L19 [V2-VàC] – Module et argument d’un nombre complexe

(1)

9

Module et argument d’un nombre

complexe

19

Leçon

n°

Niveau Terminale S

Prérequis construction de C (rappel en première partie), partie réelle / partie imaginaire,conjugué d’un nombre complexe, affixe d’un point et d’un vecteur, congruences, fonctions trigonométriques, angles et cocyclicité, équations différentielles

Références [57], [60]

19.1 Petit rappel sur les nombres complexes

Dv

Considérons l’équation x2 = 1. Cette équation a deux solutions dans R qui sont 1 et −1. Mais si on remplace dans l’équation 1 par −1 ? On est un peu embêté car aucun nombre réel admet un carré négatif. Alors, décidons quei serait une des solutions de cette équation, c’est-à-dire que i2 _{= −1. L’équation aurait donc deux solutions (i et −i) dans un autre ensemble de nombres car} x2+ 1 = 0 équivaudrait à x2_{− i}2= 0 ou soit (x − i)(x + i) = 0.

Définition 19.1 On définit l’ensemble des complexes : C = {a + ib, a, b ∈ R} aveci2 _{= −1.}

R 19.2 On peut aussi identifier C comme R2_{, c’est-à-dire que à un point M}_{(a, b), on peut lui faire} corres-pondre un z= a + ib et vice et versa. On dira que z = a + ib est l’affixe du point M(a, b).

Définition 19.3 — Partie réelle et partie imaginaire. Soit z = a + ib ∈ C. Le réel a s’appelle la partie réelle de z et b la partie imaginaire. On note a= Re(z) et b = Im(z).

Définition 19.4 — Imaginaire pur. On dit qu’un nombre complexe est imaginaire pur si sa partie réelle est nulle (c’est-à-dire il s’écrit z = bi où b ∈ R).

Définition 19.5 — Conjugué d’un nombre complexe. Soient a et b deux nombres réels. Le nombre complexe conjugué de z= a + ib est le nombre complexe z = a − ib.

Exemple 19.6 Soit z = 9 − 4i. Son conjugué est z = 9 + 4i.

Propriétés 19.7 _{Soit z ∈ C.} 1. Re(z) = Re(z) ; 2. z+ z = 2 Re(z) ; 3. z − z = 2i Im(z) ;

4. z ∈ R si et seulement si z = z ;

(2)

Dv •Démonstration — 1. Évident. 2. Soit z= a + bi, on a : z+ z = a + bi + (a − bi) = 2a = 2 Re(z). 3. Soit z= a + bi, on a : z_{− z = a + bi − (a − bi) = 2i Im(z).}

4. z est un réel si et seulement siIm(z) = 0 ⇔ z − z = 0 ⇔ z = z. 5. z est un imaginaire pur si et seulementRe(z) = 0.

• −2 −1 1 2 −2 −1 1 2 0 M(z) O M0_(z)

FIGURE19.1 – Interprétation géométrique du conjugué

19.2 Module d’un nombre complexe

Définition 19.8 — Module d’un nombre complexe. On appelle module d’un nombre complexe z =

a+ ib la quantité positive |z| =√a2+ b2.

R 19.9 On donne une interprétation géométrique du module. Soit(O, #»ı, #») un repère orthonormé. 1. Si z est l’affixe du point M(a, b), le module z n’est autre que la distance OM, OM = |z|. 2. Si z est l’affixe d’un vecteurAB# »= (a, b), le module de z représente la distance AB :

AB= |zB− zA|

où zA(resp. zB) représente l’affixe du point A (resp. B).

Exemples 19.10 1. Soit z= −3 + 4i, on a : |z|2 = 9 + 16 = 25, donc |z| = 5.

2. On se donne zA= −1 + 3i l’affixe d’un point A et zB = 2 − i l’affixe du point B. On veut

calculer la distance AB. L’affixe du vecteurAB# »est zB− zA= 3 − 4i donc :

AB= |zB− zA| =

q

(3)

19.3 Argument d’un nombre complexe 11 1 2 1 2 0 |z| M(z) O

FIGURE19.2 – Interprétation graphique du module

R 19.11

1. |z| ≥ 0 pour tout z ∈ C. 2. |z| = 0 si et seulement si z = 0.

3. D’après les formules de conjugaison, |z|2= zz.

4. Si z= a + bi est réel alors |z| =√a2= |a|. Le module d’un nombre réel est donc sa valeur absolue,

ce qui justifie la notation.

Théorème 19.12— Propriétés des modules. Pour tous z, z0 _{∈ C :} 1. |zz0_{| = |z| |z}0_{|. En particulier, si λ est réel, |λz| = |λ| |z|.} 2. z

z0

= |z|

|z0_| (lorsque z0 6= 0). En particulier, pour tout z 6= 0,

1z = _|z|1 . 3. Inégalité triangulaire : |z + z0_{| ≤ |z| + |z}0_|. Dv •Démonstration — 1. On a : |zz0|2= zz0|zz0| = zz0|z| |z0| = z |z| z0|z0| = |z|2|z0|2= (|z| |z0|)2.

2. On peut procéder de la même manière que dans a. 3.

|x + y|2− (|x| + |y|)2= (x + y)2− (|x|2+ 2 |x| |y| + |y|2) = (x2_{+ 2xy + y}2

− (x2+ 2 |xy| + y2) = 2(xy − |xy|) ≤ 0 Donc |x + y|2≤ (|x| + |y|)2.

•

19.3 Argument d’un nombre complexe

Définition 19.13 — Argument. Soit(O, #»ı, #») un repère orthonormé du plan. On appelle argument d’un nombre complexe z non nul, toute mesure, en radians, de l’angle orienté(#»ı,# »

OM). On le note θ= arg(z).

(4)

R 19.14 Un nombre complexe possède une infinité d’arguments ! Si θ est un argument de z, tout autre argument de la forme θ+ 2kπ (k ∈ Z). L’unique argument θ appartenant à l’intervalle ]−π , π[ s’appelle l’argument principal.

On notera par exemplearg(z) = π

4 (mod 2π) ou arg(z) = π4 modulo2π pour signifier que arg(z) peut être égal àπ

4 mais aussi égal à n’importe lequel des nombresπ4 + 2kπ où k ∈ Z.

Attention ! Le nombre complexe nul Z = 0 ne possède pas d’argument car, dans ce cas, (#»ı,OM# »)

ne se définit pas. 1 2 1 2 0 M(z) O θ= arg(z)

FIGURE19.3 – Interprétation graphique de l’argument

Exemples 19.15 1. arg(i) =π₂ (mod 2π).

2. arg(1) = 0 (mod 2π). 3. arg(−1) = π (mod 2π). 4. arg(−i) = −π 2 (mod 2π). 5. arg(1 + i) = π 4 (mod 2π).

Proposition 19.16 1. Un réel strictement positif a un argument modulo2π, un réel strictement négatif a un argument égal à π modulo2π. Donc, on peut dire :

z∈ R ⇔ (z = 0 ou arg(z) = 0 (mod π)).

2. Un imaginaire pur dont la partie imaginaire est strictement positive a un argument égal à π

2 (mod 2π) et un imaginaire pur dont la partie imaginaire est strictement négatif a un argument égal à −π

2 (mod 2π). Donc, on peut dire :

z∈ iR ⇔ (z = 0 ou arg(z) = π₂ (mod π)), oùiR représente l’ensemble des imaginaires purs.

On donne une méthode pour calculer l’argument principal d’un nombre complexe non nul. On utilise les relations métriques dans le triangle OHM de la figure19.4.

Cas où θ ∈ [0 , π/2] cos(θ) = OH OM = a |z| et sin(θ) = HM OM = b |z|. Cas où θ ∈ ]π/2 , π]

cos(θ) = − cos(π − θ) = −_OMOH = −(−a) |z| =

a

(5)

19.3 Argument d’un nombre complexe 13

Cas où θ < 0 On raisonne de même, en tenant compte du fait que sin(−θ) = − sin(θ) et HM = −b.

Dans tous les cas, on a :

cos(θ) = a

|z| et sin(θ) =

b

|z|.

Si les cosinus et sinus ci-dessus ont des valeurs remarquables, on peut trouver θ directement à l’aide du cercle trigonométrique, sinon, à l’aide de la calculatrice en respectant la règle suivante :

— arccosa

|z|

donne la valeur absolue de θ ; — sin(θ) donne le signe de θ.

1 2 1 2 0 M O θ= arg(z) H −2 −1 1 2 1 2 0 M O H θ= arg(z) π− θ

FIGURE19.4 – Différents cas pour l’angle

Exemples 19.17 1. On cherche à déterminer l’argument principal θ de z= −2√3 + 2i. On a :

|z|2 = a2+ b2= 12 + 4 = 16. On doit alors résoudre le système suivant :

(

cos(θ) = −2√34 = −√32 sin(θ) = 2

4 = 12

.

Ce sont des valeurs remarquables, on peut donc trouver θ à l’aide du cercle trigonométrique :

θ= 5π₆ .

2. On cherche à déterminer l’argument principal θ de z = 3 − 4i. On a : |z|2 = 9 + 16 = 25 donc |z| = 5. On doit résoudre le système :

( cos(θ) = 3 5 sin(θ) = −4 5 .

Ce ne sont pas des valeurs remarquables. La calculatrice donne |θ| ' 0, 9273 rad. Mais sin(θ) est négatif donc θ est négatif : θ ' −0, 9273 rad, c’est-à-dire θ ' 53, 13°.

Théorème 19.18— Propriétés des arguments. _{Pour tout z ∈ C}∗_: 1. arg(z) = − arg(z) (mod 2π).

2. arg(−z) = arg(z) + π (mod 2π). 3. arg(−z) = π − arg(z) (mod 2π).

R 19.19 Si λ ∈ R∗ +, alors :

arg(λz) = arg(z) (mod 2π). Si λ ∈ R∗

−alors :

(6)

−2 −1 1 2 3 −2 −1 1 2 0 O M(z) M0_(z) N(−z) N0_(−z)

FIGURE19.5 – Illustration de la démonstration pour le théorème

19.4 Différentes formes d’écritures des nombres complexes

19.4.1 Forme algébrique et trigonométrique

Définition 19.20 — Forme algébrique. L’écriture z = a + bi s’appelle la forme algébrique de z (ou forme cartésienne).

Or,

a= r cos(θ) et b = r sin(θ)

avec r= |z| et θ = arg(z). D’où :

Définition 19.21 — Forme trigonométrique. z = a + ib peut s’écrire sous la forme z = r(cos θ +

i sin θ) ; cette écriture s’appelle une forme trigonométrique de z.

R 19.22

1. Le nombre complexe nul z= 0 n’a pas de forme trigonométrique (puisque pas d’argument).

2. Pour trouver une forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul, il suffit de calculer son module et son argument.

Théorème 19.23 Si z= r(cos(θ) + i sin(θ)) avec r > 0 alors r = |z| et θ = arg(z) (mod 2π).

Dv

•Démonstration —On a :

z2_{= r}2_cos2_{(θ) + r}2_sin2_{(θ) = r}2_. Or r >0 donc |z| = r. Soit θ0_{un argument de z alors :}

z= r(cos(θ0) + i sin(θ0)) = r cos(θ0) + ir sin(θ0).

Or, par hypothèse :

(7)

19.4 Différentes formes d’écritures des nombres complexes 15

et comme a0_{+ b}0_{i = a + bi équivaut à a}0_{= a et b}0_{= b alors :}

rcos(θ0) = r cos(θ) et r(sin(θ0) = r sin(θ).

D’où :

cos(θ0_{) = cos(θ) et} _sin(θ0_{) = sin(θ).}

Ce qui implique θ0_{= θ (mod 2π) donc θ = arg(z) (mod 2π).} _•

Exemple 19.24 Soit

z= −2

cosπ₅ + i sinπ₅.

zn’est pas sous une forme trigonométrique car un module ne peut pas être négatif. On transforme :

z= 2

− cosπ_{5 −}i sinπ₅

= 2cosπ₅ + π+ i sinπ₅ + π.

Le module de z est donc r = 2 et un de ses arguments est θ = 6π

5 .

Théorème 19.25— Propriétés sur les arguments (encore !). Pour tous z, z0 _{∈ C non nuls, on a :} 1. arg(zz0_{) = arg(z) + arg(z}0_{) (mod 2π)}

2. arg(1

z) = − arg(z) (mod 2π)

3. arg(z

z0) = arg(z) − arg(z0) (mod 2π)

4. arg(zn_{) = n arg(z), pour tout n ∈ Z.} Dv

•Démonstration —

1. On va utiliser les formes trigonométriques de z et z0_:

z= r(cos(θ) + i sin(θ)) et z0= r0(cos(θ0) + i sin(θ0)).

Ainsi :

zz0= rr0(cos(θ) + i sin(θ))(cos(θ0) + i sin(θ0))

= rr0_{[cos(θ) cos(θ}0_{) − sin(θ) sin(θ}0_{) + i(sin(θ) cos(θ}0_{) + cos(θ) sin(θ}0_))]. Ce qui, d’après les formules trigonométriques d’addition, donne :

zz0 = rr0(cos(θ + θ0) + i sin(θ + θ0)).

Comme rr0 _>_{0, on en déduit, d’après le théorème précédent, que :}

|zz0| = rr0 et arg(zz0_{) + θ + θ}0_{= arg(z) + arg(z}0_{) (mod 2π).} D’où la première relation.

2. Si z0₌ 1

zdans la relation précédente, cela donne :

arg(1) = arg(1

(8)

Orarg(1) = 0 (mod 2π) d’où la seconde relation : arg(1

z) = − arg(z) (mod 2π).

3. En remarquant que z

z0 = z × z10, on a d’après ce qui précède :

arg(z

z0) = arg(z) + arg(z10) = arg(z) − arg(z0) (mod 2π).

D’où la troisième relation.

4. Pour la dernière relation, on distingue trois cas : Cas n > 0 Par récurrence, on peut montrer que :

arg(zn_{) = arg(z × z × · · · × z) = n arg(z) (mod 2π).}

Cas n < 0 On pose m = −n > 0 et en utilisant le cas précédent m > 0 : arg(zm_{) = arg(} 1

zm) = m arg(1_z) = −m arg(z) = n arg(z) (mod 2π).

Cas n = 0 La relation arg(zn) = arg(1) = 0 = n arg(z) (mod 2π) est triviale.

•

Exemple 19.26 Soit z = 3(cos(−π₄) + i sin(−π₄) et z0 = 2(cos(2π₃ ) + i sin(2π₃ )). On veut calculer

zz0. L’utilisation des propriétés des modules et des arguments nous livrent directement le résultat : zz0 = 6 cos5π₁₂ + i sin5π₁₂. 19.4.2 Forme exponentielle Dv Soit f l’application : f : R → C θ _{7→ cos(θ) + i sin(θ)} . On a, pour tous θ, θ0_{de R :} f(θ + θ0) = f(θ)f(θ0).

La fonction f est donc une solution (complexe) de l’équation fonctionnelle f(u + v) = f(u)f(v). Or, on sait (prérequis) que les solutions de cette équation fonctionnelle sont solutions des équations différentielles de type y0 _{= ay. On va déterminer a (qui est ici dans C puisque f est à valeur dans} C). En étendant les propriétés de la dérivation aux fonctions de R dans C, on a f dérivable sur R et :

f0(θ) = − sin(θ) + i cos(θ) = if(θ).

D’où a= i et :

f(θ) = f(0)eiθ = eiθ.

(9)

19.5 Applications 17

Définition 19.27 Pour tout réel θ, on noteeiθ _{le nombre complexe}_{cos(θ) + i sin(θ).} eiθ _{a pour module}_{1 et argument θ.}

Exemples 19.28 1. ei0= 1,

2. eiπ/2_{= i,} 3. eiπ_{= −1,} 4. e2iπ _{= 1.}

Définition 19.29 — Forme exponentielle. Un nombre complexe de module r et d’argument θ s’écrit

z= reiθ. Cette écriture est appelée une forme exponentielle de z.

R 19.30 Le conjugué deeiθ_est_e−iθ_.

Théorème 19.31 Pour tous θ et θ0_{de R,} 1. eiθ_{× e}iθ0 _{= e}_i(θ+θ0₎

. 2. _eeiθ0iθ = ei(θ−θ

0₎

.

3. eiθn_{= e}inθ_{, pour n ∈ Z.}

La démonstration du théorème repose sur les propriétés des arguments.

Exemples 19.32 1. La notation exponentielle rend les calculs très simples . Si z = 3e3πi/4 et

z0 = 7e−2iπ/3alors :

zz0 = 21eiπ/12 et z z0 =

3

7e17iπ/12.

2. On veut calculer(1 + i)14_{. On pose z} _{= 1 + i. On a donc, sous la forme exponentielle :} z=√2eiπ/4.

D’où :

z14= 27e7iπ/2 = 128e12πe3iπ/2 = −128i.

19.5 Applications

Théorème 19.33 1. AB# »etCD# »sont colinéaires ⇔ (d − c)(b − a) ∈ R

2. AB# »etCD# »sont orthogonaux ⇔ (d − c)(b − a) ∈ iR.

Dv

(10)

1. # »

ABetCD# »_{colinéaires ⇔ (}AB,# » CD# ») = 0 (mod π) ⇔ arg

_d − c b− a = 0 (mod π) ⇔ d_b− c − a∈ R ⇔ (d − c)(b − a) ∈ R 2. # » ABetCD# »orthogonaux ⇔ (AB,# » CD# ») =π 2 (mod π) ⇔ arg _d − c b_{− a} =π₂ (mod π) ⇔ d_b− c − a ∈ R ⇔ (d − c)(b − a) ∈ iR. •

Théorème 19.34 Quatre points A, B, C et D distincts du plan sont cocycliques ou alignés si et seulement si : a_{− c} a_{− d} ÷ b_{− c} b_{− d} ∈ R. Dv •Démonstration — O B A C _D θ θ (# »

AD,AC# ») = (BD,# » BC# ») (mod π) ⇔ arg

a− c a_{− d} = argb− c b_{− d} (mod π) ⇔ arg a− c a_{− d}÷ b− c b_{− d} = 0 (mod π) ⇔ _aa− c − d÷ b_{− c} b− d∈ R. •

(11)

19.6 Propositions de questions posées par le Jury 19

Théorème 19.35 Un triangle est équilatéral si et seulement si les affixes a, b et c de ses sommets vérifient :

a2+ b2+ c2 = ab + bc + ca.

Dv

•Démonstration —On va d’abord montrer que ABC est un triangle équilatéral direct si et seulement a+ bj + cj2_{avec les propriétés de}_{j suivantes :}

j3_{= 1} _(19.1)

1 + j + j2_{= 0} _(19.2)

Or ABC est un triangle équilatéral direct si et seulement la rotation de centre B et d’angle π

3 envoie C sur A. On en déduit donc que a−b

c−b = eiπ/3= −j2. Or, en utilisant la relation (19.2), on obtient : 1 + j = −j2 d’où : a− b c_{− b} = 1 + j ⇔ a− b c_{− b} − c− b c_{− b} = j ⇔ a− b − c + b c_{− b} = j ⇔ a− c c_{− b} = j.

On multiplie alors les deux membres par c − b :

a_{− c = j(c − b) ⇔ a − c − j(c − b) = 0 ⇔ a − c − cj + bj = 0 ⇔ a − (1 + j)c + bj = 0.}

On utilise encore la formule (19.2) :

a+ j2c+ bj = 0.

Ainsi : ABC est un triangle équilatéral direct si et seulement si a+ bj + cj2 _{= 0. On peut} montrer de même que ABC est un triangle équilatéral indirect si et seulement si a+cj+bj2₌ 0. On a alors ABC est un triangle équilatéral si et seulement si (a+bj+cj2_)(a+cj+bj2_{) = 0} ou encore (en utilisant encore les formules (19.1) et (19.2)) :

(a + bj + cj2_{)(a + cj + bj}2_{) = 0 ⇔ a}2_{+ acj + abj}2_{+ baj + bcj + b}2_j3_{+ caj}2_{+ c}2_j3_{+ bcj}4_{= 0} ⇔ a2+ ab(j + j2) + ac(j + j2) + b2+ bc(j2+ j4) + c2= 0 ⇔ (a2+ b2+ c2) − ab − ac − bc = 0

⇔ (a2+ b2+ c2) = ab + ac + bc

•

19.6 Propositions de questions posées par le Jury

1. Démontrer l’égalité du parallélogramme :

|z1+ z2|2+ |z1− z2|2 = 2(|z1|2+ |z2|2). 2. Que représente géométriquement |z−3|

|z−4| = 1 ? 3. Que représente géométriquement |z| = 1 ?

(12)

4. Équation générale d’un cercle ? 5. Résoudre z3= 1.

(13)

Bibliographie

[1] Problème des sept ponts de Königsberg, Wikipédia, l’encyclopédie libre.

[2] C. LE BOT, Théorie des graphes, 2006, http://blog.christophelebot.fr/

wp-content/uploads/2007/03/theorie_graphes.pdf.

[3] Coloration des graphes, Apprendre-en-ligne, http://www.apprendre-en-ligne. net/graphes-ancien/coloration/sommets.html

[4] O. GARET, Exemples de problèmes de graphes, http://iecl.univ-lorraine. fr/~Olivier.Garet/cours/graphes/graphes-documents_d_

accompagnement.pdf.

[5] E. SIGWARD& al., Odyssée Mathématiques Terminale ES/L, Hatier, 2012.

[6] Graphes probabilistes, Terminale ES spécialité.http://mathadoctes.free.fr/TES/ graphe/f4_graphe.PDF

[7] G. COSTANTINI, Probabilités (discrètes), Cours de Première S, URL : http://

bacamaths.net.

[8] P. RIBEREAU, Cours 5 Probabilités : Notion, probas conditionnelles et indépendance, URL :

http://www.math.univ-montp2.fr/

[9] P. DUVAL, Probabilités, TS. URL : http://lcs.werne.lyc14.ac-caen.fr/ ~duvalp

[10] G. COSTANTINI, Probabilités : Généralités, conditionnement, indépendance, Cours de

Pre-mière S. URL :http://bacamaths.net.

[11] M. LENZEN, Leçon no3 : Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formule

du binôme. Applications., 2011, URL :http://www.capes-de-maths.com/index. php?page=leconsNEW

[12] G. CONNAN, Une année de mathématiques en Terminale S, Ch. 14, 2009-2010, URL :http: //tehessin.tuxfamily.org

[13] G. COSTANTINI, Loi binomiale, URL :http://bacamaths.net

[14] C. SUQUET, Intégration et Probabilités Elémentaires, 2009-2010. URL : http://math. univ-lille1.fr/~ipeis/

[15] L. LUBRANO& al., Mathématiques, BTS Industriels - Groupement B et C, Dunod, 2011.

[16] G. COSTANTINI, Lois de probabilités continues. URL :http://bacamaths.net.

[17] J.-P. GOULARD, Lois de probabilités continues, TS, 2014-2015.

http://blog.crdp-versailles.fr/jpgoualard/public/

TS-2014-2015-cours-loiscontinues.pdf.

[18] Probabilités 3 : Loi uniforme sur [a; b], Lycée de Font Romeu. http://www. lewebpedagogique.com/cerdagne/files/2013/02/02-Loi-uniforme. pdf

[19] Loi uniforme sur[a; b], IREM de Toulouse. URL :http://www.irem.ups-tlse.fr/ spip/IMG/pdf_LOI_UNIFORME.pdf

(14)

[21] C. SUQUET, Initiation à la Statistique, 2010. http://math.univ-lille1.fr/

~suquet/Polys/IS.pdf.

[22] J.-F. DELMAS, Modélisation stochastique, Cours de M2, 2009. URL :http://cermics. enpc.fr/~delmas/Enseig/mod-stoch.pdf

[23] L.-M. BONNEVAL, Chaînes de Markov au lycée, APMEP no_{503, 2013. URL :} _http://

publimath.irem.univ-mrs.fr/biblio/AAA13018.htm

[24] Marche aléatoire, IREM de Franche-Comte. URL : http://www-irem. univ-fcomte.fr/download/irem/document/ressources/lycee/marche/

marche-aleatoire.pdf.

[25] Marches sur Z, culturemath.ens.fr, URL : http://culturemath.ens.fr/maths/ pdf/proba/marchesZ.pdf

[26] Contributeurs à Wikipedia, Marche aléatoire, Wikipédia, l’encyclopédie libre, 2014.

[27] Marche au hasard dans les rues de Toulouse, URL : http://mappemonde.mgm.fr/ actualites/M_toulouse2.html

[28] R. NOEL, Statistiques descriptives, http://amphimaths.chez-alice.fr/N1/ stats_desc_poly.pdf

[29] J. LEVY, Séries statistiques, URL :http://jellevy.yellis.net.

[30] P. BRACHET, Statistiques : résumé de cours et méthodes, Première S. http://www.

xm1math.net/seconde/seconde_chap9_cours.pdf.

[31] Contributeurs de Wikipédia, Série statistique à deux variables, Wikipédia.

[32] G. COSTANTINI, Séries statistiques à deux variables. URL :http://bacamaths.net. [33] A. GUICHET, Prépa ECS - Lycée Touchard, Chap 1. 1.2. URL :http://alainguichet.

mathematex.net/ecs-touchard/wiki.

[34] Y. DUCEL & B. SAUSSEREAU, Partie I : Du théorème de Moivre-Laplace (TML) au

Théorème-Limite Central (TLC), Journée académique « Terminale », Besançon, octobre 2012. http://bsauss.perso.math.cnrs.fr/IREM_FC_GrouProbaStat/ Terminale-I_JourneeOctobre-2012_DIAPORAMA_120929/DIAPORAMA-I_

JourneeTerminale_octobre-2012.pdf.

[35] R. BARRA& al., Transmath 2nde, Nathan, 2010.

[36] P. MILAN, Statistiques et estimation, Terminale S.

[37] IREM Aix-Marseille, Groupe Proba-Stats, Estimation : intervalle de fluctuation et de confiance, Mars 2012. http://www.irem.univ-mrs.fr/IMG/pdf/estimation_ nouveau_programme2012.pdf

[38] Intervalle de fluctuation, intervalle de confiance, Animation nouveaux programmes de mathématiques Terminale STI2D - Académie de Créteil, jeudi 3 mai 2012.

http://maths.ac-creteil.fr/IMG/pdf/intervalles__fluctuation_ confiance_sti2d-stl_1_.pdf

[39] N. DAVAL, Statistiques inférentielles : estimation. BTS Domotique. URL : http:// mathematiques.daval.free.fr

(15)

BIBLIOGRAPHIE 23

[41] P. MILAN, Multiples. Division euclidienne. Congruence, Terminale S Spé. URL :

http://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/ mathTermSspe/01_Multiples_division_euclidienne_congruence/01_

cours_multiples_division_euclidienne_congruence.pdf.

[42] Contributeurs de Wikipédia, Liste des critères de divisibilité, Wikipédia.

[43] C. PARFENOFF, Division euclidienne, division décimale, Classe de Sixième. URL : http: //www.parfenoff.org

[44] J. ONILLON, Vestiges d’une terminale S — Résolution générale des équations diophantiennes.

URL :http://tanopah.com.

[45] ZAUCTORE, Équations diophantiennes du premier degré, 3 octobre 2007. http://www. mathforu.com/pdf/equation-diophantienne-premier-degre.pdf

[46] D.-J. Mercier, CAPES/AGREG Maths, Préparation intensive à l’entretien. URL :http:// megamaths.perso.neuf.fr/exgeo/preparationintensive.html

[47] Contributeurs de Wikipédia, Équation diophantienne ax+ by = c, Wikipédia.

[48] P. MILAN, Les nombres premiers, Terminale S Spé, 22 janvier 2013. URL :http://www. lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/mathTermSspe/ 03_Nombres_premiers/03_cours_les_nombres_premiers.pdf

[49] J.-P. BELTRAMONE& al., Déclic mathématiques, TS, Enseignements spécificique et de

spécia-lité, Hachette Éducation, 2012.

[50] D.-J. MERCIER, Fondamentaux d’algèbre et d’arithmétique, EPU, Publibook, 2010.

[51] B. BERTINELI& Y. SCHUBNEL, Leçons de mathématiques, CRDP de Franche-Conté, 2001.

[52] G. TENENBAUM& M. MENDÈS-FRANCE, Les nombres premiers, PUF Editions, 2000.

[53] X. DELAHAYE, Congruences, Terminale S. URL :xmaths.free.fr

[54] J.-P. QUELEN, Petit théorème de Fermat et codage RSA, 15 janvier 2011.

[55] M. LENZEN, Leçon no_{14 : Congurences dans Z. Anneau Z/nZ, 2011.} _www.

capes-de-maths.com/lecons/lecon14.pdf

[56] Contributeurs de Wikipédia, Équations du second degré, Wikipédia.

[57] C. BOULONNE, Notes de cours, M101 : Fondements de l’algèbre, L1 Mathématiques,

2006-2007.

[58] Équations du second degré à une inconnue. URL : http://ww2.ac-poitiers.fr/ math_sp

[59] G. BONTEMPS& al., Fractale, Maths 1re S, Bordas, Programme 2001.