COURS 10 ESPACES EUCLIDIENS 2020 2021

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CHAPITRE 10

ENDOMORPHISMES DES

ESPACES EUCLIDIENS

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Après une première étude des espaces préhilbertiens dans lesquels le produit scalaire permettait d’avoir certaines propriétés des familles de vecteurs (familles orthogonales, bases orthonormées...) et des sous-espaces (projections orthogonales sur des sous-espaces de dimension finie, distance entre un sous-espace de dimension finie et un vecteur,...), on va imposer la dimension finie pour avoir des espaces euclidiens et se focaliser sur l’étude des endomorphismes de ces espaces, spécifiquement ceux qui permettent d’avoir des invariants.

Dans un premier temps, on va étudier les endomorphismes qui conservent la norme (ou la distance) et donc appelés isométries. Ce sont des opérations sur les objets de l’espace (l’étude affine dont on a besoin dans le monde réel est cachée derrière l’aspect vectoriel) qui garantissent leur déplacement et leur non-déformation (translation, rotation, vissage, réflexions). On en fera une étude plus détaillée pour l’application en physique et en sciences de l’ingénieur dans le plan et dans l’espace donc en dimensions 2et 3.

Dans une seconde partie, on traitera des endomorphismes qui vérifient une propriété de symétrie des produits scalaires : ∀(x, y)∈E2, (u(x)|y)=(x|u(y)). Ces endomorphismes dits symétriques sont notamment utiles aux physiciens `_{a travers les matrices d’inertie (tenseurs d’inertie) d’un solide, la matrice de Lorentz} associée à la transformation du même nom en relativité, les états en mécanique quantique, etc...

Le théorème spectral, dans ces contextes, précise la réduction de ces endomorphismes et permet de montrer les relations entre les axes principaux d’inertie d’un solide, de “visualiser” le cône de lumière en relativité, de déterminer les opérateurs décrivant les atomes et les molécules, etc...

TABLE DES MATI`

ERES

Partie 1 : isom´etries vectorielles

- 1 : automorphismes orthogonaux. . . .page 134 - 2 : matrices orthogonales. . . .page 135 - 3 : isométries vectorielles directes. . . .page 136 - 4 : espaces euclidiens orientés de dimension2ou3 . . . .page 137 - 5 : isométries d’un espace euclidien de dimension 2 . . . .page 138 - 6 : isométries d’un espace euclidien de dimension 3 . . . .page 140 - 7 : matrices et d´_{eterminants de Gram (HP)}. . . .page 142

Partie 2 : endomorphismes sym´etriques et matrices sym´etriques r´eelles

- 1 : endomorphismes symétriques. . . .page 143 - 2 : le théorème spectral. . . .page 144 - 3 : endomorphismes symétriques positifs et définis positifs (HP). . . .page 145

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E est ici un espace euclidien, le produit scalaire est not´e (.|.) et la norme euclidienne associ´ee||.||.

PARTIE 10.1 : ISOM´

ETRIES VECTORIELLES

10.1.1 : Automorphismes orthogonaux

D ´EFINITION 10.1 :

Soitu∈L(E), on dit que uest une isom´etrie vectorielle de Eou un automorphisme orthogonal de E

siuconserve la norme, c’est-`a-dire si∀x∈E, ||u(x)|| = ||x||.

SoitO(E) l’ensemble des automorphismes orthogonaux deE,O(E) est appel´e le groupe orthogonal deE.

EXEMPLE 10.1 : Soitu∈L(R3_{) tel que} _u₍_{x, y, z}_{) =}(z√−x 2 , y, x +z √ 2 ) . V´erifier queu∈O(R3_{). D´}_eterminer_u2_{. Que d´}_{eduire sur}_u_?

TH ÉOR ÈME DE CARACT ÉRISATION DES ISOM ÉTRIES 10.1 :

Soit uun endomorphisme de E, les propositions suivantes sont ´equivalentes : (i) u est une isom´etrie vectorielle.

(ii) u conserve le produit scalaire : ∀(x, y)∈E2, (u(x)|u(y))= (x|y).

(iii) u transforme toute base orthonormale deE en une base orthonormale de E. (iv) u transforme une base orthonormale de E en une base orthonormale de E.

REMARQUE 10.1 : SiEest de dimension1: O(E) ={−idE, idE}.

PROPOSITION SUR LA STRUCTURE DEO(E) 10.2 : O(E) est un sous-groupe de GL(E).

REMARQUE FONDAMENTALE 10.2 : Siu∈O(E) etFstable paru, alorsuF∈O(F).

PROPOSITION SUR LA STABILIT ´E DE L’ORTHOGONAL PAR UNE ISOM ´ETRIE 10.3 : Soitu∈O(E),F un sous-espace vectoriel deE : (Fest stable par u)⇐⇒(F⊥ est stable paru).

SoitFun sous-espace de E, la sym´etrie orthogonale par rapport à Fest la symétriesF par rapport àF

parallèlement àF⊥. Une réflexion est une sym´etrie orthogonale par rapport à un hyperplan deE.

REMARQUE 10.3 : •(sest une sym´etrie orthogonale)⇐⇒(s2=id_Eet Ker(s−id_E)⊥Ker(s+id_E)). • SipF est la projection orthogonale surFalorssF=2pF−idE.

• SiH=(Vect(e))⊥ est un hyperplan deEalorssH:x7→x−2(e|x)

||e||2e(r´eflexion d’hyperplanH).

PROPOSITION DE CARACT ÉRISATION DES SYM ÉTRIES ORTHOGONALES 10.4 : Si s est une symétrie de E : (s est orthogonale)⇐⇒(s est une isométrie).

(3)

10.1.2 : Matrices orthogonales

Soitn>1, une matriceA∈Mn(R) est appel´ee une matrice orthogonale si l’endomorphisme

canonique-ment associé àAest une isométrie de Rn _{euclidien canonique.}

REMARQUE 10.5 : Une isom´etrie est un endomorphisme qui transforme une base orthonormale en base orthonormale, la base canonique de Rn _{en est une. On montre que}_A_∈_M

n(R) est orthogonale en voyant

les colonnes de Acomme des vecteurs de Rn _{et en v´}_{erifiant que}_∀(_{i, j}₎_{∈ [[}₁_;_n_]]2_, ₍_C

i|Cj) =δi,j.

EXEMPLE 10.2 : V´erifier que A= 

10 00 01 0 1 0



 est une matrice orthogonale. Quelle est l’isom´etrie de R3_{canoniquement associ´}_{ee `}_{a la matrice}_A_?

REMARQUE 10.6 : SoitEun espace euclidien etBune base orthonormale,B′ une base quelconque, on noteP la matrice de passage entreBetB′. Alors Pest orthogonale ssiB′ est une base orthonormale.

PROPOSITION DE CARACT ÉRISATION DES MATRICES ORTHOGONALES 10.5 : Soitn∈ N∗ etM∈M_n(R), les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) M est orthogonale. (ii) t_MM₌_I

n. (iii) MtM=In.

(iv) M est inversible et M−1=t_M_.

(v) Les vecteurs lignes deM forment une base orthonorm´ee de Rn _{euclidien canonique.} (vi) Les vecteurs colonnes deM forment une base orthonorm´ee de Rn eucl. canon..

On note O_n(R) ouO(n) l’ensemble des matrices orthogonales deMn(R).

Cet ensembleO_n(R) est appel´e le groupe orthogonal d’ordre n.

EXEMPLE 10.3 : La matrice de HadamardA=1

2    1 1 1 1 1 −1 1 −1 1 1 −1 −1 1 −1 −1 1    appartient `aO4(R).

TH ÉOR ÈME DE CARACT ÉRISATION D’UNE ISOM ÉTRIE PAR SA MATRICE DANS UNE BASE ORTHONORMALE ( ÉNORME) 10.6 :

Soit u∈L(E) et Bune base orthonorm´ee de E, alors : u∈O(E)⇐⇒Mat_B(u)∈On(R).

PROPOSITION SUR LA STRUCTURE DEOn(R) 10.7 : On(R) est un sous-groupe de GLn(R).

De plus, si M∈On(R) alors det(M) =±1.

(4)

SoitSOn(R) = {

M∈On(R) |det(M) =1 }

(ouSO(n)) le groupe sp´ecial orthogonal d’ordren.

PROPOSITION SUR LA STRUCTURE DESO_n(R) 10.8 : SOn(R) est un sous-groupe deOn(R) (donc de GLn(R)).

REMARQUE 10.7 :

• (HP) Avec les hypothèses du théorème, l’application ˜θ:O(E)→O_n(R) définie par ˜θ(u) =Mat_B(u)

est un isomorphisme de groupes qui est la restriction deθ:GL(E)→GL_n(R) qui en était déjà un.

• SoitBetB′deux bases orthonorm´ees d’un espace euclidienE,uun endomorphisme deEetP=P_B,B′

la matrice de passage de la base B`a la base B′ : (i) P∈O_n(R) doncP−1=t_P_.

(ii) Mat_B′(u) =t_{P Mat} B(u)P.

REMARQUE FONDAMENTALE 10.8 : Grˆace `_{a Gram-Schmidt, on a une d´ecomposition des matrices} inversibles : soit A ∈GLn(R), il existe un unique couple (Q, R) ou Q est orthogonale etR triangulaire

sup´erieure avec des termes strictement positifs sur la diagonale tel queA=QR(d´ecomposition QR).

EXEMPLE 10.4 : D´ecomposer la matrice A= 

11 10 01 0 1 1



 sous cette forme.

10.1.3 : Isom´

etries vectorielles directes

REMARQUE 10.9 : On rappelle que dans un espace euclidienE, une orientation deEest le choix d’une base B0de r´ef´erence qu’on dira directe et que pour tout autre baseBdeE:

•Best directe si det(P_B₀,B)> 0. •Best indirecte sidet(P_B₀,B)< 0.

“Avoir la même orientation” est une relation d’équivalence sur les bases deEavec2classes d’équivalence. Dans Rn_,_M

n(R), Rn[X] munis de leur produit scalaire canonique, on choisira la base canonique comme

base directe de référence et on dira queEest euclidien orienté canonique.

PROPOSITION CONCERNANT LE D ´ETERMINANT D’UNE ISOM ´ETRIE 10.9 : Si u∈O(E), on a det(u) =±1.

SO(E) ={u∈O(E)|det(u) =1}est appel´e le groupe spécial orthogonal deEou groupe des rotations deE. Les éléments de SO(E) sont aussi appel´ees isométries directes (vectorielles).

PROPOSITION SUR LA STRUCTURE DESO(E) 10.10 : SO(E) est un sous-groupe deO(E) (donc deGL(E)).

REMARQUE 10.10 : On a le même type d’assertions équivalentes pour les isométries directes : (i) u∈SO(E).

(ii) utransforme toute base orthonormale directe deE en une base orthonormale directe deE. (iii) utransforme une base orthonormale directe deEen une base orthonormale directe deE. (iv) la matrice deudans une base orthonormale deEest dansSOn(R).

(5)

REMARQUE FONDAMENTALE 10.11 : Soitnun entier naturel supérieur ou égal à1et A∈O(n).

• Siλest une valeur propre complexe deA, alors|λ| =1. • Siλest une valeur propre r´eelle deA, alorsλ=±1. • Sinest impair,±1est une valeur propre deA.

• Sinest impair etA∈SO(n), alors1est valeur propre deA.

• Sinest impair etA∈O(n)\SO(n), alors−1est valeur propre deA. • Aest donc diagonalisable dans Mn(R) si et seulement si A2=In.

10.1.4 : Espaces euclidiens orient´

es de dimension

2

ou

3

PROPOSITION SUR L’INVARIANCE DU D ´ETERMINANT D’UNE FAMILLE DANS UNE BASE ORTHONORM ´EE DIRECTE 10.11 :

Soit F = (v₁,· · ·, v_n) une famille de n vecteurs d’un espace euclidien orient´e de dimension n, alorsdet_B(F) ne d´epend pas de la base orthonormale directeB choisie.

La valeur commune du d´eterminant de la famille F= (v₁,· · ·, v_n) dans n’importe quelle base orthonormale

directe de E est appel´ee le produit mixte deF, et not´e [v1,· · ·, vn]. ⊙

Le programme se restreint aux espaces euclidiens orientés de dimension2et3pour la définition du produit mixte mais cette notion est générale.

REMARQUE 10.12 :

• Dans un plan euclidienEorient´e : soit deux vecteursu= (x, y) etv= (x′, y′) (coordonn´ees dans une base orthonormale directeB= (a, b) du planE), alors [u, v] =xy′−x′y.

• Dans le plan : [u, v]est l’aire du parall´elogramme form´e par les vecteursuetv.

• Dans un espace euclidienE orienté : soit u= (x, y, z),v= (x′, y′, z′) etw= (x′′, y′′, z′′) (coordonnées dans une B.O.N.D.B= (a, b, c)), alors [u, v, w] =xy′z′′+x′y′′z+x′′yz′−xy′′z′−x′yz′′−x′′y′z. Dans l’espace, on montre que[u, v, w]est le volume du parallélépipède formé paru,vetw.

⊙

Dans la suite de ce paragraphe,Ed´esignera un espace euclidien orient´e de dimension3.

REMARQUE 10.13 : SoitD=Vect(e₁) etP=Vect(e₂, e₃) =D⊥ une droite et un plan dansE : • On d´efinit une orientation dansP si ”on orienteD par e1”, en disant que B′ = (e2, e3) est directe

dansPsi et seulement siB= (e1, e2, e3) est directe dansE: cette orientation dePest dite orientation induite dans P par celle deD.

• On d´efinit une orientation dansD si ”on orienteP parB′ = (e2, e3)” directe, en disant que (e1) est

directe dansD(oue1dirigeD) si et seulement siB= (e1, e2, e3) est directe dansE: cette orientation

deD est dite orientation induite dansD par celle de P.

Soita et bdeux vecteurs de E, on appelle produit vectoriel dea et b, qu’on note a∧b, l’unique vecteur deE qui v´erifie ∀x∈E, [a, b, x] = [b, x, a] = [x, a, b] = (a∧b|x) = (x|a∧b).

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PROPOSITION SUR LES PROPRI ´ET ´ES DU PRODUIT VECTORIEL 10.12 :

L’application produit vectoriel est bilinéaire antisymétrique donc alternée : (i) ∀(a, a′)∈E2, ∀b∈E, ∀(λ, µ)∈ R2_, ₍_λa₊_µa′₎_∧_b₌_λa_∧_b₊_µa′_∧_b_. (ii) ∀a∈E, ∀(b, b′)∈E2, ∀(λ, µ)∈ R2_{, a}_{∧ (}_λb₊_µb′_{) =}_λa_∧_b₊_µa_∧_b′_. (iii) ∀(a, b)∈E2, a∧b=−b∧a.

(iv) ∀(a, b)∈E2, a∧b=0E⇐⇒ (a, b) li´ee. (v) ∀(a, b)∈E2, a∧b∈(Vect(a, b))⊥.

Soit maintenant B= (e1, e2, e3) une base orthonorm´ee directe de E :

(vi) Soit a = xe1+ye2+ze3, b = x′e1+y′e2+z′e3, a∧b dans la base B est donn´e par : a∧b= (yz′−zy′)e₁+ (zx′−xz′)e₂+ (xy′−yx′)e₃=y y′ z z′ e₁−x x ′ z z′ e₂+x x′ y y′ e₃. (vii) On a aussi les produits vectoriels : e₁∧e₂=e₃,e₂∧e₃=e₁ ete₃∧e₁=e₂.

REMARQUE 10.14 : Soit (a, b) une famille libre de vecteurs deE: • La famille (a, b, a∧b) est une base directe deE.

• Sikest un vecteur unitaire qui oriente la droiteD=(Vect(a, b))⊥, alors on aa∧b=||a|| ||b|| sin(θ)k

o`uθest l’angle orient´e (pour l’orientation induite dans le planP=D⊥=Vect(a, b) park)θ= (a, b).

• Si (e1, e2) est une famille orthonormale deE, alors (e1, e2, e1∧e2) est une b.o.n.d. deE.

PROPOSITION SUR D’AUTRES PROPRI ´ET ´ES DU PRODUIT VECTORIEL 10.13 : Soita,b etc trois vecteurs deE, alors on a les formules :

(i) ||a∧b|| = ||a|| ||b|| |sin(θ)| (norme du produit vectoriel).

(ii) a∧ (b∧c) = (a|c)b− (a|b)c et (a∧b)∧c= (a|c)b− (b|c)a (double produit vectoriel). (iii) (a|b)2₊_||_a_∧_b_||2₌_||_a_||2_||_b_||2 _(identit´_{e de Lagrange).}

10.1.5 : Isom´

etries d’un espace euclidien de dimension

2 ⊙

Dans ce paragraphe,E d´esignera un plan euclidien orient´e.

PROPOSITION SUR LA DESCRIPTION DE O(2) 10.14 : SoitRθ= ( cos(θ) −sin(θ) sin(θ) cos(θ) ) et Sθ = ( cos(θ) sin(θ) sin(θ) −cos(θ) )

. Soit Aune matrice deO(2) :

• SiA∈SO₂(R), il existe θ∈ R tel que A=R_θ.

• SiA∈O2(R) \SO2(R), il existe θ∈ R tel queA=Sθ.

REMARQUE 10.15 : • ∀θ∈ R, S2_θ=I2. Ainsi : ∀θ∈ R, S−1_θ =Sθ. • ∀(θ, θ′)∈ R2_{, R} θRθ′ =Rθ+θ′. CommeR0=I2, on a : ∀θ∈ R, R−1θ =R−θ. • ∀(θ, θ′)∈ R2_{, S} θSθ′ =Rθ−θ′. Ou encore : ∀(θ, θ′)∈ R2_{, S} θRθ′ =Sθ−θ′.

PROPOSITION SUR LA STRUCTURE PARTICULI `ERE DESO(2) 10.15 : SO2(R) est un groupe ab´elien.

REMARQUE 10.16 : • Attention : O₂(R) n’est pas commutatif !

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PROPOSITION SUR L’INVARIANCE DE LA MATRICE D’UNE ROTATION DANS TOUTE BASE ORTHONORM ´EE DIRECTE 10.16 :

Toute rotationu de E (c’est-à-dire u∈SO(E)) a la même matrice dans toute base orthonormée directe : Rθ avecθ∈ R défini modulo 2π qu’on choisit souvent dans [0;2π[ (ou dans ]−π;π]).

REMARQUE 10.17 : Si la matrice de u ∈ SO(E) est Rθ dans une base orthonorm´ee directe alors la

matrice deudans toute base orthonorm´ee indirecte estR_−θ.

Siu∈SO(E), le r´eelθd´efini ci-dessus est appel´e l’angle de la rotationu.

REMARQUE 10.18 : Soitula rotation deEd’angle θet a∈E unitaire :

cos(θ) =(a|u(a))et sin(θ) =[a, u(a)].

PROPOSITION SUR LA COMPOS ´EE DE DEUX ROTATIONS 10.17 :

La compos´ee de la rotation d’angle θet de la rotation d’angle θ′ est la rotation d’angle θ+θ′.

REMARQUE 10.19 : Si on prend deux vecteurs non nulsa et bde E, l’angle orient´eθentre aet b est l’uniqueθ(dans [0;2π[) par exemple) tel que la rotation d’angleθtransforme a

||a|| en b

||b||.

Alors on a les relations : (a|b) =||a|| ||b|| cos(θ) et [a, b] =||a|| ||b|| sin(θ).

PROPOSITION CARACT ´ERISANT UNE R ´EFLEXION PAR SA MATRICE 10.18 :

Les isométries indirectes ude Esont les réflexions. SoitB= (e1, e2) une base orthonormée deE, alors si Sθ=MatB(u) oùuest une réflexion, alors elle se fait par rapport à la droite engendrée par le vecteur unitairea=cos

( θ 2 ) e₁+sin ( θ 2 ) e₂.

REMARQUE 10.20 : Toute rotationrest d’une infinité de manières la composée de deux réflexions : • Soits une réflexion, il existe une unique réflexion s′ deEtelle que r=s◦s′.

• Soits une r´eflexion, il existe une unique r´eflexion s′′ deEtelle quer=s′′◦s.

PROPOSITION SUR LES G ÉN ÉRATEURS DU GROUPE DES ISOM ÉTRIES 10.19 : Le groupe O(E) est engendré par les réflexions et toute isométrie de E est la composée de 0 (identité), 1 (réflexion) ou 2 réflexions (rotation).

REMARQUE 10.21 : On peut “modéliser” ces isométries vectorielles en complexe par (on se donne une base orthonormaleB= (e₁, e₂) pour identifier vecteurs et affixes) :

• z7→eiθzpour la rotation d’angleθ.

• z7→eiθzpour la réflexion par rapport à la droite engendrée para=cos ( θ 2 ) e1+sin ( θ 2 ) e2(HP).

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TH ÉOR ÈME DE CLASSIFICATION DES ISOM ÉTRIES DU PLAN 10.20 :

Classification des isométries d’un plan euclidien orientéE (E1=E1(A) etE−1=E−1(A)) : isométrie dim(E₁) dim(E₋₁) nb de réfl. det(A) ∈SO(E) tr(A)

identit´e : rotation d’angle 0 2 0 0 1 OUI 2

r´eflexion 1 1 1 −1 NON 0

(vraie) rotation d’angle ±θ∈]0;π[ 0 0 2 1 OUI 2 cos θ sym´etrie centrale (rotation d’angleπ) 0 2 2 1 OUI −2

EXEMPLE 10.5 : • Qu’est l’application canoniquement associ´ee `a 1

2 ( √ 3 −1 1 √3 ) ?

• Qu’est l’application canoniquement associ´ee `a _√1 2 ( 1 1 1 −1 ) ?

10.1.6 : Isom´

etries d’un espace euclidien de dimension

3 ⊙

Dans ce paragraphe,E d´esignera un espace euclidien orient´e de dimension3.

REMARQUE 10.22 :

• Soitu∈O(E) une isom´etrie deE, alors1ou−1est valeur propre de u. • Soitu∈SO(E) une rotation, alors1est valeur propre deu.

TH ÉOR ÈME : DESCRIPTION D’UNE ROTATION SPATIALE ( ÉNORME) 10.21 : Soit u∈SO(E) une isométrie directe (une rotation deE), on a deux cas :

(i) Si dim(E1(u) )

=3 alorsu=idE. (ii) Sidim(E1(u)

)

=1 alorsD=E1(u) =Vect(a) aveca unitaire, il existeθ∈ R tel que dans toute base orthonorm´ee directeB= (a, b, c) deE : Mat_B(u) =



10 cos θ0 −sin θ0 0 sin θ cos θ

 .

REMARQUE 10.23 : Il faut absolument orienter la droiteD pour que l’orientation induite dans le plan orthogonal nous permette de d´eterminer l’angleθsans ambigu¨ıt´e.

Siu∈SO(E) v´erifieu̸=idE, on dit que la (vraie) rotationuadmet la droite Dpour axe de la rotation u

(qu’on oriente para) etθest appel´e l’angle de la rotation u.

PROPOSITION SUR LE CALCUL DE L’ANGLE D’UNE ROTATION SPATIALE 10.22 : Soit la rotation u d’axeD orient´e para unitaire et d’angleθ, alors, si A=Mat_B(u) avecB une base orthonorm´ee directe :

• cos θ= tr(A)−1

2 puisque tr(A) =tr(u) =1+2 cos θ.

• sin θest du mˆeme signe que [x, u(x), a] = [a, x, u(x)] si x /∈D.

(9)

REMARQUE 10.24 : • Ceci nous permet de déterminer les éléments caractéristiques d’une rotation. • Comme souventuest donnée par sa matrice dans la base canonique de R3_{, on prend habituellement}

pour xun des vecteurs de la base canonique.

ORAL BLANC 10.6 : Centrale PSI 2013 Romain

Soitul’endomorphisme de R3dont la matrice dans la base canonique est A= 1 9  84 −74 −14 1 4 8  . Montrer queA∈O(3) et déterminer la nature deuainsi que ses éléments caractéristiques.

PROPOSITION : ´ECRITURE VECTORIELLE D’UNE ROTATION SPATIALE 10.23 : (HP) Soit la rotationu d’axeD orient´e para unitaire et d’angle θ, vectoriellement :

∀x∈E, u(x) = (cos θ)x+ (sin θ)(a∧x) + (1−cos θ)(a|x)a.

REMARQUE 10.25 : En particulier, six∈D⊥, la formule se r´eduit `au(x) = (cos θ)x+ (sin θ)(a∧x) ce

qui nous donne les relations : (x|u(x))= (cos θ)||x||2et x∧u(x) = (sin θ)||x||2a.

EXEMPLE 10.7 : D´eterminer la matrice dans la base canonique de R3 _{de la rotation d’axe} _D orient´e par a= (1, 0, 1) unitaire et d’angle π

4.

REMARQUE HP 10.26 : SoitB= (v1, v2, v3) une base orthonorm´ee directe deE,ula rotation d’axe D

orient´e para=αv1+βv2+γv3unitaire et d’angleθ, siA=MatB(u),A−tA=2 sin θ 

 γ0 −0γ −βα

−β α 0   :

on peut donc déterminer aet sin θ; bien sûr on a toujours recours à tr(A) pour découvrircos θ.

EXEMPLE 10.8 : Caract´eriserucanoniquement associ´e `aA=1 4   3 1 √ 6 1 3 −√6 −√6 √6 2  .

PROPOSITION SUR LA RECONNAISSANCE D’UNE SYM ´ETRIE ORTHOGONALE DE L’ESPACE PAR SA TRACE 10.24 :

Si Best orthonorm´ee, A=Mat_B(u)∈O3(R) ettA=A : u est une sym´etrie orthogonale : (i) tr(A) =−3⇐⇒dim(E1(u)

)

=0⇐⇒dim(E₋₁(u))=3⇐⇒u=−idE (sym´etrie centrale). (ii) tr(A) =−1⇐⇒dim(E1(u)

)

=1⇐⇒dim(E₋₁(u))=2⇐⇒u est un demi-tour.

(iii) tr(A) =1⇐⇒dim(E₁(u))=2⇐⇒dim(E₋₁(u))=1⇐⇒uest une r´eflexion de plan E₁(u). (iv) tr(A) =3⇐⇒dim(E1(u)

)

=3⇐⇒dim(E₋₁(u))=0⇐⇒u=idE.

REMARQUE 10.27 : Il reste les isom´etries indirectes u∈O(E)\SO(E) qui ne sont pas des r´eflexions : • On sait qu’alors −u∈SO(E) donc il existe un axeD=Vect(a) avecaunitaire et un angleθ∈ R tel

que dans toute base orthonorm´ee directe B= (a, b, c), on aitMat_B(u) = 

−01 cos θ0 −sin θ0 0 sin θ cos θ

 .

• uest la composée commutative de la rotation d’axeDet d’angleθet de la réflexion de planD⊥. • On déterminecos(θ) avec la trace : tr(A) =−1+2 cos(θ).

(10)

REMARQUE HP 10.28 : Une isométrie indirecte de la forme précédente (siθ=0 uest une réflexion et siθ=π on au=−idE) est appel´ee une rotation-miroir autour de la droiteD orientée par le vecteur

unitaireaet d’angleθ. Comme pour les rotations, on montre que :

∀x∈E, u(x) = (cos θ)x+ (sin θ)(a∧x)− (1+cos θ)(a|x)a.

TH ÉOR ÈME CLASSIFIANT LES ISOM ÉTRIES DE L’ESPACE ( ÉNORME) 10.25 :

Classification des isométries d’un espace euclidien orienté E de dimension 3 (en adoptant à nouveau les abréviations E1=E1(A) et E−1=E−1(A)):

isom´etrie dim(E₁) dim(E₋₁) nb de r´efl. det(A) ∈SO(3) tr(A)

identit´e : rotation d’angle0 3 0 0 1 OUI 3

r´eflexion 2 1 1 −1 NON 1

(vraie) rotation d’angle ±θ∈]0;π[ 1 0 2 1 OUI ∈] −1;3[

demi-tour ou retournement 1 2 2 1 OUI −1

sym´etrie centrale 0 3 3 −1 NON −3

rotation-miroir 0 1 3 −1 NON ∈] −3;1[

EN PRATIQUE : SoitA∈O₃(R) et ucanoniquement associée àA: • SiA=I3alorsu=idE(identité).

• SiA=−I3alorsu=−idE(sym´etrie centrale).

• SiA̸= ±I3et A=tAalorsuest une sym´etrie orthogonale ettr(A) =tr(u) =±1.

⋄ Sitr(A) =1alorsuest la r´eflexion par rapport au plan Ker(A−I₃).

⋄ Sitr(A) =−1alorsuest le demi-tour autour de la droiteKer(A+I3)⊥=Ker(A−I3).

• SiA̸=tAetdet(A) =1(outr(A)> 1) alorsuest une ”vraie” rotation.

⋄ L’axe deuest la droiteKer(A−I3) qu’on oriente par un vecteuraunitaire.

⋄ L’angleθdeuv´erifiecos(θ) = tr(A)−1 2 ,sgn

(

sin(θ))=sgn([a, x, u(x)])((x, a) libre).

• SiA̸=tAetdet(A) =−1(outr(A)<−1) alorsuest une ”vraie” rotation-miroir. ⋄ L’axe deuest la droiteKer(A+I3) qu’on oriente par un vecteuraunitaire.

⋄ L’angleθdeuv´erifiecos(θ) = tr(A) +1 2 ,sgn

(

sin(θ))=sgn([a, x, u(x)])((x, a) libre).

EXEMPLE 10.9 : Reconnaˆıtreucanoniquement associ´ee `a A=1 7  ₋26 63 −32 3 2 −6  .

10.1.7 : (HP) Matrices et d´

eterminants de

Gram

REMARQUE HP 10.29 : Dans un espace préhilbertien réelE, on se donne une famille finie depvecteurs deEnotéeF= (v1,· · ·, vp). On appelle matrice de Gram deFla matriceG=

( (vi|vj)

)

16i,j6p∈Mp(R).

• On a l’´equivalence : (F= (v1,· · ·, vp) est libre )

⇐⇒G∈GLp(R).

• Si F est libre, soit v ∈ E, on noted = d(v, F) la distance de v `a F= Vect(v₁,· · ·, v_p). Alors en

notantG(v₁,· · ·, v_p) le d´_{eterminant (dit de Gram) de la matrice de}G: d2= G(v1,· · ·, vp, v) G(v1,· · ·, vp)

.

(11)

PARTIE 10.2 : ENDOMORPHISMES SYM´

ETRIQUES ET

MATRICES SYM´

ETRIQUES R´

EELLES

10.2.1 : Endomorphismes sym´

etriques

Soitu∈L(E), on dit que uest un endomorphisme sym´etrique si∀(x, y)∈E2,(u(x)|y)=(x|u(y)).

REMARQUE 10.30 : On dit aussi queusym´etrique est auto-adjoint (ancienne terminologie).

ORAL BLANC 10.11 : SoitE= Rn[X] muni du produit scalaire classique (P|Q) =

∫

1

−1P(t)Q(t)dt.

a. Montrer queu:P7→2XP′(X) + (X2−1)P′′(X) est un endomorphisme sym´etrique deE. b. D´eterminer le spectre deu.

On pose∀k∈ [[0;n]], Uk= (X2−1)k de sorte que (X2−1)U′k−2kXUk=0.

c. Grˆace `_{a la formule de Leibniz, justifier que}L_k=U(k)_k est vecteur propre deu. Montrer (sans IPP) que (L₀,· · ·, L_n) est une base orthogonale de vecteurs propres deu.

TH ÉOR ÈME DE CARACT ÉRISATION DES ENDOMORPHISMES SYM ÉTRIQUES PAR LEURS MATRICES DANS LES BASES ORTHONORM ÉES ( ÉNORME) 10.26 :

Soit E euclidien de dimensionn,u∈L(E), il y a ´equivalence entre : (i) u est un endomorphisme sym´etrique.

(ii) Il existe une base orthonorméeB de E telle que Mat_B(u) est symétrique. (iii) Dans toute base orthonormée Bde E, on aMat_B(u)∈Sn(R).

REMARQUE 10.31 : Le terme ”endomorphisme sym´etrique” devient plus clair avec cette caract´erisation.

Les endomorphismes sym´etriques de Eforment un sous-espace vectoriel de dimension n(n+1)

2 .

PROPOSITION SUR LES PROJECTEURS ET SYM ÉTRIES SYM ÉTRIQUES 10.27 : Soitp un projecteur de E : (p est un projecteur orthogonal)⇐⇒(p est symétrique). Soits une symétrie de E : (s est une symétrie orthogonale)⇐⇒(s est symétrique).

EXEMPLE 10.12 : Qu’estudont la matrice dans la base canonique de R3_est 1 9  ₋14 −74 −−84 −8 −4 1   ?

PROPOSITION SUR LA STABILIT ´E DE L’ORTHOGONAL PAR UN ENDOMORPHISME SYM ´ETRIQUE 10.28 :

Si u ∈ L(E) est sym´etrique et si F est un sous-espace vectoriel de E stable par u, alors le sous-espace F⊥ est aussi stable paru.

(12)

REMARQUE HP 10.32 : Soit Eun espace euclidien :

• On dit que u∈L(E) est antisym´etrique si et seulement si : ∀x∈E, (x|u(x))=0. • SiA∈Mn(R) est antisym´etrique, alorsSp(A)⊂iR (imaginaires purs).

• On a l’´equivalence : uantisym´etrique ⇐⇒

(

∀(x, y)∈E2, (u(x)|y)=−(x|u(y))). • SoitBune base orthonormée deE: uantisymétrique ⇐⇒Mat_B(u) antisymétrique.

• Les endomorphismes antisym´etriques deE forment un sous-espace vectoriel de dimension n(n−1)

2 .

• Si E euclidien orient´e de dimension 3 et u endomorphisme antisym´etrique de E, alors il existe un unique vecteura deEtel que : ∀x∈E, u(x) =a∧x.

PROPOSITION SUR L’ORTHOGONALIT ´E ENTRE DEUX SOUS-ESPACES PROPRES POUR UN ENDOMORPHISME SYM ´ETRIQUE 10.29 :

Soitλ₁ etλ₂ deux valeurs propres distinctes de usym´etrique,E_λ₁(u)⊥E_λ₂(u).

10.2.2 : Le th´

eor`

eme spectral

TH ÉOR ÈME SPECTRAL VERSION VECTORIELLE ( ÉNORME) 10.30 : Soit uun endomorphisme symétrique de E, alorsχu est scindé sur R. Il existe une base orthonormale de E formée de vecteurs propres de u. Autrement dit, uest diagonalisable dans une base orthonormale et donc E=

⊥

⊕

λ∈Sp(u) E_λ(u).

PROPOSITION SUR L’ORTHOGONALIT ´E ENTRE IMAGE ET NOYAU POUR UN

ENDOMORPHISME SYM ´ETRIQUE 10.31 :

Si E est euclidien et u∈L(E) sym´etrique, alors Im(u) = Ker(u)⊥ (le noyau et l’image de u sont suppl´ementaires orthogonaux l’un de l’autre).

TH ÉOR ÈME SPECTRAL VERSION MATRICIELLE ( ÉNORME) 10.32 :

Si A∈Sn(R) alors χAest scind´e dans R[X] et il existe une matrice P∈On(R) telle quetPAP soit diagonale r´eelle.

REMARQUE 10.33 : • On dit que la matriceAest orthosemblable `a une matrice diagonale. • La r´eciproque est vraie : si la matriceP est orthogonale et sitPAPest diagonale alorsA∈Sn(R).

EXEMPLE 10.13 : DiagonaliserA= 1 9  232 262 −24 −4 2 23 

 dans une base orthonormale.

REMARQUE 10.34 : Les matrices sym´etriques complexes ne sont pas forc´ement diagonalisables !

EXEMPLE FONDAMENTAL 10.14 : SoitA=

(

1 i

i −1 )

. Justifier queAn’est pas diagonalisable dansM2(C).

ORAL BLANC 10.15 : SoitA= (ai,j)16i,j6n∈Mn(R) une matrice sym´etrique.

(13)

10.2.3 : (HP) Endomorphismes sym´

etriques

positifs et d´

efinis positifs

⊙

Pas au programme mais source in´epuisable de sujets d’´ecrits et d’exercices d’oraux.

SoitE un espace euclidien et u∈L(E) un endomorphisme sym´etrique.

• On dit que uest un endomorphisme sym´etrique positif si∀x∈E, (u(x)|x)>0.

• On dit que uest un endomorphisme sym´etrique d´efini positif si ∀x∈E\ {0_E}, (u(x)|x)> 0. Soitn∈ N∗ etA∈M_n(R) une matrice sym´etrique (doncSp(A)⊂ R).

• On dit que Aest une matrice sym´etrique positive siSp(A)⊂ R+.

• On dit que uest une matrice sym´etrique d´efinie positive siSp(A)⊂ R∗₊.

REMARQUE 10.35 : SoitEeuclidien de base orthonorm´eeB= (e1,· · ·, en), (E1,· · ·, En) base canonique

(donc bon) deMn,1(R) etA=MatB(u) = (ai,j)1leqi,j6navecu∈L(E) : ai,j=

t_E iAEj= ( ei|u(ej) ) . D ´EFINITION 10.13 : On note S+₍ E) (resp. S++₍

E)) l’ensemble des endomorphismes symétriques positifs (resp. définis positifs). On note S+_n(R) (resp. S++_n (R)) l’ensemble des matrices symétriques positives (resp. définies positives).

REMARQUE FONDAMENTALE 10.36 : Siuest un endomorphisme deE, on a l’´equivalence :

u∈S++(E)⇐⇒(φ: (x, y)7→(u(x)|y)est un produit scalaire surE).

TH ÉOR ÈME CARACT ÉRISANT LES SYM ÉTRIQUES D ÉFINIS POSITIFS 10.33 : Soit uun endomorphisme symétrique de E, il y a équivalence entre :

(i) ∀x∈E, (u(x)|x)>0 et (ii)Sp(u)⊂ R+, mais aussi entre les deux assertions :

(i) ∀x∈E, x̸=0_E=⇒(u(x)|x)> 0et (ii) Sp(u)⊂ R∗₊.

TH ÉOR ÈME CARACT ÉRISANT LES MATRICES SYM ÉTRIQUES POSITIVES 10.34 : Soit A∈Mn(R) une matrice symétrique, il y équivalence entre :

(i) ∀X∈Mn,1(R), tXAX>0 (ii)Sp(A)⊂ R+ (iii) ∃B∈Mn(R) (ou Sn(R)), A=tBB. mais aussi entre les trois assertions :

(i) ∀X∈Mn,1(R) \ {0}, tXAX > 0 (ii)Sp(A)⊂ R∗+ (iii)∃B∈GLn(R) (ou GLn(R) ∩ Sn(R)), A=tBB.

REMARQUE FONDAMENTALE 10.37 : Si A est une matrice sym´etrique positive, alors il existe une unique matriceBsym´etrique positive telle queA=B2. On appelle cette matrice la racine carr´ee deA.

EXERCICE CONCOURS 10.16 : Mines PSI 2013 G´er´emy

Soitn∈ N∗, (A, B)∈Mn(R)2et S∈Sn(R) telles queB=SAS. Montrer que : B∈S++_n (R) ⇐⇒(Sinversible etA∈S++_n (R)).

(14)

REMARQUE HP 10.39 : A∈GLn(R), ∃!(O, S)∈On(R) ×S++n (R) tel queA=OS.

C’est la d´ecomposition polaire d’une matrice inversible deGLn(R).

EXEMPLE 10.17 : TrouverOet SsiA=  10 11 01 1 0 1  .

COMP´

ETENCES

• Étudier l’image d’une base orthonormée pour savoir si on a affaire à une isométrie.

• Vérifier sur la matrice d’un endomorphisme dans une base orthonormée que c’est une isométrie. • Savoir reconnaˆıtre géométriquement les symétries orthogonales.

• Connaˆıtre la structure de groupes des matrices orthogonales ou des isométries vectorielles. • Maˆıtriser la définition et les propriétés du produit vectoriel dans l’espace.

• Réviser les différentes isométries vectorielles du plan et leur classification.

• Apprendre l’algorithme de caractérisation d’une isométrie directe (une rotation) de l’espace. • Se familiariser avec le même algorithme (même si hors programme) pour les isométries indirectes. • En particulier, savoir facilement reconnaˆıtre géométriquement une symétrie orthogonale de l’espace. • Savoir établir qu’un endomorphisme est symétrique.

• Simplifier par le théorème spectral la recherche des éléments propres d’un endomorphisme symétrique. • Être à l’aise avec les différentes caractérisations des matrices symétriques positives.