DS 05 corrigé

(1)

DS n°5 : Secondes

Durée 2 h, Calculatrice : autorisée.

L’énoncé devra être remis en fin d’épreuve.

Nous rappelons que les exercices peuvent être traités dans l’ordre de votre choix, et que la rédaction et la présentation de la copie rentreront en compte dans la notation.

Exercice 1 (3.5 points – Sauf Seconde 4) Résoudre les inéquations suivantes :

A : (3 5 )(4− x x− >3) 0 B : ³ ⁴ 0 6 5

x

− ≤x

− C :

( )

2

2 1 4 0 x x

x + ≤ + Exercice 1 (3.5 points – Que pour les Secondes 4) Résoudre les équations suivantes : a) 1 5 1

2 3 4

x− x− = − b)

(

^x⁻⁵

)(

^x^{+ = − +}¹

)

⁴^x ²

c)

(

⁵^x⁺¹

)

² ⁼²^x

(

⁵^x⁺¹

)

d) (x+3)² = 4 Exercice 2 (6 points)

La trajectoire d’une balle de jeu est exprimée en mètres et donnée par g x( )= −5x²+10x+15, où x est le temps écoulé en secondes depuis le lancement et g(x) la hauteur de la balle au dessus du sol.

On suppose de plus que x∈[0;3].

1. Recopier et compléter le tableau suivant :

x 0 0,2 0,4 06 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 g(x)

2. Représenter cette fonction dans un repère orthogonal d’unités 4 cm pour 1 seconde et de 2 cm pour 5 mètres.

3. Partie graphique. Les traits de construction relatifs aux questions devront être placés sur le graphique.

3a. A l’aide de la représentation graphique, déterminer la hauteur maximale que semble atteindre la balle.

3b. Déterminer graphiquement les instants où la balle est en dessous de 15 mètres.

3c. Résoudre graphiquement l’équation g(x) = 18 et en donner une interprétation concrète.

4. Partie algébrique.

4a. Retrouver par le calcul les résultats de la question 3b.

4b. Vérifier que ^{g x}^{( )}^{= −}⁵

(

^x⁻¹

)

²⁺²⁰et retrouver le résultat de la question 3a.

4c. Démontrer que ^{( ) 18} ⁵

(

¹

)

² ²

g x  x 5

− = −  − −  et retrouver le résultat de la question 3c.

Exercice 3 (3 points)

Copier les phrases et répondre sur votre copie par Oui ou Non aux questions suivantes. Les réponses « oui » devront être justifiées, les « non » accompagnées d’un contre exemple éventuellement graphique.

Une réponse fausse ou non justifiée enlèvera 0.5 point, une réponse correctement justifiée en rapportera 0.75. Si le total est négatif, il sera ramené à 0 point pour l’exercice.

1. Deux droites non parallèles de l’espace sont-elles toujours sécantes ? 2. Deux plans non parallèles sont-ils nécessairement sécants ?

3. Deux plans peuvent-ils s’intercepter en un point seulement ?

4. Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, sont-elles forcément parallèles entre elles ?

(2)

Exercice 4 (3.5 points)

SABCD désigne une pyramide dont la base ABCD est un quadrilatère. Les points I, J et K sont respectivement sur les arêtes [SA], [SB] et [SC]. Une figure est fournie en page 2.

On suppose de plus que les droites (IJ) et (KJ) ne sont pas parallèles au plan (ABC).

1. Justifier que les droites (IJ) et (KJ) interceptent chacune le plan (ABC).

2. On note alors M le point d’intersection de (IJ) avec le plan (ABC) et N celui de la droite (KJ) avec le plan (ABC).

2a. Construire sur la figure de l’énoncé les points M et N. Justifier la construction de M.

2b. Déterminer l’intersection des plans (IJK) et (ABC) en justifiant votre réponse.

Représenter sur la figure cette intersection.

Dans les questions suivantes, la méthode de résolution devra être présentée.

Les réponses seront exprimées à l’aide d’intervalles ou d’inégalités.

1. Sachant que x∈ −[ 11;9], à quel ensemble appartient x² ? 2. Résoudre l’inéquation ¹ 5

x≥ .

3. Sachant que x≤3, à quel ensemble appartient ¹ x ? 4. Déterminer les réels x tels que x²∈[3; 4].

Bonus (1.5 point) Déterminer tous les nombres plus grands que leur inverse.

Figure de l’exercice 2

(3)

DS n°5 : Secondes Corrigé .

Exercice 1 (3.5 points – Sauf Seconde 4) Pour résoudre les inéquations suivantes, on utilise un tableau de signes : A :

( )

(3 5 )(4 3) 0

f x

x x

− − >

3 5 0 3

x x 5

− = ⇔ = 4 3 0 3

x− = ⇔ =x 4

B :

( )

3 4

6 5 0

f x

x

− ≤x −

3 4 0 4 x− = ⇔ =x 3 6 5 0 6

x x 5

− = ⇔ =

C :

( )

2 ( )

2 1

4 0

f x

x x x

+ ≤ +

0 0 !!

x= ⇔ =x 2 1 0 1

x+ = ⇔ = −x 2

2 4 4 0

x + ≥ > pour tout x

Exercice 1 (3.5 points – Que pour les Secondes 4) Résolution des inéquations :

a. 1 5 1

2 3 4

x− x− = − ³ ¹⁰ ² ⁴ ³ ¹⁰ ² ⁷ ² ⁴ ⁷ ² ²⁴ ²⁶

6 6 6 6 7

x x x x x

x x

− − + − +

⇔ − = − ⇔ ⇔ = − ⇔ − + = − ⇔ = . b.

(

^x⁻⁵

)(

^x^{+ = − +}¹

)

5

−1

= x ou

3

−1

= x .

d. (x+3)² = 4⇔ x+ =3 2 ou x+ = − ⇔ = −3 2 x 1 ou x= −5. Exercice 2 (6 points) 1. Voici le tableau de valeurs demandé :

2. A l’aide de ce tableau, on trace la courbe représentant f : on sait de plus que ce sera une portion de parabole puisqu’ « elle est en x² ».

> Le graphique est donné en fin de partie 3.

x -∞ 3

5 3

4 +∞

3-5x + 0 - | - 4x-3 - | - 0 + f(x) - 0 + 0 -

x -∞ 6

5 4

3 +∞

3x-4 - | - 0 + 6-5x + 0 - | - f(x) - || + 0 -

x -∞ 1

−2 0 +∞ x - | - 0 + 2x+1 - 0 + | + x²+4 + | + | + f(x) + 0 - 0 +

x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 g(x) 15 17 18 19,2 19,8 20 19,8 19,2 18,2 16,8 15 12,8 10,2 7,2 3,8 0

Ainsi, f x( )>0 pour 3 3 ] ; [ x∈5 4 .

Ainsi, f x( )≤0 pour 6 4 ] ; [ [ ; [

5 3

x∈ − ∞ ∪ +∞ .

Ainsi, f x( )≤0 pour 1 [ ; 0]

x∈ −2 .

(4)

3. Partie graphique.

3a. Graphiquement, la hauteur maximale que peut atteindre la balle semble être d’environ 20 mètres, hauteur qu’elle atteint au bout d’une seconde.

3b. Pour déterminer graphiquement les instants où la balle est en dessous de 15 mètres, on doit résoudre l’inéquation g(x)≤15 : on trace alors la droite horizontale d’équation y = 15, et on cherche les abscisses des points de Cg situés sous la droite.

On lit que la balle est sous 15 mètres (exclu) à partir de 2 secondes de chute, donc entre 2 et 3 secondes.

Remarque : pour x = 0 et x = 2, g(x) = 15.

3c. Pour résoudre

graphiquement l’équation g(x) = 18, on trace la droite horizontale d’équation y = 18, et on cherche les abscisses des points d’intersection de Cg avec la droite.

On lit que cela a lieu pour environ 0.4 seconde et 1.6 seconde : cela représente les instants où la balle est a exactement 18 mètres.

4. Partie algébrique.

4a. On cherche à résoudre algébriquement l’inéquation g(x) < 15. Calculons g(x) – 15 :

( )

( ) 15 5 ² 10 15 15 5 ² 10 5 2 g x − = − x + x+ − = − x + x= − x x− . Pour étudier le signe de g(x) – 15,

faisons un tableau de signes :

On trouve bien, comme dans le 3b, que g(x) < 15 cad g(x) – 15 < 0 pour x∈]2;3].

4b. On développe l’expression donnée : −5(x−1)²+20=−5(x²−2x+1)+20=−5x²+10x−5+20=−5x²+10x+15. On retrouve bien l’expression de g(x) donc on a ^{g x}^{( )}^{= −}⁵

(

^x⁻¹

)

²⁺²⁰^.

Comme dans le 3a, cherchons la hauteur maximale atteinte par la balle, cad le maximum de g :

> un carré est toujours positif donc ⁻⁵

( )

^x⁺¹^²^≤⁰ : ajoutons 20 dans chaque membre, il vient, g(x)≤20.

> 20 est donc un majorant de g, et comme g(1) = -5(1-1)²+20 = 20, 20 est atteint en x = 1 donc 20 est la maximum de g, ce qui correspond encore une fois à la lecture graphique.

4c. Démontrons que ^{( ) 18} ⁵

(

¹

)

² ²

g x  x 5

− = −  − − .

> d’un coté, g(x) – 18 = −5x²+10x+15−18=−5x²+10x−3

> de l’autre ⁻⁵

[ ( )

^x⁻¹^²⁻²

] [

⁼⁻⁵^x^²⁻²^x⁺¹⁻²

] [

⁼⁻⁵^x^²⁻²^x⁺³

]

⁼⁻⁵^x^²⁺¹⁰^x⁻³ d’où l’égalité voulue.

x 0 2 3

-5x 0 - | - x-2 - 0 + g(x) - 15 0 + 0 -

0.4 1.6 ² ³

10 15 20

0 1

5

x y

(5)

Retrouvons le résultat de la question 3c.

g(x) = 18 équivaut à g(x) – 18 = 0 soit, ⁻⁵

[ ( )

^x⁻¹^²⁻₅²

]

⁼⁰^⇔

^{( )}

^x⁻¹^²⁼₅²^⇔^x⁻¹⁼ ₅²^ou^x⁻¹⁼⁻ ₅² ^.

Cette équation admet donc deux solutions,

5 1 2 5

1+ 2 = −

= oux

x , soit respectivement x≈1.6 et x≈0.4 ce qui est cohérent avec la lecture graphique.

Copier les phrases et répondre sur votre copie par Oui ou Non aux questions suivantes. Les réponses « oui » devront être justifiées, les « non » accompagnées d’un contre exemple éventuellement graphique.

Une réponse fausse ou non justifiée enlèvera 0.5 point, une réponse correctement justifiée en rapportera 0.75. Si le total est négatif, il sera ramené à 0 point pour l’exercice.

1. Deux droites non parallèles de l’espace sont-elles toujours sécantes ? Non, à gauche un contre exemple (ou penser au cube).

2. Deux plans non parallèles sont-ils nécessairement sécants ? Oui, d’après le cours ils sont toujours sécants en une droite.

3. Deux plans peuvent-ils s’intercepter en un point seulement ? Non, lorsqu’ils s’interceptent, c’est en une droite ou en un plan (s’ils sont confondus).

4. Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, sont-elles forcément parallèles entre elles ? Non, dans la figure suivante, les droites (EA) et (EH) sont perpendiculaires à la droite (EF) mais elles ne sont pas parallèles entre elles.

Elles sont même perpendiculaires entre elles !

Exercice 4 (3.5 points)

SABCD désigne une pyramide dont la base ABCD est un quadrilatère. Les points I, J et K sont respectivement sur les arêtes [SA], [SB] et [SC]. Une figure est fournie en page 2.

On suppose de plus que les droites (IJ) et (KJ) ne sont pas parallèles au plan (ABC).

1. Les droites (IJ) et (KJ) sont deux droites non parallèles au plan (ABC) [par hypothèse] donc d’après le cours, elles interceptent chacune ce plan.

2. On note alors M le point d’intersection de (IJ) avec le plan (ABC) et N celui de la droite (KJ) avec le plan (ABC). La figure est donnée en fin d’exercice.

2a.

Les droites (IJ) et (AB) sont deux droites du plan (SAB) : elles sont donc parallèles ou sécantes dans ce plan.

Comme (IJ) et (AB) ne sont pas parallèles, (IJ) et (AB) sont sécantes.

Ce point d’intersection est alors sur (IJ) et comme il appartient à (AB), il est dans (ABC) : c’est donc le point M, intersection de (IJ) et (ABC).

Remarque : le point N est obtenu de la même manière, comme intersection des droites (JK) et (BC).

(6)

2b.

Par hypothèse, M est sur (IJ) et (ABC) : comme il est sur (IJ), il est dans le plan (IJK).

Ainsi, M appartient à

(

^IJK

) (

^∩ ^ABC

)

^.

Par hypothèse, N est sur (JK) et (ABC) : comme il est sur (JK), il est dans le plan (IJK).

Ainsi, N appartient à

(

^IJK

) (

^∩ ^ABC

)

^.

Ces deux plans sont sécants en au moins deux points, et comme ils sont distincts, ils sont sécants en une droite qui passe par M et N : c’est donc la droite (MN) l’intersection des deux plans.

Exercice 5 (4 points) Les repères des figures suivants ne sont pas évidemment orthonormés…

1. Sachant que x∈ −[ 11;9], à quel ensemble appartient x² ? Pour x∈ −[ 11;9], on a x²∈[0;121].

2. ¹ 5

x≥ pour ]0; ]¹ x∈ 5 .

3. De même, sachant que x≤3, ¹ ] ; 0[ [ ;¹ [ 3 x∈ − ∞ ∪ +∞ .

9 121

0 1

1

x y

-11

0 1

1

x y

5

1/5

(7)

4. Enfin, x²∈[3; 4] pour x∈ − −[ 2; 3] [ 3; 2]∪ .

Bonus (1.5 point)

Soit x un nombre non nul (on parle de son inverse) : on cherche les nombres plus grands que leur inverse, donc on veut résoudre l’équation x ¹

≥ x.

On a ²

( )( )

( )

1 1

1 1 1

0 0 0

f x

x x

x x x

x x x x

− +

≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥

.

Ainsi, les nombres plus grands que leur inverse sont les réels x∈ −[ 1; 0[ [1;∪ +∞[.

x -∞ -1 0 1 +∞

x-1 - | - | - 0 + x+1 - 0 + | + | + x - | - 0 + | + f(x) - 0 + || - 0 +