Corrigé du DS du 03/05/19
1. a. En utilisant la partition ሺܺ, ܻ, ܼሻ et la formule des probabilités totales : ݔାଵ = ܲሺܺାଵሻ = ܲሺܺାଵ ∩ ܺሻ + ܲሺܺାଵ∩ ܻሻ + ܲሺܺାଵ∩ ܼሻ
= ܲሺܺሻ × ܲሺܺାଵሻ + ܲሺܻሻ × ܲሺܺାଵሻ + ܲሺܼሻ × ܲሺܺାଵሻ
= ݔ× 0,5 + ݕ × 0,5 + ݖ× 0,1
= 0,5ݔ + 0,5ݕ+ 0,1ݖ
On admet que : ݕାଵ = 0,4ݔ+ 0,3ݕ+ 0,2ݖ et que ݖାଵ = 0,1ݔ+ 0,2ݕ + 0,7ݖ. b. Compte tenu que ሺܺ, ܻ, ܼሻ est une partition, il est clair que ݔ + ݕ + ݖ = 1 Ainsi, ݖ = 1 − ݔ− ݕ
On en déduit que :
ݔାଵ = 0,5ݔ + 0,5ݕ+ 0,1ሺ1 − ݔ − ݕሻ = 0,4ݔ+ 0,4ݕ + 0,1 ݕାଵ = 0,4ݔ+ 0,3ݕ+ 0,2ሺ1 − ݔ− ݕሻ = 0,2ݔ+ 0,1ݕ + 0,2 2. On définit la suite ሺܷሻ par ܷ = ቀݔ
ݕቁ, pour tout entier naturel ݊. Pour tout entier naturel ݊, ܷାଵ = ቀݔାଵ
ݕାଵቁ = ൬0,4ݔ + 0,4ݕ+ 0,1 0,2ݔ + 0,1ݕ+ 0,2൰
= ൬0,4ݔ+ 0,4ݕ
0,2ݔ+ 0,1ݕ൰ + ቀ0,10,2ቁ = ቀ0,4 0,4 0,2 0,1ቁ ቀݔ
ݕቁ + ቀ0,10,2ቁ = ܣ × ܷ+ ܤ où ܣ = ቀ0,4 0,40,2 0,1ቁ et ܤ = ቀ0,10,2ቁ.
3. a. Premier cas : ݊ = 1
i prend la valeur 0 donc, au départ, ݅ < ݊
ܷ prend donc la valeur ܣ × ܷ + ܤ = ቀ0,4 0,40,2 0,1ቁ ቀ0,5
0,3ቁ + ቀ0,1
0,2ቁ = ቀ0,42 0,33ቁ
݅ prend alors la valeur 1 et ne vérifie plus la condition ݅ < ݊, l’algorithme s’arrête et affiche la valeur ܷ = ቀ0,420,33ቁ qui correspond à ܷଵ.
Deuxième cas : ݊ = 3
i prend la valeur 0 donc, au départ, ݅ < ݊
ܷ prend donc la valeur ܣ × ܷ + ܤ = ቀ0,4 0,40,2 0,1ቁ ቀ0,5
0,3ቁ + ቀ0,1
0,2ቁ = ቀ0,42 0,33ቁ
݅ prend alors la valeur 1 ≤ 3
ܷ prend donc la valeur ܣ × ܷ + ܤ = ቀ0,4 0,40,2 0,1ቁ ቀ0,42
0,33ቁ + ቀ0,1
0,2ቁ = ቀ 0,4 0,317ቁ
݅ prend alors la valeur 2 ≤ 3
ܷ prend donc la valeur ܣ × ܷ + ܤ = ቀ0,4 0,40,2 0,1ቁ ቀ 0,4
0,317ቁ + ቀ0,1
0,2ቁ = ቀ0,3868 0,3117ቁ
݅ prend alors la valeur 3 et ne vérifie plus la condition ݅ < ݊, l’algorithme s’arrête et affiche la valeur ܷ = ቀ0,38680,3117ቁ qui correspond à ܷଷ.
b. ܷ = ቀ0,50,3ቁ correspond au mois de janvier 2019 donc ܷଷ = ቀ0,38680,3117ቁ correspond à avril 2019 : ݔଷ = 0,3868 donc la probabilité d’utiliser la marque X au mois d’avril est de 38,68 %.
3. a. ܥ = ܣ × ܥ + ܤ ⇔ ܥ − ܣܥ = ܤ ⇔ ሺܫ − ܣሻܥ = ܤ ⇔ ܰܥ = ܤ. b. ܰ = ܫ − ܣ = ቀ1 00 1ቁ − ቀ0,4 0,4
0,2 0,1ቁ = ቀ 0,6 −0,4
−0,2 0,9 ቁ
0,6 × 0,9 − ሺ−0,2ሻ × ሺ−0,4ሻ = 0,54 − 0,08 = 0,46 ≠ 0 donc ܰ est inversible et
ܰିଵ =,ସଵ ቀ0,9 0,40,2 0,6ቁ = ସଵ ቀ90 4020 60ቁ.
ܰܥ = ܤ ⇔ ܥ = ܰିଵܤ =ସଵ ቀ90 4020 60ቁ ቀ0,1
0,2ቁ = ସଵ ቀ1714ቁ = ቌ
ଵ
ସଵସ ସ
ቍ = ቌ
ଵ
ସ ଶଷ
ቍ. On en déduit bien que ܥ = ቌ
ଵ
ସ ଶଷ
ቍ.
4. a. Pour tout entier naturel ݊, ܸାଵ = ܷାଵ− ܥ = ܣ × ܷ+ ܤ − ܥ
= ܣ × ሺܸ + ܥሻ + ܤ − ܥ = ܣ × ܸ+ ܣܥ + ܤ − ܥᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ
= ܣ × ܸ.
b. On démontre par récurrence que,pour tout entier naturel ݊,ܸ = ܣܸ On en déduit que, pour tout entier naturel ݊,
ܷ = ܸ+ ܥ = ܣܸ + ܥ = ܣሺܷ− ܥ ሻ + ܥ
Pour déterminer les probabilités en mai 2019, il faut déterminer ܷସ:
ܷସ = ܣସሺܷ− ܥ ሻ + ܥ = ቀ0,0776 0,0660,033 0,0281ቁ ൮
0,5 −17 46 0,3 − 7
23
൲ + ൮ 1746 237
൲ = ቀ 0,37940,30853ቁ Les probabilités d’utiliser les marques X, Y et Z au mois de mai sont respectivement 0.3794, 0.30853 et 1 − 0.3794 − 0.30853 = 0.31207.
