#13 Fiabilité

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13. Introduction `

a la fiabilit´

e

MTH2302D

S. Le Digabel, ´Ecole Polytechnique de Montr´eal

A2017

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Plan

1. Introduction

2. Taux de panne

3. Distributions usuelles

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1. Introduction

2. Taux de panne 3. Distributions usuelles 4. Fiabilit´e des syst`emes

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La théorie de la fiabilité sert à étudier l’aptitude de systèmes à fonctionner correctement durant une période donnée. Un dispositif peut se trouver dans l’un des deux états suivants :

I Apte à fonctionner correctement, c’est-à-dire en état de service.

I Inapte `a fonctionner correctement, c’est-`a-dire en panne ou hors-service.

Nous posons les hypoth`eses suivantes :

I Au d´epart, chaque dispositif est en ´etat de service.

I Les défaillances se produisent généralement de fa¸con aléatoire. Nous définissons la fiabilité d’un dispositif pour une durée donnée comme étant la probabilité qu’aucune défaillance ne se produise pendant cette durée.

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I Etant donn´´ e que les défaillances se produisent de fa¸con aléatoire, et afin de pouvoir traiter le concept de fiabilité, nous associons à chaque dispositif une v.a. non négative T

représentant la durée de vie (ou temps jusqu’à une panne) du dispositif.

I La fiabilité du dispositif à l’instant t ≥ 0 est la probabilité qu’il fonctionne encore à l’instant t :

R(t) = P (T > t) = 1 − FT(t) ∈ [0; 1] .

I Comme FT est une fonction croissante, la fiabilit´e R(T ) est

une fonction d´ecroissante.

I R(0) = 1 et lim

t→+∞R(t) = 0.

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I La v.a. T est g´en´eralement continue, mais elle peut parfois ˆ

etre discrète, par exemple si elle représente le nombres de cycles d’opération.

I Si T est continue, on note f sa densit´e, et si elle est discr`ete, on note p sa fonction de masse : P (T = t) = p(t) ∈ [0; 1].

I f (t) = F_T0(t) = −R0(t) ≥ 0.

I La dur´ee de vie moyenne, ou Mean Time To Failure (MTTF), est donn´ee par τ = E(T ).

I Si le système peut être réparé, on note :

I Mean Time Between Failures (MTBF) : temps moyen entre

deux pannes.

I Mean Time To Repair (MTTR) : temps moyen de r´eparation.

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I Cas discret : I R(t) = P (T > t) = ∞ P i=t+1 p(i) = 1 − FT(t) = 1 − t P i=0 p(i). I _{τ = E(T ) =} ∞ P i=0 ip(i) = nouveau ∞ P i=0 R(i). I Cas continu : I R(t) = P (T > t) = ∞ R t f (s)ds = 1 − FT(t) = 1 − t R 0 f (s)ds. I τ = E(T ) = ∞ R 0 tf (t)dt = nouveau ∞ R 0 R(t)dt.

Exemple 1 : Prouver que τ =

∞

P

i=0

R(i).

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1. Introduction

2. Taux de panne

3. Distributions usuelles 4. Fiabilit´e des syst`emes

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Taux de panne (ou taux de d´

efaillance)

I Le taux de panne r(t) est défini pour que la quantité r(t)dt représente la probabilité qu’une machine fonctionnant encore après t unités de temps tombe en panne durant les dt unités de temps supplémentaires. On considère que dt est petit.

I r(t)dt = P (t < T ≤ t + dt|T > t).

I Le taux de panne est un bon indicateur de la valeur de la distribution comme modèle de fiabilité tenant compte de l’usure. Lorsque t est assez grand, r devrait être strictement croissante.

I Si T est discr`ete, 0 ≤ r(k) ≤ 1 et

r(k) = P∞p(k)

j=kp(j)

= p(k)

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Taux de panne : cas continu

I r(t)dt ' f (t)dt R(t) et comme f (t) = −R 0_{(t), on a} r(t) = −R 0_(t) R(t) ≥ 0 .

I On peut en d´eduire que R(t) = exp − t R 0 r(x)dx .

Exemple 3 : Exprimer le taux de panne r(t) si T ∼ Exp(λ) et si T ∼ Geom(p).

Exemple 4 : Trouver R(t), τ et r(t) si T ∼ Unif(a, b) avec a ≥ 0. Exemple 5 : Prouver que R(t) = exp

− t R 0 r(x)dx .

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Taux de panne dans un intervalle

Le taux de panne d’un syst`eme dans un intervalle ]t1; t2] est d´efini

par F R(t1, t2) = P (t1 < T ≤ t2|T > t1) ∆t = 1 ∆t R(t1) − R(t2) R(t1) avec ∆t = t2− t1 et 0 ≤ t1 < t2.

Si ∆t devient tr`es petit : lim

∆t↓0F R(t1, t2) = r(t1).

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Taux moyen de panne

Le taux moyen de panne d’un syst`eme dans un intervalle ]t1; t2] est

d´efini par AF R(t1, t2) = 1 ∆t t2 Z t1 r(t)dt = 1 ∆t[ln(R(t1)) − ln(R(t2))] . si T ∼ Exp(λ), AF R(t1, t2) = λ.

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1. Introduction 2. Taux de panne

3. Distributions usuelles

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Distributions usuelles : loi normale tronqu´

ee

I T ∼ N+(µ, σ). I fT(t) = 1 √ 2πσcexp −(t − µ) 2 2σ2 pour t ≥ 0 et c = (1 − Φ(−µ/σ))−1.

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Distributions usuelles : loi exponentielle

Très utilisée mais peu réaliste à cause de son taux de panne constant. Elle est cependant souvent acceptable à condition de la considérer dans un intervalle de temps [t1; t2] fini.

I T ∼ Exp(λ) avec λ > 0. I f (t) = λe−λt. I R(t) = e−λt. I r(t) = λ (constante). I E(T ) = τ = 1/λ. I F R(t1, t2) = 1 − e−λ(t2−t1) t2− t1 . I AF R(t1, t2) = λ.

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Distributions usuelles : loi de Weibull

I T ∼ W(λ, β) avec λ > 0 et β > 0. I f (t) = λβtβ−1exp(−λtβ) pour t > 0. I W(λ, β = 1) = Exp(λ). I R(t) = exp(−λtβ). I r(t) = λβtβ−1.

I r est croissante (IFR – Increasing Failure Rate) si β > 1 et d´ecroissante (DFR – Decreasing Failure Rate) si β < 1. Si β = 1, r est constante (distribution exponentielle).

I F R(t1, t2) = 1 t2− t1 1 − exp(−λ(tβ₂ − tβ₁)) . I AF R(t1, t2) = λ(tβ₂ − tβ₁) t2− t1 .

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Distribution de Weibull mixte

I Motivation : dans de nombreuses situations réelles, le taux de panne devrait d’abord décroˆıtre, puis stagner un certain temps, et enfin augmenter. Ces trois phases correspondent aux pannes précoces, aux pannes aléatoires, puis à l’usure : r adopte une forme de baignoire.

I On adopte la combinaison lin´eaire suivante : T = c1T1+ c2T2+ c3T3

avec Ti ∼ W(λ, βi) et ci> 0 pour i ∈ {1, 2, 3}, et

c1+ c2+ c3= 1.

I Pour obtenir une baignoire, on prend β1 < 1, β2= 1 (et donc

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Fiabilit´

e des syst`

emes

I On s’intéresse à un ensemble de n composants ou sous-systèmes, montés en série ou en parallèle.

I On consid`ere que les composants fonctionnent et tombent en panne de fa¸con ind´ependante.

I On considère qu’un système ne peut être réparé.

I On s’intéresse donc au temps écoulé avant la première panne.

I Soient Tk la dur´ee de vie du composant k, Rk sa fiabilit´e, et

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Montages en s´

erie

I La dur´ee de vie T du syst`eme est telle que

T > t ⇐⇒ Tk> t pour tout k ∈ {1, 2, . . . , n}. I Donc R(t) = P (T > t) = P (T1 > t ∩ T2> t ∩ . . . ∩ Tn> t) = ind n Q k=1 P (Tk> t) = n Q k=1 Rk(t) = cas cont. n Q k=1 exp − t R 0 rk(x)dx et donc R(t) = exp  − t Z 0 " _n X k=1 rk(x) # dx  . I On note T = minT₁, T2, . . . , Tn .

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Montages en s´

erie (suite)

Si Tk∼ Exp(λk) pour tout k ∈ {1, 2, . . . , n}, alors :

I T = minT₁, T2, . . . , Tn ∼ Exp(λ) avec λ = Pnk=1λk.

I R(t) = e−λt.

I r(t) = λ.

I E(T ) = 1/λ.

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Exemple 8

Soit un montage en série de trois dispositifs qui fonctionnent et tombent en panne indépendamment. La distribution du temps de fonctionnement avant défaillance de chaque dispositif est

exponentielle avec les taux de pannes r1= 3 × 10−2,

r2 = 6 × 10−3, et r3 = 4 × 10−2. 1. Trouver R(60) pour ce syst`eme.

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Montages en parall`

ele

On consid`ere deux modes diff´erents :

I Redondance active : tous les composants fonctionnent d`es le temps t = 0. Il suffit qu’au moins un composant fonctionne pour que le syst`eme au complet fonctionne.

I Redondance passive : Seul le premier composant est mis en marche à t = 0. Une fois en panne, le deuxième composant prend le relai et ainsi de suite. Le système au complet tombe en panne quand le n-ième composant tombe en panne.

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Montages en parall`

ele : redondance active

I La dur´ee de vie T du syst`eme est telle que

T ≤ t ⇐⇒ Tk≤ t pour tout k ∈ {1, 2, . . . , n}. I Donc FT(t) = P (T ≤ t) = P (T1 ≤ t ∩ T2 ≤ t ∩ . . . ∩ Tn≤ t) = ind n Q k=1 P (Tk≤ t) = n Q k=1 1 − Rk(t). I Ainsi R(t) = 1 − n Y k=1 (1 − Rk(t)). I On note T = maxT₁, T2, . . . , Tn .

Exemple 9 : Exprimer R(t), f (t), et τ = E(T ) si n = 2, T1 ∼ Exp(λ1), et T2 ∼ Exp(λ2). Si λ1 = λ2, comparer τ avec le

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Montages en parall`

ele : redondance passive

I La dur´ee de vie T du syst`eme est

T = T1+ T2+ . . . + Tn. I τ = E(T ) = n P k=1 E(Tk). I V(T ) = ind n P k=1 V(Tk).

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Redondance passive avec des lois exponentielles

Si Tk∼ Exp(λ) pour tout k ∈ {1, 2, . . . , n} :

I T ∼ Γ(α = n, λ) (loi Gamma).

I R(t) = FY(n − 1) avec Y ∼ Poi(c = λt), et donc

R(t) = e−λt n−1 X k=0 (λt)k k! .

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Syst`

eme k parmi n

Le syst`eme au complet fonctionne si au moins k composants fonctionnent.

I Si k = n, c’est le montage en s´erie, et si k = 1, c’est le montage parall`ele avec redondance active.

I Si les composants sont indépendants et s’ils ont tous la même fiabilité R1, alors R(t) = P (N ≥ k) avec N ∼ B(n, p = R1(t)), ou encore R(t) = 1 − k−1 X i=0 n i R1(t)i(1 − R1(t))n−i.

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Exemple 10

Soit p(k) = 1/N pour k = 1, 2, . . . , N la fonction de masse pour la dur´ee de vie en cycles d’un syst`eme particulier. Calculer le taux de panne r(k) pour k = 1, 2, . . . , N .

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Exemple 11

Un système comporte deux composants qui fonctionnent indépendamment l’un de l’autre, à partir de l’instant initial. On suppose que les durées de vie en cycles X1 et X2 des deux

composants présentent une distribution géométrique de paramètre 1/2. Trouver la probabilité que les deux composants tombent en panne durant le même cycle.

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Exemple 12

On considère quatre composants indépendants ayant une durée de vie présentant une distribution exponentielle, l’espérance de la durée de vie du k-ième composant étant égale à 1/k.

Les composants sont utilis´es pour construire le syst`eme ci-dessous :