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Corrigé du DS du 03/05/19 1. a. En utilisant la partition ሺܺ

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Academic year: 2022

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Corrigé du DS du 03/05/19

1. a. En utilisant la partition ሺܺ, ܻ, ܼሻ et la formule des probabilités totales : ݔ௡ାଵ = ܲሺܺ௡ାଵሻ = ܲሺܺ௡ାଵ ∩ ܺሻ + ܲሺܺ௡ାଵ∩ ܻሻ + ܲሺܺ௡ାଵ∩ ܼ

= ܲሺܺሻ × ܲሺܺ௡ାଵሻ + ܲሺܻሻ × ܲሺܺ௡ାଵሻ + ܲሺܼሻ × ܲሺܺ௡ାଵ

= ݔ× 0,5 + ݕ × 0,5 + ݖ× 0,1

= 0,5ݔ + 0,5ݕ+ 0,1ݖ

On admet que : ݕ௡ାଵ = 0,4ݔ+ 0,3ݕ+ 0,2ݖ et que ݖ௡ାଵ = 0,1ݔ+ 0,2ݕ + 0,7ݖ. b. Compte tenu que ሺܺ, ܻ, ܼሻ est une partition, il est clair que ݔ + ݕ + ݖ = 1 Ainsi, ݖ = 1 − ݔ− ݕ

On en déduit que :

ݔ௡ାଵ = 0,5ݔ + 0,5ݕ+ 0,1ሺ1 − ݔ − ݕሻ = 0,4ݔ+ 0,4ݕ + 0,1 ݕ௡ାଵ = 0,4ݔ+ 0,3ݕ+ 0,2ሺ1 − ݔ− ݕሻ = 0,2ݔ+ 0,1ݕ + 0,2 2. On définit la suite ሺܷሻ par ܷ = ቀݔ

ݕቁ, pour tout entier naturel ݊. Pour tout entier naturel ݊, ܷ௡ାଵ = ቀݔ௡ାଵ

ݕ௡ାଵቁ = ൬0,4ݔ + 0,4ݕ+ 0,1 0,2ݔ + 0,1ݕ+ 0,2൰

= ൬0,4ݔ+ 0,4ݕ

0,2ݔ+ 0,1ݕ൰ + ቀ0,10,2ቁ = ቀ0,4 0,4 0,2 0,1ቁ ቀݔ

ݕቁ + ቀ0,10,2ቁ = ܣ × ܷ+ ܤ où ܣ = ቀ0,4 0,40,2 0,1ቁ et ܤ = ቀ0,10,2ቁ.

3. a. Premier cas : ݊ = 1

i prend la valeur 0 donc, au départ, ݅ < ݊

ܷ prend donc la valeur ܣ × ܷ + ܤ = ቀ0,4 0,40,2 0,1ቁ ቀ0,5

0,3ቁ + ቀ0,1

0,2ቁ = ቀ0,42 0,33ቁ

݅ prend alors la valeur 1 et ne vérifie plus la condition ݅ < ݊, l’algorithme s’arrête et affiche la valeur ܷ = ቀ0,420,33ቁ qui correspond à ܷ.

Deuxième cas : ݊ = 3

i prend la valeur 0 donc, au départ, ݅ < ݊

ܷ prend donc la valeur ܣ × ܷ + ܤ = ቀ0,4 0,40,2 0,1ቁ ቀ0,5

0,3ቁ + ቀ0,1

0,2ቁ = ቀ0,42 0,33ቁ

݅ prend alors la valeur 1 ≤ 3

ܷ prend donc la valeur ܣ × ܷ + ܤ = ቀ0,4 0,40,2 0,1ቁ ቀ0,42

0,33ቁ + ቀ0,1

0,2ቁ = ቀ 0,4 0,317ቁ

݅ prend alors la valeur 2 ≤ 3

ܷ prend donc la valeur ܣ × ܷ + ܤ = ቀ0,4 0,40,2 0,1ቁ ቀ 0,4

0,317ቁ + ቀ0,1

0,2ቁ = ቀ0,3868 0,3117ቁ

(2)

݅ prend alors la valeur 3 et ne vérifie plus la condition ݅ < ݊, l’algorithme s’arrête et affiche la valeur ܷ = ቀ0,38680,3117ቁ qui correspond à ܷ.

b. ܷ = ቀ0,50,3ቁ correspond au mois de janvier 2019 donc ܷ = ቀ0,38680,3117ቁ correspond à avril 2019 : ݔ = 0,3868 donc la probabilité d’utiliser la marque X au mois d’avril est de 38,68 %.

3. a. ܥ = ܣ × ܥ + ܤ ⇔ ܥ − ܣܥ = ܤ ⇔ ሺܫ − ܣሻܥ = ܤ ⇔ ܰܥ = ܤ. b. ܰ = ܫ − ܣ = ቀ1 00 1ቁ − ቀ0,4 0,4

0,2 0,1ቁ = ቀ 0,6 −0,4

−0,2 0,9 ቁ

0,6 × 0,9 − ሺ−0,2ሻ × ሺ−0,4ሻ = 0,54 − 0,08 = 0,46 ≠ 0 donc ܰ est inversible et

ܰିଵ =଴,ସ଺ ቀ0,9 0,40,2 0,6ቁ = ସ଺ ቀ90 4020 60ቁ.

ܰܥ = ܤ ⇔ ܥ = ܰିଵܤ =ସ଺ ቀ90 4020 60ቁ ቀ0,1

0,2ቁ = ସ଺ ቀ1714ቁ = ቌ

ଵ଻

ସ଺ଵସ ସ଺

ቍ = ቌ

ଵ଻

ସ଺ ଶଷ

ቍ. On en déduit bien que ܥ = ቌ

ଵ଻

ସ଺ ଶଷ

ቍ.

4. a. Pour tout entier naturel ݊, ܸ௡ାଵ = ܷ௡ାଵ− ܥ = ܣ × ܷ+ ܤ − ܥ

= ܣ × ሺܸ + ܥሻ + ܤ − ܥ = ܣ × ܸ+ ܣܥ + ܤ − ܥᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ

= ܣ × ܸ.

b. On démontre par récurrence que,pour tout entier naturel ݊,ܸ = ܣܸ On en déduit que, pour tout entier naturel ݊,

ܷ = ܸ+ ܥ = ܣܸ + ܥ = ܣሺܷ− ܥ ሻ + ܥ

Pour déterminer les probabilités en mai 2019, il faut déterminer ܷ:

ܷ = ܣሺܷ− ܥ ሻ + ܥ = ቀ0,0776 0,0660,033 0,0281ቁ ൮

0,5 −17 46 0,3 − 7

23

൲ + ൮ 1746 237

൲ = ቀ 0,37940,30853ቁ Les probabilités d’utiliser les marques X, Y et Z au mois de mai sont respectivement 0.3794, 0.30853 et 1 − 0.3794 − 0.30853 = 0.31207.

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