Les espaces pr´ehilbertiens

(1)

Les espaces pr´ehilbertiens

Table des mati` eres

1 Produits scalaires 3

1.1 D´efinition d’un produit scalaire . . . 3

1.2 Exemples . . . 3

1.2.1 Sur unR-espace vectoriel quelconque muni d’une base . . . 3

1.2.2 Sur Rⁿ . . . 4

1.2.3 Sur C([a, b],R) . . . 4

1.2.4 Les espaces l^p . . . 4

1.3 Identit´es remarquables . . . 5

1.4 In´egalit´es de Cauchy-Schwarz et de Minkowski . . . 6

2 espaces vectoriels normés de dimensions finies 8 2.1 Suites et fonctions à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie 8 2.2 Compacité . . . 10

2.3 Equivalence des normes . . . 12

2.4 Applications lin´eaires et multilin´eaires . . . 12

3 Orthogonalit´e 14 3.1 Orthogonalit´e en dimension quelconque . . . 14

3.2 En dimension finie . . . 19

3.3 Distance d’un vecteur `a un sous-espace vectoriel . . . 22

3.4 Proc´ed´e d’orthonormalisation de Gram-Schmidt . . . 26

4 Endomorphismes d’un espace euclidien 29 4.1 Endomorphismes sym´etriques . . . 29

4.2 Groupe orthogonal. . . 30

4.2.1 Caract´erisations d’un automorphisme orthogonal. . . 30

4.2.2 Les rotations. . . 31

4.2.3 Les sym´etries orthogonales . . . 32

4.2.4 Matrices orthogonales. . . 32

4.2.5 Orientation d’un espace vectoriel r´eel. . . 34

(2)

Les espaces pr´ehilbertiens 0

5 G´eom´etrie plane 37

5.1 Lien avec le cours sur les complexes . . . 37

5.2 Le groupe orthogonal de degr´e 2 . . . 38

5.3 Les isom´etries vectorielles du plan . . . 39

5.4 Un r´esultat sur les similitudes (hors programme) . . . 40

5.5 Angles orient´es dans le plan . . . 41

5.6 Les droites affines du plan usuel . . . 43

6 G´eom´etrie dans l’espace 43 6.1 Le produit vectoriel (hors programme). . . 44

6.2 Droites et plans affines en dimension 3 . . . 46

6.2.1 Equation d’un plan . . . 46

6.2.2 Syst`eme d’´equations d’une droite . . . 46

6.3 Le groupe orthogonal en dimension 3 . . . 47

(3)

Les espaces pr´ehilbertiens 1 Produits scalaires

1 Produits scalaires

1.1 D´ efinition d’un produit scalaire

Notation. Pour ce paragraphe, on fixe un R-espace vectoriel que l’on noteE.

Définition. Soit ϕ : E×E −→Rune forme bilinéaire symétrique.

On dit que ϕ est une forme bilin´eaire d´efinie si et seulement si, pour toutx∈E\ {0}, ϕ(x, x)6= 0.

D´efinition. Soit ϕ∈L2(E).

On dit que ϕ est uneforme bilin´eaire positive si et seulement si, pour tout x∈E,ϕ(x, x)≥0.

D´efinition.

Unproduit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive,

c’est-`a-dire une application ϕ : E² −→R telle que, pour tout x, y, z ∈E et λ∈R,

— ϕ(x, y) = ϕ(y, x) ;

— ϕ(λx+y, z) =λϕ(x, z) +ϕ(y, z) ;

— x6= 0 =⇒ϕ(x, x)>0.

Définition. Un espace préhilbertien réel est un couple (E, ϕ), où E est un R- espace vectoriel et où ϕ est un produit scalaire sur E.

1.2 Exemples

1.2.1 Sur un R-espace vectoriel quelconque muni d’une base Supposons que E est muni d’une base e= (ei)i∈I

et notons

ϕ : E² −→ R

X

i∈I

x_ie_i,X

i∈I

y_ie_i

!

7−→ X

i∈I

x_iy_i. Alorsϕ est un produit scalaire surE.

D´emonstration.

Soient (x, y, z)∈E³ eta∈R. Notons x=X

i∈I

xiei, y=X

i∈I

yiei etz =X

i∈I

ziei.

• ϕ(ax+y, z) =X

i∈I

(axi+yi)zi =aX

i∈I

xizi +X

i∈I

yizi =aϕ(x, z) +ϕ(y, z) etϕ(x, ay+z) =X

i∈I

xi(ayi+zi) =aX

i∈I

xiyi+X

i∈I

xizi =aϕ(x, y) +ϕ(x, z), donc ϕ∈L₂(E).

• ϕ(y, x) =X

yixi =X

yixi =ϕ(x, y), donc ϕ∈ S²(E).

(4)

Les espaces pr´ehilbertiens 1 Produits scalaires De plus, si ϕ(x, x) = 0, pour touti∈I, xi = 0, donc x= 0.

Ainsi, ϕ est une forme bilin´eaire d´efinie positive.

On a montr´e que (E, ϕ) est un espace pr´ehilbertien.

1.2.2 Sur Rⁿ

Soit n un entier strictement positif. Lorsque E =Rⁿ et que e est la base canonique de E, l’exemple pr´ec´edent devient :

ϕ : Rⁿ×Rⁿ −→ R

((α1, . . . , αn),(β1, . . . , βn)) 7−→

n

X

i=1

αiβi.

C’est le produit scalaire canonique de Rⁿ.

Remarque. Pour tout X, Y ∈Rⁿ, ϕ(X, Y) = ^tXY. 1.2.3 Sur C([a, b],R)

Notation. On fixe a, b ∈ R avec a < b. C([a, b],R) d´esigne le R-espace vectoriel des applications continues de [a, b] dansR.

Propri´et´e. Pour toutf, g ∈ C([a, b],R), on pose ϕ(f, g) = Z b

a

f(t)g(t)dt.

ϕ est un produit scalaire sur C([a, b],R).

D´emonstration.

Soit f, g, h ∈ C([a, b],R) et α∈R.

⋄ D’après la linéarité des intégrales, Rb

a(αf +g)h=αRb

af h+Rb

a gh. De plusRb

af g =Rb

a gf, donc ϕ est une forme bilin´eaire sym´etrique.

⋄ ϕ(f, f) =Rb

a f(t)²dt ≥0, doncϕ est positive.

De plus, si ϕ(f, f) = 0, alors [a, b] −→ R

t 7−→ f(t)² est continue, positive et d’intégrale nulle, donc, d’après le cours, f = 0. Ainsiϕ est une forme bilinéaire définie.

On a montré queϕ est une forme bilinéaire symétrique définie positive, donc que c’est un produit scalaire. Ainsi (C([a, b],R), ϕ) est un espace préhilbertien.

1.2.4 Les espaces l^p

Définition. On dit qu’une suite (un) de réels est sommable si et seulement si la série Pun est absolument convergente.

Notation.

⋄ Pourp∈R^∗₊, notonsl^p ={(un)n∈N∈R^N / P

|un|^p converge}.

⋄ Notons l^∞ l’ensemble des suites born´ees de r´eels.

(5)

Les espaces préhilbertiens 1 Produits scalaires Propriété. l¹, l² etl^∞ sont des sous-espaces vectoriels de R^N.

De plus si (an) et (bn) sont dans l², alors (anbn) est un élément del¹. Démonstration.

⋄ Soit (an)n∈N et (bn)n∈N deux suites sommables de r´eels et soit α∈R. Pour tout n∈N, |αa_n+b_n| ≤ |α||a_n|+|b_n|, or P

(α|a_n|+|b_n| converge, donc P

(α|an|+β|bn|) est absolument convergente.

Ceci prouve que α(an)n∈N+ (bn)n∈N∈l¹.

De plus, l¹ est non vide, donc c’est un sous-espace vectoriel de R^N.

⋄ Soit (an)n∈N et (bn)n∈N deux ´el´ements de l².

Soit n ∈ N. (|an| − |bn|)² ≥ 0, donc |anbn| ≤ ¹2(a²_n+b²_n), ce qui prouve que (anbn)n∈N

est dansl¹.

De plus, (an+bn)² =a²_n+b²_n+ 2anbn, donc (an+bn)∈l². On en d´eduit facilement que l² est un sous-espace vectoriel deR^N.

⋄ Soit (a_n)_n∈^N et (b_n)_n∈^N deux suites born´ees de r´eels et soit α∈R. Pour tout n∈N, |αan+bn| ≤ |α||an|+|bn| ≤ |α|sup

j∈N|aj|+ sup

j∈N|bj|,

ainsi α(an)n∈N+ (bn)n∈N ∈ l^∞. De plus, l^∞ est non vide, donc c’est un sous-espace vectoriel de R^N.

Propri´et´e. Pour tout (un),(vn)∈l², on pose ((un)|(vn)) =X

n∈N

unvn. l² muni de (.|.) est un espace pr´ehilbertien.

D´emonstration.

Soit (u_n),(v_n)∈l². On a montr´e que (u_nv_n)∈l¹, doncP

u_nv_n est absolument convergente et ((un)|(vn)) est d´efini.

(.|.) est clairement bilin´eaire, sym´etrique et positive.

Si ((u_n)|(u_n)) = 0. Pour toutj ∈N, 0≤u²_j ≤((u_n)|(u_n)) = 0, donc (u_n) = 0.

1.3 Identit´ es remarquables

Notation. Dans ce paragraphe, E désigne un espace préhilbertien réel. Son produit scalaire sera noté (.|.).

D´efinition. Pour toutx∈E, la norme de xest kxk=p (x|x).

Formule. Pour tout ((x, y), α)∈E²×R,

kαxk =|α|kxk,

kx+yk² =kxk²+kyk²+ 2(x|y), kx−yk² =kxk²+kyk²−2(x|y), kx+yk²− kx−yk² = 4(x|y),

kx+yk²+kx−yk² = 2(kxk²+kyk²).

(6)

Les espaces préhilbertiens 1 Produits scalaires Les seconde, troisième et quatrième formules permettent de calculer (.|.) en ne connais- sant que k.k. Elles portent le nom de formules de polarisation, mais selon le programme, la formule de polarisation est :

2(x|y) = kx+yk² − kxk²− kyk².

Remarque. Le cas particulier o`u E =R et o`u (.|.) est l’application R² −→ R (x, y) 7−→ xy permet de retrouver rapidement ces formules.

Par exemple, la relation

∀(x, y)∈R² (x+y)²−(x−y)² = 4xy permet de retrouver la quatri`eme formule.

Exercice. Pour toutx, y ∈R², on poseN(x, y) =p

x²+ 2xy+ 3y². D´eterminer, s’il existe, un produit scalaire sur R² dont la norme est N.

Solution :Analyse : S’il existe, une identit´e de polarisation indique que ce produit scalaire est donn´e par :

h(x, y),(x^′, y^′)i= ¹₄(N(x+x^′, y+y^′)²−N(x−x^′, y−y^′)²) =xx^′+xy^′+x^′y+ 3yy^′, pour toutx, x^′, y, y^′ ∈R⁴.

Synthèse :On vérifie que l’applicationh., .iainsi définie est symétrique, bilinéaire, définie positive, et que sa norme est N.

Th´eor`eme de Pythagore.

(x|y) = 0 ⇐⇒ kx+yk² =kxk²+kyk².

1.4 In´ egalit´ es de Cauchy-Schwarz et de Minkowski

Notation. On reprend les notations du paragraphe pr´ec´edent.

Théorème. Inégalité de Cauchy-Schwarz :

∀(x, y)∈E² |(x|y)| ≤ kxkkyk.

De plus, il y a égalité dans cette inégalité si et seulement si xet y sont colinéaires.

D´emonstration.

Pour tout λ∈R, 0≤ kλx+yk² =λ²kxk²+ 2λ(x|y) +kyk².

⋄ Premier cas : On suppose que kxk² = 0. Alors x = 0, donc |(x|y)| = 0 = kxkkyk, et (x, y) est une famille li´ee, ce qu’il fallait d´emontrer.

⋄ Deuxi`eme cas : On suppose maintenant que kxk>0. Alors le polynˆome

X²kxk² + 2X(x|y) +kyk² est de signe constant sur R, donc il possède au plus une racine réelle. Or il est de degré 2, donc son discriminant est négatif ou nul :

4(x|y)²−4kxk²kyk² ≤0. On en d´eduit que|(x|y)| ≤ kxkkyk.

(7)

Les espaces pr´ehilbertiens 1 Produits scalaires

⋄ Etude du cas d’´egalit´e dans le second cas :

Supposons que |(x|y)| = kxkkyk. Alors le discriminant est nul, donc le polynôme possède effectivement une racine réelle, que l’on noteraλ. Ainsi,

0 =λ²kxk²+ 2λ(x|y) +kyk² =kλx+yk², doncλx+y = 0 et (x, y) est bien li´e.

R´eciproquement, si (x, y) est li´e, sachant que x 6= 0, il existe λ ∈ R tel que y = λx, donc |(x|y)|=|λ|kxk² =kxkkyk.

Exemple. ∀(f, g)∈ C([a, b],R)² | Z b

a

f g| ≤ s

Z b a

f² s

Z b a

g².

Exercice. Montrer que, pour tout M ∈ Mⁿ(R),|Tr(M)| ≤p

nTr(^tM M).

Préciser quand cette inégalité est une égalité.

Solution :

• Pour tout (M, N) ∈ Mⁿ(R)², posons ϕ(M, N) = Tr(^tM N) et montrons que ϕ est un produit scalaire.

⋄ Soient (M, N, P)∈ Mⁿ(R)³ et (α, β)∈R².

ϕ(αM +βN, P) = Tr(^t(αM +βN)P) = Tr((α^tM +β^tN)P)

=αTr(^tM P) +βTr(^tN P) = αϕ(M, P) +βϕ(N, P),

doncϕ est linéaire par rapport à sa première variable. De même, on montre que ϕ est linéaire par rapport à sa seconde variable. Ainsi, ϕ est bilinéaire.

⋄ Soient M = (mi,j)∈ Mⁿ(R) et N = (ni,j)∈ Mⁿ(R).

ϕ(M, N) = Tr(^tM N) = Tr(^t(^tN M)) = Tr(^tN M) =ϕ(N, M), doncϕ est une forme bilin´eaire sym´etrique.

⋄ Soit M = (mi,j)∈ Mⁿ(R). Pour tout i∈ {1, . . . , n}, le (i, i)^`^eme coefficient de

tM M est ´egal `a

n

X

j=1

mj,imj,i, donc ϕ(M, M) =

n

X

i=1 n

X

j=1

m²_i,j, ce qui prouve que ϕ est positive.

De plus, si ϕ(M, M) = 0, pour tout (i, j)∈ {1, . . . , n}², mi,j = 0, donc M = 0.

Ainsi, ϕ est un produit scalaire, auquel on peut appliquer l’inégalité de Cauchy- Schwarz, ainsi que le cas d’égalité :

• Soit M ∈ Mⁿ(R). |Tr(M)|² =|ϕ(In, M)|² ≤ϕ(In, In)ϕ(M, M) = nTr(^tM M).

Il y a égalité si et seulement siM etI_nsont colinéaires, c’est-à-dire si et seulement siM est une matrice scalaire.

Théorème. Inégalité de Minkowski, ou inégalité triangulaire.

∀(x, y)∈E² kx+yk ≤ kxk+kyk.

De plus, il y a égalité dans cette inégalité si et seulement si x et y sont positivement colinéaires, c’est-à-dire si et seulement si y= 0 ou s’il existe k∈R₊ tel que x=ky.

D´emonstration.

• Soit (x, y)∈E².

(8)

Les espaces pr´ehilbertiens 2 espaces vectoriels norm´es de dimensions finies kx+yk² =kxk²+kyk²+ 2(x|y)

≤ kxk²+kyk²+ 2|(x|y)|

≤ kxk²+kyk²+ 2kxkkyk

= (kxk+kyk)².

• Siy= 0, il y a égalité et x ety sont positivement colinéaires.

On peut donc supposer pour la suite de la d´emonstration que y 6= 0.

• Supposons que x ety sont positivement colin´eaires, c’est-`a-dire qu’il existe k ∈R₊ tel que x=ky. Alors kx+yk= (k+ 1)kyk=kxk+kyk.

• Réciproquement, supposons qu’il y a égalité dans l’inégalité de Minkowski.

Alors, dans la démonstration ci-dessus, toutes les inégalités sont des égalités.

Ainsi, (x|y) = |(x|y)| donc (x|y)≥0, et |(x|y)|=kxkkyk, donc d’après le cas d’égalité de l’inégalité de Cauchy-Schwarz,xety sont colinéaires. Ory6= 0, donc il existek ∈R tel que x=ky. Ainsi, (x|y) =kkyk², or kyk 6= 0 car y6= 0 et (x|y)≥0, donc k∈ R₊. Théorème. Soit E un espace préhilbertien réel.

Alors la norme associ´ee `a son produit scalaire est bien une norme.

D´emonstration.

Notons (.|.) son produit scalaire et k.k la norme associ´ee.

Soit x, y ∈E etλ ∈R.

⋄ kxk= (x|x)≥0 car (.|.) est positive.

⋄ kxk= 0 =⇒(x|x) = 0 =⇒x= 0, car (.|.) est d´efinie.

⋄ kλk=p

(λx|λx) =|λ|p

(x|x) =|λ|kxk.

⋄ kx+yk ≤ kxk+kyk, d’après l’inégalité de Minkowski.

2 espaces vectoriels norm´ es de dimensions finies

2.1 Suites et fonctions ` a valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie

Propriété. Suites à valeurs dans un espace de dimension finie.

On suppose que E est un K-espace vectoriel de dimension finie strictement positive, not´ee q. Soit e= (e1, . . . , eq) une base de E.

Soit (xn) une suite de vecteurs de E. Pour toutn∈N, on note xn =

q

X

i=1

xi,nei.

Alors, la suite (xn) converge dansE si et seulement si, pour touti∈N_q, la suite (xi,n) converge dans K, et, dans ce cas, lim

n→+∞x_n=

q

X

i=1

( lim

n→+∞x_i,n)e_i. D´emonstration.

Nous démontrerons plus tard que, sur un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes, donc il n’est pas nécessaire de préciser dans l’énoncé de

(9)

Les espaces préhilbertiens 2 espaces vectoriels normés de dimensions finies cette propriété quelle norme sur E est utilisée, et, pour en faire la démonstration, on peut choisir sur E la norme que nous voulons.

Choisissons donc surE la norme d´efinie par la relation suivante : pour tout y=

q

X

i=1

yiei ∈E,kyk=

q

X

i=1

|yi|. (le fait que k.kest effectivement une norme surE est laiss´e en exercice).

Ainsi, la suite (xn) converge vers l=

q

X

i=1

liei si et seulement si

q

X

i=1

|x_i,n−l_i|=kx_n−lk −→

n→+∞0, donc si et seulement si pour tout i∈N_q

|xi,n−li| −→_n→+∞0, c’est-`a-dire si et seulement si, pour tout i∈ N_q, (xi,n) converge vers li.

Propriété. Limite d’une application à valeurs dans un espace de dimension finie.Supposons que F est unK-espace vectoriel de dimension finie dont une base est (e1, . . . , eq) et notons

f : E −→ F

x 7−→ f(x) =

q

X

i=1

f_i(x)e_i. Soient A une partie de D^f, a∈A et l=

q

X

i=1

liei ∈F. Alors, f(x)−→x→a

x∈A

l si et seulement si pour touti∈N_q, fi(x)−→x→a x∈A

li. D´emonstration.

Nous choisirons `a nouveau comme norme

k.k: F −→ R₊

q

X

i=1

yiei 7−→

q

X

i=1

|yi|.

Notons

ϕ : K^q −→ F

(y1, . . . , yq) 7−→

q

X

i=1

yiei. Pour touty= (y1, . . . , yq)∈K^q, kϕ(y)k=kyk¹. Ainsi ϕ etϕ⁻¹ sont continues.

D’après le théorème de composition des limites, f(x)−→x→a x∈A

l si et seulement si ϕ⁻¹(f(x))−→x→a

x∈A

ϕ⁻¹(l), donc si et seulement si pour tout i∈N_q, fi(x)−→x→a x∈A

li.

Propriété. Continuité en un point d’une application à valeurs dans un produit.

Supposons que F =F1× · · · ×Fq, o`u F1, . . ., Fq sont des espaces vectoriels norm´es et notons f : E −→ F

x 7−→ f(x) = (f₁(x), . . . , f_q(x)). Soit a∈ D^f. Alors,

f est continue en a si et seulement si pour touti∈N , f est continue en a.

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Les espaces préhilbertiens 2 espaces vectoriels normés de dimensions finies Propriété. Continuité en un point d’une application à valeurs dans un espace de dimension finie.Supposons queF est unK-espace vectoriel de dimension finie dont une base est (e1, . . . , eq) et notons

f : E −→ F

x 7−→ f(x) =

q

X

i=1

f_i(x)e_i. Soit a∈ D^f. Alors,

f est continue en a si et seulement si pour touti∈N_q, f_i est continue en a.

Exemple. L’application

]−1,+∞[ −→ M²(R) x 7−→

1 + 4x e^x sinx ln(1 +x)

est continue.

Notation. Pour toute la suite du chapitre 2, on fixe un K-espace vectoriel E de dimension finie n >0 et on fixe une base de E que l’on note e= (e1, . . . , en).

Six=

n

X

i=1

xiei ∈E, on pose N(x) =

n

X

i=1

|xi|. On v´erifie que N est une norme sur E.

2.2 Compacit´ e

Convention : dans ce paragraphe, on dira qu’un espace vectoriel normé est bon si et seulement si ses parties compactes sont exactement ses parties fermées bornées.

Lemme 1.Soit F un K-espace vectoriel norm´e.

SiF est bon, pour tout p∈N^∗, F^p est bon.

D´emonstration.

Soit K un ferm´e born´e de F^p. Il existe M >0 tel que K ⊂B_f^∞(0, M).

Or (x1, . . . , xp)∈B_f^∞(0, M)⇐⇒ sup

1≤i≤pkxik ≤M ⇐⇒ ∀i∈N_p kxik ≤M, ainsi (x1, . . . , xp)∈B_f^∞(0, M)⇐⇒ ∀i∈N_p xi ∈B_f^F(0, M), doncB_f^∞(0, M) = B_f^F(0, M)^p. Or B_f^F(0, M) est un fermé borné de F, donc c’est un compact. Ainsi B_f^∞(0, M) est un compact en tant que produit cartésien de compacts. De plus K est une partie fermée incluse dans un compact, donc c’est un compact.

Lemme 2. Soient F et G deux K-espaces vectoriels normés et f : F −→ G une isométrie, c’est-à-dire une application surjective telle que

∀(x, y)∈F² d(f(x), f(y)) =d(x, y).

AlorsF est bon si et seulement siG est bon.

D´emonstration.

⋄ Soit (x, y) ∈ F² tel que f(x) = f(y). Alors d(x, y) = d(f(x), f(y)) = 0, donc x = y. Ainsi f est injective, donc bijective. De plus f et f⁻¹ sont 1-lipschitziennes, donc continues.

⋄ Supposons que les compacts de F sont ses fermés bornés. Soit K un fermé borné deG.f⁻¹(K) est fermé carf est continue et il est borné carf est une isométrie, donc

(11)

Les espaces pr´ehilbertiens 2 espaces vectoriels norm´es de dimensions finies f⁻¹(K) est un compact de F. Ainsi K = f(f⁻¹(K)) est un compact de G, en tant qu’image d’un compact par une application continue.

Théorème. Les parties compactes d’un espace vectoriel de dimension finie sont exactement ses fermés bornés.

D´emonstration.

⋄ On sait déjà que les parties compactes de K sont exactement ses fermés bornés (cf chapitre “Limites et continuité” page 13).

⋄ Le lemme 1 montre alors queKⁿ est bon.

⋄ Enfin, l’application

Kⁿ −→ E (x1, . . . , xn) 7−→

n

X

i=1

xiei est une isométrie en choisissant sur Kⁿ la norme 1, donc d’après le lemme 2, les compacts de E sont les fermés bornés.

Th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass.

De toute suite born´ee de vecteurs de E, on peut extraire une sous-suite convergente.

D´emonstration.

Soit (xn)∈E^N une suite born´ee de E. Il existe M > 0 tel que

{xn/n ∈N} ⊂Bf(0, M). Ainsi (xn) est une suite dont les éléments sont dans un fermé borné, donc dans un compact. Elle admet donc au moins une valeur d’adhérence.

Remarque. Pour le moment, ces deux théorèmes ne sont valables qu’avec la normeN que nous avons choisie sur E, mais nous montrerons ci-dessous que toutes les normes surE sont équivalentes, donc ces théorèmes sont en fait valables pour toutes les normes deE.

Th´eor`eme. Tout K-espace vectoriel de dimension finie est complet.

D´emonstration.

⋄ Soit (x_n) une suite de Cauchy de E. Elle est bornée, donc d’après le théorème de Bolzano-Weierstrass, elle admet une valeur d’adhérence que l’on noterax. On sait alors que xn_n→+∞−→ x.

⋄ Réciproquement, on a déjà vu que toute suite convergente était une suite de Cauchy.

Propriété. Soit G un K-espace vectoriel normé de dimension finie ou infinie. Tout sous-espace vectoriel de Gde dimension finie est fermé.

D´emonstration.

Soit F un sous-espace vectoriel deG de dimension finie. Soit (x_n) une suite d’´el´ements deF qui converge vers l∈G.

En tant que suite convergente de G, (xn) est une suite de Cauchy de G, donc c’est une suite de Cauchy de F, mais F est de dimension finie, donc d’après le théorème précédent, la suite (xn) converge dans F, donc l ∈ F, ce qui prouve que F est fermé.

(12)

Les espaces pr´ehilbertiens 2 espaces vectoriels norm´es de dimensions finies

2.3 Equivalence des normes

Th´eor`eme.

Sur un K-espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont ´equivalentes.

D´emonstration.

• Soit N^′ une seconde norme surE.

Soit x=

n

X

i=1

xiei ∈E. N^′(x) = N^′(

n

X

i=1

xiei)≤

n

X

i=1

|xi|N^′(ei).

Posonsβ = max

1≤i≤nN^′(ei). Pour tout x∈E, (1) :N^′(x)≤β

n

X

i=1

|xi|=βN(x).

• On en d´eduit que pour tout (x, y)∈E²,|N^′(x)−N^′(y)| ≤N^′(x−y)≤βN(x−y), c’est-`a-dire que l’application N^′ : (E, N)−→R₊ est une application β-lipschitzienne.

Ainsi, cette application est continue.

En particulier, si l’on noteSN(0,1) ={x∈E / N(x) = 1}(c’est la sphère unité pour la normeN), alors N_/S^′ _N_(0,1) est continue, or SN(0,1) est un fermé borné de (E, N), donc il est compact (on utilise bien ici le paragraphe précédent avecN, et non avecN^′ ce qui ne serait pas correct). AinsiN_/S^′ _N_(0,1) est une application bornée qui atteint ses bornes.

En particulier, il existe x0 ∈SN(0,1) tel que pour tout x∈SN(0,1), N^′(x)≥N^′(x0).

Six∈E\ {0}, x

N(x) ∈SN(0,1), donc N^′ x

N(x)

≥N^′(x0).

De plus N(x0) = 1, donc x0 6= 0, ce qui montre que N^′(x0)>0.

Ainsi, pour tout x∈E, (2) :N(x)≤ 1

N^′(x0)N^′(x).

(1) et (2) prouvent queN et N^′ sont ´equivalentes.

2.4 Applications lin´ eaires et multilin´ eaires

Théorème. Toute application linéaire dont l’ensemble de départ est de dimension finie est continue.

D´emonstration.

Soient F un K-espace vectoriel norm´e de dimension quelconque et u∈L(E, F).

Soit x=

n

X

i=1

xiei ∈E. ku(x)k=k

n

X

i=1

xiu(ei)k ≤

n

X

i=1

|xi|.ku(ei)k. Posonsβ = max

1≤i≤nku(ei)k. Pour toutx=

n

X

i=1

xiei ∈E, ku(x)k ≤β

n

X

i=1

|xi|=βN(x).

uétant linéaire, on en déduit qu’elle est β-lipschitzienne, donc u est continue.

Théorème. Soient E1, . . . , Ep une famille de p K-espaces vectoriels de dimensions finies, o`up∈N^∗ et F un K-espace vectoriel normé de dimension quelconque.

Toute application p-lin´eaire deE1 × · · · ×Ep dans F est continue.

(13)

Les espaces préhilbertiens 2 espaces vectoriels normés de dimensions finies Démonstration.

Pour tout j ∈ N_p, on note nj la dimension de Ej et ej = (e1,j, . . . , enj,j) une base de Ej. Soitf une application p-lin´eaire deE1× · · · ×Ep dans F.

Soit (x₁, . . . , x_p) = (

nj

X

i=1

a_i,je_i,j)_1≤j≤p ∈E₁× · · · ×E_p. f(x1, . . . , xp) =f(

n1

X

i=1

ai,1ei,1, x2, . . . , xp), donc en utilisant la linéarité selon la première variable, f(x₁, . . . , x_p) =

n1

X

i=1

a_i,1f(e_i,1, x₂, . . . , x_p), puis f(x1, . . . xp) =

n1

X

i=1

ai,1 n2

X

j=1

aj,2f(ei,1, ej,2, x3, . . . , xp), donc f(x1, . . . , xp) = X

u=(i1,...,ip)∈N_n

1×···×N_np

ai1,1. . . aip,pf(ei1,1, . . . , eip,p).

Soitj ∈N_p eti∈ {1, . . . , nj}.ai,j =e^∗_i,j(xj), si l’on désigne par (e^∗_k,j)1≤k≤njla base duale de ej. Mais e^∗_i,j est une application linéaire dont l’espace de départ est de dimension finie, donc c’est une fonction continue de x. L’expression précédente de f(x1, . . . , xp) et les théorèmes usuels montrent alors que f est continue.

Propri´et´e. Soit n∈N^∗.

Les applications polynˆomiales de K[X1, . . . , Xn] sont continues.

D´emonstration.

Soitf une fonction polynˆomiale deKⁿdansK. Il existe une famille de scalaires (α_u)_u∈^Nⁿ index´ee par Nⁿ et presque nulle telle que

∀x= (x1, . . . , xn)∈Kⁿ f(x) = X

u=(k1,...,kn)∈Nⁿ

αux^k₁¹· · ·x^k_nⁿ.

f est donc continue sur Kⁿ d’après les théorèmes usuels.

Remarque. Soient E un espace vectoriel de dimension finie muni d’une base e= (e₁, . . . , e_n) et

f : E −→ K

x=

n

X

i=1

xiei 7−→ g(x1, . . . , xn).

Si g est une application polynˆomiale, alors f est continue. En effet, f = g ◦h o`u

h: E −→ Kⁿ

x=

n

X

i=1

xiei 7−→ (x1, . . . , xn) .hest continue car lin´eaire en dimension finie, et g est continue car polynˆomiale, donc f est continue.

Exemple. L’application det est continue de Mⁿ(K) dansK.

(14)

Les espaces pr´ehilbertiens 3 Orthogonalit´e

3 Orthogonalit´ e

Notation. E d´esigne toujours un espace pr´ehilbertien.

Son produit scalaire est noté< ., . > et la distance associée est notéed.

3.1 Orthogonalit´ e en dimension quelconque

D´efinition. Soit (x, y)∈E².

x ety sont orthogonaux si et seulement si < x, y >= 0. Dans ce cas, on notex⊥y.

Remarque.

La relation d’orthogonalité est symétrique, mais elle n’est ni réflexive, ni transititve.

Exemples.

— Dans Rⁿ muni de son produit scalaire canonique, les vecteurs de la base canonique sont deux `a deux orthogonaux.

— Dans l’espace vectorielC2π⁰ (R,R) des applications continues et 2π-p´eriodiques de R dans R, muni du produit scalaire (f, g) 7−→ 1

π Z 2π

0

f(t)g(t) dt, les fonctions sin et cos sont des vecteurs unitaires orthogonaux. En effet,

hsin,cosi= 1 π

Z π

−π

sin(2t)

2 dt = 0 par imparit´e, ksink² = 1

π Z 2π

0

1−cos(2t)

2 dt = 1 et kcosk² = 1

π Z 2π

0

1 + cos(2t)

2 dt= 1.

D´efinition. Soit A une partie de E.

L’orthogonal de A est A^⊥ = {x ∈ E/∀y ∈ A x⊥y} : c’est l’ensemble des vecteurs deE qui sont orthogonaux `a tous les vecteurs de A.

Exemple. Soit a∈E\ {0}. Alors a^⊥ est un hyperplan. En effet, c’est le noyau de la forme lin´eaire x7−→ hx, ai.

Propri´et´e. Soit A une partie de E. Alors A^⊥ est un sous-espace vectoriel deE.

D´emonstration.

A^⊥ = \

a∈A

a^⊥.

D´efinition. Soient A et B deux parties de E. On dit qu’elles sont orthogonales si et seulement si tout vecteur deAest orthogonal `a tout vecteur deB. On note alorsA⊥B.

Ainsi, A⊥B ⇐⇒[∀(a, b)∈A×B, a⊥b].

Propri´et´e. Soient A et B deux parties de E. A⊥B ⇐⇒ A ⊂ B^⊥ ⇐⇒ B ⊂ A^⊥.

(15)

Les espaces préhilbertiens 3 Orthogonalité Démonstration.

A⊥B ⇐⇒[∀(a, b)∈A×B, a⊥b]

⇐⇒[∀a∈A, (∀b ∈B , a⊥b)]

⇐⇒[∀a∈A , a∈B^⊥]

⇐⇒A⊂B^⊥.

La seconde équivalence s’obtient en intervertissant les rôles joués parA etB.

Propriété. Soient A etB deux parties de E. On dispose des propriétés suivantes :

— A⊆B =⇒B^⊥⊆A^⊥,

— (A∪B)^⊥=A^⊥∩B^⊥,

— A^⊥= (Vect(A))^⊥,

— et A⊆(A^⊥)^⊥. D´emonstration.

⋄ Supposons que A⊆B.

Soit x∈B^⊥. Pour touta ∈A,a ∈B, doncx⊥a. Ainsi, x∈A^⊥. On a donc prouv´e que B^⊥⊆A^⊥.

⋄ xappartient à (A∪B)^⊥ si et seulement si xest orthogonal à tout élément deA∪B, donc si et seulement si x est orthogonal à tout élément de A (ie : x ∈ A^⊥) et à tout

´el´ement deB (ie : x∈B^⊥). Ainsi (A∪B)^⊥ =A^⊥∩B^⊥.

⋄ A⊆Vect(A), donc Vect(A)^⊥ ⊆A^⊥. R´eciproquement, soit x∈A^⊥.

Soit y∈Vect(A). Il existe (αa)a∈A∈R^(A) telle que y=X

a∈A

αaa.

Ainsi< x, y >=X

a∈A

αa < x, a >= 0, car x∈A^⊥.

On a montr´e que, pour tout y∈Vect(A), x⊥y, donc x∈Vect(A)^⊥. C’est vrai pour tout x∈A^⊥, doncA^⊥⊆Vect(A)^⊥.

⋄ A⊥A^⊥, donc A⊆(A^⊥)^⊥.

Remarque. Soient F et Gdeux sous-espaces vectoriels de E.

F +G= Vect(F ∪G), donc (F +G)^⊥=F^⊥∩G^⊥.

Cependant, en g´en´eral, (F ∩G)^⊥6=F^⊥+G^⊥ et F^⊥⊥6=F.

Remarque. Un vecteurx∈E est orthogonal `a un sous-espace vectorielF deE muni d’une base e si et seulement si x est orthogonal aux vecteurs de la base e.

En effet, supposons que e= (ei)i∈I est une base de F. Si pour tout i ∈I, x⊥ei, alors x∈ {ei/i∈I}^⊥= [Vect{ei/i∈I}]^⊥ =F^⊥.

Exemple. Notons H le plan de R³ dont une ´equation cart´esienne dans la base canonique est :x+y−z = 0.

D´eterminons l’orthogonal de H, pour le produit scalaire canonique de R³. Une base de H est (X1, X2) =







 1

−1



,



 0 1







, donc H^⊥=







 1

−1



,



 0 1









⊥

.

(16)

Soit X =



 x y z



∈R³.

X ∈H^⊥⇐⇒(X₁|X) = (X₂|X) = 0⇐⇒

x−y = 0 y+z = 0 ⇐⇒

y =x z =−x, donc H^⊥ est la droite vectorielle engendr´ee par



 1 1

−1



. Exemples.

— Dans Rⁿ muni de son produit scalaire canonique, si v =



 a1

...

an



∈ Rⁿ, alors v est orthogonal `a l’hyperplan d’´equation a1x1+· · ·+anxn = 0.

— Dans C⁰([−1,1],R) muni de son produit scalaire usuel, le sous-espace vectoriel P des fonctions paires (et continues de [−1,1] dansR) et le sous-espace vectoriel J des fonctions impaires sont orthogonaux. En effet, pour tout p∈ P etj ∈ J, hp, ji=R1

−1p(t)j(t) dt= 0 par imparit´e.

Propriété. {0}^⊥ =E et E^⊥ ={0}. Démonstration.

⋄ Tout vecteur de E est orthogonal `a 0, donc {0}^⊥=E.

⋄ Six∈E^⊥, alors< x, x >= 0, donc x= 0.

D´efinition. Soit I un ensemble quelconque et (xi)i∈I une famille de vecteurs deE.

Elle est dite orthogonale si et seulement si

∀(i, j)∈I² (i6=j =⇒xi⊥xj).

Elle est dite orthonormale si et seulement si

∀(i, j)∈I² < xi, xj >=δi,j.

Exemple. Considérons à nouveau l’espace vectoriel C2π⁰ (R,R) des applications continues et 2π-périodiques deRdansR, muni du produit scalaire (f, g)7−→ 1

π Z 2π

0

f(t)g(t)dt.

Pour tout k ∈N^∗, notons ck : x7−→cos(kx) et sk : x 7−→sin(kx). Montrons que la concat´enation des familles (ck)k∈N∗ et (ck)k∈N∗ est orthonormale. Soit k, h∈N^∗. hck, chi= 1

π Z 2π

0

cos(k−h)x+ cos(k+h)x

2 dx, donc

lorsque k 6=h,hck, chi= 1 2π

hsin(k−h)x

k−h +sin(k+h)x k+h

i2π 0 = 0, et lorsque k=h, kc_kk² = 1

π Z 2π

0

1 + cos(k+h)x

2 dx= 1.

De mˆeme, hsk, shi= 1 π

Z 2π 0

cos(k−h)x−cos(k+h)x

2 dx, donc

(17)

Les espaces pr´ehilbertiens 3 Orthogonalit´e lorsque k 6=h,hsk, shi= 1

2π

hsin(k−h)x

k−h − sin(k+h)x k+h

i2π 0 = 0, et lorsque k=h, kskk² = 1

π Z 2π

0

1−cos(k+h)x

2 dx= 1.

Enfin, hck, shi= 1 π

Z π

−π

cos(kx) sin(hx)dx = 0 par imparit´e.

Relation de Pythagore : Soit n ∈ N^∗ et (x₁, . . . , x_n) une famille orthogonale de vecteurs de E. Alors k

n

X

i=1

xik² =

n

X

i=1

kxik².

Cependant, lorsque n≥3, la r´eciproque est fausse.

D´emonstration.

DansR² muni de son produit scalaire canonique, les vecteurs x1 = (1,2),x2 = (0,2) et x3 = (0,−1) vérifient la relation de Pythagore sans être deux à deux orthogonaux.

Propri´et´e. Une famille orthogonale sans vecteur nul est libre.

En particulier, une famille orthonormale est toujours libre.

D´emonstration.

Soit (xi)i∈I une famille orthogonale sans vecteur nul.

Soit (αi)i∈I ∈R^(I) telle queX

i∈I

αixi = 0.

Soit j ∈I. αj < xj, xj >=< xj,X

i∈I

αixi >= 0, or< xj, xj >6= 0, donc αj = 0.

Propriété. Supposons que E admet une base orthonormée notée (ei)i∈I. Six=X

i∈I

αiei ∈E et y=X

i∈I

βiei ∈E, alors

< x, y >=X

i∈I

αiβi, kxk² =X

i∈I

α_i² etx=X

i∈I

< ei, x > ei. D´emonstration.

⋄ < x, y >=<X

i∈I

α_ie_i,X

j∈I

β_je_j >= X

(i,j)∈I²

α_iβ_j < e_i, e_j >=X

i∈I

α_iβ_i.

⋄ En particulier, lorsquey=x, < x, x >=X

i∈I

α²_i.

⋄ Soit j ∈I. < e_j, x >=< e_j,X

i∈I

α_ie_i >=X

i∈I

α_i < e_j, e_i >=α_j, donc x=X

i∈I

α_ie_i =X

i∈I

< e_i, x > e_i.

Propri´et´e. Supposons que E est muni d’une basee = (ei)i∈I.

Alors il existe un unique produit scalaire surE pour lequeleest une base orthonorm´ee.

D´emonstration.

(18)

ϕ: E² −→ R

X

i∈I

xiei,X

i∈I

yiei

!

7−→ X

i∈I

xiyi est un produit scalaire sur E.

De plus, pour tout (h, k)∈I², ϕ(eh, ek) = X

i∈I

δi,hδi,k =δh,k, donc e est orthonorm´ee pour ce produit scalaire.

• Unicit´e. Soit ψ un produit scalaire sur E pour lequel e est orthonorm´ee.

D’après la première formule de la propriété précédente, ψ =ϕ.

Remarque. En particulier, dans un R-espace vectoriel de dimension 2, pour toute base (~ı, ~), il existe un produit scalaire pour lequel (~ı, ~) est une base orthonorm´ee.

Ceci semble contredire la notion intuitive d’orthogonalit´e de deux vecteurs du plan bas´ee sur la notion d’angle droit.

En fait, à chaque produit scalaire est associée une notion d’angle droit, et pour deux vecteurs quelconques mais non liés, on peut choisir un produit scalaire pour lequel ils forment un angle droit.

Si notre intuition est “choquée” par ce qui précède, c’est que nous vivons dans un espace physique où la notion de distance est fixée (tout au moins en première approximation).

Changer de distance est donc contraire à notre intuition. Or la notion de distance contient celle d’angle droit, comme angle formés par un rayon et une tangente d’un même cercle.

Propriété. Soient n∈N^∗ et (Ei)1≤i≤n une famille de n sous-espaces vectoriels de E que l’on suppose deux à deux orthogonaux.

Alors ils forment une somme directe que l’on note E₁

⊥

M· · ·

⊥

ME_n=

⊥

M

1≤i≤n

E_i. D´emonstration.

Soit (x₁, . . . , x_n)∈E₁× · · · ×E_n tel que

n

X

i=1

x_i = 0. Soit j ∈ {1, . . . , n}. Pour tout i∈ {1, . . . , n} tel que i6=j, < xj, xi >= 0, donc kxjk² =< xj,

n

X

i=1

xi >= 0.

Ainsi, xj = 0 pour tout j ∈ {1, . . . , n}, ce qui prouve que la somme est directe.

D´efinition. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E.

G est unsuppl´ementaire orthogonal deF si et seulement si E =F ⊕^⊥ G.

Exemple. DansC⁰([−1,1],R) muni de son produit scalaire usuel, le sous-espace vectoriel P des fonctions paires et le sous-espace vectoriel J des fonctions impaires sont suppl´ementaires orthogonaux.

Propri´et´e. Soit F un sous-espace vectoriel de E.

F admet au plus un suppl´ementaire orthogonal. Il s’agit de F^⊥.

(19)

Les espaces préhilbertiens 3 Orthogonalité Démonstration.

Supposons que G est un suppl´ementaire orthogonal deF, et montrons que G=F^⊥.

• G⊥F, donc G⊆F^⊥.

• R´eciproquement, soitx∈F^⊥.

E =F +G, donc il existe (f, g)∈F ×G tel que x=f+g.

F⊥G, donc < g, f >= 0. Ainsi, kfk² =< f, f > + < g, f >=< x, f >, or x ∈ F^⊥, donc < x, f >= 0. On en d´eduit que kfk² = 0, ce qui prouve que f = 0, puis que x=g ∈G.

AinsiF^⊥ ⊆G.

Remarque. Il est possible qu’un sous-espace vectoriel deE n’admette aucun suppl´e- mentaire orthogonal. Par exemple, munissons E =R⁽^N⁾ du produit scalaire

< ., . >: E² −→ R ((x_n),(y_n)) 7−→ X

n∈N

x_ny_n,

et notons F ={(xn)∈E/X

n∈N

xn = 0}. F est un sous-espace vectoriel de E.

Soit (yn)∈F^⊥. Pour tout (xn)∈R⁽^N⁾ tel que X

n∈N

xn= 0, X

n∈N

xnyn= 0.

Soit p ∈N. Choisissons pour (xn)n∈N la suite dont tous les coefficients sont nuls, sauf le p^`ême qui est égal à 1, et le (p+ 1)^`ême qui est égal à -1.

(xn)∈F, donc 0 =X

n∈N

xnyn=yp −yp+1.

Ainsi, pour tout p∈ N, yp+1 =yp, ce qui prouve que (yn) est une suite constante. Or elle est presque nulle, donc n´ecessairement, (yn) = 0.

On a donc prouvé que F^⊥ ={0}, or F 6=E, donc F^⊥ n’est pas un supplémentaire de F. Ainsi F n’admet aucun supplémentaire orthogonal.

On peut ´egalement remarquer que (F^⊥)^⊥ ={0}^⊥ =E 6=F.

De plus, si l’on poseG= Vect((δ0,n)n∈N), on a F ∩G={0}, donc (F ∩G)^⊥ =E, mais F^⊥+G^⊥ =G^⊥ 6=E, car (δ0,n)n∈N ∈/ G^⊥.

3.2 En dimension finie

Propri´et´e. On suppose que E est de dimension finie.

Pour tout x∈E, on note < x, . >: E −→ R

y 7−→ < x, y >. Alors, l’application E −→ L(E,R)

x 7−→ < x, . > est un isomorphisme.

D´emonstration.

• < ., . > est lin´eaire par rapport `a sa seconde variable, donc, pour tout x ∈ E,

(20)

• Soit (x, y, a, b)∈E×E×R×R. Pour tout z ∈E,

f(ax+by)(z) =< ax+by, z >=a < x, z >+b < y, z >= (af(x) +bf(y))(z), donc f(ax+by) =af(x) +bf(y), ce qui prouve que f est une application lin´eaire.

• Soit x∈E tel que f(x) = 0.

Pour tout y ∈ E, < x, y >= f(x)(y) = 0, donc x ∈ E^⊥ = {0}. Ainsi, x = 0 ce qui prouve que le noyau def est r´eduit `a {0}.

• f est donc une application lin´eaire injective. De plus,dim(E) = dim(L(E,R)), donc f est un isomorphisme.

Th´eor`eme. On ne suppose pas que E est de dimension finie.

Si F est un sous-espace vectoriel de dimension finie de E, alors F^⊥ est l’unique suppl´ementaire orthogonal de F. De plus F = (F^⊥)^⊥.

D´emonstration.

• Soit x∈E. Notons ϕ : F −→ R

y 7−→ < x, y >.

ϕ ∈ L(F,R), donc, d’après la propriété précédente appliquée à F, il existe f ∈ F tel que ϕ=< f, . >/F.

Ceci signifie que, pour tout y∈F,< x, y >=< f, y >, donc que x−f ∈F^⊥. Ainsix=f + (x−f)∈F +F^⊥. Ceci prouve que E =F +F^⊥.

Or F ∩F^⊥ = {0}, donc F^⊥ est un supplémentaire de F dans E. De plus, on a déjà

établi qu’il n’y a pas d’autre supplémentaire orthogonal de F, donc F^⊥ est l’unique supplémentaire orthogonal de F.

• E =F^⊥ ⊕^⊥ F, donc F est un supplémentaire orthogonal de F^⊥, or le seul éventuel supplémentaire orthogonal de F^⊥ est (F^⊥)^⊥. Ainsi F = (F^⊥)^⊥.

Exemple. Reprenons l’exemple oùH est le plan deR³ dont une équation cartésienne dans la base canonique est : x+y−z = 0.

Si l’on pose N =



 1 1

−1



, H ={X ∈R³/(N|X) = 0}={N}^⊥ = Vect(N)^⊥.

Or Vect(N) est de dimension finie, donc on peut appliquer le théorème précédent.

Ainsi, H^⊥ = (Vect(N)^⊥)^⊥= Vect(N).

On retrouve bien le même résultat que précédemment.

D´efinition.

On appelle espace euclidien tout espace pr´ehilbertien de dimension finie.

Hypothèse : jusqu’à la fin de ce paragraphe, on suppose queE est un espace euclidien de dimensionn >0. On notera< ., . >son produit scalaire et k.kla norme euclidienne associée.

Propri´et´e.

SiF et Gsont deux sous-espaces vectoriels de E, alors (F ∩G)^⊥=F^⊥+G^⊥. D´emonstration.

F^⊥+G^⊥ = (F^⊥+G^⊥)^⊥⊥ = (F^⊥∪G^⊥)^⊥⊥ = (F^⊥⊥∩G^⊥⊥)^⊥ = (F ∩G)^⊥.

(21)

Les espaces préhilbertiens 3 Orthogonalité Propriété. Si F est un sous-espace vectoriel deE, alors dim(F^⊥) =dimE−dimF. Propriété. Soit e= (e1, . . . , en) une base orthonormée de E.

Soient x et y des vecteurs de E dont les coordonnées dans la base e sont données sous forme de vecteurs colonnes notés X et Y. Alors < x, y >=^t Y X =^t XY.

D´emonstration.

Notons x=

n

X

i=1

xiei ety=

n

X

i=1

yiei. Ainsi

X =



 x1

...

xn



 et Y =



 y1

...

yn



.

Donc < x, y >=

n

X

i=1

xiyi =^tXY =^tY X.

Remarque. Sie= (e1, . . . , en) est une base orthonorm´ee de E, pour toutu∈ L(E), pour tout i, j ∈N_n, [mat(u, e)]_i,j =he_i, u(e_j)i.

La fin de ce paragraphe est hors programme.

Définition. La matrice du produit scalaire dans la basee est égale à mat(< ., . >, e) = (< ei, ej >)¹^≤i≤n

1≤j≤n ∈ Mⁿ(R).

Propri´et´e. e est orthogonale si et seulement si mat(< ., . >, e) est diagonale.

e est orthonorm´ee si et seulement si mat(< ., . >, e) = In.

Formule. Soit e une base quelconque de E. On note Ω la matrice de < ., . > dans la base e. Soient xet y deux vecteurs de E, dont les coordonn´ees dans e sont donn´ees sous la forme des vecteurs colonnes X etY de Rⁿ. Alors

< x, y >=^tXΩY =^tY^tΩX = X

1≤i≤n 1≤j≤n

x_iy_jω_i,j.

D´emonstration.

PosonsX =



 x1,1

...

x_n,1



,Y =



 y1,1

...

y_n,1



et Ω = (ωi,j)^1≤i≤n

1≤j≤n.

< x, y > =

* _n X

i=1

xi,1ei,

n

X

j=1

yj,1ej

+

=

n

X

i=1

xi,1

* ei,

n

X

j=1

yj,1ej

+

n

X

n

X

n

X

n

X

(22)

Les espaces préhilbertiens 3 Orthogonalité d’après la formule pour le produit de trois matrices. De plus, une matrice carrée d’ordre 1 est toujours symétrique, donc ^tXΩY =^t(^tXΩY) =^tY^tΩX.

D´efinition. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, muni d’une base e= (e1, . . . , en) et soitϕ une forme bilin´eaire surE.

La matrice deϕ dans la basee est mat(ϕ, e) = (ϕ(ei, ej))1≤i,j≤n ∈ Mⁿ(K).

Pour tout x, y ∈E, en posant X = mate(x) et Y = mate(y),ϕ(x, y) =^tXΩY. ϕ est sym´etrique si et seulement si Ω ∈Sn(K).

3.3 Distance d’un vecteur ` a un sous-espace vectoriel

D´efinition. Soit F un sous-espace vectoriel de E tel que F L

F^⊥=E.

On appelle projection orthogonale surF, la projection sur F parallèlement àF^⊥. Dans ce chapitre, elle est notée pF.

Remarque. On utilisera souvent le fait que le projecteur associ´e `a p_F est IdE −pF =p_F^⊥. En particulier, pour toutx∈E, x−pF(x) =p_F^⊥(x)∈F^⊥.

Formule. Soit F un sous-espace vectoriel de E que l’on suppose muni d’une base orthonorm´eee = (e_i)_i∈I. On suppose de plus que F ⊕F^⊥=E.

Alors, pour tout x∈E, pF(x) =

n

X

i∈I

< ei, x > ei .

En particulier, si F est un sous-espace vectoriel de dimension finie de E, muni d’une base orthonorm´eee = (e₁, . . . , e_n), alors, pour tout x∈E, p_F(x) =

n

X

i=1

< e_i, x > e_i . D´emonstration.

Soit x∈E.

pF(x) = X

i∈I

< ei, pF(x)> ei car (ei)i∈I est une base orthonormale deF. Or, pour tout i∈I, < ei, pF(x)>=< ei,(pF(x)−x) +x >=< ei, x >

car pF(x)−x∈F^⊥, doncpF(x) = X

i∈I

< ei, x > ei.

Remarque. Soit F un sous-espace vectoriel de E tel que F L

F^⊥ =E.

Pour tout x ∈ E, pF(x) = x−p_F^⊥(x), donc on peut calculer pF(x) en passant par p_F^⊥(x). C’est pertinent lorsqueF est un hyperplan de E.

Exemple. Considérons à nouveau l’espace vectoriel E = C2π⁰ (R,R) des applications continues et 2π-périodiques de R dans R, muni du produit scalaire

(f, g) 7−→ 1 π

Z 2π 0

f(t)g(t) dt. En posant pour tout k ∈ N^∗, c_k : x 7−→ cos(kx) et sk : x7−→ sin(kx), on a vu que la concat´enation des familles (ck)k∈N^∗ et (ck)k∈N^∗ est orthonormale. Posons ´egalement c0 : x7−→ 1

√2.