Liste 4 – Limites de distributions

Analyse III, partie 2 (3BM) : Exercices Année académique 2014–2015

Liste 4 – Limites de distributions

Rappels :

I Une suite(um)mdeD⁰(Ω)converge vers udans D⁰(Ω)si pour toutϕ∈ D(Ω)

m→+∞lim um(ϕ) =u(ϕ).

Exercice 1. Soient les suitesfm, gm(m∈N0) définies par

f_m(x) =

( 0 si|x| ≥ _m¹ m si|x|< _m¹ et

g_m(x) =

( 0 si|x| ≥ _m¹ m² si|x|< _m¹

Montrer que ces suites convergent presque partout vers 0dans R, que la suiteu_fm converge dansD⁰(R) vers2δ₀ et que la suiteu_gm ne converge pas dansD⁰(R).

Exercice 2. Si elles existent, déterminer les limites pourn→+∞dansD⁰(R)des distributions suivantes : (a)n²(δ_1/n−2δ0+δ_−1/n) (b)n³(δ_1/n−δ_−1/n−2Dδ0)

Exercice 3. Pour tout ε >0, on pose f_ε(x) = ^ε₂|x|^ε−1 (x∈ R) et on note u_ε la distribution associée.

DansD⁰(R), calculer lim

ε→0uε .

Exercice 4. Soitk∈N0. On considère les suites(fm)m∈N0 et (gm)m∈N0 de fonctions définies surRpar fm(x) =m^ke^imx et gm(x) =me^−m|x|

pour tout m ∈ N0. Montrer que les suites de distributions (ufm)m∈N0 et (ugm)m∈N0 convergent dans D⁰(R). Déterminer leurs limites.

Exercice 5. Soit(fm)_m∈N0 la suite définie par

fm(x) =sin(mx)

x , x∈R0

et soitumla distribution associée àfm. Etudier la convergence de cette suite dansD⁰(R).

Exercice 6. Soit(f_m)_m∈Nune suite deL¹(Rⁿ)(resp.L²(Rⁿ),L^∞(Rⁿ)) qui converge versf dansL¹(Rⁿ) (resp.L²(Rⁿ),L^∞(Rⁿ)). Est-ce que(u_fm)_m∈N converge versu_f dansD⁰(Rⁿ)? Justifier.