9.4 Proposition Soient deux vecteurs ~a =
a1 a2 a3
et ~b =
b1 b2 b3
de l’espace donnés par leurs composantes dans une base B = (e~1;e~2;e~3) et un nombre réel λ. Alors :
1) ~a+~b=
a1 a2 a3
+
b1 b2 b3
=
a1+b1 a2+b2 a3+b3
;
2) λ ~a=λ
a1 a2 a3
=
λ a1 λ a2 λ a3
.
Preuve
1) ~a+~b=a1e~1+a2e~2+a3e~3+b1e~1+b2e~2+b3e~3
= (a1+b1)e~1+ (a2+b2)e~2+ (a3+b3)e~3 =
a1+b1 a2+b2 a3+b3
2) λ ~a=λ(a1e~1+a2e~2+a3e~3) = (λ a1)e~1+ (λ a2)e~2+ (λ a3)e~3 =
λ a1 λ a2 λ a3
Géométrie : bases Corrigé 9.4
