HX4 — Contrˆole 1993/09
Exercice 1
◮Nous nous int´eressons `a la matrice Acarr´ee d’ordre n+ 1, d´efinie parAij =δi+1,j pour tout i∈[[1,n+ 1]]
et toutj∈[[1,n+ 1]]. Nous avons donc :
A=
0 1 0 . . . 0 ... . .. 1 ... ...
... . .. ... 0
... . .. 1
0 . . . 0
Q1 Quel est le rang de A? Montrez rapidement que An6= 0, et que An+1= 0. D´eterminez le spectre deA. A est-elle diagonalisable ?
Q2 Montrez que AettAsont semblables.
Q3 D´eterminez le rang deA+tA; vous distinguerez deux cas selon la parit´e den.
Q4 Explicitez la matriceB de la d´erivation deKn[X], dans la base canonique de ceK-e.v.
Q5 Montrez que AetB sont semblables.
Q6 Peut-on trouver un ´el´ementC deMn+1(K) tel queC2=A?
Exercice 2
◮On note Φ l’application qui, `aP∈R3[X], associe le reste dans la division euclidienne deP par le polynˆome B=X2−3X+ 2.
Q1 Montrez que Φ est un endomorphisme de R3[X]. Explicitez son noyau, son image, son rang.
Q2 D´eterminez la trace de Φ, sans calculer sa matrice.
Q3 Explicitez la matriceAde Φ dans la base canoniqueB= (1, X, X2, X3) deR3[X].
Q4 Que pensez-vous deA2? Sans longs calculs, montrez queI4+Aest inversible, et explicitez son inverse.
Tournez S.V.P.
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Exercice 3 (E.N.S.E.M. Orl´ eans, 1990)
◮SoitA∈Mn(C). D´efinissonsN(A) = max
16i6n n
X
j=1
|Aij| Q1 V´erifiez que :
N(A) = 0 ⇐⇒ A= 0 N(λA) =|λ| ·N(A) N(A+B)6N(A) +N(B) N(A·B)6N(A)·N(B)
Q2 Soit λune valeur propre deA. Prouvez queλv´erifie |λ|6N(A).
◮Une matriceA∈Mn(R) est ditede Markov lorsqu’elle v´erifie : (1)Aij>0 pour touti∈[[1,n]] et toutj∈[[1,n]]
(2)
n
P
j=1
Aij = 1 pour touti∈[[1,n]]
Q3 Prouvez que l’ensemble S des matrices de Markov est une partie de Mn(R) convexe et stable pour la multiplication matricielle.
Q4 Soit Aune matrice de Markov. Que vautN(A) ? Prouvez que 1 est valeur propre deA, pr´ecisez un vecteur propre associ´e. Prouvez que les valeurs propres deA sont de module au plus ´egal `a 1.
Q5 Soit A une matrice de Markov v´erifiant Aii 6= 0 pour tout i ∈ [[1,n]]. Notons δ = min©
Aii,1 6 i 6 nª . Montrez que les images, dans le plan complexe, des valeurs propres deA, sont situ´ees dans le disque dont le centre a pour affixeδ, et qui est tangent au cercle trigonom´etrique au point d’affixe 1.
Q6 Soit Aune matrice de Markov v´erifiantAij6= 0 pour touti∈[[1,n]] et toutj∈[[1,n]].
•Prouvez que ker(A−In) est une droite ;indication: consid´erez d’abord un vecteur propre ayant toutes ses composantes r´eelles.
•Prouvez que les valeurs propres autres que 1 ont un module strictement inf´erieur `a 1 ;indication: raisonnez par l’absurde, et commencez par montrer que si U est un vecteur propre deA associ´e `a une valeur propre de module 1, alors toutes les composantes deU ont le mˆeme module.
Q7 La puissancek-i`eme d’une matrice de Markov est-elle encore une matrice de Markov ?
◮Dans les deux questions suivantes,A d´esigne la matrice 1
4
2 1 1 1 1 2 1 2 1
Q8 D´eterminez les valeurs propres et les s.e.v. propres deA. Faites une figure repr´esentant le disque ´evoqu´e `a la question 5, ainsi que les images des valeurs propres deA.
Q9 Explicitez une matrice Q inversible et une matrice D diagonale, telles que A = Q−1DQ. En d´eduire l’expression deAk, pourk∈N.
◮Nous dirons qu’une suite (Mk)k∈Nd’´el´ements deMn(R) converge versN si la suite de terme g´en´eral (Mk)ij
converge versNij, et ce quels que soient i∈[[1,n]] etj∈[[1,n]].
Q10 Quelle est la limite deAk lorsquektend vers l’infini ? Le rang est-il conserv´e par passage `a la limite ? Et la trace ?
[Contr^ole 1993/09] Compos´e le 7 mars 2008
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