La figure 4.8 rappelle le r ´esultat de la m ´ethode SDOF et la figure 4.10 pr ´esente pour chaque point de calcul le nombre de dents simultan ´ement immerg ´ees.
Comme on pouvait le pr ´evoir compte-tenu des remarques faites en section 3.3, la m ´ethode MDOF pro- duit des profondeurs de passes critiques plus faibles que la m ´ethode SDOF. La seule diff ´erence entre les deux m ´ethodes dans le cas d’une immersion simple ´etant bas ´e sur la recherche de la direction la plus sensible (avec ou sans prise en compte du chargement), on constate que la simplification de la m ´ethode SDOF provoque une sur-estimation de l’ordre de 20% par rapport `a la m ´ethode MDOF.
FIG. 4.8 – Carte de broutement calcul ´ee par la m ´ethode SDOF.
FIG. 4.9 – Carte de broutement calcul ´ee par la m ´ethode MDOF.
5
Conclusion sur les m ´ethodes de
pr ´ediction des risques de broutement.
Deux m ´ethodes pour la pr ´ediction du risque de broutement ont ´et ´e propos ´ees dans cette partie. La premi `ere et la plus simple des deux est la m ´ethode statique ou encore SDOF. En tournage, on constate que l’expression de la profondeur de passe critique est tr `es simple et directement applicable en utilisant la m ´ethode des ´el ´ements finis. Ainsi, il suffit de connaˆıtre la souplesse de la pi `ece dans la direction de l’effort de coupe pour obtenir la profondeur de passe critique. La transposition en fraisage de cette m ´ethode consiste `a approximer l’op ´eration par une op ´eration de tournage. On calcule alors la direction principale de la souplesse et l’effort de coupe est projet ´e sur cette direction de mani `ere `a appliquer en- suite les expressions valables en tournage.
Si l’on ´etudie de pr `es la m ´ethode, on constate que rien n’oblige l’effort de coupe `a prendre une valeur importante dans la direction principale de la souplesse. A l’extr ˆeme, il est possible d’obtenir un effort de coupe orthogonal `a cette direction.
La deuxi `eme m ´ethode est la m ´ethode MDOF. Elle est plus complexe `a mettre en oeuvre et implique ´egalement une diagonalisation mais qui ne se fait pas `a la m ˆeme ´etape. En effet, l’application de la m ´ethode MDOF fait apparaˆıtre le produit de la matrice de transfert de la structure avec une matrice qu’on peut identifier comme une matrice de pression de coupe. La matrice identifiable comme une ma- trice de raideur est diagonalis ´ee pour trouver la limite de broutement.
Dans ce cas, l’orientation de l’effort de coupe est pleinement prise en compte.
D’autre part, la m ´ethode MDOF telle que pr ´esent ´ee permet ´egalement de prendre en compte l’immer- sion simultan ´ee de plusieurs dents ainsi que de tracer des diagrammes de lobes en chaque point de la surface usin ´ee.
Si la m ´ethode statique donne un r ´esultat instantan ´ement `a partir de la fourniture d’une matrice de souplesse, la m ´ethode dynamique n ´ecessite un temps de calcul d ´ependant de la plage de fr ´equence ´etudi ´ee, du nombre de dents immerg ´ees ainsi que du nombre de noeuds composant la surface `a usiner. Ainsi, un temps de calcul de l’ordre de 90s est observ ´e pour l’exemple de la face de carter-cylindres avec un ordinateur portable1. Le pr ´e-processing consistant `a calculer la matrice S∗peut prendre de quelques secondes `a quelques heures en fonction du logiciel utilis ´e, de la taille du mod `ele complet et du groupe A.
Compte-tenu de ces remarques, la m ´ethode statique peut ˆetre utilis ´ee afin de se donner une premi `ere estimation mais la m ´ethode MDOF est `a privil ´egier. Toutefois, les deux m ´ethodes sont tr `es fortement im-
pact ´ees par le choix du coefficient d’amortissement qui, comme on l’a vu comporte une part d’arbitraire. Par cons ´equent, les r ´esultats doivent ˆetre appr ´ehend ´es avec pr ´ecaution.
Conclusion g ´en ´erale
Deux probl `emes courants en production de grande s ´erie ont ici ´et ´e abord ´es, le respect des tol ´erances de forme et le broutement. A chaque fois, deux m ´ethodes ont ´et ´e ´etudi ´ees l’une bas ´ee sur la statique, tr `es simple et l’autre prenant en compte la dynamique du syst `eme, plus complexe mais infiniment plus simple que la plupart des m ´ethodes concurrentes.
Si les m ´ethodes statiques fonctionnent bien sur certains types de pi `ece, on constate que l’usage de m ´ethodes dynamiques permet d’ ´elargir le panel d’application que l’on peut simuler de mani `ere relati- vement fiable. Cependant, le temps de calcul s’en fait ressentir, les m ´ethodes statiques ne n ´ecessitent aucune int ´egration et consistent plus en un post-traitement du calcul de condensation de la matrice de raideur alors que les m ´ethodes dynamiques demandent beaucoup plus d’op ´erations. Le rapport des temps de calcul entre les deux types de m ´ethodes est de 100 que ce soit pour la pr ´ediction de l’erreur de forme ou du broutement. Toutefois, les m ´ethodes dynamiques pr ´esentent un temps de calcul tr `es raisonnable. 1h est n ´ecessaire pour le calcul de l’erreur de forme sur le carter de boite de vitesses et 3 `a 4 minutes suffisent au calcul de la carte de broutement par la m ´ethode MDOF sur la face de carter cylindres. Ces temps sont observ ´es sur un PC portable Pentium M 1.7 GHz et 1 Go RAM. Tous les programmes sont programm ´es sous Matlab et il est tr `es probable que l’impl ´ementation de la m ´ethode dynamique de pr ´ediction de l’erreur de forme dans un langage compil ´e type Fortran permette de r ´eduire de beaucoup les temps de calcul.
Ces deux m ´ethodes ont vocation `a ˆetre int ´egr ´ees dans un logiciel commercial, Samcef For Machining de mani `ere `a ˆetre maintenues et `a ˆetre utilis ´ees syst ´ematiquement `a l’ing ´enierie process centrale de l’ing ´enierie m ´ecanique de Renault. Elles ont ´egalement ´et ´e l’objet de publications et de participation `a des conf ´erences [LMD06a], [LMD06b], [LMMD06], [LLLC07b], [LLLC07a], [LMM+07] . La m ´ethode dy-
namique de pr ´ediction de l’erreur de forme a ´et ´e r ´ecompens ´ee par le prix de la meilleure pr ´esentation ´etudiante dans le domaine Interaction between Computational Mechanics and Manufacture de l’U.S. As- sociation for Computational Mechanics.
Annexe A
M ´ethodologie pour l’analyse modale
exp ´erimentale
Les r ´esultats d’analyse modale exp ´erimentale pr ´esent ´es dans ce document sont r ´ealis ´es suivant la m ´ethode pr ´esent ´ee ici. Dans le cadre d’une expertise lors d’une crise vibratoire, une premi `ere ´etape de mesure de l’acc ´el ´eration en certains points de la machine ou de la pi `ece permet d’identifier des fr ´equences pr ´edominantes pr ´ealablement `a l’identification modale.
L’objectif de cette annexe est de pr ´esenter bri `evement les concepts sous-jacents `a l’analyse modale.