Dérivation : nombre dérivé, tangente et fonction dérivée

Mme LE DUFF 1ère technologique STAV

Mathématiques - 1 -

Soit une fonction f définie sur un intervalle I et C sa courbe représentative dans un repère. Soit a un réel de I et A le point de C d’abscisse a.

I – Nombre dérivé et tangentes. 1°) Tangente à une courbe.

Définition : On appelle sécante à la courbe C passant par A toute droite passant par A et par un autre point de la courbe C.

Définition : Lorsque le point M se rapproche de A, la « position limite » des sécantes (AM) est une droite. On appelle cette droite tangente à la courbe C au point A.

2°) Taux de variation et nombre dérivé.

Définition : Soit h un réel non nul tel queahIet M le point d’abscisseah. Le coefficient directeur de la sécante (AM) est

h a f h a f(  ) ( )

. On l’appelle taux de variations de f entre a et a+h.

Définition : Si le taux de variations de la fonction f entre a et a+h tend vers un nombre réel quand h tend vers 0, on dit que f est dérivable en a. Ce nombre est appelé nombre dérivé de f en a. Il est noté f’(a).

On écrit h a f h a f a f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0    

En physique, lorsqu’un point décrit une trajectoire rectiligne, la vitesse moyenne de ce point entre deux instantst et₁ t est le taux de variations de la position de ce point entre ces deux instants. ₂

Sa vitesse instantanée a l’instantt set la limite de sa vitesse moyenne lorsque1 t2 t1tend vers 0. C’est donc le

nombre dérivé ent . 1

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Mathématiques - 2 -

En économie le nombre dérivé est relié au coût marginal.

3°) Equation réduite de la tangente.

Définition : Si f est dérivable en a, la tangente T à la courbe C au point d’abscisse a est la droite qui passe par A et qui a pour coefficient directeur le nombre dérivé f’(a).

Le point A est appelé point de contact de la tangente et de C.

II – Fonction dérivée. 1°) Fonction dérivée.

Définition : Si f est une fonction dérivable en tout point d’un intervalle I, on dit que f est dérivable sur

I. On appelle fonction dérivée de f, et on note f’, la fonction qui à touta de I associe le nombre f' a( ).

2°) Fonctions de base. Propriétés :

 La fonction f définie sur IR par f(x)k, où k est une constante réelle, est dérivable sur IR et, pour tout réel x, f'(x)0.

 La fonction f définie sur IR par f(x) x, est dérivable sur IR et, pour tout réel x, f'(x)1.  La fonction f définie sur IR par f(x) x², est dérivable sur IR et, pour tout réel x, f'(x)2x.  La fonction f définie sur IR par 3

) (x x

f  , est dérivable sur IR et, pour tout réel x, f'(x)3x².

3°) Opérations.

Définition : Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et k un réel.

 La fonction f définie sur IR par f(x)ku(x), est dérivable sur I et, pour tout réel x de I, f'(x)ku'(x).  La fonction f définie sur IR par f(x)u(x)v(x), est dérivable sur IR et, pour tout réel de I,

) ( ' ) ( ' ) ( ' x u x v x f   .