Groupe des quaternions
Samuel Rochetin
Mercredi 20 janvier 2016
Problème. Rappelons que GL2(C) désigne l’ensemble des matrices inversibles
2 × 2 à coefficients complexes et que, muni de la multiplication des matrices, c’est un groupe. Dans tout cet exercice, on pose :
I =1 0 0 1 , A = 0 1 −1 0 , B =0 i i 0 , C = i 0 0 −i .
1. Quels sont les ordres de A, B, C ?
2. Calculer AB, A2, AB + BA. Désormais, on admettra les relations
sui-vantes :
BC = A, CA = B, B2= C2= −I, BC + CB = CA + AC = 0.
3. On note H := hA, B, Ci le sous-groupe de GL2(C) engendré par A, B, C,
appelé groupe des quaternions. Montrer que
H = {I, −I, A, −A, B, −B, C, −C}
et expliquer succinctement pourquoi ceci est cohérent avec le résultat de la question 1.
4. Montrer que H n’est pas commutatif.
5. Déterminer tous les sous-groupes de H et montrer qu’ils sont tous distin-gués dans H.
6. On note K := {I, −I}. Décrire H/K. 7. Déterminer Z(H), le centre de H.
