Sries de Fourier

(1)

S ´ERIES DE FOURIER

N. RAYMOND

TABLE DES MATIERES`

1. Introduction heuristique et historique 2

1.1. Existence 2

1.2. Unicit´e 4

2. Propri´et´es hilbertiennes 5

2.1. Coefficients et sommes partielles de Fourier 5

2.2. Inégalité de Bessel et égalité de Parseval 7

2.3. Régularité et décroissance des coefficients de Fourier 9

3. Théorème de Dirichlet 11 3.1. Enoncé et preuve´ 11 3.2. Exemple 13 4. Théorème de Fejér 14 4.1. Enoncé et preuve´ 14 4.2. Applications 15

5. Vers la transformation de Fourier 16

5.1. Des séries de Fourier à la transformée de Fourier 16

5.2. Transform´ee de Fourier inverse 16

Prérequis pour ce cours : convergence des suites et séries de fonctions (simple, uniforme, normale), intégration de Lebesgue, notion de produit scalaire. Suivant les connaissances des étudiants, la connaissance de l’intégrale de Riemann pourra suffire. Au besoin, on fera des rap-pels sur les espaces (pré-)hilbertiens (définitions et propriétés élémentaires du produit scalaire).

(2)

1. INTRODUCTION HEURISTIQUE ET HISTORIQUE

Avant d’expliquer ce que sont les séries de Fourier et de décrire leurs propriétés, nous nous proposons d’analyser un exemple issu de la physique : la propagation de la chaleur dans une tige (de longueur 1) isolée à ses extrémités. Elle est gouvernée par

(i) l’´equation de la chaleur :

∂tΨ(x, t) = ∂x2Ψ(x, t) , ∀(x, t) ∈ [0, 1]×]0, +∞[ ,

(ii) la condition initiale donn´ee par Ψ(x, 0) = f (x), pour tout x ∈ [0, 1], o`u f ∈C1_{([0, 1], R),}

(iii) et la condition aux limites Ψ(0, t) = Ψ(1, t) = 0 pour tout t ≥ 0.

Ce phénomène a intéressé Joseph Fourier (1768-1830) dans sa Théorie analytique de la cha-leur1(1822) via les séries qui portent aujourd’hui son nom. On y lit notamment :

Ce mouvement peut toujours être décomposé en plusieurs autres dont chacun

s’accom-plit séparément comme s’il avait lieu seul. Cette superposition des effets simples est un des éléments fondamentaux de la théorie de la chaleur.2

Nous nous proposons d’examiner les questions suivantes, surtout heuristiquement, par la m´ethode introduite par Fourier. Posons3

E = Ψ ∈ C0

(R × R+, R) , Ψ ∈ C2(R×]0, +∞[, R) .

Existe-t-il une fonction v´erifiant (i), (ii), (iii) et qui soit la restriction d’une fonction de E ? Cette solution est-elle unique ?

La réponse à la première question fera apparaˆıtre assez naturellement la notion de série de Fourier.

1.1. Existence.

1.1.1. Solutions particulières de l’équation. Recherchons des solutions de (i) sous la forme Ψ(x, t) = α(x)ψ(t). On en déduit que

(1.1) ψ0(t)α(x) = ψ(t)α00(x) .

Soit c ∈ R. Si ψ et α vérifient ψ0(t) = cψ(t) et α00(x) = cα(x), ils vérifient (1.1). Considérons le cas c < 0 et écrivons c = −ω2. On peut donc choisir

ψ(t) = e−ω2t et

α(x) = A cos(ωx) + B sin(ωx) .

Cherchons aussi des solutions qui satisfont `a (iii). On a donc A = 0 et sin(ω) = 0. On doit donc avoir ω = kπ avec k ∈ Z. Noter que, dans le cas c ≥ 0, on trouve que α est nulle.

Pour tout k ∈ N∗, fk : (x, t) 7→ sin(kπx)e−k

2_π2_t

appartient àE et satisfait (i) et (iii). Il en est de même de toute combinaison linéaire finie des fk.

1. voir le Chapitre IV (§239 et suivants) 2. Chapitre III, §203

3. Dans cette section, on pourra choisir la définition suivante. Pour k ∈ N∗, on dit qu’une fonction ϕ est de classeCk sur un produit d’intervalles ouverts U lorsqu’elle possède des dérivées partielles en tout point (x0, t0) de U , jusqu’à l’ordre k, notées ∂xm∂`tϕ(x0, t0) (avec m + ` ≤ k), et qu’elles définissent toutes des fonctions continues en les deux variables.

(3)

1.1.2. Une solution plus générale. Plus généralement, considérons une suite (bk)k∈N∗telle que

P+∞

k=1|bk| < +∞. Considérons la série définie, pour tout (x, t) ∈ R × [0, +∞[, par

S(x, t) =

+∞

X

k=1

bkfk(x, t) .

Cette s´erie de fonctions est normalement convergente (et donc uniform´ement). Les fk sont

continues sur R × [0, +∞[ et par conséquent S définit une fonction continue sur R × [0, +∞[. La fonction S vérifie (iii) ; elle est impaire et 2-périodique.

Montrons que S ∈C∞_{(R×]0, +∞[). Soit a > 0. Examinons la série des dérivées à l’ordre} n ∈ N en x et m en t, c’est-à-dire X k≥1 bk(kπ)n(−k2π2)msin(kπx)e−k 2_π2_t . Cette série est normalement convergente sur R × [a, +∞[ puisque

X

k≥1

|bk|kn+2me−k

2_π2_a

< +∞ .

Il s’ensuit que S admet des dérivées partielles à tout ordre et en toutes les variables. Toutes ces dérivées sont continues sur R×]a, +∞[. Il s’ensuit que S ∈ C∞(R×]a, +∞[) pour tout a > 0 et ainsi S ∈C∞(R×]0, +∞[). Pour tout (x, t) ∈ R×]0, +∞[, on a

∂tS(x, t) = X k≥1 −k2_π2_b ksin(kπx)e−k 2_π2_t , et ∂_x2S(x, t) =X k≥1 −k2_π2_b ksin(kπx)e−k 2_π2_t , de sorte que S v´erifie (i).

1.1.3. Condition initiale. Reste `a savoir s’il existe une suite (bk)k≥1 ∈ `1(N∗) telle que S

satisfasse (ii), c’est-`a-dire telle que, pour tout x ∈ [0, 1], f (x) = S(x, 0) =

+∞

X

k=1

bksin(kπx) .

Il est naturel d’introduire la fonction ˜f , prolongement par imparité et 2-périodicité de f . C’est une fonction appartenant àC1(R). Peut-on donc trouver (bk)k≥1 ∈ `1(N∗) telle que, pour tout

x ∈ R, (1.2) f (x) =˜ +∞ X k=1 bksin(kπx) ?

Remarque 1.1. Ce problème est celui de la décomposition en série de Fourier et ce cours va y apporter des réponses générales. Considérant une fonction T -périodique g, à valeurs réelles, peut-on trouver deux suites de coefficients (ak(g))k∈N et (bk(g))k∈N∗telles que

g = 1 2a0(f ) + X k≥1 ak(g) cos 2kπ· T +X k≥1 bk(g) sin 2kπ· T ?

Si la fonction g est `a valeurs complexes, il s’agit de trouver une suite (ck(g))k∈Z telle que

g =X k∈Z ck(g)e 2ikπ· T . 3

(4)

Le but du cours est de savoir si de tels coefficients existent et en quel(s) sens les s´eries convergent.

Nous démontrerons plus tard que, pour une fonction périodique, impaire et de classe C1, une telle suite (bk)k≥1 ∈ `1(N∗) existe. Dans ce cas, il est aisé de trouver l’expression de bk.

Consid´erons, pour m ∈ N∗,

Z 2

0

˜

f (x) sin(mπx) dx .

Par convergence normale et donc uniforme de la série, nous pouvons permuter la série et l’intégrale, si bien que

Z 2 0 ˜ f (x) sin(mπx) dx = +∞ X k=1 bk Z 2 0 sin(kπx) sin(mπx) dx . On rappelle que sin(kπx) sin(mπx) = 1 2(cos(kπx − mπx) − cos(kπx + mπx)) . On v´erifie alors que, pour k 6= m,

Z 2 0 sin(kπx) sin(mπx) dx = 0 et Z 2 0 sin2(kπx) dx = 1 . On en tire, pour tout k ∈ N∗,

bk =

Z 2

0

˜

f (x) sin(kπx) dx . Pour tout (x, t) ∈ R × R+, on pose donc :

Ψ(x, t) = +∞ X k=1 Z 2 0 ˜ f (y) sin(kπy) dy sin(kπx)e−k2π2t. La fonction Ψ satisfait `a (i), (ii), (iii) et appartient `aE .

1.2. Unicit´e. Supposons que Ψ1 et Ψ2 soient solutions du probl`eme et introduisons, pour tout

t ≥ 0,

δ(t) = Z 1

0

|Ψ1(x, t) − Ψ2(x, t)|2dx .

Par le théorème relatif aux intégrales de fonctions continues à paramètres, on sait que δ est continue sur [0, +∞[. En fait, elle est même de classeC1 _{sur ]0, +∞[ et, pour tout t > 0,}

δ0(t) = 2 Z 1 0 (Ψ1− Ψ2)(∂tΨ1− ∂tΨ2) dx = 2 Z 1 0 (Ψ1− Ψ2)∂x2(Ψ1− Ψ2) dx .

Pour tout t > 0, on peut int´egrer par parties et on trouve : δ0(t) = −2

Z 2

0

|∂x(Ψ1− Ψ2)|2dx ≤ 0 .

La fonction δ est donc d´ecroissante sur [0, +∞[. De plus, δ(0) = 0 et donc δ(t) = 0 pour tout t ≥ 0. Il s’ensuit que, pour tout t ≥ 0 et tout x ∈ [0, 1],

Ψ1(x, t) = Ψ2(x, t) .

(5)

2. PROPRIET´ ES HILBERTIENNES´

Soit T > 0. Introduisons

H = {ψ ∈ L2

loc(R) : ∀x ∈ R : f (x + T ) = f (x)}/ ∼ ,

où ∼ est la relation d’équivalence de l’égalité presque partout pour la mesure de Lebesgue. Dans de nombreux énoncés, si la notion d’intégrale de Lebesgue n’est pas connue, H peut être remplacé par l’ensemble des fonctions continues par morceaux.

On pose, pour tout (f, g) ∈H 2_,

hf, gi = 1 T

Z T

0

f g dx . Cette quantit´e est bien d´efinie puisque

|f g| ≤ 1 2 |f |

2_{+ |g|}2_,

et que le membre de droite est une fonction int´egrable.

Proposition 2.1. h·, ·i définit un produit scalaire surH2_{. La norme associée est notée k · k.}

Proposition 2.2 (Th´eor`eme de Pythagore). Pour tout (f, g) ∈H 2 tels quehf, gi = 0, on a : kf + gk2 _{= kf k}2_{+ kgk}2_.

Proposition 2.3. (H , h·, ·i) est un espace de Hilbert. D´efinition 2.4. Pour tout n ∈ Z, on pose, pour tout x ∈ R,

en(x) = e

2iπnx T .

Lemme 2.5. La famille (en)n∈Zest orthonorm´ee.

Exercice 2.6. Montrer que les familles cos 2πn·_T

n∈N et sin 2πn·

T

n∈N∗ sont des familles

orthogonales et qu’elles sont orthogonales l’une à l’autre. On calculera la norme de chaque élément de ces familles.

2.1. Coefficients et sommes partielles de Fourier.

D´efinition 2.7 (Coefficients de Fourier). Pour tout f ∈H et n ∈ Z, on pose : cn(f ) = hf, eni = 1 T Z T 0 f (x)e−2iπnxT dx , et an(f ) = 2 T Z T 0 f (x) cos 2πnx T dx , bn(f ) = 2 T Z T 0 f (x) sin 2πnx T dx . On observe les relations :

cn(f ) + c−n(f ) = an(f ) , c−n(f ) − cn(f ) = ibn(f ) ,

ou encore :

cn(f ) =

1

2(an(f ) − ibn(f )) .

Remarque 2.8. Noter que, par périodicité, l’intervalle d’intégration peut être remplacé par n’importe quel intervalle d’amplitude T .

Lemme 2.9. On a les propri´et´es suivantes.

- Lorsque_{f est paire, on a, pour tout n ∈ Z, c}n(f ) = c−n(f ). Cela ´equivaut `a bn(f ) = 0.

(6)

- Lorsque_{f est impaire, on a, pour tout n ∈ Z, c}n(f ) = −c−n(f ). Cela ´equivaut `a an(f ) = 0.

Exemple 2.10. On prend T = 2π. On consid`ere la fonction f , 2π-p´eriodique, impaire, telle que f (x) = 1 pour tout x ∈]0, π[ et f (π) = 0.

On a c0(f ) = 0 et, pour tout n ∈ Z∗,

cn(f ) = 1 2π Z π −π f (t)e−intdt = in −1 2π −[e −int ]0_−π+ [e−int]π₀ = i(πn)−1(−1 + (−1)n) . Les coefficients d’ordre pair sont nuls. On calculera les an(f ) et les bn(f ).

Exemple 2.11. Soit α ∈ R\Z. On considère la fonction 2π-périodique fαdéfinie par : fα(x) =

cos(αx) pour tout x ∈ [−π, π[. On observe que fα est paire, continue et C1 par morceaux.

Calculons ses coefficients de Fourier. Les bnsont nuls et pour tout n ∈ N, on a :

an = 2π−1 Z π 0 cos(αt) cos(nt) dt . On peut ´ecrire 2 Z π 0

cos(αt) cos(nt) dt = 2Re Z π 0 cos(αt)eintdt = Re Z π 0 eiαteintdt + Re Z π 0 e−iαteintdt = Re e i(α+n)π _{− 1} i(α + n) + Re e i(−α+n)π_{− 1} i(−α + n) = sin(α + n)π α + n + sin(−α + n)π −α + n = 2α(−1)nsin(απ) α2_{− n}2 , de sorte que an = 2π−1α(−1)n sin(απ) α2_{− n}2 .

D´efinition 2.12 (Sommes partielles de Fourier). Soit N ∈ N. On pose SN(f )(x) =

N

X

n=−N

cn(f )en(x) .

Cela s’´ecrit aussi SN(f )(x) = a0(f ) 2 + N X n=1 an(f ) cos 2πnx T + bn(f ) sin 2πnx T . On pose EN = vect(en, −N ≤ n ≤ N ) .

Lemme 2.13. Pour tout f ∈H et pour tout N ∈ N, on a : f − SN(f ) ∈ EN⊥.

En particulier, on a :H = E_N ⊕ E⊥ ⊥ N.

(7)

2.2. Inégalité de Bessel et égalité de Parseval. Le théorème de Pythagore permet d’en déduire la proposition suivante.

Proposition 2.14 (In´egalit´e de Bessel). Pour tout f ∈H et pour tout N ∈ N, on a : kf k2 _{= kS} N(f )k2 + kf − SN(f )k2 = N X n=−N |cn(f )|2 + kf − SN(f )k2. En particulier, on a : N X n=−N |cn(f )|2 ≤ kf k2, et X n∈Z |cn(f )|2 ≤ kf k2.

Proposition 2.15. La suite (SN(f ))N ∈Nconverge. Sa somme est not´ee

P

n∈Zcn(f )en.

Nous démontrerons plus tard le théorème suivant.

Théorème 2.16. La famille (en)n∈Zest une base hilbertienne deH , c’est-à-dire, que (en)n∈Z

est orthonorm´ee et

vect(en, n ∈ Z) = H ,

cette dernière égalité étant équivalente à

vect(en, n ∈ Z)⊥= {0} .

Exercice 2.17. Démontrer l’équivalence mentionnée dans le théorème. Corollaire 2.18 ( Égalité de Parseval). Pour tout f ∈H , on a

X n∈Z cn(f )en := lim N →+∞ N X n=−N cn(f )en = f , X n∈Z |cn(f )|2 = kf k2.

En particulier, l’applicationH 3 f 7→ (cn(f ))n∈Z ∈ `2(Z) est une isom´etrie (bijective).

Démonstration. Proposons deux preuves de la première égalité. i. Utilisons la proposition 2.15 et notons

S =X

n∈Z

cn(f )en.

Pour tout ` ∈ Z, en vertu de la continuité du produit scalaire et du caractère orthonormé de la famille (en)n∈Z, on a : hS, eì = lim N →+∞ * _N X n=−N cn(f )en, e` + = c`(f ) .

Ainsi, pour tout ` ∈ Z, on a hS − f, e`i = 0. On en d´eduit que S − f ∈ vect(e`, ` ∈ Z)⊥

et donc, par le th´eor`eme 2.16, S − f = 0.

ii. Commençons par observer que, par le théorème 2.16, pour tout ε > 0 et f ∈ H , il existe P ∈ vect(en, n ∈ Z) tel que

kf − P k2 _{≤ ε .}

Par d´efinition, il existe N0 ∈ N tel que, pour tout N ≥ N0,

P ∈ EN0 ⊂ EN. 7

(8)

Par le lemme 2.13 et le th´eor`eme de Pythagore, on a, pour tout N ≥ N0, kf − P k2 = k f − SN(f ) | {z } ∈E⊥ N k2+ k SN(f ) − P | {z } ∈EN k2 ≥ kf − SN(f )k2.

La conclusion s’ensuit. Noter que cette deuxième preuve évite l’utilisation de la conver-gence a priori de (SN(f ))N ∈N et la démontre.

La deuxième égalité est une conséquence de la première et de la proposition 2.14. Remarque 2.19. Lorsque f est à valeurs réelles, nous pouvons également écrire

1 4|a0(f )| 2₊ 1 2 X n∈N∗ |an(f )|2 + |bn(f )|2 = kf k2. En effet, on a toujours X n∈Z |cn(f )|2 = |c0(f )|2+ X n∈N∗ |cn(f )|2+ X n∈N∗ |c−n(f )|2,

et, comme f est `a valeurs r´eelles,

|cn(f )| = |c−n(f )| , et |cn(f )|2 = 1 4 |an(f )| 2_{+ |b} n(f )|2 .

Exemple 2.20. Reprenons l’exemple 2.10. On a, au sens de la norme deH , f (·) = iπ−1 X

n∈Z∗

n−1(−1 + (−1)n)ein·. De plus, l’´egalit´e de Parseval fournit

kf k2 _{= π}−2 X n∈Z∗ n−2| − 1 + (−1)n_|2_. On a : kf k2 _{= 1 ,} de sorte que X k∈Z (2k + 1)−2 = π 2 4 . Comme X k∈Z∗ k−2 = X k∈Z∗ (2k)−2+X k∈Z (2k + 1)−2, il s’ensuit X k∈Z∗ k−2 = π 2 3 , et donc X k∈N∗ k−2 = π 2 6 . 8

(9)

2.3. Régularité et décroissance des coefficients de Fourier. Grâce à l’inégalité de Bessel, on peut voir que, pour tout f ∈H ,

lim

|n|→+∞cn(f ) = 0 .

Cela peut aussi ˆetre d´eduit directement du lemme suivant. Lemme 2.21 (Riemann-Lebesgue). Soit f ∈ L1_{(R). Alors}

lim

n→+∞

Z

R

f (x)einxdx = 0 .

Démonstration. Un résultat classique de densité est que C₀1(R) est dense dans L1_{(R). Soit}

ε > 0. Il existe g ∈C1

0(R) telle que

kf − gkL1_(R)≤

ε 2. On en tire, via l’in´egalit´e triangulaire,

Z R f (x)einxdx − Z R g(x)einxdx ≤ ε 2. De plus, par int´egration par parties, pour tout n ∈ N∗,

Z R g(x)einxdx = − 1 in Z R g0(x)einxdx , et donc, il existe N ∈ N tel que, pour tout n ≥ N ,

Z R g(x)einxdx ≤ ε 2, de sorte que Z R f (x)einxdx ≤ ε . Par int´egration par parties successives et le lemme de Riemann-Lebesgue, on en d´eduit la proposition suivante.

Proposition 2.22. Soit k ∈ N∗. Soitf une fonction de classeCk _et_{T -p´eriodique. Alors, pour}

tout_{j ∈ {1, . . . , k} et tout n ∈ Z}∗, cn(f ) = (−1)j 2iπn T jcn(f (j)_{) .} En particulier, cn(f ) = o(|n|−k) .

Nous disposons d’une r´eciproque partielle.

Proposition 2.23. Soit ε > 0 et k ∈ N. Soit f ∈ H telle que cn(f ) =O(|n|−k−1−ε) .

Alorsf est de classeCk_.

(10)

Démonstration. L’hypothèse implique, par comparaison à une série de Riemann, que X

n∈Z

|cn(f )| < +∞ .

On en d´eduit, par convergence normale, que (SN(f ))N ∈N converge uniform´ement vers une

fonction continue S. Or, en vertu du corollaire 2.18, (SN(f ))N ∈N converge vers f pour k · k.

De plus, on a : kSN(f ) − Sk2 = 1 T Z T 0 |SN(f )(t) − S(t)|2dt ≤ kSN(f ) − Sk2∞, si bien que lim N →+∞kSN(f ) − Sk = 0 .

On en tire S = f . En particulier, f est continue.

Pour tout j ∈ {1, . . . , k} et pour tout N ∈ N et x ∈ R, on a SN(f )(j)(x) = N X n=−N 2inπ T j cn(f )e 2inπx T .

Par hypothèse, on déduit que cette dernière série est normalement convergente puisque : 2inπ T j cn(f )e 2inπx T = 2inπ T j cn(f ) =O(|n|−1−ε) .

On en déduit que la suite (SN(f )(j))N ∈N est uniformément convergente. On en déduit que f est

de classeCket que, pour tout x ∈ R et j ∈ {0, . . . , k}, f(j)(x) =X n∈Z 2inπ T j cn(f )e 2inπx T . Proposition 2.24. Soit f de classe C1 etT -p´eriodique. Alors (cn(f ))n∈Z ∈ `1(Z) et la s´erie

de Fourier def converge normalement vers f . D´emonstration. On a, pour tout n ∈ Z∗,

cn(f ) = − 1 incn(f 0 ) , si bien que 2|cn(f )| ≤ 1 n2 + |cn(f 0 )|2.

Par convergence d’une série de Riemann et l’inégalité de Bessel, on en déduit immédiatement (cn(f ))n∈Z ∈ `1(Z). On procède ensuite comme dans la preuve de la proposition 2.23.

Remarque 2.25. On peut remplacerC1 _par_{continue et}_C1 _{par morceaux}_.

Exemple 2.26. On peut appliquer cette proposition pour r´epondre positivement `a la question (1.2).

Exemple 2.27. Reprenons l’exemple 2.11. On rappelle que dans ce cas bn = 0 et

an = 2π−1α(−1)n

sin(απ) α2_{− n}2 .

(11)

On retrouve bien que (cn)n∈Z ∈ `1(Z). On a, pour tout x ∈ [−π, π], cos(αx) = sin(απ) απ + 2π −1 α X n∈N∗ (−1)nsin(απ) α2_{− n}2cos(nx) .

En prenant x = π, on a, pour tout α ∈ R \ Z,

π cot(απ) = α−1+ X

n∈N∗

2α α2_{− n}2.

Il s’ensuit que, pour tout u ∈ R \ (πZ), cot u − 1 u = X n∈N∗ 2u u2_{− n}2_π2 .

Par prolongement par continuit´e en 0, on peut ´ecrire, pour tout u ∈] − π, π[, cot u − 1 u = X n∈N∗ 2u u2_{− n}2_π2 .

La s´erie ´etant normalement convergente sur tout intervalle compact contenu dans ] − π, π[, on en tire ln sin x x = Z x 0 cot u − 1 u du = X n∈N∗ ln 1 − x 2 n2_π2 .

En passant à l’exponentielle, on en déduit le développement en produit eulérien du sinus : ∀x ∈] − π, π[ , sin x = x +∞ Y n=1 1 − x 2 n2_π2 .

3. THEOR´ EME DE` DIRICHLET

3.1. Énoncé et preuve. 3.1.1. Énoncé.

Théorème 3.1 (Dirichlet). Soit f une fonction continue par morceaux et T -périodique. Soit x ∈ R. On pose

f (x±) = lim

t→x±f (t) ,

et on suppose qu’il existeη > 0 tel que Z η 0 |f (x±_{) − f (x ± t)|} t dt < +∞ . Alors lim N →+∞SN(f )(x) = f (x+_{) + f (x}−₎ 2 .

Remarque 3.2. Il se peut que la s´erie de Fourier de f ne converge pas simplement vers f .

(12)

3.1.2. Pr´eliminaires. Soit N ∈ N et T > 0. On pose DN,T(x) = N X k=−N e2iπkxT .

On peut observer que

(3.1) 1

T Z T

0

DN,T(t) dt = 1 .

Lemme 3.3. On a, pour tout x ∈ R, SN(f )(x) = 1 T Z T 0 f (t)DN,T(x − t) dt = 1 T Z T 0 f (x − t)DN,T(t) dt .

Lemme 3.4. Soit N ∈ N et T > 0. Alors, pour tout x ∈ R \ (T Z), DN,T(x) = sin N +1₂2πx_T sin πx_T . D´emonstration. Soit α ∈ R \ (2πZ). On a N X k=−N eikα = 1 + 2Re N X k=1 eikα ! = 1 + 2Re eiα1 − e iN α 1 − eiα . Il vient N X k=−N eikα = 1 + 2Re eiα(N +1)/2e −iN α/2_{− e}iN α/2 e−iα/2_{− e}iα/2 = 1 + 2 cos (α(N + 1)/2))sin(N α/2) sin(α/2)

= 1 + 2 (cos(αN/2) cos(α/2) − sin(αN/2) sin(α/2))sin(N α/2) sin(α/2) = cos(αN ) +sin(αN ) cos(α/2)

sin(α/2) =

cos(αN ) sin(α/2) + sin(αN ) cos(α/2) sin(α/2)

= sin(N + 1/2)α sin(α/2) .

3.1.3. Preuve. Nous pouvons maintenant prouver le th´eor`eme. Soit x ∈ R. On examine

SN(f )(x) = 1 T Z T /2 −T /2 f (x − t)DN,T(t) dt = 1 T Z 0 −T /2 f (x − t)DN,T(t) dt + 1 T Z T /2 0 f (x − t)DN,T(t) dt = 1 T Z T /2 0 f (x + t)DN,T(t) dt + 1 T Z T /2 0 f (x − t)DN,T(t) dt . 12

(13)

Par parit´e de DN,T et (3.1), on en tire SN(f )(x) − f (x+_{) + f (x}−₎ 2 = 1 T Z T /2 0 (f (x + t) − f (x+))DN,T(t) dt + 1 T Z T /2 0 (f (x − t) − f (x−))DN,T(t) dt .

Montrons que les deux intégrales du membre de droite tendent vers 0. Considérons seulement la première, la seconde se traitant de façon similaire. On écrit

Z T /2 0 (f (x + t) − f (x+))DN,T(t) dt = Z η 0 (f (x + t) − f (x+))DN,T(t) dt + Z T /2 η (f (x + t) − f (x+))DN,T(t) dt . On a, par le lemme 3.4, Z T /2 η (f (x + t) − f (x+))DN,T(t) dt = Z T /2 η f (x + t) − f (x+₎ sin πt_T sin N +1 2 2πt T dt . Consid´erant la fonction continue par morceaux et `a support compact (qui est donc dans L1_{(R)) :}

t 7→ f (x + t) − f (x

+₎

sin πt_T 1[η,T2](t)

et le lemme 2.21, on en déduit que lim N →+∞ Z T /2 η (f (x + t) − f (x+))DN,T(t) dt = 0 . Par le lemme 3.4, Z η 0 (f (x + t) − f (x+))DN,T(t) dt = Z η 0 f (x + t) − f (x+) sin πt_T sin N + 1 2 2πt T dt . Considérant la fonction appartenant à L1(R) (par hypothèse)4:

t 7→ f (x + t) − f (x

+₎

sin πt_T 1[0,η](t) et le lemme 2.21, on en d´eduit que

lim

N →+∞

Z η

0

(f (x + t) − f (x+))DN,T(t) dt = 0 .

Cela achève la preuve du théorème de Dirichlet.

3.2. Exemple. Reprenons l’Exemple 2.10. On peut clairement appliquer le théorème de Diri-chlet. Pour tout x ∈]0, π[, la série suivante est convergente et

X

n∈Z∗

i(πn)−1(−1 + (−1)n)einx= 1 . Pour x = 0 ou x = π, on a aussi convergence et

X

n∈Z∗

i(πn)−1(−1 + (−1)n)einx= 0 .

4. Noter que cette fonction n’est pas n´ecessairement continue par morceaux `a cause du comportement en 0.

(14)

Si en x = π, on choisit une autre valeur que 0 pour f , on voit que f n’est pas la somme de sa s´erie de Fourier en x = π.

4. THEOR´ EME DE` FEJER´

4.1. Énoncé et preuve. 4.1.1. Énoncé.

Théorème 4.1 (Fejér). Soit f continue et T -périodique. Soit M ∈ N. Pour tout x ∈ R, on pose : σM(f )(x) = 1 M + 1 M X m=0 Sm(f )(x) .

Alors,σM(f ) converge uniform´ement vers f sur R.

4.1.2. Pr´eliminaires. Soit M ∈ N et T > 0. Pour tout x ∈ R, on pose : FM,T(x) = 1 M + 1 M X m=0 Dm,T(x) . Noter que (4.1) 1 T Z T 0 FM,T(t) dt = 1 .

Grˆace au lemme 3.3, on d´eduit le lemme suivant. Lemme 4.2. On a : σM(f )(x) = 1 T Z T 0 f (x − t)FM,T(t) dt .

Lemme 4.3. Soit M ∈ N et T > 0. Pour tout x ∈ R \ (T Z), on a : FM,T(x) =

1 M + 1

sin2((M + 1)πx/T ) sin2(πx/T ) . D´emonstration. Soit α ∈ R \ (2πZ). On a montr´e au lemme 3.4 que :

m X k=−m eikα = sin((m + 1/2)α) sin(α/2) . On a M X m=0 sin((m + 1/2)α) sin(α/2) = 1 sin(α/2)Im e iα/2 M X m=0 eimα ! = 1 sin(α/2)Im ei(M +1)α/2sin((M + 1)α/2) sin(α/2) = sin 2_{((M + 1)α/2)} sin2(α/2) . 14

(15)

4.1.3. Preuve. Soit ε > 0. Pour tout x ∈ [−T /2, T /2] et M ∈ N, on a : σM(f )(x) − f (x) = 1 T Z T /2 −T /2 (f (x − t) − f (x))FM,T(t) dt .

La fonction f est continue sur le compact [−T, T ] ; elle y est donc uniformément continue par le théorème de Heine. Il existe η ∈]0, T /2] tel que, pour tout (y, z) ∈ [−T, T ] tel que |y − z| ≤ η, on a

|f (y) − f (z)| ≤ ε 2.

1 T Z η≤|t|≤T /2 (f (x − t) − f (x))FM,T(t) dt ≤ 2kf k∞ T (M + 1) Z η≤|t|≤T /2 sin2((M + 1)πt/T ) sin2(πt/T ) dt ≤ 2kf k∞ (M + 1) sin2(πη/T ). Pour M assez grand, on a donc :

1 T Z η≤|t|≤T /2 (f (x − t) − f (x))FM,T(t) dt ≤ ε 2,

et ainsi, par l’in´egalit´e triangulaire, pour M assez grand et pour tout x ∈ [−T /2, T /2], |σM(f )(x) − f (x)| ≤ ε .

4.2. Applications.

4.2.1. Preuve du théorème 2.16. Soit f ∈ H et ε > 0. Par densité, il existe g ∈ C₀0(]0, T [) telle que 1 √ Tkf − gkL 2_{(]0,T [)} ≤ ε 2. On étend g par T -périodicité. Cette extension est continue.

On observe que, pour tout M ∈ N, σM(g) ∈ vect(en, n ∈ Z). De plus,

kσM(g) − gk2 = 1 T Z T 0 |σM(g)(t) − g(t)|2dt ≤ kσM(g) − gk2∞, si bien que lim M →+∞kσM(g) − gk = 0 .

Pour M assez grand, on en d´eduit

kσM(g) − gk ≤

ε 2, et donc, par l’in´egalit´e triangulaire,

kf − σM(g)k ≤ ε .

(16)

4.2.2. Un corollaire du théorème de Fejér. En utilisant le lemme de Cesàro et le théorème de Fejér, on en déduit la proposition suivante.

Proposition 4.4. Soit f une fonction continue et T -p´eriodique. Soit x ∈ R. Si la s´erie de Fourier(SN(f )(x))N ∈Nconverge, elle converge versf (x).

5. VERS LA TRANSFORMATION DE FOURIER

5.1. Des séries de Fourier à la transformée de Fourier.

Proposition 5.1. Soit f ∈C₀∞_{(R). On suppose que f est nulle hors de [−A, A] et on considère} T > A. f peut être vue comme une fonction T -périodique. Pour tout ξ ∈ R, on pose :

gT(ξ) = T X n∈Z cn(f )1[n,n+1[ T ξ 2π . On a, uniform´ement en ξ, lim T →+∞gT(ξ) = Z R f (x)e−ixξdx .

D´emonstration. Soit ξ ∈ R. Il existe un unique nξ,T ∈ Z tel que 1[n,n+1[ T ξ_2π = 1. On a

gT(ξ) = T cnξ,T(f ) = Z [−A,A] f (t)e−2iπnξ,T xT dx . On en déduit que gT(ξ) − Z [−A,A] f (t)e−ixξdx ≤ 2Akf k∞ sup x∈[−A,A] |e−2iπnξ,T xT − e−ixξ| = 2Akf k∞ sup x∈[−A,A] |e−i2πT(nξ,T−T ξ2π)x− 1| ≤ C(f )T−1. Définition 5.2 (Transformation de Fourier). Soit f ∈ L1_{(R). Pour tout ξ ∈ R, on définit}

b f (ξ) =

Z

R

f (x)e−ixξdx .

Proposition 5.3. Soit f ∈ C₀∞_{(R). Alors, b}f ∈ C∞_{(R) et, pour tout k ∈ N et ` ∈ N, ξ 7→} ξkfb(`)(ξ) est born´ee. En particulier bf ∈ L1(R).

Démonstration. C’est une conséquence du théorème de dérivation sous le signeR d’une part

et d’int´egrations par parties d’autre part.

5.2. Transform´ee de Fourier inverse.

Proposition 5.4. Soit f ∈C₀∞_{(R). Pour tout x ∈ R, on a :} f (x) = 1 2π Z R b f (ξ)eixξdξ .

Démonstration. On suppose que f est nulle hors de [−A, A] et on considère T > A. f peut être vue comme une fonction T -périodique. Par la proposition 2.24, pour tout x ∈ R, on a

f (x) =X n∈Z cn(f )e 2iπnx T = 1 2π X n∈Z 2π T e 2iπnx T Z R f (t)e−2iπntT dt . 16

(17)

Pour tout n ∈ Z, on pose ξn,T = 2πn_T . On remarque que (5.1) f (x) = 1 2π X n∈Z (ξn+1,T − ξn,T)gx(ξn,T) , gx(ξ) = bf (ξ)eiξx.

On ´ecrit alors, pour tout N ∈ N∗, X n∈Z (ξn+1,T − ξn,T)gx(ξn,T) − Z R gx(ξ) dξ = N X n=−N Z ξn+1,T ξn,T (gx(ξn,T) − gx(ξ)) dξ − Z ξ≥ξN +1,T gx(ξ) dξ − Z ξ≤ξ−N,T gx(ξ) dξ + 2π X |n|≥N +1 cn(f )e 2iπnx T .

On en déduit, par la proposition 5.3 et comparaison à une intégrale de Riemann, que, pour tout α ≥ 1, il existe Cα(x) tel que

Z ξ≥ξN +1,T gx(ξ) dξ + Z ξ≤ξ−N,T gx(ξ) dξ − 2π X |n|≥N +1 cn(f )e 2iπnx T ≤ Cα(x) Tα Nα+ X |n|≥N |cn(f )| .

De plus, on peut appliquer la proposition 2.22 et une comparaison `a une s´erie de Riemann pour trouver que X |n|≥N |cn(f )| ≤ ˜Cα Tα Nα .

Puisque gxest lipschitzienne, on en d´eduit que

X n∈Z (ξn+1,T − ξn,T)gx(ξn,T) − Z R gx(ξ) dξ ≤ Cα(x) Tα Nα + ˜Cα Tα Nα + N X n=−N Cx Z ξn+1,T ξn,T (ξ − ξn,T) dξ . Ainsi, on a X n∈Z (ξn+1,T − ξn,T)gx(ξn,T) − Z R gx(ξ) dξ ≤ ˜Cα(x) Tα Nα + N T2 .

On choisit alors N = bT c32. Il n’y a plus qu’`a faire tendre T vers +∞ en rappelant (5.1).