2014-2015

(1)

ISA BTP, 1◦ann´ee ANN ´EE UNIVERSITAIRE 2014-2015

CONTR ˆOLE CONTINU

Alg`ebre lin´eaire

Dur´ee : 1h30 Les calculatrices sont autoris´ees.

Tous les exercices sont ind´ependants.

Il sera tenu compte de la r´edaction et de la pr´esentation.

Exercice 1 1. Dans l’espace vectoriel M3(R) des matrices carr´ees 3 × 3, on note T3(R) le

sous ensemble des matrices triangulaires inférieures. (a) Donner la forme générale d’une matrice M de T3(R).

(b) Montrer que T3(R) est un sous espace vectoriel de M3(R).

(c) Conjecturer la dimension de T3(R) (on justifiera rapidement).

2. On note E l’ensemble des suites numériques sur lequel on définit les deux opérations suivantes :

– l’addition (lci) :

∀(un), (vn) ∈ E, (un) + (vn) = (un+ vn)

– la multiplication ext´erieure :

∀(un) ∈ E, ∀λ ∈ R, λ.(un) = (λun)

On admet que ces deux op´erations font de E un espace vectoriel.

(a) Montrer que la suite (zn) d´efinie par zn= 0 pour tout n ∈ N est le vecteur nul de E.

(b) Montrer que si q est un réel fixé, l’ensemble des suites géométriques de raison q est un sous espace vectoriel de E.

(c) L’ensemble des suites arithm´etiques de raison r non nulle fix´ee est-il un sous espace vectoriel de E ? (justifier)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 2 On se place dans le plan P muni d’un point d’origine O. On fixe une base ortho-normée B = {−→i ,−→j } de P et on note f l’application linéaire du plan dans lui-même dont la matrice dans la base B est

A = 1

5

3 4

4 −3

1. Placer dans le rep`ere ci-joint les vecteurs suivants − →_v 1 = − → i +−→j , −→v2 = − → i −−→j , −→v3 = 2 − → i +−→j , −→v4 = − → i − 2−→j

(2)

2. Calculer les images f (−→v1), f (−→v2), f (−→v3) et f (−→v4) `a l’aide de la matrice A et les placer dans

le rep`ere.

3. Montrer que Spec(f ) = {−1, 1}.

4. Déterminer les sous espaces propres de f (on précisera la dimension de chacun et on en donnera une base) et les tracer dans le repère.

5. Construire une base orthonorm´ee B0 de P faite de vecteurs propres de f et donner la matrice de passage P de B `a B0.

6. Donner sans calcul la matrice de f dans la base B0.

7. Comment qualifier la transformation du plan P effectu´ee par l’application f ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 3 Soit α ∈ R. On se place dans R3 _{muni de sa base canonique B}

c et l’on note f

l’endomorphisme de R3 _{dont la matrice dans B} c est M =   −1 0 1 0 −1 0 0 0 α  

1. Déterminer le polynôme caractéristique de f et en déduire son spectre. 2. On suppose ici que α 6= −1.

(a) D´eterminer les sous espaces propres de f .

(b) D´eterminer une matrice P telle que le produit P−1× M × P soit une matrice dia-gonale D que l’on pr´ecisera.

3. On suppose maintenant que α = −1. Montrer que f n’est pas diagonalisable.

? ? ?

(3)

ISA BTP 1◦ann´ee Contrˆole continu 2011-2012

Nom : ... Pr´enom : ...

~i

~j

(4)

CORRECTION

Exercice 1 :

1. (a) Une matrice triangulaire inf´erieure de taille 3 × 3 est de la forme

M =   a 0 0 b c 0 d e f   (b) Soient M =   a 0 0 b c 0 d e f   et M0 =   a0 0 0 b0 c0 0 d0 e0 f0  

deux matrices triangulaires inférieures. Par définition des opérations “+” et “.” de l’espace des matrices, on a

– La matrice nulle est de la forme voulue puisque tous les coefficients situ´es au dessus de sa diagonale sont nuls.

– M + M0 =   a + a0 0 0 b + b0 c + c0 0 d + d0 e + e0 f + f0   =   A 0 0 B C 0 D E F 

 est bien une matrice

triangulaire inf´erieure. – Pour tout λ ∈ R, λ.M =   λa 0 0 λb λc 0 λd λe λf 

 et l’on reconnaˆıt encore une matrice

triangulaire inf´erieure.

L’ensemble T3(R) est donc un sous espace vectoriel de M3(R). D’autre part, on doit

fixer 6 coefficients pour d´efinir une matrice de T3(R). La dimension de ce sous espaces

est donc 6.

2. (a) Soit (zn) la suite nulle : ∀n ∈ N, zn = 0. Par d´efinition de l’op´eration “+”, on a,

pour toute suite (un) :

(un) + (zn) = (un+ zn) = (un+ 0) = (un)

La suite (zn) est donc bien l’´el´ement neutre pour l’addition des suites.

(b) Une suite géométrique de raison q est une suite (un) vérifiant une relation de la forme

un+1= q.un

pour tout n ∈ N. Or

– La suite nulle (zn) v´erifie

∀n ∈ N, zn+1= 0 = q.0 = q.zn

Elle fait donc partie de l’ensemble des suites géométriques de raison q. – Si (un) et (vn) sont deux suite géométriques de raison q, alors

(5)

Autrement dit, l’ensemble des suites géométriques de raison q contient le vecteur nul et est stable par combinaisons linéaires. C’est donc un sous espace vectoriel de l’ensemble des suites.

(c) La suite nulle zn n’est pas une suite arithm´etique de raison r 6= 0. L’ensemble des

suites arithm´etiques de raison r 6= 0 n’est donc pas un SEV de l’ensemble des suites.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 2 :

1. c.f. plus bas

2. Pour déterminer les coordonnées dans la base B des images demandées, il faut multiplier par la matrice A les vecteurs coordonnées de chacun des vecteurs −→vi. Ainsi :

− →_v 1 = 1 1 ⇒ f (−→v1) = 1 5 3 4 4 −3 × 1 1 = 1 5 7 1 − →_v 2 = 1 −1 ⇒ f (−→v2) = 1 5 −1 7 − →_v 3 = 2 1 ⇒ f (−→v3) = 2 1 = −→v3 − →_v 4 = 1 −2 ⇒ f (−→v4) = −1 2 = −−→v4

~i

~j

~v

₁

f

(

~v

1

)

f

(

~v

2

)

~v

2

~v

₃

=

f

(

~v

₃

)

~v

4

~v

₄

(6)

3. Pour obtenir le spectre de f , on calcule son polynôme caractéristique : χf(λ) = det(A − λI2) = 3 5 − λ 4 5 4 5 − 3 5 − λ = 3 5 − λ −3 5 − λ − 4 5 2 = λ2− 9 25− 16 25 = λ2− 1 = (λ − 1)(λ + 1) D’où Spec(f ) = {±1}. 4. – E1 AX = X ⇐⇒    3 5x + 4 5y = x 4 5x − 3 5y = y ⇐⇒ 3x + 4y = 5x 4x − 3y = 5y ⇐⇒ y = 1 2x

E1 est donc la droite d’´equation y = 1₂x (dimension 1) dont un vecteur propre est le

vecteur −→v3 ci-dessus. – E−1 AX = −X ⇐⇒    3 5x + 4 5y = −x 4 5x − 3 5y = −y ⇐⇒ 3x + 4y = −5x 4x − 3y = −5y ⇐⇒ y = −2x

E−1 est donc la droite d’´equation y = −2x (dimension 1) dont un vecteur propre est le

vecteur −→v4 ci-dessus.

Note : en étudiant de près les images f (−→v3) et f (−→v4), on aurait peut s’épargner les calculs

des deux questions précédentes, ces deux vecteurs étant respectivement deux vecteurs propres associés aux valeurs propres 1 et −1.

5. Les deux sous espaces propres ´etant orthogonaux, une BON du plan faite de vecteur propre de f s’obtient en normant les vecteurs −→v3 et −→v4. Ainsi,

− →_ε 1 = − →_v 3 ||−→v || = √ 5 5 2 1 et −→ε2 = − →_v 4 ||−→v || = √ 5 5 1 −2

(7)

6. La matrice de f dans B0 est

D = 1 0

0 −1

7. La matrice D est caract´eristique d’une sym´etrie : pour chaque vecteur du plan, la fonc-tion f conserve la composante en −→ε1 et multiplie par −1 la composante en −→ε2. Les

vec-teurs −→ε1 et −→ε2 ´etant orthogonaux, il s’agit ici de la sym´etrie orthogonale d’axe E1.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 3 :

1. Le polynˆome caract´eristique de f est

χf(λ) = det(M − λI3) = −1 − λ 0 1 0 −1 − λ 0 0 0 α − λ = (−1 − λ)2(α − λ)

D’o`u Spec(f ) = {−1, α}, −1 ´etant d’ordre 2 et α d’ordre 1. 2. α 6= −1.

(a) f admet deux sous espaces propres : – E−1 M X = −X ⇐⇒        −x + z = −x − y = −y αz = −z ⇐⇒ z = 0

D’o`u E−1{(x, y, 0), x, y ∈ R}. C’est un sous espace de dimension 2 de R3, engendr´e

par exemple par les vecteurs e1 = (1, 0, 0) et e2 = (0, 1, 0).

– Eα M X = αX ⇐⇒        −x + z = αx − y = αy αz = αz ⇐⇒ y = 0 z = (α + 1)x

D’o`u Eα{(x, 0, (α + 1)x), x ∈ R}. C’est un sous espace de dimension 1 de R3,

engendr´e par exemple par le vecteur e3 = (1, 0, α + 1).

(b) La famille B = {e1, e2, e3} est libre (car e1et e2ne sont pas colin´eaires et e3appartient

`

a un sous espace propre diff´_{erent de f ). Elle forme donc une base de R}3 faite de vecteurs propres de f . Dans cette base, la matrice de f est la matrice diagonale

D =   −1 0 0 0 −1 0 0 0 α  

(8)

La matrice P v´erifiant la relation D = P−1M P est la matrice de passage de Bc `a B0, soit P =   1 0 1 0 1 0 0 0 α + 1  

3. Si α = −1, f admet −1 comme unique valeur propre d’ordre 3. Mais alors, le sous espace propre E−1 est donn´e par les solutions du syst`eme ci-dessous :

M X = −X ⇐⇒        −x + z = −x − y = −y −z = −z ⇐⇒ z = 0

C’est donc un sous espace dont la dimension (2) est strictement inf´erieure `a l’ordre de la valeur propre. L’endomorphisme f n’est donc pas diagonalisable.

? ? ?