HAL Id: pastel-00003289
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Etude de méthodes simplifiées pour la simulation de
l’usinage à l’échelle macroscopique
Jean-Vincent Le Lan
To cite this version:
Jean-Vincent Le Lan. Etude de méthodes simplifiées pour la simulation de l’usinage à l’échelle
macro-scopique. Sciences de l’ingénieur [physics]. Arts et Métiers ParisTech, 2007. Français. �NNT :
2007ENAM0045�. �pastel-00003289�
N°: 2007 ENAM 0045
Ecole doctorale n° 432 : Sciences des Métiers de l’Ingénieur
T H È S E
pour obtenir le grade de
Docteur
de
l’École Nationale Supérieure d'Arts et Métiers
Spécialité “Mécanique”
Jury :
M. Pierre BOURDET, Professeur, LURPA, ENS de Cachan ... Président
M. Henri PARIS, Professeur, G-SOP, U.J.F. Grenoble ……… ...Rapporteur
M. Benoît FURET, Professeur, IRCCYN, Centrales Nantes ...Rapporteur
M. Jean-François DEBONGNIE, Professeur, LMF, Université de Liège ...Examinateur
M. Philippe LORONG, Maître de Conférences, LMSP, ENSAM, Paris...Examinateur
M. Arnaud LARUE, Maître de Conférences, LMSP, ENSAM, Paris ...Examinateur
M. Gérard COFFIGNAL, Professeur, LMSP, ENSAM, Paris ...Examinateur M. Stéphane DEBLAISE, Ingénieur, Chef de Projet Ingénierie, Renault ...Invité
Laboratoire de Mécanique des Systèmes et des Procédés
ENSAM, CER de Paris
L’ENSAM est un Grand Etablissement dépendant du Ministère de l’Education Nationale, composé de huit centres :
présentée et soutenue publiquement
par
Jean-Vincent LE LAN
le 19 décembre 2007
ETUDE DE METHODES SIMPLIFIEES POUR LA SIMULATION
DE L’USINAGE A L’ECHELLE MACROSCOPIQUE
Directeur de thèse : Gérard COFFIGNAL
Table des mati `eres
Remerciements
5
Introduction
7
Nomenclature
9
I
Pr ´eliminaires
11
Introduction 131 Mod ´elisation du processus de coupe par l’ ´etude des efforts exerc ´es entre l’outil et la pi `ece. 15
1.1 Energie sp ´ecifique de coupe. . . 15
1.1.1 Remarque sur les grandeurs g ´en ´eralement disponibles. . . 16
1.2 Principaux mod `eles d’effort de coupe. . . 17
1.2.1 Mod `ele de Kienzle. . . 17
1.2.2 Mod `ele lin ´eaire. . . 17
1.3 Identification d’une loi de coupe. . . 18
2 Principales hypoth `eses utilis ´ees. 21 2.1 Influence du d ´eplacement relatif outil-pi `ece sur l’effort de coupe. . . 21
2.2 L’impact de l’enl `evement de mati `ere. . . 22
2.2.1 Impact sur le comportement des pi `eces dans le domaine automobile. . . 22
2.2.2 Relaxation des contraintes r ´esiduelles. . . 22
3 Notions sur la m ´ethode des ´el ´ements finis et condensation statique. 23 3.1 Notions sur la m ´ethode des ´el ´ements finis. . . 23
3.1.1 Principe des travaux virtuels. . . 23
3.1.2 La m ´ethode des ´el ´ements finis (version tr `es rapide) . . . 24
3.2 Condensation statique. . . 25
II
Evaluation de l’erreur de forme
27
Introduction aux mod `eles macroscopiques de pr ´ediction de l’erreur de forme 29 1 Etat de l’art `a l’ ´echelle macroscopique 31 1.1 Le d ´efaut d ˆu au bridage. . . 311.1.1 Utilisation d’un blocage isostatique. . . 31
1.1.2 Introduction de contacts unilat ´eraux dans la direction du serrage. . . 32
1.2.1 M ´ethodes simplifi ´ees bas ´ees sur la statique. . . 34
1.2.2 M ´ethodes ”compl `etes” en statique et en dynamique. . . 34
1.2.3 Simulation de l’effort de coupe. . . 35
2 La m ´ethode industrielle actuelle : la m ´ethode statique. 37 2.1 M ´ethode statique. . . 37
2.1.1 Le cas du tournage. . . 37
2.1.2 G ´en ´eralisation au fraisage. . . 38
2.1.3 Aspects num ´eriques et condensation de Guyan. . . 39
2.2 Mise en oeuvre et validation exp ´erimentale. . . 40
2.2.1 Application de la m ´ethode sur une face de carter cylindre. . . 40
2.2.2 Limitations. . . 42
2.3 Am ´elioration de la m ´ethode statique par prise en compte de l’outil. . . 42
2.3.1 Formalisation de la prise en compte de l’outil dans la m ´ethode statique. . . 43
2.3.2 Application de la m ´ethode avec la prise en compte de l’outil. . . 43
2.4 Limites du champ d’application de la m ´ethode statique am ´elior ´ee. . . 44
2.4.1 Application de la m ´ethode au fraisage d’un carter de boite de vitesse. . . 44
2.4.2 Conclusions. . . 44
3 M ´ethode dynamique 47 3.1 Pr ´esentation de la m ´ethode dynamique. . . 47
3.1.1 Hypoth `eses et simplifications. . . 48
3.1.2 Mise en ´equation. . . 48
3.1.3 R ´esolution par la m ´ethode de Newmark. . . 50
3.1.4 Le second membre. . . 50
3.1.5 Influence de la mod ´elisation de la coupe par un chargement ponctuel. . . 50
3.1.6 Retour sur les objectifs de la m ´ethode. . . 53
3.2 Application au tournage. . . 53
3.2.1 Application de la m ´ethode sur un disque de frein. . . 54
3.2.2 Mod ´elisation du syst `eme et analyse modale. . . 55
3.2.3 R ´egularisation du chargement par traitement de la matrice de souplesse r ´esiduelle. 56 3.2.4 Validation exp ´erimentale. . . 58
3.2.5 Conclusion . . . 61
3.3 Application au fraisage. . . 61
3.3.1 Application de la m ´ethode sur un carter de boite de vitesse . . . 61
3.3.2 Identification exp ´erimentale des efforts de coupe. . . 61
3.3.3 Identification exp ´erimentale des param `etres modaux. . . 62
3.3.4 Mise en oeuvre de la m ´ethode dynamique. . . 64
3.3.5 Confrontation des r ´esulats et validation de la m ´ethode. . . 66
3.3.6 Analyse de l’influence des modes propres sur le d ´efaut de forme. . . 67
3.3.7 Recoupe et dur ´ee de vie des outils. . . 68
3.3.8 Extension des r ´esultats `a la rugosit ´e. . . 70
3.4 Extension de la m ´ethode : Prise en compte de l’outil. . . 71
4 Conclusions sur les m ´ethodes macroscopiques de pr ´ediction de l’erreur de forme. 73
III
Evaluation du risque de broutement
75
Introduction aux mod `eles macroscopiques de pr ´ediction du broutement 77 SDOF, MDOF, DDL? . . . 771 G ´en ´eralit ´es sur le ph ´enom `ene de broutement 79
1.1 Le broutement. . . 79
1.2 Mod ´elisation du comportement d’un outil `a partir d’un mod `ele `a un degr ´e de libert ´e. . . . 81
1.2.1 Recherche des domaines de stabilit ´e par une approche fr ´equentielle. . . 82
1.2.2 Recherche des domaines de stabilit ´e par une approche temporelle. . . 84
1.2.3 Influence de la raideur du syst `eme et de son amortissement. . . 87
1.3 Discussion sur l’effet des non-lin ´earit ´es. . . 87
1.4 L’amortissement. . . 88
2 Mod ´elisation du fraisage par un syst `eme `a un Degr ´e De Libert ´e pour la pr ´ediction de la profondeur de passe critique. 91 2.1 Objectif de la m ´ethode et cartes de broutement. . . 91
2.2 Mise en ´equation de la m ´ethode statique. . . 92
2.2.1 Le calcul de la profondeur de passe critique d’un mod `ele SDOF. . . 92
2.2.2 Utilisation des ´el ´ements finis et application au fraisage. . . 92
2.2.3 Remarque : limitations de la m ´ethode. . . 93
2.3 Mise en oeuvre de la m ´ethode dans une probl ´ematique industrielle. . . 94
2.3.1 Pr ´esentation de l’op ´eration. . . 94
2.3.2 Application de la m ´ethode statique et comparaison avec des pi `eces d’essais. . . . 95
2.4 Conclusion. . . 96
3 La m ´ethode MDOF. 99 3.1 Obtention de la matrice de transfert. . . 99
3.1.1 D ´efinition du domaine d’ ´etude. . . 99
3.1.2 Expression de la matrice de transfert d’une structure. . . 100
3.1.3 Influence de la correction statique sur les fonctions de transfert. . . 101
3.1.4 Prise en compte de l’int ´eraction outil-pi `ece dans le mod `ele dynamique. . . 102
3.2 Mise en ´equation de la m ´ethode MDOF dans le cas du fraisage. . . 102
3.2.1 L’ ´epaisseur de copeau dans la formulation d’Altintas et Budak. . . 103
3.2.2 Les efforts de coupe dans la formulation d’Altintas et de Budak. . . 103
3.2.3 Adaptation de la m ´ethode de Budak et Altintas `a l’industrie automobile. . . 106
3.2.4 Application illustrative, influence de la correction statique et conclusions. . . 108
3.3 Comparaison des formulations des m ´ethodes SDOF et MDOF. . . 109
4 Application de la m ´ethode MDOF sur un cas industriel et comparaison des deux m ´ethodes.111 4.1 Application de la m ´ethode MDOF au fraisage d’une face de carter cylindre. . . 111
4.2 Comparaison des deux m ´ethodes. . . 113
5 Conclusion sur les m ´ethodes de pr ´ediction des risques de broutement. 115
Conclusion g ´en ´erale
117
Annexes
121
A M ´ethodologie pour l’analyse modale exp ´erimentale 121 A.1 Description du mat ´eriel n ´ecessaire. . . 121A.1.1 Capteurs piezo ´electriques. . . 121
A.1.2 Analyseur de Fourrier. . . 121
B R ´esultats de mesure des disques. 123 C Courbes d’effort obtenues dans le cadre de l’identification de la loi d’effort de coupe du
couple aluminium - outil de fraisage du CM PK4 125 D Formes modales identifi ´ees sur le carter de boite PK4. 127 E Extrait de la th `ese de Huck sur la correction statique. 129 F R ´esultats de pr ´ediction du broutement calcul ´e par la m ´ethode MDOF sur l’exemple de la
face du carter cylindres. 131
Remerciements
Je tiens `a remercier en quelques lignes les diff ´erents acteurs qui m’ont permis de r ´ealiser ce travail de th `ese. Mon encadrement acad ´emique : Jean-Franc¸ois Debongnie, Luc Masset, G ´erard Coffignal, Phi-lippe Lorong et Arnaud Larue ainsi que mes encadrants industriels chez Renault, Audrey Marty et Lucia Garcia Aranda. Je remercie de fac¸on g ´en ´erale le service 66845 de la direction de l’ing ´enierie process de Renault, et plus particuli `erement St ´ephane Deblaise, Tommaso Dal Negro, Frank Koppka, G ´erard Ch ´eronneau, Xavier Verdi ´e, Walter Belluco et Mickael Masson, sans qui ce travail de th `ese ne serait probablement pas ce qu’il est.
Je remercie ´egalement mes deux stagiaires, Leonardo Kubota et J ´er ˆome Brulin, pour le travail qu’ils ont accompli.
Je termine ces remerciements par mes parents et Lauriane qui ont bien s ˆur contribu ´e, `a leur mani `ere, `a ce travail.
Introduction
Il peut paraˆıtre ´etonnant de travailler encore aujourd’hui `a des m ´ethodes simplifi ´ees, `a l’heure de l’explosion de la puissance de calcul. Le d ´eveloppement de telles m ´ethodes vise `a r ´epondre `a deux questions.
La premi `ere question porte sur la quantit ´e d’informations produites et n ´ecessaires. Est-il vraiment n ´eces-saire de calculer beaucoup de choses et le traitement de ces informations ne va t-il pas ˆetre p ´enalisant? En g ´en ´eral, une grande production d’informations demande la fourniture d’une grande quantit ´e de donn ´ees. La qualit ´e de ces donn ´ees peut alors ˆetre tr `es influente sur les r ´esultats ce qui pose le probl `eme syst ´ematique de la validit ´e des r ´esultats.
La deuxi `eme question reste, malgr ´e les progr `es techniques, celle du temps de calcul. En effet, un al-gorithme de faible complexit ´e restera toujours plus rapide qu’un alal-gorithme de complexit ´e forte. Et, par suite, plus le temps de calcul est r ´eduit plus on peut tester des configurations diff ´erentes.
Dans le contexte de la simulation de l’usinage pour l’industrie automobile, ces deux questions g ´en ´e-riques deviennent deux exigences :
– Les donn ´ees d’entr ´ees doivent ˆetre des param `etres d’usinage courants et fiables et le r ´esultat doit ˆetre directement applicable ;
– Le temps de calcul doit ˆetre suffisament court pour que diff ´erentes configurations puissent ˆetre test ´ees dans un temps raisonnable, inf ´erieur `a un ou deux jours.
C’est dans cette probl ´ematique que sont d ´evelopp ´ees les m ´ethodes pr ´esent ´ees dans ce travail de th `ese. Deux probl `emes courants en production de grande s ´erie sont abord ´es, le respect de la tol ´erance de forme ainsi que l’instabilit ´e de la coupe. Les co ˆuts engendr ´es par ces deux probl `emes, g ´en ´eralement r ´esolus `a force d’essais, justifient le recours `a la simulation de l’usinage de mani `ere `a les ´eviter d `es la phase de conception de la ligne de fabrication.
Dans une premi `ere partie, les fondations des m ´ethodes pr ´esent ´ees dans la suite sont pos ´ees. Ainsi, les lois d’effort de coupe utilis ´ees ainsi que l’utilisation faite de la m ´ethode des ´elements finis sont ex-pos ´ees.
La deuxi `eme partie est consacr ´ee `a la pr ´ediction de l’erreur de forme. Pour cela, trois pi `eces issues de la production de Renault sont exploit ´ees, un carter-cylindres, un disque de frein et un carter de boites de vitesses. Cette diversit ´e de pi `eces permet de mettre en ´evidence les avantages et les limites d’une premi `ere m ´ethode simplifi ´ee, bas ´ee sur la statique. A partir des limites constat ´ees, une nouvelle m ´ethode, bas ´ee sur la dynamique de la pi `ece et de l’outil est propos ´ee et valid ´ee sur l’exemple du disque de frein et du carter de boites de vitesses. Cette derni `ere m ´ethode permet de prendre en compte les vi-brations de la pi `ece ou de l’outil excit ´es par la coupe. Elle ne permet pas de prendre en compte les ph ´enom `enes d’auto-excitation du syst `eme qui peut entraˆıner des instabilit ´es, le broutement.
Les m ´ethodes de pr ´ediction du broutement sont expos ´ees dans la troisi `eme partie. De la m ˆeme mani `ere que dans la partie pr ´ec ´edente, une premi `ere m ´ethode est pr ´esent ´ee. Cette m ´ethode, tr `es rapide permet
de donner une premi `ere indication des zones de broutement. Une m ´ethode plus compl `ete est pr ´esent ´ee ensuite. Cette nouvelle m ´ethode permet de prendre en compte l’influence de multiples dents engag ´ees ainsi que de restituer plus pr ´ecis ´ement l’influence de l’orientation des efforts de coupe ainsi que des modes propres de la structure de la pi `ece.
La th `ese a ´et ´e financ ´ee par l’Association Nationale de la Recherche Technologique et Renault dans le cadre d’un contrat CIFRe, encadr ´ee pour moiti ´ee `a l’universit ´e de Li `ege au Laboratoire des M ´ethodes de Fabrication puis par le centre de Paris de l’ENSAM au Laboratoire de M ´ecanique des Structures et des Proc ´ed ´es.
Nomenclature
Les notations math ´ematiques sont les suivantes :
– Vecteur : ~u; – Matrice : M ; – Colonne : q ;
– Tenseur d’ordre 2 ou plus : C.
Notations relatives aux lois de coupe.
kc Pression sp ´ecifique de coupe dans la direction de la coupe
ka Pression sp ´ecifique de coupe dans la direction normale `a la surface usin ´ee
kh Pression sp ´ecifique de coupe dans la direction orthogonale `a celle des deux pr ´ec ´edentes.
Fc,Fa,Fh Forces relatives aux pressions pr ´ec ´edentes
mc,ma,mh Exposants de la loi de Kienzle relatifs aux pressions
Kc,Ka,Kh Param `etres (pente) de la loi affine
Kc0,Ka0,Kh0 Param `etres (origine) de la loi affine
Notations relatives `a la g ´eom ´etrie du copeau et aux param `etres
d’usinage
b Largeur du copeau h Epaisseur du copeau ap Profondeur de passe
fz Avance par dent
κR Angle d’attaque
vc Vitesse de coupe
N Vitesse de rotation de la broche Z Nombre de dents
D Diam `etre de fraise
Notations relatives `a la g ´eom ´etrie
φj Position angulaire d’une dent j par rapport `a l’avance
Notations relatives aux ´elements finis
Wx Travail x (x = ext,int)δWx Variation du travail x
Tenseur des d ´eformations
σ Tenseur des contraintes de Cauchy
C Tenseur du comportement (Loi de Hooke)
N (M ) Matrice des fonctions de forme au point M Groupe G Mod `ele global (tous les degr ´es de libert ´e).
Groupe A Degr ´es de libert ´e de la surface usin ´ee et des zones brid ´ees.
Groupe B Sous-groupe de A. Degr ´es de libert ´e brid ´es sur lesquels un effort est appliqu ´e. K
GG Matrice de raideur du mod `ele complet
M
GG Matrice de masse du mod `ele complet
K∗
AA,K ∗
Matrice de raideur du mod `ele condens ´e sur le groupe A S∗ Matrice de souplesse, inverse de K∗
S
R Matrice de souplesse r ´esiduelle liss ´ee
˜ S
R Matrice de souplesse r ´esiduelle non liss ´ee
q
x Colonne des d ´eplacements g ´en ´eralis ´es
Qx Colonne des chargements g ´en ´eralis ´es
Φ Matrice contenant les vecteurs propres du syst `eme Φ
n Troncature de Φ
ˆ
Φ Reste de Φ apr `es troncature
y,ˆy,y
n Projection de q sur Φ ˆΦ, Φn
I Matrice identit ´e
D Matrice diagonale d’amortissement modal Λ Matrice diagonale des valeurs propres
H Matrice de transfert
H
0 Matrice de transfert pour ω = 0
DDL Degr ´e De Libert ´e
DOF Degree Of Freedom = DDL
τx Fonction de forme relative au DDL x
Autres notations
m,c,k Utilis ´ees ensemble, masse, amortissement et raideur d’un syst `eme `a 1DDL
ω Pulsation
ωc Pulsation de broutement
ω0,ωj Pulsation propre du syst `eme 1DDL ou j `eme pulsation propre
Premi `ere partie
Introduction.
Les principales op ´erations utilis ´ees dans la fabrication de moteurs pour l’automobile et qui sont ´etudi ´ees dans ce document sont:
– Le tournage pour la r ´ealisation de surfaces cylindriques ou de plans sur des pi `eces de r ´evolution ;
– Le fraisage pour la r ´ealisation de surfaces planes sur des pi `eces prismatiques .
Toutes ces op ´erations n ´ecessitent des essais pour leur mise au point. Le co ˆut de ces essais motive l’investissement dans des m ´ethodes de simulation de l’usinage r ´ealistes au sens du temps de calcul n ´ecessaire et de la qualit ´e des mod `eles. L’objectif est de r ´eduire le nombre d’essais en ´eliminant par avance certaines configurations.
Cette partie a pour principal objectif de pr ´esenter quelques pr ´el ´eminaires qui seront utiles `a la fois dans la deuxi `eme et la troisi `eme partie.
Ainsi les points communs `a l’approche propos ´ee pour la pr ´ediction de l’erreur de forme et `a l’approche pour la pr ´ediction de l’instabilit ´e sont :
– Une loi de coupe, qui permet de mod ´eliser l’int ´eraction outil/Mati `ere au travers d’un effort de coupe d ´ependant principalement de la section instantan ´ee coup ´ee ;
– Une s ´erie d’hypoth `eses n ´ecessaires aux deux approches ;
– L’utilisation de la m ´ethode des ´el ´ements finis qui permet de calculer le comportement statique ou dynamique des structures.
1
Mod ´elisation du processus de coupe
par l’ ´etude des efforts exerc ´es entre
l’outil et la pi `ece.
La simulation de l’usinage introduit g ´en ´eralement un effort entre l’outil et la pi `ece d ˆu `a la coupe a l’ ´echelle macroscopique. La mod ´elisation habituelle de cet effort de coupe admet une d ´ependance simple `a l’aire du copeau. La g ´eom ´etrie du copeau variant tout au long d’une op ´eration d’usinage, il est alors n ´ecessaire de connaˆıtre la relation entre l’aire du copeau et l’effort appliqu ´e, c’est l’objet de la loi de coupe.
Les lois de coupe d ´ependent de l’outil (le cas ´ech ´eant de la plaquette) et de la mati `ere usin ´ee. Lorsqu’il n’est pas possible de r ´ealiser des essais d’indentification d’efforts de coupe, des mod `eles th ´eoriques sont utilis ´es. Le param `etre principal de ces mod `eles est la pression sp ´ecifique de coupe qui est g ´en ´eralement donn ´ee par les fournisseurs d’outils.
Ce chapitre ne propose que les notions utilis ´ees dans la suite du travail. Le lecteur peut se r ´eferer aux travaux de Armarego et Brown [AB69], Shaw [Sha84] ou Oxley [Oxl89] pour une ´etude plus approfondie du sujet.
1.1
Energie sp ´ecifique de coupe.
Pour d ´efinir l’ ´energie sp ´ecifique de coupe, on admet que l’ ´energie n ´ecessaire `a l’enl `evement d’un volume donn ´e de copeau est proportionnelle `a ce volume. D `es lors, nous avons :
kc=
Energie de coupe
Volume de copeau =Cte. (1.1)
Dans cette ´equation, kc, bien qu’homog `ene `a une ´energie volumique est appel ´ee ´energie sp ´ecifique
de coupe. La puissance de coupe Pc et le d ´ebit de copeau Qc apparaˆıssent en divisant num ´erateur et
d ´enominateur par le temps de coupe : kc= Pc Qc =Fcvc bhvc = Fc bh (1.2)
O `u b est la largeur du copeau, h est l’ ´epaisseur du copeau, vc la vitesse de coupe et Fc l’effort de
coupe (voir figure 1.1).
Sous la derni `ere forme, kc est homog `ene `a une pression. Ainsi, kc est encore nomm ´ee pression
FIG. 1.1 – G ´eom ´etrie d’une section de copeau. FIG. 1.2 – Efforts exerc ´es par l’outil sur la pi `ece.
1.1.1
Remarque sur les grandeurs g ´en ´eralement disponibles.
En g ´en ´eral, les grandeurs b et h ne sont pas disponibles mais c’est plut ˆot ap et fz, la profondeur de
passe et l’avance par dent qui sont donn ´ees. En utilisant l’angle d’attaque, κRil est ais ´e de d ´eduire b de
apet h de fzpour le tournage :
b = ap sin κR
et h = fzsin κR Pour le tournage. (1.3)
Le cas du fraisage est plus complexe car h d ´epend ´egalement de la position angulaire de la dent comme pr ´esent ´e en figure 1.3.
FIG. 1.3 – Evolution de h en fonction de la position angulaire de la dent, φ.
Apr `es quelques simplifications usuelles (hypoth `ese de Martelotti [Mar41]), on a dans ce cas : h = fzcos φ
sin κR
Pour le fraisage. (1.4)
Remarque sur les forces Fhet Fa
Les forces Fhet Fapeuvent ˆetre consid ´er ´ees comme les deux composantes d’une force de frottement
appel ´ee aussi force passive. La projection de cette force sur les directions radiale et d’avance d ´epend de la g ´eom ´etrie de l’outil utilis ´e.
1.2
Principaux mod `eles d’effort de coupe.
Lorsqu’une loi exp ´erimentale n’est pas disponible, on utilise la pression sp ´ecifique d ´ecrite pr ´ec ´edem-ment avec un mod `ele th ´eorique. En g ´en ´eral, la variation de l’effort de coupe en fonction de l’ ´epaisseur de copeau a une allure exponentielle. On utilise donc des lois de coupe exponentielle comme celle de Kienzle [Kie51], d ´etaill ´ee ensuite. Ces lois exponentielles peuvent ˆetre approch ´ees par des lois lin ´eaires au voisinage d’un point de fonctionnement.
1.2.1
Mod `ele de Kienzle.
Trois forces sont exerc ´ees par l’outil sur la pi `ece pour chacune des dents immerg ´ees comme d ´ecrit sur la figure 1.1. On en d ´eduit trois pressions sp ´ecifiques :
– La pression sp ´ecifique de coupe dans la direction de la coupe, kc= Fbhc;
– La pression sp ´ecifique de coupe dans la direction axiale, ka =Fbha;
– La pression sp ´ecifique de coupe dans la direction normale aux deux autres, kh= Fbhh.
Le mod `ele empirique de Kienzle donne :
ki= ki,11h−mi i ∈ {c,h,a} (1.5)
O `u les constantes ki,11et mi sont identifi ´ees exp ´erimentalement et sont donn ´ees dans la litt ´erature
en fonction des couples {outil mati `ere} en pr ´esence. Elles correspondent `a la composante de l’effort de coupe dans la direction correspondante pour une largeur de copeau et une avance unitaire d’o `u l’indice 11. kc est couramment utilis ´ee car elle permet de dimensionner la puissance de la machine-outil. Les
coefficients mi prennent g ´en ´eralement des valeurs inf ´erieures `a l’unit ´e. Le livre de K ¨onig et al. [KE73]
propose de nombreuses valeurs de ces param `etres pour des couples standards.
1.2.2
Mod `ele lin ´eaire.
Dans le cadre de l’ ´etude du broutement, on travaille g ´en ´eralement sur la tendance qu’a le syst `eme `a brouter et seules de petites variations de h sont `a prendre en compte. Il est ainsi possible de lin ´eariser le probl `eme en introduisant un mod `ele affine pour la loi de coupe.
Ainsi, soit F un effort de coupe suivant une loi de Kienzle. Il est donn ´e par la relation :
F = k11bh1−m (1.6)
La d ´eriv ´ee de F par rapport `a h en h0est :
∂F ∂h
h0
= (1 − m) k11bh−m0 (1.7)
F peut alors ˆetre approch ´e par une forme affine Flinau voisinage de h0qui a pour ´equation :
Flin= (1 − m) k11h−m0 b | {z } K h + mk11bh1−m0 | {z } K0 (1.8) Nous avons trac ´e en figure 1.4 le mod `ele de Kienzle pour m = 0.25 et k11= 1000M P aavec le mod `ele
FIG. 1.4 – Comparaison d’une loi de coupe exponentielle de type Kienzle et d’une loi affine d ´eriv ´ee.
A propos de la temp ´erature.
Les mod `eles pr ´esent ´es ne prennent pas en compte l’effet de la temp ´erature de coupe.
L’influence de ce param `etre est d ´etaill ´ee dans le livre de Nathan H. Cook,[Coo66]. Pour cela, l’auteur ajoute une d ´ependance sous la forme ∂Fi
∂ ˙T = cte.
En utilisant les donn ´ees de l’auteur, l’application num ´erique qui s’ensuit permet de n ´egliger ces termes. Dans le cadre des ´etudes pr ´esent ´ees, la pi `ece et l’outil sont suppos ´es dans un ´etat thermique stabilis ´e.
1.3
Identification d’une loi de coupe.
Lorsque cela est possible, l’identification d’une loi de coupe pour un couple ar ˆete mati `ere permet d’obtenir une loi de coupe plus pertinente que celle donn ´ee par les mod `eles empiriques comme ceux ´evoqu ´es pr ´ec ´edemment. Le protocole exp ´erimental dans le cadre du fraisage est tr `es bri `evement expos ´e ici.
Outre l’outil, les essais n ´ecessitent des ´eprouvettes et une platine dynamom ´etrique comme pr ´esent ´e en figure 1.5.
La platine retourne l’effort de coupe exprim ´e dans son rep `ere fixe comme indiqu ´e sur la figure 1.5. En utilisant un top tour par exemple, il est possible de connaˆıtre la position de chacune des dents `a chaque instant. De cette mani `ere les efforts mesur ´es dans le r ´ef ´erentiel de la platine de mesure peuvent ˆetre ex-prim ´es dans les rep `eres locaux des dents immerg ´ees. En utilisant ensuite la relation (1.4), il est possible de tracer l’ ´evolution des efforts en fonction de h et d’en d ´eduire les lois de coupe. Ce type de m ´ethode est approfondi dans la th `ese de S. Bissey, [Bis99]. L’int ´er ˆet de la d ´emarche propos ´ee dans cette th `ese est que l’on caract ´erise un couple ar ˆete-mati `ere qui ne d ´epend pas de l’outil utilis ´e. Ainsi la loi reste valable aussi bien pour une op ´eration de tournage que pour une op ´eration de fraisage. L’application de l’identification est propos ´ee dans la suite sur une application de fraisage (paragraphe 3.3.2, page 61).
2
Principales hypoth `eses utilis ´ees.
L’utilisation de m ´ethodes simplifi ´ees n ´ecessite des hypoth `eses sur le couplage entre l’outil et la pi `ece ainsi que sur l’ ´evolution du comportement de la pi `ece tout au long de l’enl `evement de mati `ere.
2.1
Influence du d ´eplacement relatif outil-pi `ece sur l’effort de coupe.
Les m ´ethodes que nous proposons consistent `a calculer l’ ´ecart entre l’outil et la pi `ece. Comme pr ´esent ´e pr ´ec ´edemment, l’effort de coupe peut ˆetre suppos ´e proportionel `a la profondeur de passe. Ainsi l’ ´elasticit ´e du syst `eme { Pi `ece Outil Machine} implique que :
– Lorsque l’outil et la pi `ece s’ ´eloignent, la profondeur de passe diminue et par cons ´equent, l’effort de coupe diminue. Lorsque l’effort de coupe diminue, l’outil et la pi `ece se rapprochent ;
– Lorsque l’outil et la pi `ece se rapprochent, la profondeur de passe augmente et l’effort de coupe augmente. Lorsque l’effort de coupe augmente, l’outil et la pi `ece s’ ´eloignent l’un de l’autre.
Il y a donc un couplage qui peut ˆetre pris en compte. Dans les cas ´etudi ´es dans ce document, les profon-deurs de passe sont de l’ordre du millim `etre, les avances par dent sont de l’ordre du dixi `eme de millim `etre et les d ´eplacements relatifs entre l’outil et la pi `ece sont de l’ordre de la dizaine de microns.
La principale hypoth `ese qui est faite dans ce travail est que l’effort reste constant lorsque l’ ´ecart outil-pi `ece varie. Autrement dit, bien que les d ´eformations du syst `eme {Pi `ece Outil Machine} soient
prises en compte dans l’ ´etude, on suppose que les d ´eplacements relatifs entre la p `ece et l’outil n’in-troduisent pas de variation sur les efforts de coupe. L’erreur qui est faite est de l’ordre de 1%. Dans la plupart des cas, l’effort est sur-estim ´e ce qui rend notre pr ´ediction conservative. D’autre part, l’erreur qui est faite lors de l’estimation de la loi de coupe est tr `es probablement sup ´erieure `a 1%. Ce point de vue serait `a reconsid ´erer dans le cas de pi `eces ou d’outils tr `es flexibles.
Remarque :
Cette hypoth `ese interdit de prendre en compte tout effet de vibration auto-entretenue dans la m ´ethode de pr ´ediction de d ´efaut de forme pr ´esent ´ee dans la suite.
2.2
L’impact de l’enl `evement de mati `ere.
Lorsque la mati `ere est enlev ´ee la masse totale de la pi `ece varie et sa raideur ´egalement. Par cons ´equent, son comportement vibratoire comme son comportement statique peuvent ´evoluer.
De plus, la relaxation des contraintes pr ´esentes dans les pi `eces avant l’usinage peut ´egalement conduire `a des d ´eformations de la pi `ece lors de l’enl `evement de mati `ere.
2.2.1
Impact sur le comportement des pi `eces dans le domaine automobile.
Lors de l’usinage la rigidit ´e et la masse de la pi `ece usin ´ee ´evolue. Par cons ´equent, il est naturel de se poser la question de la validit ´e d’un calcul pour lequel le comportement de la pi `ece finie est utilis ´e de mani `ere invariable.
Cette question a fait l’objet d’un stage de fin d’ ´etudes encadr ´e par l’universit ´e de Li `ege [Koh05]. Ce stage a montr ´e une variation des fr ´equences propres de l’ordre de 30% dans des cas extr ˆemes de pi `eces minces. Dans le cadre de la m ´ecanique automobile, les pi `eces sont tr `es massives et la masse enlev ´ee est souvent n ´egligeable. Par cons ´equent, dans ce cadre, on fait l’hypoth `ese que le comportement de la pi `ece est invariable et correspond `a celui de la pi `ece finie.
2.2.2
Relaxation des contraintes r ´esiduelles.
Les pi `eces brutes sont g ´en ´eralement issues de fonderie ou de forge. Ces proc ´ed ´es entraˆınent la pr ´esence de contraintes r ´esiduelles dans la pi `ece livr ´ee. Ainsi lorsque de la mati `ere est enlev ´ee lors des op ´erations de coupe, les contraintes se r ´e- ´equilibrent en cr ´eant ´eventuellement des d ´eformations de la pi `ece tout au long de l’op ´eration. Par exemple, on sait d’exp ´erience que certaines gammes d’usinage sont `a ´eviter. Ainsi la relaxation des contraintes r ´esiduelles de fonderie lors de l’al ´esage des f ˆuts d’un carter cylindres d ´eforme la face culasse qui est, de ce fait, toujours usin ´ee ensuite.
Les m ´ethodes pr ´esent ´ees ici ne tiennent pas compte de ces contraintes. La principale difficult ´e avec le traitement de la relaxation des champs de contrainte est la fourniture des champs initiaux. Actuellement les tests que nous avons r ´ealis ´es avec un logiciel commercial de simulation de la forge ne nous ont pas permis de corr ´eler les mod `eles num ´eriques avec des mesures exp ´erimentales.
3
Notions sur la m ´ethode des ´el ´ements
finis et condensation statique.
On se propose ici de faire un court rappel sur la mise en place de la m ´ethode des ´el ´ements finis, employ ´ee tout au long des d ´eveloppements pr ´esent ´es dans la suite. De nombreuses r ´ef ´erences sont disponibles sur le sujet comme par exemple le livre de T.J.R. Hughes [Hug87] ou J.F. Imbert [Imb95]. Pour des pi `eces de formes complexes (typiquement dans le cas d’un carter), la m ´ethode des ´el ´ements finis conduit `a la construction de matrices de tr `es grande dimension pour repr ´esenter le comportement global de ces pi `eces. Cependant, seules quelques zones de la pi `ece, et du maillage qui leur est as-soci ´e, sont r ´eellement concern ´ees par l’usinage. Par cons ´equent, afin de r ´eduire les tailles des matrices utilis ´ees et ainsi les temps de calculs, la matrice de raideur peut ˆetre condens ´ee1 selon la m ´ethode pr ´esent ´ee ici. Cette d ´emarche est tr `es classique et est ´egalement utilis ´ee par L. Masset et al. [MD04].
3.1
Notions sur la m ´ethode des ´el ´ements finis.
Pour ne pas compliquer inutilement le paragraphe, on supppose ici que la m ´ethode des ´el ´ements finis repose sur la formulation faible de l’ ´equation fondamentale de la dynamique, utilisant le principe des travaux virtuels.
3.1.1
Principe des travaux virtuels.
Le principe des travaux virtuels s’appuie sur l’ ´equation liant les travaux virtuels :
δWacc = δWext+ δWint (3.1)
O `u δWacc, δWextet δWint sont respectivement les variations des travaux des efforts d’inertie, des efforts
ext ´erieurs et des efforts int ´erieurs pour une variation infinit ´esimale quelconque du d ´eplacement δ~udans un domaine Ω. Dans un r ´ef ´erentiel galil ´een, cela s’ ´ecrit :
Z Ω δ~u.ρ¨~udV | {z } δWacc = Z ∂Ω δ~u. ~F dΓ + Z Ω δ~u ~f dV | {z } δWext − Z Ω δ : σdV | {z } δWint (3.2)
O `u ~F et ~f sont respectivement les efforts exterieurs appliqu ´es sur la fronti `ere de Ω, ∂Ω et dans Ω. et σ sont les tenseurs de d ´eformation et de contrainte. Ces deux tenseurs sont li ´es l’un `a l’autre en ´elasticit ´e
par le tenseur de comportement et le tenseur de d ´eformation est d ´efini par la relation : δ = 1 2 ∇ Tδ~u + ∇δ~u (3.3) σ = C : (3.4)
3.1.2
La m ´ethode des ´el ´ements finis (version tr `es rapide)
Dans le paragraphe pr ´ec ´edent, δ~uest quelconque. En discr ´etisant le domaine Ω, il est possible de construire une base de fonctions de forme qui valent 1 sur un degr ´e de libert ´e et 0 sur les autres degr ´es de libert ´e. De cette mani `ere on construit pour chaque degr ´e de libert ´e une colonne Ni telle que le
d ´eplacement d’un point M quelconque de Ω est :
δu(M ) =X
i
Ni(M )δqi= N (M )δq (3.5)
O `u les qi(t)sont les composantes d’une colonne q(t) et les d ´eplacements des degr ´es de libert ´e i.
Avec la matrice B telle que = B q, les diff ´erents travaux virtuels de l’ ´equation (3.2) s’ ´ecrivent alors :
δWacc= δqT( Z Ω NT(M )ρN (M )dV ¨ q(t) (3.6) δWext= δqT Z ∂Ω NT(M )F (t)dΓ + Z Ω NT(M )f (t)dV q(t) (3.7) δWint= −δqT Z Ω BTC BdV q(t) (3.8)
On note g ´en ´eralement :
M GG = Z Ω NT(M )ρN (M )dV (3.9) K GG = Z Ω BTC BdV (3.10) Q = Z ∂Ω NT(M )F (t)dΓ + Z Ω NT(M )f (t)dV (3.11) (3.12) O `u les matrices MGGet KGG sont commun ´ement nomm ´ees matrices de masse et de raideur. La colonne Q est le chargement. En utilisant ces notations, l’ ´equation (3.2), valable pour tout d ´eplacement virtuel δq(t), se simplifie en :
M
GG¨q(t) + KGGq(t) = Q (3.13)
On ajoute en g ´en ´eral une matrice d’amortissement CGG. Dans ce travail, un amortissement modal, proportionnel `a la vitesse est utilis ´e. L’expression d’une telle matrice d’amortissement pr ´esente l’avan-tage d’ ˆetre diagonale dans la base modale du syst `eme d ´ecrit par l’ ´equation (3.13). Cette ´equation devient alors :
M
3.2
Condensation statique.
Pour des mod `eles ´el ´ements finis lourds (de plus de 106 DDL), les matrices M
GG, CGG et KGG du
mod `ele global sont de dimension tr `es ´elev ´ee et posent des probl `emes de manipulation.
Dans le cadre de la simulation de l’usinage, seules les surfaces usin ´ees et les surfaces brid ´ees et donc les degr ´es de libert ´e correspondant sont utilis ´es. La m ´ethode de condensation statique pr ´esent ´ee ici permet de r ´eduire la taille de la matrice de raideur au nombre de degr ´es de libert ´e d’une zone parti-culi `ere not ´ee A, les degr ´es de libert ´es restants ´etant regroup ´es dans le groupe O. Par cette m ´ethode, le comportement statique de la structure n’est pas alt ´er ´e.
En dissociant les groupes O et A, la matrice de raideur KGGs’ ´ecrit :
K GG= " K OO KOA KT OA KAA # (3.15) Et si l’on consid `ere la r ´eduction de l’ ´equation (3.14) `a la statique,
KGGq = Q (3.16) " K OO KOA KT OA KAA # " qO q A # = " QO Q A # . (3.17)
Dans (3.17), on peut multiplier la premi `ere ´equation par la droite par K−1OO: K−1 OOKOOqO+ K −1 OOKOAqA= K −1 OOQO (3.18) On obtient ainsi : q O = −K −1 OOKOAqA+ K −1 OOQO (3.19)
Et la deuxi `eme ´equation de (3.17) devient : −KTOAK−1 OOKOAqA+ K T OAKOO −1Q O+ KAAqA= QA (3.20) On pose ensuite : K∗AA= −KT OAK −1 OOKOA + KAA, et on a : K∗ AAqA= QA− K T OAK −1 OOQO (3.21)
Dans notre cas, QO= 0et on a : K∗
AAqA= QA (3.22)
La matrice K∗AAest appell ´ee la matrice de raideur condens ´ee et que l’on notera plut ˆot K∗. En pra-tique, c’est cette matrice bien plus facile `a manipuler qui est utilis ´ee ainsi que son inverse S∗, la matrice de souplesse.
Les mod `eles EF n’ ´evoluant pas pour les deux approches propos ´ees, K∗et S∗ne seront calcul ´ees qu’une seule fois en d ´ebut d’algorithme.
Deuxi `eme partie
Introduction aux mod `eles
macroscopiques de pr ´ediction de
l’erreur de forme
Il existe de nombreuses m ´ethodes pour la pr ´ediction de l’erreur de forme. Le d ´etail de ces m ´ethodes et une tentative de classification est propos ´ee dans la suite.Dans le cadre des m ´ethodes simplifi ´ees, une fois l’avance et la profondeur de passe fix ´ees, l’effort de coupe ne d ´epend que de la largeur de copeau, c’est `a dire de la position angulaire de l’outil. Si cette simplification ne permet pas de
prendre en compte les effets r ´eg ´en ´eratifs conduisant `a l’instabilit ´e de la coupe, elle autorise l’ ´economie de strat ´egies complexes de r ´esolution et demeure valide dans de nombreux cas rencontr ´es industriellement. Deux m ´ethodes sont pr ´esent ´ees ici. La premi `ere est la m ´ethode statique, d ´evelopp ´ee initialement par Renault puis reprise et am ´elior ´ee par l’universit ´e de Li `ege. Cette m ´ethode est actuellement utilis ´ee de mani `ere courante sur tout les nouveaux projets d’industrialisation chez Renault. Si cette m ´ethode est tr `es efficace sur les pi `eces massives, elle ne permet pas d’obtenir de bons r ´esultats sur des pi `eces plus l ´eg `eres ayant tendance `a vibrer. C’est la raison pour laquelle une m ´ethode prenant en compte la dynamique de la pi `ece et de l’outil a d ˆu ˆetre d ´evelopp ´ee. La probl ´ematique de ce travail est de conserver des temps de calculs tr `es courts tout en int ´egrant les ´equations du mouvement dans une r ´esolution n ´ecessairement r ´ealis ´ee dans le domaine temporel.
1
Etat de l’art `a l’ ´echelle macroscopique
Comme cela a d ´eja ´et ´e ´evoqu ´e, ce travail se focalise sur une approche macroscopique. Ce type d’approche permet de pr ´edire l’ ´etat g ´eom ´etrique de la pi `ece finale `a partir de la donn ´ee de la g ´eom ´etrie initiale d’une pi `ece, d’une g ´eom ´etrie d’outil, d’une loi de coupe et d’une trajectoire relative outil pi `ece. Cet ´etat peut ˆetre caract ´eris ´e par une erreur de forme ou m ˆeme par un ´etat de surface (ondulation).
D’une mani `ere g ´en ´erale les m ´ethodes pr ´esent ´ees dans ce travail sont toutes contenues dans la classe des m ´ethodes bas ´ees sur la d ´eformation de la pi `ece, de la machine et de l’outil comme propos ´e par Van Lutterverlt et al. [vLCJ+98].
1.1
Le d ´efaut d ˆ
u au bridage.
Bien souvent, la premi `ere cause de non-qualit ´e en erreur de forme est due au bridage. C’est ´egalement la cause la plus simple `a traiter. En effet, un simple calcul de statique lin ´eaire permet g ´en ´eralement d’ ´evaluer cette d ´eformation (fig 1.1). La validit ´e de ce calcul est assur ´ee tant que la variation de la rai-deur de la pi `ece due aux usinages ult ´erieurs est n ´egligeable.
Dans le cadre des m ´ethodes pr ´esent ´ees dans ce document, les d ´efauts dus au bridage d’une part et `a la coupe elle-m ˆeme d’autre part sont trait ´es s ´epar ´ement1.
La mod ´elisation du serrage d’une pi `ece peut ˆetre probl ´ematique car les conditions limites ne pr ´esentent aucun encastrement et le syst `eme n’admet pas de solution unique. Pour cela deux strat ´egies peuvent ˆetre mises en oeuvre.
1.1.1
Utilisation d’un blocage isostatique.
Les d ´eveloppements sont illustr ´es par l’exemple sch ´ematique du cas du serrage en 2D d’une pi `ece en U propos ´e en figure 1.2. On suppose ici que le bridage est d ´efini pour un chargement donn ´e en ´equilibre (r ´esultante et moment). La pi `ece est positionn ´ee de fac¸on isostatique dans un r ´ef ´erentiel (3 DDL fix ´es en 2D ou 6 DDL en 3D) de mani `ere `a supprimer les mouvements de corps rigide.
Cette m ´ethode permet de r ´esoudre le syst `eme, de trouver la d ´eformation de la pi `ece mais son orientation varie dans le rep `ere fixe. Dans la r ´ealit ´e, le probl `eme ´etant sym ´etrique, la pi `ece se d ´eforme sans rotation dans le rep `ere fixe. Il faut donc choisir le blocage de mani `ere `a assurer la sym ´etrie des d ´eplacements.
Le probl `eme de cette approche est que la mise en position de la pi `ece d ´eform ´ee vis `a vis de la tra-jectoire de l’outil d ´epend du choix fait quand aux DDL immobilis ´es.
1. Lorsque l’influence de la d ´eformation de la pi `ece brid ´ee est relativement importante vis `a vis de la profondeur de passe, on pourra la prendre en compte comme une variation de la profondeur de passe dans les deux m ´ethodes d ´ecrites dans les chapitres suivants.
FIG. 1.1 – D ´efaut de forme d ˆu au bridage.
1.1.2
Introduction de contacts unilat ´eraux dans la direction du serrage.
Dans le but d’ ´eviter le choix d’un blocage isostatique, il est possible d’introduire un mod `ele de contact unilat ´eral dans la mod ´elisation du bridage et de traiter le bridage en respectant le dispositif utilis ´e en pratique. Ce type de mod ´elisation introduit alors la r ´esolution d’un probl `eme non-lin ´eaire, incompatible avec les m ´ethodes de simulation de l’usinage d ´ecrites dans la suite. Par cons ´equent, le calcul de la d ´eform ´ee due au bridage est toujours trait ´e ind ´ependamment de l’usinage. Les conditions aux limites utilis ´ees pendant l’usinage sont des encastrements.
Les degr ´es de libert ´e dans le sens du serrage des zones de bridages sont regroup ´es dans B, sous groupe de A (cf paragraphe 3.2, page 25). Le d ´eplacement des brides doit satisfaire la minimisation de
FIG. 1.2 – Serrage d’une pi `ece en U avec un blo-cage isostatique n ´ecessaire `a l’inversion de la ma-trice de raideur.
FIG. 1.3 – Serrage d’une pi `ece en U avec une strat ´egie bas ´ee sur le contact.
l’ ´energie du syst `eme sous condition de maintenir le contact, c’est `a dire que les d ´eplacements doivent ˆetre orient ´es vers l’int ´erieur de la pi `ece. Cette condition est traduite par la colonne U dans l’ ´ecriture :
minq B 1 2q T BK ∗ BBqB− q T BQB avecq B i ≤ Ui 1 ≤ i ≤ nB (1.1)
O `u la matrice K∗BBest la matrice de raideur condens ´ee sur B. La minimisation de l’ ´energie permet de trouver la d ´eform ´ee de la pi `ece `a un d ´eplacement de corps rigide dans le sens du serrage pr `es. Compte-tenu de la condition, une infinit ´e de solutions existent comme pr ´esent ´e dans la figure 1.3. D `es lors, si la trajectoire de l’outil est d ´efinie par rapport `a la pi `ece, alors le probl `eme de la position absolue de la pi `ece disparaˆıt.
L’id ´ee initiale de cette m ´ethode se trouve dans la th `ese de L. Masset [Mas04]. L’objectif est de prendre en compte le d ´ecollement ´eventuel entre la pi `ece et ses appuis pendant l’usinage lors de l’utilisation de la m ´ethode statique que nous verrons dans la suite.
On retrouve ´egalement ce type d’approche dans le travail de Y.G Liao [LH00] [Lia00] pour General Motors qui traite de stabilit ´e du bridage pendant les op ´erations de fraisage. Le travail de S.P. Siebenaler [SM06] est dans le m ˆeme esprit.
1.2
Influence de l’effort de coupe.
La deuxi `eme cause de non-qualit ´e apr `es le bridage est la d ´eformation de la pi `ece soumise aux solli-citation de la coupe. On trouve dans ce domaine des m ´ethodes simples bas ´ees sur la statique ainsi que
des m ´ethodes dites compl `etes qui utilisent ´egalement la dynamique.
1.2.1
M ´ethodes simplifi ´ees bas ´ees sur la statique.
Ces m ´ethodes existent depuis les ann ´ees 80 chez Renault mais la premi `ere publication date de 1994 [SGD94] dans le cadre d’une collaboration avec le PTW. Dans [SGD94], la pi `ece est mod ´elis ´ee par un maillage de la face usin ´ee sur une ´epaisseur donn ´ee et le reste de la pi `ece est repr ´esent ´ee par un syst `eme de masse ressort. Les efforts de coupe sont appliqu ´es en statique sur les noeuds de la pi `ece de fac¸on `a quantifier les d ´eplacements relatifs entre la pi `ece et l’outil et donc la quantit ´e de mati `ere qui n’est pas coup ´ee, li ´ee au d ´efaut de forme.
Les auteurs ont ´egalement publi ´e l’article [SB93]. Ce type de m ´ethode a ensuite ´et ´e repris par l’universit ´e de Li `ege et la version la plus aboutie est pr ´esent ´ee dans la th `ese de L. Masset [Mas04] ainsi que dans l’article [MD04] et d ´etaill ´ee dans le chapitre 2, page 37.
1.2.2
M ´ethodes ”compl `etes” en statique et en dynamique.
Ce type de m ´ethode utilise deux mod `eles de la pi `ece, un mod `ele g ´eom ´etrique et un mod `ele ´el ´ement-finis. Le mod `ele g ´eom ´etrique est utilis ´e pour calculer l’aire du copeau enlev ´e `a chaque instant par intersection entre la pi `ece et l’outil. Cela permet de prendre en compte l’effet du passage des dents pr ´ec ´edentes et d’avoir une tr `es bonne description de la surface apr `es usinage. Le second mod `ele est utilis ´e pour calculer les d ´eplacements de la pi `ece soumise aux efforts de coupe. Une mise `a jour entre les deux mod `eles est effectu ´ee syst ´ematiquement.
Si l’automobile progresse, c’est surtout l’industrie a ´eronautique qui est demandeuse de pr ´edictions fiables en mati `ere d’usinage pour des raisons de co ˆuts des pi `eces brutes. Alors que les sur ´epaisseurs des pi `eces automobiles n’exc `edent pas quelques millim `etres, soit 20% de la masse de la pi `ece c’est parfois plus de 80% de la masse initiale qui est enlev ´ee dans le domaine a ´eronautique et les mat ´eriaux employ ´es sont tr `es on ´ereux. La probl ´ematique diff `ere donc de celle du domaine automobile d’o `u des approches diff ´erentes.
C’est dans ce contexte a ´eronautique que prennent place les travaux de E. Budak et Y. Altintas. Si ces auteurs ont beaucoup travaill ´e sur des aspects de stabilit ´e, ils ont ´egalement publi ´e des travaux sur la pr ´ediction des d ´efauts de forme. On trouve dans l’article [BA93] et le livre [Alt00] l’ ´etude du fraisage d’une paroie mince. Dans cette ´etude, les vibrations ne sont pas prises en compte et les d ´efauts sont dus aux d ´eflections statiques des deux objets. L’article de 1991 de Montgomery et Altintas [MA91] traite du fraisage avec un outil vibrant et en particulier de la surface g ´en ´er ´ee.
L’article de Surmann en 2006 [SE06] traite des traces laiss ´ees sur la pi `ece par un outil vibrant mais la pi `ece reste infiniment rigide ce qui reste fondamentalement proche de l’article de Montgomery.
Le mod `ele propos ´e par G. Peign ´e [Pei04] mod ´elise la pi `ece comme un solide rigide positionn ´e sur un syst `eme masse-ressort. L’effort de coupe est calcul ´e en prenant en compte l’intersection du volume ba-lay ´e par l’outil et celui de la pi `ece et mis `a jour r ´eguli `erement. Cela permet d’ ´etudier `a la fois l’erreur de forme g ´en ´er ´ee et l’instabilit ´e de la coupe. Cependant, le mod `ele de pi `ece est trop simpliste pour repr ´esenter correctement le comportement d’une pi `ece industrielle complexe.
La m ´ethode la plus sophistiqu ´ee rencontr ´ee dans la litt ´erature est celle propos ´ee par G. Coffignal et P. Lorong, r ´esum ´ee dans les articles [LYCC06] et [CALC06].
Pour les usinages trait ´es dans le cadre de ce travail de th `ese, on suppose que la quantit ´e de mati `ere enlev ´ee n’affecte pas significativement le comportement m ´ecanique de la pi `ece. Lorsque dans l’a ´ero-nautique, 80% de la masse initiale de la pi `ece est ˆot ´ee cette hypoth `ese n’est plus r ´ealiste. La m ´ethode propos ´ee par A. Larue et F. Lapujoulade [LL06][LMR02] prend en compte la vibration de la pi `ece et r ´eactualise l’enl `evement de mati `ere en recalculant les modes propres de la pi `ece. Cette m ´ethode est
utilis ´ee en postulant une intialisation originale des calculs `a l’aide de l’introduction de la notion de r ´egime stationnaire effectif. Cette m ´ethode est alors rapide mais suppose l’existence d’un r ´egime permanent, ce qui est vrai dans de nombreux cas d’usinage mais pas lorsque le r ´egime est constament transitoire, comme en fraisage de surface de pi `eces complexes.
1.2.3
Simulation de l’effort de coupe.
Beaucoup de travaux portent sur le calcul de l’ ´evolution des efforts de coupe. Ces travaux sont proches de la m ´ethode dynamique pr ´esent ´ee dans la suite. En effet l’ ´equation (3.14) de la partie 1 est cette fois utilis ´ee pour calculer la variation de l’effort exerc ´e sur l’outil. Cependant, comme pr ´esent ´e dans l’article de H.S. Kim et al. [KE92] ou de J. Tlusty et al. [ST91] dans la partie concernant l’ ´evalutation des efforts de coupe2, les matrices utilis ´ees sont de tr `es petite dimension contrairement `a nos cas d’ ´etude.
2. Le travail de Kim utilise une m ´ethode θ de Wilson pour int ´egrer l’ ´equation de la dynamique dans le temps. Cette m ´ethode d’int ´egration suppose que l’acc ´el ´eration varie lin ´eairement dans le temps sur plusieurs pas de calculs. Celui de Tlusty utilise une m ´ethode bas ´ee sur les diff ´erences centr ´ees. Le sch ´ema de Newmark est utilis ´e dans la m ´ethode dynamique pr ´esent ´ee ensuite.
2
La m ´ethode industrielle actuelle : la
m ´ethode statique.
La m ´ethode statique, actuellement utilis ´ee syst ´ematiquement chez Renault, est pr ´esent ´ee dans ce qui suit. Cette m ´ethode est d ´eja tr `es largement pr ´esent ´ee dans la th `ese de L. Masset [Mas04] dans sa restriction `a la prise en compte de la seule souplesse de la pi `ece `a usiner. Elle sera ici ´etendue `a la prise en compte du comportement de l’outil et valid ´ee sur une pi `ece r ´eelle. Cette m ´ethode est ´egalement la base des d ´eveloppements pr ´esent ´es dans la suite de ce travail.
L’erreur de forme due au bridage est suppos ´ee avoir ´et ´e calcul ´ee de mani `ere ind ´ependante, aussi les conditions aux limites appliqu ´ees sont des encastrements. L’erreur de forme finale sera la somme de ces deux r ´esultats par application du principe de superposition.
2.1
M ´ethode statique.
Le cas d’application le plus simple de la m ´ethode statique est le cas du tournage. La m ´ethode est ensuite g ´en ´eralis ´ee au cas du fraisage et ses performances en terme de temps de calcul sont analys ´ees.
2.1.1
Le cas du tournage.
La pi `ece usin ´ee est pr ´ealablement maill ´ee et la matrice de raideur associ ´ee `a cette discr ´etisation est not ´ee K
GG. Le but de la m ´ethode est de calculer la quantit ´e de mati `ere non- ˆot ´ee.
Dans le cas qui nous int ´eresse, l’ ´equation fondamentale se limite `a la statique et prend la forme : K
GGq(t) = Q(t) (2.1)
O `u la colonne q(t) est la colonne des d ´eplacements g ´en ´eralis ´es et la colonne Q(t) est la colonne des efforts g ´en ´eralis ´es.
L’effort de coupe est consid ´er ´e comme constant et est contenu dans Q(t). Si sa valeur est constante, son orientation d ´epend du temps.
Le calcul de Q(t) ne tient pas compte de l’histoire du syst `eme et par cons ´equent l’ordre d’application de l’effort de coupe n’influe pas sur le r ´esultat. De plus, aucune r ´esolution temporelle n’est n ´ecessaire (le probl `eme est simplement param ´etr ´e par le temps). Il est ainsi possible de se limiter `a l’appliquation de l’effort de coupe sur les DDL du maillage de la surface usin ´ee pour avoir l’estimation attendue de l’erreur de forme.
K
GGqi= Qi (2.2)
O `u l’indice i marque l’application de l’effort au noeud i. Le vecteur Qis’ ´ecrit alors : Q
i= [0 · · · 0 F1 F2 F3 0 · · · 0] T
(2.3) O `u les composantes non-nulles correspondent aux Degr ´es De Libert ´e (DDL) en translation du noeud i.
L’inversion de la matrice KGGpuis l’application successive des Qi permet de calculer les qi.
Seuls les degr ´es de libert ´e du noeud i sont utilis ´es pour la pr ´ediction du d ´efaut de forme. L’allure de la pi `ece finie est d ´eduite de ces d ´eplacements comme illustr ´e en figure 2.1.
FIG. 2.1 – D ´eduction du d ´efaut de forme en tournage.
2.1.2
G ´en ´eralisation au fraisage.
Dans le cas du fraisage, plusieurs dents peuvent ˆetre immerg ´ees simultan ´ement. Dans ce cas, on utilise la g ´eom ´etrie de l’outil pour d ´eterminer la position des autres dents au moment o `u la position de l’une d’entre elles co¨ıncide avec un noeud du maillage (figure 2.2).
Ecriture du second membre.
Dans ce cas, l’ ´ecriture du vecteur Qiest moins imm ´ediate que pour le cas du tournage car l’immer-sion simultan ´ee des dents implique des efforts ponctuels appliqu ´es en des positions ne co¨ıncidant pas avec les noeuds du maillage. On a montr ´e dans le paragraphe 3.1.2 que le chargement g ´en ´eralis ´e s’ ´ecrit :
Q = Z ∂Ω NT(M )F (t)dΓ + Z Ω NT(M )f (t)dV (2.4)
FIG. 2.2 – Positions des dents dans un cas de fraisage.
En notant ~Files efforts de coupe des Zindents i immerg ´ees aux points Mi, il vient :
Q =
Zin
X
i=1
NT(Mi)Fi (2.5)
Remarque : Prise en compte de la d ´eformation due au bridage, du d ´epinc¸age ou des op ´erations pr ´ec ´edentes.
Le d ´epinc¸age est l’angle form ´e par le plan de l’outil et la direction d’avance de l’outil comme indiqu ´e sur la figure 2.3.
FIG. 2.3 – Angle de d ´epinc¸age d’une fraise.
Le d ´epinc¸age introduit une variation de la profondeur de passe en fonction de la position angulaire des dents. De la m ˆeme mani `ere, la d ´eformation due au bridage, calcul ´ee ind ´ependamment et les ´etapes d’usinage pr ´ec ´edentes peuvent ˆetre prise en compte sous la forme d’une variation de la profondeur de passe.
2.1.3
Aspects num ´eriques et condensation de Guyan.
La m ´ethode statique consiste `a appliquer de tr `es nombreux cas de charge sur la pi `ece pour au final ne conserver que les d ´eplacements d’un unique point par cas. Une m ´ethode peu ´el ´egante pourrait ˆetre de g ´en ´erer un fichier de commande pour un solveur commercial contenant la liste et la description des
cas de charge ainsi que les noeuds int ´eressants. Le solveur devrait inverser une unique fois la matrice K
GG, ce qui est l’op ´eration la plus co ˆuteuse, puis g ´en ´erer un fichier r ´esultats avec le d ´eplacement du
noeud correspondant. L’inconv ´enient de la m ´ethode est la n ´ecessit ´e de tout recommencer `a chaque mo-dification des param `etres de coupe1.
L’ ´etude de la colonne Qi, montre qu’elle contient beaucoup de termes nuls. Cela provient du fait que la matrice N (Mi)est particuli `erement creuse. Ce qui est une des propri ´et ´es utiles de la m ´ethode des
´el ´ements finis.
En pratique, on utilise plut ˆot les matrices Nejdes ´el ´ements qui contiennent les points j de mani `ere `a ´eviter de conserver des DDL qui ne sont pas charg ´es. En effet, comme on ne s’int ´eresse qu’aux d ´eplacements des noeuds charg ´es, il n’est pas n ´ecessaire de conserver d’informations relatives aux autres noeuds. Ainsi, pour chaque cas de chargement i, on obtient une matrice Si
GG par suppressions de lignes et
de colonnes de la matrice de souplesse globale SGG. On utilise alors la concat ´enation ˜Q
i des vecteurs
NT e
j Fj que l’on applique `a SiGGpour trouver ˜qiet en d ´eduire le d ´eplacement du noeud i.
La r ´eduction des vecteurs creux permet de r ´eduire les temps de calculs et la m ´emoire n ´ecessaire au produit Si
GG
˜ Q
i. Cependant pour des maillages de pi `eces industrielles la matrice SGG peut ˆetre tr `es
volumineuse, son inversion tr `es couteuse comme l’assemblage de Si
GGmais c’est surtout le stokage
d’une telle matrice qui peut ˆetre ennuyeux.
On constate que l’on peut regrouper les noeuds suceptibles d’ ˆetres usin ´es dans le groupe de noeuds A ´evoqu ´e dans le paragraphe 3.2 de la partie 1. Ces noeuds correspondent `a la surface usin ´ee et aux surfaces brid ´ees. On note O le groupe des noeuds qui ne seront jamais utilis ´es. La matrice KGG est alors condens ´ee par la m ´ethode de Guyan comme pr ´esent ´e pr ´ec ´edemment, pour former la matrice K∗ de taille modeste. Cette matrice de raideur condens ´ee est ensuite utilis ´ee en remplacement de la matrice compl `ete.
2.2
Mise en oeuvre et validation exp ´erimentale.
La m ´ethode statique est ici mise en oeuvre sur un exemple industriel dans le but de valider les r ´esultats calcul ´es par comparaison avec des r ´esultats de mesure. La pi `ece utilis ´ee est le carter cylindres du moteur M9R (2.0l dCi). L’op ´eration simul ´ee est l’ ´ebauche de la surface en contact avec la culasse sur laquelle est d ´epos ´e le joint de culasse. C’est une op ´eration de fraisage qui est faite actuellement dans l’usine de Cl ´eon, en Normandie sur des machines transfert.
2.2.1
Application de la m ´ethode sur une face de carter cylindre.
Pour ce calcul, un maillage de la pi `ece a ´et ´e g ´en ´er ´e sp ´ecifiquement. La taille des ´el ´ements influenc¸ant la souplesse locale du mod `ele, nous nous sommes efforc ´es de conserver cette taille constante dans l’int ´egralit ´e du maillage. Outre cette contrainte, il ´etait ´egalement n ´ecessaire de disposer de suffisament de noeuds dans des zones ´etroites ce qui nous a conduit au choix d’une taille d’ ´el ´ement relativement r ´eduite (de 5mm) et par cons ´equent `a un mod `ele lourd de 492 370 t ´etra `edres d’ordre 2 soit 854 285 noeuds ou encore 2 562 855 DDL.
Comme remarqu ´e pr ´ec ´edemment, la premi `ere ´etape est la condensation de Guyan. Elle est faite ici sur les noeuds de la surface usin ´ee et sur les noeuds des zones brid ´ees. Ces zones sont color ´ees sur la figure 2.4. La condensation permet de passer du syst `eme complet `a 2 562 855 DDL au mod `ele r ´eduit mais de comportement identique de 8 391 DDL.
FIG. 2.4 – Groupes de noeuds conserv ´es dans la condensation (A-set). On remarquera la pr ´esence de zones s ´electionn ´ees pour la mod ´elisation du bridage en plus de la surface usin ´ee.
La m ´ethode pr ´esent ´ee est ensuite appliqu ´ee en utilisant les param `etres d’usinage r ´esum ´es dans le tableau 2.5 qui nous permettent de calculer l’amplitude de l’effort de coupe et son orientation. La trajec-toire de l’outil est pr ´esent ´ee sur les r ´esultats.
Plaquette
Forme Triangle et ar ˆete de 12 mm
Angle d’attaque (κR) 45◦ Angle de d ´epouille (α) 0◦ Angle axial (γp) −7◦ Angle radial (γf) −4◦ Epaisseur 4.18 mm Rayon de bec 0.8 mm Fraise Diam `etre 400 mm Nombre de plaquettes 64
Param `etres du mod `ele d’efforts de coupe
Kc, mc 1100 N/mm2, 0.28
Fa 0.4 Fc
Ff 0.4 Ff
Conditions de coupe
Vitesse de rotation 88 trs/min
Vitesse d’avance 1295 mm/min
Profondeur de passe 3 ± 1.5 mm
D ´epinc¸age 0.05 %
FIG. 2.5 – Param `etres d’usinage en ´ebauche de la face culasse du carter cylindres M9R.
Le r ´esultat du calcul est pr ´esent ´e en figure 2.6. La comparaison avec les mesures porte ici sur la plan ´eit ´e de la surface. Que les r ´esultats soient issus de mesures ou de calculs, ils forment un nuage de points. La quantification d’une erreur de forme se fait par rapport `a une forme de r ´ef ´erence. Cette forme de r ´ef ´erence est obtenue comme ´etant la forme moyenne passant par le nuage de points.
Dans le cas de la plan ´eit ´e, la forme de r ´ef ´erence est un plan. C’est le plan moyen du nuage de points. Ce plan est obtenu par minimisation. On peut utiliser diverses m ´ethodes, mais la plus courante est la m ´ethode des moindres carr ´es, c’est celle qui est uilis ´ee en g ´en ´eral dans les machines `a mesurer.
On constate que le r ´esultat calcul ´e, figure 2.6 est pratiquement uniform ´ement plat. La surface re-monte sur les bords `a la mani `ere d’une goutti `ere. Ce d ´efaut est d ˆu au d ´epinc¸age.
FIG. 2.6 – R ´esultat de plan ´eIt ´e calcul ´e par la m ´ethode statique sur la face culasse du carter-cylindres M9R.
2.2.2
Limitations.
Les r ´esultats de calcul sont compar ´es avec des mesures faites sur un pr ´el `evement de 4 pi `eces sur la ligne. Ces pi `eces sont mesur ´ees en une centaine de points par une machine `a mesurer tridimensionnelle. La figure 2.7 pr ´esente la moyenne des mesures. Les points de mesure sont entour ´es sur cette figure. La moyenne est r ´ealis ´ee pour chacun des points de mesure. Un ´ecart-type peut ˆetre obtenu de la m ˆeme mani `ere pour chacun des points. Le plus grand de ces ´ecarts-type est de 14µm. Il correspond `a la somme de la dispersion et de l’incertitude du moyen de mesure.
FIG. 2.7 – Moyenne des r ´esultats de mesure de plan ´eit ´e sur un pr ´el `evement de 4 pi `eces.
Il est clair que le r ´esultat calcul ´e ne correspond pas `a ce qui est mesur ´e ici. De plus le r ´esultat pr ´esent ´e en figure 2.6, ne semble pas montrer une grande sensibilit ´e au nombre de dents immerg ´ees (cf figure 2.8) alors que le r ´esultat de mesure montre lui une grande sensibilit ´e `a ce param `etre.
2.3
Am ´elioration de la m ´ethode statique par prise en compte de
l’outil.
Lorsque de nombreuses dents sont immerg ´ees, le chargement global augmente. Ainsi, la r ´esultante dans la direction normale `a la surface usin ´ee est multipli ´ee par le nombre de dents immerg ´ees et les deux autres r ´esultantes d ´ependent de la position angulaire de chacune des dents mais le chargement augmente globalement.
Par cons ´equent il semble ici que le carter est suffisament raide pour que ses d ´eformations soient n ´egligeables devant celles d’un autre organe du syst `eme {Pi `ece Outil Machine }, l’outil.
FIG. 2.8 – Nombre de dents immerg ´ees pour chacun des cas de charge.
2.3.1
Formalisation de la prise en compte de l’outil dans la m ´ethode statique.
La prise en compte de l’outil est tr `es simple `a r ´ealiser. Si l’on n ´eglige l’influence en terme de sou-plesse d’une dent sur ses voisines dans la matrice de sousou-plesse de l’outil, il suffit de calculer la matrice de souplesse 3x3 pour chaque dent. Sous l’hypoth `ese que l’ordre de grandeur de la variation de l’ ´ecart outil/pi `ece est n ´egligeable devant la profondeur de passe, il est alors possible de cumuler pour chaque dent le d ´eplacement de l’outil et de n ´egliger l’influence de ce d ´eplacement sur l’orientation des efforts et leurs amplitudes. Le d ´eplacement final et donc le d ´efaut final sera la somme des d ´eplacements/d ´efauts calcul ´es.Chaque vecteur ˜Q
i contient l’ensemble du chargement i `a appliquer sur la pi `ece afin de calculer le
d ´eplacement du noeud i.
Pour prendre en compte l’outil, on applique ce vecteur `a la matrice concat ´en ´ee Stid ´efinie comme : S ti= h S t · · · St i . (2.6)
O `u la matrice Stest la matrice 3x3 correspondant `a une dent de l’outil.
2.3.2
Application de la m ´ethode avec la prise en compte de l’outil.
La figure 2.9 pr ´esente le r ´esultat calcul ´e avec la prise en compte de l’outil et de la broche, mod ´elis ´es l’un par un mod `ele ´el ´ements finis et l’autre par des poutres. On constate cette fois que le r ´esultat calcul ´e par la m ´ethode statique am ´elior ´ee est bien coh ´erent avec les r ´esultats mesur ´es compte-tenu de l’ ´ecart-type de 14µm constat ´e sur les mesures.
