Réduction des endomorphismes (complément pour 5/2)
Les exercices notés d’un obèle † sont de « grands classiques ».
Exercice 1 †
Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie, et f , g ∈ L(E). On suppose f inversible et f ◦ g + g ◦ f = 0. a) On suppose g diagonalisable. Montrer que g est de rang pair.
b) On suppose Im g ⊕ Ker g = E. Montrer que g est de rang pair. c) Qu’en est-il dans le cas général ?
Exercice 2 Soit M ∈ Mn(R) la matrice dont tous les coefficients sont égaux à 1, et A ∈ Mn(R) telle que A3= M.
Montrer que (tr A)3= n.
Exercice 3 Soit E un C-espace vectoriel et u ∈ L(E) un endomorphisme. On suppose que pour tout x ∈ E il existe (λx, µx) ∈ C2tel que u2(x) = λxu(x) + µxx.
a) Montrer que u admet au plus deux valeurs propres.
b) Si u n’admet qu’une seule valeur propre, déterminer λxet µx.
Exercice 4 Soit A ∈ Mn(R) telle que A3= −A. Montrer que tr(A) = 0.
Exercice 5 †
Soit A ∈ Mn(C) une matrice diagonalisable dont toutes les valeurs propres sont de multiplicité 1, et B ∈ Mn(C) telle
que AB = BA. Montrer l’existence de (a0, . . . , an−1) ∈ Cntel que B = n−1
X
k=0
akAk.
Exercice 6 Soit n ∈ N \ {0, 1} et A = (ai,j) ∈ Mn(R) la matrice définie par ai,i+1= 1 pour tout i ∈ ~1, n − 1, an,1= 1,
tous les autres coefficients étant nuls.
a) Montrer que
χ
A(x) = xn−1 et que An= In.b) Soit p ∈ N∗et B = In+ A + A2+ · · · + Ap−1. Montrer que B est inversible si et seulement si n et p sont premiers entre
eux.
c) Soit C = In+ A2+ A4+ · · · + A2(p−1). À quelle condition la matrice C est-elle inversible ?
Exercice 7 †
Soit E un C-espace vectoriel de dimension n, et u ∈ L(E) un endomorphisme diagonalisable.
Montrer qu’il existe a ∈ E tel quea, u(a), u2(a), . . . , un−1(a)soit une base de E si et seulement si u possède n valeurs propres distinctes.
Exercice 8 †
Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie, et u ∈ L(E) tel que u2est diagonalisable. Montrer que u est diagonali-sable si et seulement si Ker u = Ker(u2).
Exercice 9 Soit A ∈ Mn(R), et B = OA A n In
!
∈ M2n(R).
