 !

n

k

k k k





   



^.

25 Démontrer par récurrence que pour toute famille



x1;x2; ... ;x_n



de réels de l’intervalle

 

^{0 ;1 , où}^{n est un}

entier naturel tel quen2, on a

 

1 1

n n

i i

x x



 





^ ^.

26 1°) On considère une famille



x1;x2; ... ;x_n



de réels de l’intervalle

 

^{0 ;1 , où}n est un entier naturel tel quen2.

a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n1,

 

1 1

n n

i i

x x



 





^ ^.

b) Démontrer que pour tout entier natureln1,

 

1 1

n n

i i

x x



 





^ ^.

c) Démontrer que pour tout entier natureln1,

 

1 1

1

1 1 1

1

n n

i i

n

i i

x x

x ^ ^



 



 



^ ^

2°) Déduire de la question 1°) c), l’encadrement pour tout entier natureln et tout réel^x

 

^{0 ;1},

 

¹

1 1

1 nx xn

  nx

   .

3°) Déduire de la question 1°) c), l’inégalité pour tout entier naturel n2 et tout^k^



^{2 ;}ⁿ



^,

 

1

1 1 1

2

k

i

i k k

n n





    

 

 



^ ^.

27 On considère la suite

 

un définie sur par son premier termeu₀0 et la relation de récurrence lnu_n_1lnu_n1 pour tout entier natureln.

Calculer

0 n

k k

u



 ^et 0 n

n k

k

P u





^.

28 Pour tout entier natureln supérieur ou égal à 1, on pose

 

²

2 1

1 1

1

n

n k

S k k



  



 ^. Déterminer une expression simplifiée de S_n en fonction den.

(3)

Solutions

1



²



1 1

1 3

n n

p q

n n p q

 

  



7 Raisonnement par l’absurde.

On groupe les secteurs par paquets de 3. On calcule la somme de tous les secteurs.

12



n¹



unn

13 Calculer

 

1

sin 1 1

1 1

cos cos 1

n

k

k k

k k





 



^pour ⁿ^^*^.



¹



¹ ¹

sin sin

1 1

1 1 1 1

cos cos cos cos

1 1

k k k k

k k k k

  

 

    

 

 

 

^sin¹^cos ¹₁ ^cos¹^sin ¹₁

1 1

cos cos sin 1

1

1 1

cos co s 1

1

k k k k

k k





 

 

 





¹



sin 1

1 1

cos cos

1 1

tan t

1 1

k k an

k k

 



 



 

1

sin 1

1 1

tan1 tan

1 1 1

cos cos 1

n

k

k k

n

k k



  

 





14 Calculer

 

2

ln 1

ln ln ln 2

n

k

k k



  

 

   

 



^pourⁿ^²^.

 

     

 

ln2 1 ln 1 ln 2

ln ln ln

ln ln 2 ln ln 1

k k k

k k k k

        

 

     

        

   

 

   

 

2

ln 1 ln 3 ln 2

ln ln ln

ln ln 2 ln 2 ln 1

n

k

k n

k k n



       

     

        

   



Remarque : Ce qu’il y a à l’intérieur du ln ne sert à rien.

16

 1

2 ^k^k uk ^ 1^er cas :n2p

0

4 1 2 1

3 3 1 4

n p

k p

k

u



  

    



2^e cas :n2p1

1 0

4 1 2 1

1

3 3 4

n p

k p

k

u _



  

    



22

Ancienne version :

Démontrer que pour tout entier natureln1, on a :

2

1 1 2

n n

i j

i n

i j

 

 



(on remarquera que i i j j

i j i j

  

  ).

Autre méthode (trouvée le samedi 16 septembre 2017) :

1 1

n n

n

i j

S i

i j

 





 ^et

1 1

n n

n

i j

T j

i j

 





 ^.

Démontrer que S_nT_n.

Calculer S_nT_n. En déduire la valeur de S_n en fonction den.

La nouvelle version a été écrite le 21-8-2021.

25 On utilise une récurrence.



1

    

1

 

1 1 1

1 1 1 1

n n n

n i i n i

i i i

x_ x x x_ x

  





 



 





1 1

1

n

i n

i

x x_











28 Il s’agit d’établir une formule sommatoire.

On commence par simplifier

 

²

2

1 1

1 k k 1

 

 . On va démontrer que c’est une quantité rationnelle.

     

 

2 2

1 1

1

1 1

k k k k

   

  

 

  

²



²

 

²

2 2 4 3 2 2

1 1 2 3 2 1 1

k k  k k k  k  k  k  k  k