#1 Suites et séries numériques

1. Suites et s´

eries

MTH1101

C. Audet, G. Jomphe, S. Le Digabel Polytechnique Montr´eal

A2019

Plan

1. Suites

Historique (1/2)

I La notion de suite est pr´esente d`es qu’apparaissent des proc´ed´es illimit´es de calcul. On en trouve, par exemple, `a l’´epoque babylonienne, chez Archim`ede, sp´ecialiste des proc´ed´es illimit´es d’approximation pour des calculs d’aires et de volumes, ou, plus r´ecemment en ´Egypte au 1er si`ecle apr`es J´esus-Christ, dans le proc´ed´e d’extraction d’une racine carr´ee par la m´ethode de H´eron d’Alexandrie.

I Quelques si`ecles plus tard, des math´ematiciens comme Bernoulli, Newton, De Moivre, Stirling et Wallis, se sont int´eress´es aux suites pour approcher des valeurs num´eriques. C’est `a Lagrange que l’on doit, semble-t-il, la notation indicielle.

Historique (2/2)

I L’´etude des suites a ouvert la porte `a celle des s´eries enti`eres dont le but est d’approcher, non plus des nombres, mais des fonctions.

I Dans la seconde moiti´e du 20`eme si`ecle, le d´eveloppement des calculateurs et des ordinateurs a donn´e un second souffle `a l’´etude des suites en analyse num´erique grˆace `a la m´ethode des ´el´ements finis.

I L’usage des suites et des s´eries, en particulier la s´erie g´eom´etrique, est largement r´epandu en math´ematiques financi`eres.

Motivation pour les suites et s´

eries

I Un ordinateur ne sait faire que les quatre op´erations ´

el´ementaires.

I Comment calculer les valeurs des diff´erentes fonctions avec seulement les op´erations ´el´ementaires ? Quelles sont les erreurs, les pr´ecisions ?

I On utilise des s´eries pour cela.

I On peut aussi les utiliser pour int´egrer certaines fonctions.

I La notion de s´erie repose sur la notion de suite.

I Nous allons ´etudier la convergencedes s´eries infinies.

I Ceci permettra ensuite d’´etudier les s´eries de Taylor pour la repr´esentation des fonctions.

1. Suites

D´

efinitions

Unesuiteest une liste infinie de nombres, not´ee {a₁, a2, . . .}

ou

{an}

ou

{an}∞n=1

D´

efinitions

Il existe 2 fa¸cons de d´efinir une suite :

I Par une relation de r´ecurrence : an+1 =

1

2(an+ 4) + 2 avec n ≥ 0 et a0 = 6

I _{A l’aide d’un terme g´}` _{en´eral :} an=

n + 1

Exemple 1

Trouver le terme g´en´eral de la suite  3 5, − 4 25, 5 125, − 6 625, 7 3125, . . . 

Suite g´

eom´

etrique

Consid´erons la suite g´eom´etrique{a_n} d´efinie par 

a0 = a

an+1= r an, n ≥ 1

o`u a et r (laraison) sont deux r´eels. Le terme g´en´eral s’´ecrit an= arn avec n ≥ 0. Illustration : a0 = a a1 = ra0= ar a2 = ra1= ar2 a3 = ra2= ar3 .. . an = ran−1= arn

Suite de Fibonacci

C’est la suite

{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . .} d´efinie par

a1 = 1, a2 = 1, an= an−1+ an−2 pour n ≥ 3

Propri´et´e : La suite {an/an−1} convergevers le nombre d’or :

1/1 = 1 2/1 = 2 3/2 = 1.5 5/3 ' 1.667 8/5 = 1.6 13/8 = 1.625 21/13 ' 1.615 . . . an/an−1 → 1 +√5 2 = 1.6180339 . . .

Suites et fonctions

L’´etude d’une suite {an} peut se faire `a l’aide de la notion de

fonctions. Pour cela, reportons sur un graphique quelques ´el´ements de la suite et consid´erons une fonction f qui passe par les points de coordonn´ees (1, a1), (2, a2), (3, a3), . . .

Il est donct possible de d´efinir une suite `a l’aide de la notion de fonction.

Une suite est une fonction f telle que f (n) = an. Le domaine de la

Repr´

esentation graphique

Deux fa¸cons de repr´esenter la suite an= n/(n + 1), n ≥ 1 :

Ces graphes semblent indiquer que les termestendentvers 1 lorsque n devient grand.

Convergence et divergence d’une suite

Une suite {an}admet une limite L, et l’on ´ecrit

lim

n→∞ an= L ou bien an→ L lorsque n → ∞,

si pour tout ε > 0 il existe un entier positif N (ε) tel que |a_n− L| < ε pour tout n > N (ε)

I Cela signifie que les termes de la suite peuvent ˆetre rendus aussi proches que l’on veut de L en prenant n suffisamment grand.

I Si limn→∞ an existe, on dit que la suite estconvergente.

Illustration

Illustration

Illustration

Illustration

Illustration

Illustration

Illustration

ε = 0.0001 : `a partir de a200000000 on a 0.9999 < an< 1.0001

Divergence vers l’infini

{an}diverge vers l’inifinisi pour tout nombre positif M il existe un

entier N tel que

si n > N alors an> M

On note

lim

n→∞an= ∞

Exemple 2

D´emontrer en utilisant la d´efinition que la suite1_n converge vers z´ero.

Travailler avec cette d´efinition n’est pas toujours facile. C’est pourquoi on a d´evelopp´e d’autres outils.

Liens avec la limite d’une fonction

x→∞f (x) = L et f (n) = an lorsque n est entier, alors

lim

n→∞an= L

I Exemple : Comme lim

x→∞(1/x r_{) = 0 lorsque r > 0, on a} lim n→∞1/n r_{= 0 si r > 0} I Si lim

n→∞an= L et si la fonction f est continue en L, alors

lim

n→∞f (an) = f (L)

I Exemple 3 : Calculer lim

Propri´

et´

es des limites

Consid´erons les deux suites convergentes {an} et {bn} et telles que

lim n→∞ an= a et n→∞lim bn= b alors P1. lim n→∞ (an± bn) = limn→∞ an± limn→∞ bn= a ± b P2. lim

n→∞ (Kan) = K limn→∞ an= Ka o`u K est une constante

P3. lim n→∞  an bn  = lim n→∞ an lim n→∞ bn = a

b pour b non nul

P4. lim

Th´

eor`

eme du sandwich ou des gendarmes

Si, pour un certain N on an≤ bn≤ cn pour n ≥ N , et que

lim n→∞ an= limn→∞ cn= L alors lim n→∞ bn= L Cas particulier :

Comme −|an| ≤ an≤ |an|, si limn→∞ |an| = 0, alors

lim

Exemples

I Ex. 4 : ´Etudier la convergence de an= n!/nn

I Ex. 5 : ´Etudier la convergence de an= ln n/n

I Ex. 6 : ´Etudier la convergence de an= rn selon les valeurs

Monotonicit´

e

Une suite {an} est :

I Croissante si an+1≥ an pour tout n

I D´ecroissante si an+1≤ an pour tout n

I Strictement croissante si an+1> an pour tout n

I Strictement d´ecroissantesi an+1< an pour tout n

I (Strictement) monotonesi elle est (strictement) croissante ou (strictement) d´ecroissante

Exemple 7 : Montrer que la suite an= n/(5n + 3) pour n ≥ 1 est

Majoration

Une suite {an} est :

I Born´ee sup´erieurement s’il existe M tel que an≤ M pour

tout n

I Born´ee inf´erieurement s’il existe m tel que an≥ M pour

tout n

I Born´eesi elle est born´ee sup´erieurement et inf´erieurement Th´eor`eme des suites monotones :

Toute suite monotone et born´ee est convergente

De mˆeme, toute suite croissante et born´ee sup´erieurement converge, et toute suite d´ecroissante et born´ee inf´erieurement converge

Exemple 8

´

Etudier la suite {an} d´efinie par a1 = 2 et an+1= (an+ 6)/2 pour

Exemple 9

1. Suites

Introduction

Tout nombre peut s’´ecrire sous la forme d’une somme infinie. Comme par exemple, avec la notation d´ecimale :

π = 3 + 1 10+ 4 102 + 1 103 + 5 104 + 9 105 + 2 106 + 6 107 + 5 108 + . . . = a1+ a2+ a3+ a4+ a5+ a6+ a7+ a8+ a9+ . . . = ∞ X i=1 ai

S´

eries num´

eriques : D´

efinitions

I Une s´erieest la somme des termes d’une suite {an}∞n=1 : ∞

X

n=1

an= a1+ a2+ a3+ . . .

I Suite des sommes partielles : {S1, S2, S3, . . .} avec

S1 = a1, S2 = a1+ a2, . . . , Sn= a1+ a2+ a3+ . . . + an

I Lasomme d’une s´erie, not´ee S, est d´efinie par S = lim

n→∞ Sn

I Si cette limite existe alors la s´erie est dite convergente. Dans le cas contraire, elle est dite divergente.

Exemple 10

Montrer que la somme de las´erie g´eom´etriqueest

∞ X n=0 arn= a + ar + ar2+ ar3+ . . . = a 1 − r pour a, r ∈ R et |r| < 1

Autre exemple : Las´erie de Riemann

∞ P n=1 1 np converge si p > 1 et diverge si p ≤ 1

Test de divergence

I Th´eor`eme : Si

∞

P

n=1

anconverge alors lim

n→∞an= 0

I L’inverse n’est pas forc´ement vrai : ₁

n → 0 mais ∞ P n=1 1 n = ∞

I La contrapos´ee est vraie : Si la suite {an} diverge ou converge

`

a autre chose que z´ero, alors la s´erie P∞

n=1an diverge.

Test de l’int´

egrale (pour s´

eries `

a termes positifs)

∞

P

n=1

an avecan≥ 0 pour tout n ≥ 1.

I Soit une fonction f telle que f (n) = an pour tout n ≥ 1 et

telle que sur l’intervalle [1; +∞[, elle estpositive,continue,

d´ecroissante. I Alors ∞ P n=1 anconvergente ⇐⇒ ∞ R 1 f (x)dx converge ∞ P n=1 an divergente ⇐⇒ ∞ R 1 f (x)dx diverge

I Exemple 11 : Montrer que

∞

P

n=1 ln n

Test de comparaison (s´

eries `

a termes positifs)

bn deux s´eries `a termes positifs (an≥ 0

et bn≥ 0 pour tout n ≥ 1).

I Si an≤ bn pour tout n (ou `a partir d’un certain N ) et ∞ P n=1 bn converge, alors ∞ P n=1 an converge.

I Si an≥ bn pour tout n (ou `a partir d’un certain N ) et ∞ P n=1 bn diverge, alors ∞ P n=1 an diverge.

I Exemple 12 : Montrer que

∞

P

n=1 1

Test du quotient (s´

eries `

a termes positifs)

bn deux s´eries `a termes positifs `a partir

de n ≥ N .

I Si lim

n→∞ an

bn = C avec C > 0 fini, alors les deux s´eries

convergent ou divergent en mˆeme temps.

I Exemple 13 : Est-ce que la s´erie

∞ P n=1 n3 n4_+4n+2 converge ou diverge ?

Test de Leibniz pour une s´

erie altern´

ee

converge si les conditions de Leibnizsuivantes sont respect´ees :

I an≥ 0 pour tout n ≥ 1 ; I {an} est d´ecroissante ; I {an} converge vers 0.

I Si les conditions de Leibniz ne sont pas respect´ees, on ne peut rien dire sur la convergence de la s´erie.

I Exemple 14 : ´Etudier la convergence de

∞

P

n=1

Estimation de la somme d’une s´

erie altern´

ee

Soit une s´erie altern´eeP∞

n=1(−1)n+1an telle que les conditions de

Leibniz sont satisfaites. On veut mesurer la qualit´e d’approximation de S par Sn, avec S = ∞ X k=1 (−1)k+1ak= Sn+ ∞ X k=n+1 (−1)k+1ak On a |S − S_n| =      ∞ X k=n+1 (−1)k+1ak      ≤ (−1)n+2an+1  ≤ |a_n+1| = a_n+1

Exemple 15 : Estimer la valeur deR0.1

0 1

1+x100dx avec une

S´

erie absolument convergente

n=1an converge mais que

P∞

n=1|an|

diverge ;

Th´eor`eme : Si une s´erie est absolument convergente, alors elle est convergente.

Exemple 16 : ´Etudier les s´eries P∞

n=1(−1)n 1n2 et

P∞

Test du quotient (d’Alembert)

I Si L < 1 : La s´erie est absolument convergente (et donc elle converge).

I Si L > 1 : La s´erie diverge.