L27 [V2-VàC] – Droites du plan

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Droites du plan

27

Prérequis notion de fonctions, vocabulaire de la droite (parallélisme, perpendiculaire, sé-cantes), vecteurs, équations cartésiennes, équations paramétrique.

Références [87], [88], [89], [90]

Dans cette leçon, on se donne un repère orthonormé(O, #»ı, #») dans le plan. Chaque droite du plan est caractérisée par une relation algébrique entre l’abscisse et l’ordonnée de ses points : c’est l’équation cartésienne de la droite.

27.1

Généralités sur les droites

27.1.1 Une définition

Définition 27.1 _{Soit A ∈ P et #»}u un vecteur non nul. L’ensemble :

D(A,#»

u) =nM ∈ P, ∃λ ∈ R, AM# »= λ#»uo

est appelé droite passant par A et de vecteur directeur #»u.

Proposition 27.2 _{Soit D(A, #»}u une droite du plan, B ∈ P et #»v un vecteur non nul.

D(A,#»u) = D(B, #»v) si et seulement si B ∈ D(A#»u) et #»v colinéaire à #»u. Conséquence 27.3 #»

u et #»v _{ne sont pas colinéaires si et seulement si D(A, #»}u) et D(A0,#»

v) sont

sécantes en un unique point.

27.2

Droites parallèles à un axe

27.2.1 Parallèle à l’axe des ordonnées

Définition 27.4 Une droite parallèle à l’axe des ordonnées possède une équation de la forme x= k où k est un nombre qui mesure l’écart algébrique de la droite par rapport à l’axe des ordonnées. On dit parfois qu’une telle droite est verticale.

27.2.2 Droite parallèle à l’axe des abscisses

Définition 27.5 Une droite parallèle à l’axe des abscisses possède une équation de la forme y = k

où k est un nombre qui mesure l’écart algébrique de la droite par rapport à l’axe des abscisses. On dit parfois qu’une telle droite est horizontale.

27.3

Equation d’une droite

Définition 27.6 — Equation cartésienne d’une droite. Si une droite est non parallèle à l’un des axes de coordonnées, alors l’équation de cette droite est de la forme ax+ b. C’est une droite oblique.

−4 −3 −2 −1 1 2 3 −4 −3 −2 −1 1 2 3 0 x= 1 x= −2

FIGURE27.1 – Deux droites d’équations x= 1 et x = −2

−4 −3 −2 −1 1 2 3 −4 −3 −2 −1 1 2 3 0 y= 1 y= −2

27.3 Equation d’une droite 11

Exemple 27.7 Soit la droite tracée en figure27.4. On cherche l’équation de cette droite de la forme

y = ax+b. Cette droite passe par les points de coordonnées A(0, 1) et B(1/2, 0). Ainsi, on est amené

à résoudre le système d’équations suivant :

( b= 1 1 2a+ b = 0 ⇔ ( b= 1 a+ 2 = 0 ⇔ ( b= 1 a= −2

d’où l’équation de la droite est y= −2x + 1. 

−4 −3 −2 −1 1 2 3 −4 −3 −2 −1 1 2 3 0 2x + y = 1 A B

FIGURE27.3 – Droite d’équation y= −2x + 1

R 27.8 D’une façon générale, la recherche de l’équation d’une droite sous la forme y = ax + b conduit à un système de deux équations à deux inconnues a et b.

Exemple 27.9 Résoudre, par différentes méthodes, le système d’équations suivant :

(

x+ 2y = 9 x_{− 3y = 5}



Dv

On résout le système d’équations par les différentes méthodes décrites plus en haut :

Par substitution On peut exprimer x en fonction de y dans la première équation du système :

x+ 2y = 9 x= 9 − 2y

On remplace alors x par cette valeur «9 − 2y » dans la deuxième égalité : x− 3y = 5 x= 5 + 3y 9 − 2y = 5 + 3y 4 = 5y y= 4 5

On remplace enfin y par sa valeur dans une des égalités pour trouver x :

x= 9 − 2y = 9 − 2 ×4

5 = 9 −85 = 375 .

Par comparaison On exprime, par exemple, x dans chaque égalité en fonction de y

x= −2y + 9 (27.1)

x= 3y + 5 (27.2)

À parti de (27.1) et (27.2), on peut former une nouvelle égalité : −2y + 9 = 3y + 5

4 = 5y et on en déduit ainsi les solutions du système.

Par addition On veut « éliminer » les termes en x. Pour cela, on multiplie la seconde équation par −1 œ

−(x − 3y) = 5 −x + 3y = 5 et on ajoute la première et la seconde :

x_{− x + 2y + 3y = 9 − 5}

5y = 4 et on en déduit ainsi les solutions du système.

Graphiquement Les deux droites d’équations respectives x + 2y = 9 soit y = −1₂x+9₂ et x− 3y = 5 soit y = 1₃x−5₃ ont un point d’intersection de coordonnées x= 37

27.3 Equation d’une droite 13 2 4 6 8 10 2 4 0 A= (37/5, 4/5)

Conclusion Les solutions de ce système d’équations est le couple (37/5, 4/5).

Définition 27.10 — Ordonnée à l’origine. Si x est nul alors l’équation de la droite devient y= b (c’est une droite verticale). Le nombre b est appelé ordonnée à l’origine.

Proposition 27.11 Si une droite passe par l’origine, son ordonnée à l’origine est nulle. Son équation est de la forme y= ax.

−4 −3 −2 −1 1 2 3 −4 −3 −2 −1 1 2 3 0 A

Définition 27.12 — Coefficient directeur. Dans les équations y= ax ou y = ax + b (pour a 6= 0), le nombre a est le coefficient directeur de la droite. On l’appelle aussi la pente

Propriété 27.13 Si une droite est non parallèle à l’un des axes de coordonnées et passe par le point

A(xA, yA) et B(xB, yB), on a alors : a= yB− yA xB− xA . −4 −3 −2 −1 1 2 3 −4 −3 −2 −1 1 2 3 0 A B

FIGURE27.5 – La pente de la droite d’équation y= 3x − 1 est 3

27.4

Caractérisation de droites parallèles et perpendiculaires

27.4.1 Droites parallèles

Définition 27.14 Deux droites seront parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient direc-teur (même pente). Soient deux droites(d) : y = ax + b et (d0_{) : y = a}0_{x+ b}0_{. Ces deux droites}

sont parallèles si et seulement si a= a0_.

Droites perpendiculaires

Comme on travaille sur un repère orthonormé, les axes sont perpendiculaires et les unités sur les axes sont les mêmes. Ainsi, on peut définir la notion de perpendiculaire.

Définition 27.15 Soient(d) : ax + b et (d0_{) : y = a}0_{x+ b}0 _{sont perpendiculaires si et seulement si} aa0 = 1.

R 27.16 A noter que dans la définition précédent, il faut supposer que a 6= 0 et a0 _{6= 0, ce qui revient à dire que}

27.4 Caractérisation de droites parallèles et perpendiculaires 15 −4 −3 −2 −1 1 2 3 −4 −3 −2 −1 1 2 3 0

FIGURE27.6 – Les deux droites d’équation « y= 2x + 1 » et « y = 2x − 4 » sont parallèles

−4 −3 −2 −1 1 2 3 −4 −3 −2 −1 1 2 3 0

27.5

Autres formes d’équations de la droite

27.5.1 Equation paramétrique de la droite

Définition 27.17 — Vecteur directeur._{# »} Soit(d) une droite. Si A et B appartiennent à (d), le vecteur

ABdirige la droite : c’est un vecteur directeur.

On choisit A comme origine de (d). Pour tout point M de (d), il existe un nombre k tel que # »

AM = kAB# »; les vecteursAM# »etAB# »sont colinéaires : ils ont la même direction. En notant M(x, y)

un point quelconque de(d), on peut écrire :

(

x_{− x}A= k(xB− xA)

y− yA= k(yB− yA)

Définition 27.18 Si on note a et b les coordonnées du vecteurAB# »alors une représentation paramé-trique de la droite(AB) est de la forme :

(

x= xA+ ka

y= yA+ kb

 Exemple 27.19 Soit A(1, 4) et

# »

AB(3, −2). Les coordonnées du point M(x, y) appartenant à la

droite(AB) sont de la forme :

(

x= 1 + 3k y= 4 − 2k

Si k = 2, on obtient le point de coordonnées (7, 0) : intersection de la droite (AB) avec l’axe des

abscisses.  1 2 3 4 5 6 7 −1 1 2 3 4 0 A B M

FIGURE27.8 – Les deux droites d’équation « y= −1₂x+ 1 » et « y = 2x − 4 » sont perpendiculaires

27.6 Forme implicite, parallélisme et perpendiculaires 17

Théorème 27.20 Toute droite possède une équation cartésienne de la forme ax+ by + c = 0. On parle d’équation implicite car ni x ni y ne sont explicités l’un en fonction de l’autre.

Si une droite a pour équation cartésienne ax+ by + c = 0, un vecteur directeur est alors donné par #»v(−b, a).

27.6

Forme implicite, parallélisme et perpendiculaires

27.6.1 Déterminant

Définition 27.21 — Déterminant. Soient deux droites(d) : ax+by+c = 0 et (d0_{) = a}0_x+b0_y+c0_{= 0.}

On appelle déterminant des deux droites(d) et (d0_{) :}

det(d, d0_{) =}      a a0 b b0     = ab0+ ba0.

Propriété 27.22 Deux droites(d) : ax + by + c = 0 et (d0_{) : a}0_{x+ b}0_{y+ c}0 _{= 0 sont parallèles si et}

seulement si leur déterminant est nulle.

ax+ by + c = 0 et a0x+ b0y+ c0= 0, (d) k (d0) ⇔      a a0 b b0     = 0 ⇔ ab0− a0b= 0. 27.6.2 Droites perpendiculaires

Proposition 27.23 Soient deux droites(d) : ax + by + c = 0 et (d0_{) : ax}0_{+ by}0_{+ c}0 _{= 0. Les droites}

(d) et (d0_{) sont perpendiculaires si et seulement si aa}0_{+ bb}0 _{= 0.}

27.6.3 Distance d’un point à une droite

Définition 27.24 La distance d’un point M à une droite(D) : ax + by + c = 0 est la longueur d du

segment[MH] où H est le pied, sur la droite (D), de la perpendiculaire issue de M.

R 27.25 Les coordonnées x et y de H vérifient ax+ by + c = 0.

Proposition 27.26 Si M(x0, y0) et (d) : ax + by + c = 0. La distance d du point M à la droite (d)

est donnée par la formule suivante :

d= |ax√0+ by0+ c|

a2+ b2 ou d

2₌ (ax0+ by0+ c)2 a2+ b2 .

 Exemple 27.27 Soit A = (1, 2) et B(3, 0). On cherche la distance du point M(0, 1) à la droite

(AB). On calcule tout d’abord la forme implicite de l’équation cartésienne de la droite (AB).

( a+ b = 2 3a + b = 0 ⇔ ( a_{− 3a = 2} 3a + b = 0 ⇔ ( a= −1 3 × −1 + b = 0 ⇔ ( a= −1 b= 3

Donc l’équation cartésienne de l’équation est y = −x + 3 et sous la forme implicite y + x − 3 = 0. Ainsi :

d2 = (1 − 3) 2

12_{+ 1}2 = 4₂ = 2,

27.7

Intersection de trois droites

Théorème 27.28 Soient D et D0 _{deux droites distinctes du plan qui se coupent en A. On note :} D: ax + by + c = 0

D0: a0x+ b0y+ c0= 0

Soit∆ : αx + βy + γ = 0.

A_{∈ ∆ ⇔ ∃(λ, µ) ∈ R}2, (λ, µ) 6= (0, 0), αx + βy + γ = λ(ax + by + c) + µ(a0x+ b0y+ c0) = 0. Dv •Démonstration — (⇐) On note : f(x, y) = ax + by + c f1(x, y) = a0x+ b0y+ c0 f2(x, y) = αx + βy + γ On a : f2(x, y) = λf(x, y) + µf1(x, y). A(x0, y0) ∈ D et A ∈ D0donc : λf(x0, y0) + µf1(x0, y0) = f2(x0, y0) = 0 ⇒ λ ∈ ∆. (⇒) Comme A ∈ D et A ∈ D0_: ⇒ ( ax0+ by0+ c = 0 a0_{x0+ b}0_{y0+ c}0 _{= 0} ⇒x0+ bc 0_{− b}0_c ab0_{− ba}0 y0= ca0_{− c}0_a ab0_{− ba}0. A∈ ∆ donc αx0+ βy0+ γ = 0 ⇒ γ = αb_ab0₀− βa0 − ba0 c+ aβ_{− bα} ab0_{− ba}0 = c0.

On cherche(λ, µ) ∈ R2 _{tel que f}

2(x, y) = λf(x, y) + µf1(x, y). Cela implique que γ= λc + µc0_{. On pose :}

λ= αb0− βa0

ab0_{− ba}0 et µ=

aβ_{− bα} ab0_{− ba}0

et on vérifie les égalités :

α= λa + µa0, β= λb + µβ, γ = λc + µc0.

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