La m ´ethode statique est bas ´ee sur l’hypoth `ese que le syst `eme peut ˆetre mod ´elis ´e par un syst `eme `a un degr ´e de libert ´e de type masse-ressort-amortisseur.
Si le mod `ele de Tlusty s’applique bien au cas du tournage,le cas du fraisage est diff ´erent car le charge- ment de la pi `ece et de l’outil varie beaucoup en amplitude et en direction. Par cons ´equent, le fraisage est g ´en ´eralement mod ´elis ´e par des mod `eles `a plusieurs degr ´es de libert ´es (MDOF).
Afin de pr ´edire la profondeur de passe critique, le SDOF ou encore le cas de tournage, le plus repr ´esentatif est recherch ´e.
2.2.1
Le calcul de la profondeur de passe critique d’un mod `ele SDOF.
La limite inconditionnelle de stabilit ´e bcrit de b telle que le broutement soit ´evit ´e quelle que soit la
vitesse de rotation est recherch ´ee. Pour cela, il faut rechercher le minimum de blim(ωc).
On rappelle que dans le cas du tournage, c’est `a dire dans le cadre d’un mod `ele de Tlusty, blim(ωc) =
−1 2KRe(Ψd(iωc))
(2.1) Comme blimdoit ˆetre positif, on cherche le maximum de −Re(Ψ(ωc)).
L’ ´etude des fonctions de transfert donne : −Re(Ψd(iωc))max=
−u
4kξ (ξ + 1) (2.2)
O `u u = cos α1cos(α1− α2).
Ceci m `ene, pour bcrit, `a :
bcrit=
2kξ (ξ + 1)
Ku (2.3)
Dans le cas d’une application de tournage, ce crit `ere est directement applicable dans le cadre de la m ´ethode des ´el ´ements finis. Il suffit de calculer la raideur dans la direction de l’avance (α1= 0) au noeud
´etudi ´e et d’appliquer le crit `ere.
2.2.2
Utilisation des ´el ´ements finis et application au fraisage.
L’ ´equation (2.3) montre que la profondeur de passe critique d ´epend de trois ´el ´ements : – La trajectoire et la g ´eom ´etrie de la pi `ece et de l’outil (coefficient u) ;
– Le comportement statique local de la pi `ece (k) ; – Le taux d’amortissement (ξ).
On peut d `es lors utiliser la m ´ethode des ´el ´ements finis pour calculer en chaque noeud ”coup ´e”, outre les param `etres g ´eom ´etriques, la raideur de la pi `ece. La m ´ethode se place dans le cadre g ´en ´eral de l’ ´etude de l’usinage d ´efini par L. Masset et J.F. Debongnie dans l’article [MD04] et qui a ´et ´e rappel ´e dans la partie pr ´ec ´edente.
La matrice de raideur K∗de la pi `ece `a usiner est condens ´ee par la m ´ethode explicit ´ee au chapitre 3.2 de la partie 1 aux seuls noeuds de la surface usin ´ee et des points de bridage est utilis ´ee (le groupe A). Apr `es application des conditions limites et inversion de cette matrice, on obtient la matrice de souplesse condens ´ee S∗.
La m ´ethode consiste `a approcher l’usinage de chacun des noeuds par un syst `eme `a un degr ´e de li- bert ´e. Pour cela seules les sous-matrices de la diagonale de la matrice de souplesse condens ´ee sont
conserv ´ees.
Pour chaque noeud, neuf termes de souplesse sont disponibles2. Afin de trouver une valeur minimale
de la profondeur de passe, il faut trouver la valeur maximale de la souplesse. Comme la direction la plus souple n’est pas forc ´ement une des directions du rep `ere de la pi `ece, chaque sous-matrice 3 × 3 est dia- gonalis ´ee afin de trouver les trois directions propres de la souplesse en chaque noeud et en particulier la souplesse maximale et sa direction. Les valeurs propres sont class ´ees par ordre croissant, c’est donc le troisi `eme terme qui est utilis ´e pour chaque noeud, S3.
Pour appliquer l’expression de blimau cas du fraisage, k est remplac ´e par l’inverse de S3
On a alors : bcrit= 2ξ (ξ + 1) S3Kd . (2.4) Avec : Kd= ∂Fd ∂h h0 (2.5) O `u Fdest la projection de l’effort de coupe dans la direction la plus souple, le vecteur propre corres-
pondant `a S3.
Il est plus courant de travailler en profondeur de passe applut ˆot qu’avec la largeur de copeau. Dans ce
cas, nous avons la profondeur de passe critique : acritp =2ξ (ξ + 1)
Kd
sin(κr). (2.6)
Cette approche permet de n’utiliser que l’information de souplesse qui ne d ´epend que de la statique du syst `eme.
Remarque
L’approximation du syst `eme MDOF original par une approche SDOF n ´ecessite la condition suivante de mani `ere `a s’assurer que le comportement statique de la pi `ece est bien pris en compte :
S3>> S1,S2. (2.7)
2.2.3
Remarque : limitations de la m ´ethode.
Projection de l’effort de coupe
Dans cette m ´ethode, l’effort de coupe est projett ´e sur la direction principale de la souplesse. Ainsi, une partie de l’effort en amplitude est perdue. Il est l ´egitime de se poser ici la question de l’int ´eret de cette projection par rapport `a l’utilisation de la valeur de la souplesse dans la direction de l’effort de coupe. Dans le chapitre 3, une m ´ethode plus pr ´ecise est pr ´esent ´ee, qui permet de s’affranchir de ces probl `emes de projection.
Immersion simultan ´ee de dents
Seules les sous-matrices 3 × 3 de la diagonale de la matrice de souplesse sont conserv ´ees. Par cons ´equent, aucun terme crois ´e n’est conserv ´e ce qui interdit la prise en compte de l’effet des autres dents immerg ´ees.
Cependant, il est possible d’opposer `a cette remarque le fait que les cas de broutement interviennent le plus souvent sur des usinages de surfaces ´etroites, pour ces op ´erations l’immersion multiple est rare. Par cons ´equent, `a la condition d’application pr ´ec ´edente, il faut ajouter une condition sur une immersion limit ´ee `a une dent.