2015-2016

ISA BTP, 1◦ann´ee ANN ´EE UNIVERSITAIRE 2015-2016

CONTR ˆOLE CONTINU

Alg`ebre lin´eaire

Dur´ee : 1h30. Les calculatrices sont autoris´ees.

Tous les exercices sont ind´ependants.

Il sera tenu compte de la r´edaction et de la pr´esentation.

Exercice 1 Soit E un espace vectoriel.

1. Soit F = {−→e1, . . . , −→en} une famille de vecteurs de E.

(a) Recopier et compl´eter la d´efinition suivante :

Vect(F ) = {−→v = ..., λi ∈ R}

(b) Montrer que Vect(F ) est un sous espace vectoriel de E. (c) Rappeler la d´efinition du rang d’une famille de vecteurs. 2. Pour tout α ∈ R, on note Fα la famille de R3 d´efinie par

Fα = {(α, 1, 1), (1, α, 1), (1, 1, α)}

(a) Donner la matrice Mα de Fα dans la base canonique Bc de R3.

(b) Montrer que si α 6∈ {−2, 1}, la famille Fα est une base de R3.

(c) Montrer sans calcul que F−2 est de rang 2.

(d) Donner sans calcul le rang de la famille F1.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 2 On se place dans le plan P muni d’un rep`ere orthonorm´ee R = (O ; −→i ,−→j ). Pour a, b ∈ R non nuls fix´es, on note f l’endomorphisme de P dont la matrice dans la base B = {−→i ,−→j } est

A = matB(f ) =

 a b b a



1. Une ´etude g´en´erale

(b) Montrer que les sous espaces propres de f sont deux droites ind´ependantes de a et b et les placer dans le rep`ere ci-joint.

(c) Donner une matrice diagonale D et une matrice de passage P telles que D = P−1AP . 2. Un exemple

On pose maintenant a = 1 et b = 1₂ et l’on consid`ere les quatre points du plan

P1 = √ 2 2  1 1  R , P2 = √ 2 2  −1 1  R , P3 = √ 2 2  −1 −1  R , P4 = √ 2 2  1 −1  R

(a) Placer les points P1 `a P4 dans le rep`ere ci-joint.

(b) D´eterminer les coordonn´ees dans R des points f (Pi) pour i ∈ {1, 2, 3, 4} et les placer

dans le rep`ere.

(c) Tracer une esquisse de l’image du cercle unit´e par l’endomorphisme f et commenter.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 3 Dans R3_{, on note f l’endomorphisme dont la matrice dans la base canonique B} c de R3 est M =   −1 1 1 0 1 0 −2 1 2  

1. Montrer que Spec(f ) = {0, 1}.

2. D´eterminer les sous espaces propres E0 et E1. On pr´ecisera la dimension ainsi qu’une base

de chacun de ces sous espaces propres.

3. Montrer que la famille form´ee des deux bases obtenues `a la question pr´ec´edente est une base B0 _{de R}3_.

4. Donner sans calcul la matrice de f dans la base B0.

5. En assimilant R3 `a l’espace muni d’un rep`ere, comment qualifieriez-vous la transformation de l’espace mod´elis´ee par f ?

? ? ?

ISA BTP 1◦ann´ee Contrˆole continu 2015-2016

Nom : ... Pr´enom : ...

~i

~j

CORRECTION

(b) N’importe que n-uplet (λ1, . . . , λn) ∈ Rn(par exemple (0, . . . , 0)) permet de construire

un ´el´ement de Vect(F ) (par exemple−0→E). Donc Vect(F ) est non vide.

D’autre part, soient −→u et −→v deux vecteurs de Vect(F ). Il existe des coefficients (λ1, . . . , λn) et (µ1, . . . , µn) tels que u = n X i=1 λi.−→ei et v = n X i=1 µi.−→ei Mais alors − →_{u + −}→_{v =}Xn i=1 λi.−→ei + n X i=1 µi.−→ei = n X i=1 (λi+ µi)−→ei ∈ Vect(F )

De mˆ_{eme, pour tout k ∈ R, on a} k.−→u = k. n X i=1 λi.−→ei = n X i=1 (k × λi).−→ei ∈ Vect(F )

Donc Vect(F ) est stable par addition et par multiplication ext´erieure.

Vect(F ) est donc non vide et stable par combinaisons lin´eaires. C’est donc un sous espace vectoriel de E.

(c) Le rang de F est la dimension de l’espace vectoriel Vect(F ). 2. (a) Mα = matBc(Fα) =   α 1 1 1 α 1 1 1 α  

(b) La famille Fα comptant trois ´el´ements, c’est une base de R3 si et seulement si elle

est libre, i.e. si le d´eterminant de Mα est non nul. Or

det(Mα) =       α 1 1 1 α 1 1 1 α       = α     α 1 1 α     −     1 1 1 α     +     1 1 α 1     = α(α2− 1) − (α − 1) + (1 − α) = α(α + 1)(α − 1) − 2(α − 1) = (α − 1)(α2+ α − 2) = (α − 1)2(α + 2)

Ainsi, la famille Fα est une base de R3 pour tout α 6∈ {−2, 1}.

(c) F−2 = {(−2, 1, 1), (1, −2, 1), (1, 1, −2)}. D’apr`es le calcul ci dessus, la famille F−2

est li´ee. Donc rg(F−2) < 3. Or F−2 contient au moins deux vecteurs non colin´eaires

(ils sont mˆeme deux `a deux non colin´eaires). Donc rg(F−2) > 2. Ainsi, rg(F−2) = 2.

(d) F1 = {(1, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 1)} = {(1, 1, 1)}. Autrement dit, F1 ne contient qu’un

vecteur, et celui ci est non nul. Donc rg(F1) = 1.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 2 : 1. (a) χf(λ) = det(A − λ.I) =     a − λ b b a − λ     = (a − λ)2− b2 _{= (a − λ − b)(a − λ + b) = (λ − (a − b))(λ − (a + b))} Donc Spec(f ) = {a + b, a − b}. (b) • Ea+b : AX = (a + b)X ⇐⇒ ax + by = (a + b)x bx + ay = (a + b)y ⇐⇒ by = bx bx = by ⇐⇒ y = x • Ea−b : AX = (a − b)X ⇐⇒ ax + by = (a − b)x bx + ay = (a − b)y ⇐⇒ by = −bx bx = −by ⇐⇒ y = −x

Les sous-espaces propres sont donc respectivement la premi`ere et la seconde bissec-trice du plan.

(c) Les vecteurs non nuls de Ea+b et Ea−b sont les vecteurs propres de f . En posant

− →_e 1 =  1 1  R ∈ Ea+b et −→e2 =  −1 1  R ∈ Ea−b

on obtient une base B0 du plan faite de vecteur propres de f . On a alors matB0(f ) = a + b 0

0 a − b

 = D

et en posant P = matB(B0) =  1 −1 1 1  on a P−1× A × P = P−1_{× mat} B(f ) × P = matB0(f ) = D

2. (a) c.f. plus bas

(b) On peut obtenir les coordonn´ees des vecteurs f (Pi) dans R via la matrice A.

Ce-pendant, tous ces points correspondent `a des vecteurs propres de f , les points P1 et

P3 sont sur Ea+b = E3

2 et les pointe P2 et P4 sur Ea−b = E 1 2. Ainsi, f (P1) = 3₂.P1 = 3 √ 2 4  1 1  , f (P2) = 1₂.P2 = √ 2 4  −1 1  , f (P3) = 3 √ 2 4  −1 −1  , f (P4) = √ 2 4  1 −1  (c) -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2

E

E

On constate que le cercle est “dilat´e” dans la direction de Ea+b et “contract´e” dans

la direction Ea−b. D’autre part, l’intensit´e de ces d´eformation est li´ee `a la valeurs des

valeurs propres a + b et a − b.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 3 :

1. Le polynˆome caract´eristique de f est χf(λ) = det(A − λI) =       −1 − λ 1 1 +₀ −_{1 − λ} +₀ −2 1 2 − λ       = (1 − λ)     −1 − λ 1 −2 2 − λ     = (1 − λ)[(−1 − λ)(2 − λ) + 2] = (1 − λ)(−λ + λ2) = −λ(λ − 1)2

Donc Spec(f ) = {0, 1}, 0 ´etant d’ordre 1 et 1 d’ordre 2. 2. • E0 : AX = 0 ⇐⇒    −x + y + z = 0 y = 0 −2x + y + 2z = 0 ⇐⇒ z = x y = 0 Donc E0 = {(x, 0, x), x ∈ R}

C’est une droite (sa dimension est 1), engendr´ee par le vecteur −→v1 = (1, 0, 1).

• E1 : AX = X ⇐⇒    −x + y + z = x y = y −2x + y + 2z = z ⇐⇒ −2x + y + z = 0 ⇐⇒ z = 2x − y Donc E1 = {(x, y, 2x − y), (x, y) ∈ R2}

Il s’agit d’un sous espace de R3 de dimension 2, engendr´e par exemple par les vecteurs −

→_v

2 = (1, 0, 2) et −→v3 = (0, 1, −1)

3. La famille B0 = {−→v1, −→v2, −→v3} est une base de R3 si et seulement si elle est libre. Or

matBc(B 0 ) =   1 1 0 0 0 1 1 2 −1  

dont le d´eterminant est −1 6= 0. La famille B0 est donc libre. ´Etant de rang 3, elle en-gendre R3_.

4. La famille B0 ´etant faite de vecteurs propres de f , on a

matB0(f ) =   0 0 0 0 1 0 0 0 1  

5. Si la famille B0 ´etant une base de l’espace, chaque vecteur de l’espace poss`ede une com-posante selon E0 (colin´eaire `a −→v1) et une composante selon E1 (qui s’exprime en fonction

de −→v2 et −→v3). Or la fonction f annule la composante selon E0 et conserve celle selon E1.

Il s’agit donc de la projection sur le plan E1, parall`element `a la droite E0.

? ? ?