Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 1 Produit scalaire Produit vectoriel 3ème Mathématiques
Dans tous les exercices l’espace est rapporté à un repère orthonormé (O,i,j,k)
r r r
Exercice 1
Une seule des réponses est exacte. Trouver cette réponse
1) , et sont trois vecteurs de l’espace non nuls , l’expression
. . désigne :
a) un nombre réel b) un vecteur colinéaire à c) n’a pas de sens
2) , et sont trois vecteurs de l’espace non nuls tel que :
. = . alors on a
nécessairement : a)
= b) ⊥ et ⊥ c) ⊥
−
3)
et deux vecteurs de l’espace non nuls tel que
| . | = ‖ ‖‖ ‖ alors :
a)
⊥ b) et sont colinéaires c) et ne sont pas collinaires
Exercice 2
On considère les points 1,1,1 , 2, −1,2 et 4, −1, −6 . 1) a) Déterminer les composantes des vecteurs et
b) Montrer que les vecteurs et sont orthogonaux, 2) a) Calculer .
b) En déduire cos Exercice 3
On donne les points 1, −2,3 , 4,3,2 et le vecteur = 2 − + 3
Déterminer l'ensemble des points ! " , # , $ de l’espace tels que %! + ! &. = 0 Exercice 4
On donne les vecteurs et ( et les points ), et tels que : = ) et ( = ) 1) Calculer . ( dans chacun des cas suivants:
a) * * = 2 , *(* = 3 et ) =+
,
b) * * = 4 , *(* = 1 et ) = ,+
-2) Déterminer ) dans chacun des cas suivants a) * * = 5 , *(* = 4 et . ( = 10 b) * * = √2 , *(* = √6 et . ( = √3 Exercice 5
soient et ( deux vecteurs de l’espace 1) Montrer que % . (& =0
12* * 1
+*(*1− * − (*13 2) En deduire que ⊥ (
⇔
* − (*1 = * *1+*(*1Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 2 Exercice 6
Dans chacun des cas suivants calculer ˄ . 1) 6 1 −1 1 7 , 6 2 1 −17 et 6 1 1 27 2) 6−12 3 7 , 6 3 −1 1 7 et 6 −1 1 2 7 3) 6 0 −2 4 7 , 6 −1 −1 2 7 et 6 1 −3 1 7 Exercice 7
La figure ci-contre est celle d’un cube 89:;< d’arête 1 1) . est égale à : a) √1 1 b) 1 c) √2 2) ˄ est égale à : a) 9 b) 9 c) √1 1 9 Exercice 8
On considère les points 1, 0 , 0 , 1, −1 , 1 et −2 ,0 ,1 1) On pose = ˄
a) Calculer les coordonnées du vecteur
b) En déduire que les points , et ne sont pas alignés 2) Soit le point ; " , # , $ tel que 2; − 2; + ; = 0 a) Déterminer les coordonnées du point ;
b) On pose : ∆= >! " , # , $ / 2)!˄ ! − 2)!˄ ! + )!˄ ! = 0@ Montrer que ∆est une droite que l’on caractérisera
Exercice 9
Dans la figure ci-contre on représenté un cube 89:;< d’arête égale à 1 , les points A , B , C et D sont les milieux respectifs des segments E 8F , E F , E:;F et E9<F
1) a) Calculer les produits scalaires suivants . 9 , 8. : , 8. < b) Montrer que % , 8 , 9 & est une base de G
2) On considère le repère % , , 8 , 9 & a) Déterminer les coordonnées des points , , , 8 , 9 , : , ; , < , A , B , C et D
b) Montrer que les points 8 , A , ; et C sont coplanaires c) Montrer que les points , B , D et < sont coplanaires
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 3 3) a) Calcules les composantes des vecteurs AD et BC
b) Déduire la nature du quadrilatère ADCB Exercice 10
Dans la figure ci-contre on représenté un cube 89:;< Soit le repère % , , 8 , 9 &
1) a) Déterminer les coordonnées des points , : , et < b) Calculer le produit scalaire :. <
c) Les droites : et < son-telles orthogonales ?
d) Montrer que < = 9 puis retrouver le résultat précédent 2) a) Calculer le produit scalaire 9 . :8
b) Les droites 9 et :8 son-telles orthogonales ?
c) Montrer que 9: = 8 puis retrouver le résultat précédent Exercice 11
0Dans la figure ci-contre on représenté un cube 89:;< d’arête égale à 1. On considère le repère %8 , 8 , 8 , 8< &. Soit le point ! du segment E8:F, on pose
8! = "8: tels que " ∈ E0 , 1F. on pose 9! = I , I ∈ E0 , JF 1) Déterminer la valeur de I dans les cas suivants :
a) Le point ! est confondu avec le point 8 b) Le point ! est confondu avec le point :
2) a) Déterminer les coordonnées des points , , , 8 , 9 et : b) En déduire que les coordonnées du point ! sont " , " , " 3) a) Calculer le produit scalaire ! . !9 de deux manières b) En déduire que cos I =,KLM-KN0
,KLM-KN1
4) Soit la fonction O définie sur E0 , 1F par O " = ,KLM-KN0
,KLM-KN1 a) Résoudre dans E0 , 1F l’équation O " = 0
b) Dresser le tableau de variation de O sur E0 , 1F
5) a) Pour quelles positions du point ! sur le segment E8:F le triangle !9 est-il rectangle en M ? b) Pour quelles positions du point ! sur le segment E8:F: l’angle I est-il maximal ?
