Analyse fonctionnelle

(1)

Laure Saint-Raymond

(2)

L. Saint-Raymond

Université Paris VI and DMA École Normale Supérieure, 45 rue d’Ulm, 75230 Paris Cedex 05, FRANCE.

(3)

ANALYSE FONCTIONNELLE

(4)

(5)

TABLE DES MATI`

ERES

Partie I. Dualit´e. . . 1

1. Rappels de topologie. . . 3

1.1. Espaces de Baire. . . 3

1.2. Opérateurs linéaires et théorème de Banach-Steinhaus. . . 4

1.3. Théorèmes de l’application ouverte et du graphe fermé. . . 6

2. Th´eor`eme de Hahn-Banach. . . 9

2.1. Forme analytique. . . 9

2.2. Forme g´eom´etrique. . . 10

2.3. Un exemple d’application : le th´eor`eme de Krein Milman. . . 13

3. Dualit´e et topologies faibles. . . 15

3.1. Dual topologique. . . 15

3.2. Topologie faible . . . 17

3.3. Topologie faible*. . . 18

3.4. Notion d’espace r´eflexif. . . 19

Partie II. Distributions . . . 23

4. La th´eorie de Schwartz. . . 25

4.1. Définition et propriétés élémentaires. . . 25

4.2. Quelques exemples. . . 28

(6)

ii TABLE DES MATI `ERES

5. Solutions singulières d’équations aux dérivées partielles. . . 37

5.1. M´ethode des caract´eristiques et explosion. . . 37

5.2. Solutions faibles et crit`ere d’unicit´e. . . 40

5.3. Approximation visqueuse. . . 42

Partie III. Analyse de Fourier. . . 51

6. Transformation de Fourier. . . 53

6.1. Transformation de Fourier des fonctions sommables. . . 53

6.2. Transformation de Fourier sur la classe de Schwartz. . . 55

6.3. Transformation de Fourier des distributions temp´er´ees. . . 57

6.4. Equations de convolution. . . 61

7. Espaces de Sobolev . . . 63

7.1. Définition et propriétés topologiques. . . 63

7.2. Injections de Sobolev. . . 65

7.3. Restriction, prolongement et traces. . . 67

7.4. Compacit´e. . . 71

8. A propos de la transform´ee de Hilbert. . . 75

8.1. D´efinition et continuit´e sur Lp_{. . . 75}

8.2. Espaces de Lebesgue faibles. . . 79

8.3. Transform´ee de Hilbert sur L1(R). . . 80

Partie IV. Analyse spectrale. . . 87

9. Espaces de Hilbert. . . 89

9.1. Définition et propriétés fondamentales. . . 89

9.2. Th´eor`emes de Stampacchia et de Lax-Milgram. . . 91

9.3. Bases hilbertiennes. . . 93

10. Op´erateurs compacts. . . 97

10.1. Définitions et propriétés fondamentales. . . 97

10.2. Th´eorie de Riesz-Fredholm. . . 99

10.3. Spectre d’un op´erateur compact. . . 102

(7)

TABLE DES MATI `ERES iii

10.5. L’´equation de la chaleur sur un domaine born´e. . . 106

11. Op´erateurs maximaux monotones. . . 109

11.1. D´efinition et r´egularisation de Yosida. . . 109

11.2. Th´eor`eme de Hille-Yosida. . . 111

11.3. Cas sym´etrique. . . 114

11.4. L’´equation de la chaleur. . . 116

(8)

(9)

PARTIE I

(10)

(11)

CHAPITRE 1

RAPPELS DE TOPOLOGIE

Comme l’indique le titre, l’objectif de ce chapitre n’est pas de présenter de fa¸con complète les bases de topologie, on se réfère pour cela au cours de Patrick Bernard et aux notes de cours de Frédéric Paulin où les résultats sont énoncés dans un cadre très général. Voir aussi [3], [11], [12].

Nous rappelons uniquement quelques conséquences du théorème de Baire sur la continuité des applications linéaires.

1.1. Espaces de Baire

D´efinition 1.1.1. — Soit X un espace topologique.

– X est dit de Baire si et seulement si toute intersection dénombrable d’ouverts denses dans X est dense dans X (ou de fa¸con équivalente, toute réunion dénombrable de fermés d’intérieurs vides est d’intérieur vide).

– Une partie A ⊂ X est maigre si et seulement si A est incluse dans une réunion dénombrable de fermés d’intérieurs vides.

– Une propriété est vraie Baire presque partout si et seulement si elle est vraie sur le complémentaire d’une partie maigre, i.e. sur un ensemble gras (ou résiduel).

Théorème 1.1 (de Baire). — Les espaces topologiques localement compacts (i.e. les espaces séparés et tels que tout point admet un système fondamental de voisinages compacts), et les espaces métriques complets sont des espaces de Baire.

D´emonstration. — Soit (On) une suite d’ouverts denses et O = ∩n∈NOn. Il s’agit de montrer que

pour tout ouvert W ⊂ X, l’intersection W ∩ O est non vide.

Comme O0∩ W 6= ∅, il existe un ouvert non vide W0tel que ¯W0⊂ O0∩ W avec

– ¯W0 compact si X est un espace topologique localement compact;

– ¯W0 de rayon inférieur à 1 si X est un espace métrique complet.

Par r´ecurrence, on peut ainsi construire une suite d’ouverts non vides (Wn) tels que ¯Wn+1⊂ On+1∩Wn

(12)

4 CHAPITRE 1. RAPPELS DE TOPOLOGIE

– ¯Wn+1compact si X est un espace topologique localement compact;

– ¯Wn+1de rayon inférieur à 1/(n + 1) si X est un espace métrique complet.

On a alors queT

n∈NW¯n6= ∅, en utilisant la compacit´e dans le premier cas, et la compl´etude dans le

second cas.

Ce r´esultat permet de montrer par exemple que l’ensemble des points de continuit´e de la limite simple f d’une suite de fonctions continues (fn) de C0([0, 1]) est un ensemble gras de [0, 1].

On utilise pour cela la propri´et´e suivante : s’il existe une suite (Fn) de parties de l’espace de Baire X

telle que X ⊂S n∈NFn, alors [ n∈N ˚ Fn⊃ X \ [ n∈N ∂Fn !

est dense dans X.

Pour tout ε > 0, on pose

F_nε= {x ∈ [0, 1] / ∀m ≥ n, |fn(x) − fm(x)| ≤ ε}.

Par d´efinition, Fnεest ferm´e et ∪n∈NFnε= [0, 1].

La suite Op= [ n ˚ Fn1/p

est alors une suite d’ouverts denses de [0, 1], et le th´eor`eme de Baire montre que G =T

pOp, est un

ensemble gras.

Il suffit alors de vérifier que les éléments de G sont des points de continuité de f .

Remarque 1.1.2. — Attention `a ne pas confondre les notions de “ presque partout” au sens de Baire et au sens des mesures.

Ainsi, si µ est une mesure borélienne qui ne charge pas les points sur un espace métrique séparable X, il existe toujours une partie grasse de X qui est µ-négligeable.

Il suffit pour construire une telle partie de prendre une suite dense (xi), de poser pour tout k ∈ N∗

Vk =[Oki o`u O k

i est un ouvert contenant xi tel que µ(Oik) ≤

2−i

k , puis de consid´erer G =T∞

k=1V k_.

1.2. Opérateurs linéaires et théorème de Banach-Steinhaus

Théorème 1.2 (de Banach-Steinhaus). — Soient E un espace de Banach et F un espace vectoriel normé. On considère une famille (Tα) d’applications linéaires continues de E dans F telles que

∀x ∈ E, sup

α

kTαxkF < +∞ .

Alors il existe C > 0 telle que

(13)

1.2. OP ÉRATEURS LIN ÉAIRES ET TH ÉOR ÈME DE BANACH-STEINHAUS 5

D´emonstration. — On pose, pour tout n ∈ N,

On= {x ∈ E / ∃α, kTαxkF > n},

de sorte que On est ouvert etT ∞

n=1On= ∅.

D’après le théorème de Baire, il existe alors n0 tel que On0 n’est pas dense dans E, i.e. dont le

compl´ementaire contient une boule B(x0, r). Pour tout x ∈ B(x0, r),

kTα(x − x0)kF ≤ 2n0.

En utilisant la linéarité de Tα, on en déduit que pour tout y ∈ E

kTαykF ≤

2n0

r kykE, ce qui conclut la preuve.

Corollaire 1.2.1. — Soient E un espace de Banach et F un espace vectoriel normé. On considère une famille (Tα) d’applications linéaires continues de E dans F convergeant simplement vers T .

Alors T est lin´eaire continu de E dans F . De plus, si xn → x dans E, alors Tn(xn) → T (x) dans F .

Le théorème de Banach-Steinhaus peut en fait s’étendre à des espaces plus généraux, que nous utilis-erons dans la suite pour munir l’espace des distributions d’une topologie.

D´efinition 1.2.2. — Soit E un espace vectoriel. On appelle semi-norme sur E toute application p : E → R+ _{sous-additive et positivement homog`}_{ene, i.e. telle que}

∀x, y ∈ E, p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀λ ∈ R, ∀x ∈ E, p(λx) = |λ|p(x) . On dit qu’une famille P de semi-normes s´epare les points si

p(x) = 0 pour tout p ∈ P ⇒ x = 0 .

Les ouverts de la topologie associ´ee `a P sont les parties U de E telles que, pour tout x ∈ U , il existe un ensemble fini J et r > 0

BJ(x, r) ≡ {y ∈ E / ∀j ∈ J, pj(x − y) < r} ⊂ U .

Définition 1.2.3. — Un espace vectoriel E est un pré-Fréchet si et seulement si il existe une famille dénombrable de semi-normes (pj)j∈N∗ telles que, pour tout x ∈ E

(

si pj(x) = 0 pour tout j, alors x = 0 ,

pour tout j, pj(x) ≤ pj+1(x) .

La topologie d’un pré-Fréchet est métrisable avec la distance (invariante par translation) d(x, y) =

+∞

X

j=1

2−jmin(1, pj(x − y)) .

(14)

6 CHAPITRE 1. RAPPELS DE TOPOLOGIE

L’ensemble des fonctions C∞(K) sur un compact K est un espace de Fr´echet, muni des semi-normes pj(f ) = sup

|α|≤j

sup

x∈K

|Dαf (x)| .

Une “bonne” topologie sur C_c∞(Ω) (où Ω est un ouvert) est beaucoup plus subtile à définir. On y reviendra brièvement dans le chapitre sur les distributions.

La continuité d’une application entre deux pré-Fréchet peut s’exprimer à l’aide des semi-normes Lemme 1.2.5. — Soient (E, (pj)j∈N∗) et (F, (q_j)_j∈N∗) deux pré-Fréchet, et T une application

lin´eaire de E dans F . Alors T est continue si et seulement si

(1.2.1) ∀j ∈ N∗, ∃C ≥ 0, k ∈ N∗, qj(T x) ≤ Cpk(x) .

D´emonstration. — Si T est continue, pour j fix´e, il existe un voisinage U de 0 tel que ∀x ∈ U, qj(T x) ≤ 1 .

Il existe alors k ∈ N∗ et ε > 0 tels que

B_kE(0, ε) ⊂ U .

Par homogénéité, on en déduit la condition (1.2.1) (on peut considérer séparément les cas où pk(x) = 0

et pk(x) > 0).

R´eciproquement, supposons que (1.2.1) soit satisfaite. Soit x ∈ E. Pour tout voisinage U de T x dans F , il existe une boule BF

j (T x, ε) incluse dans U , Il d´ecoule alors de (1.2.1) que pour tout y dans

Bk(x, ε/C)

T y ∈ B_jF(T x, ε) ⊂ U , ce qui montre que T est continue.

On a alors la généralisation suivante du théorème de Banach-Steinhaus.

Théorème 1.3. — Soient E un espace de Fréchet et F un pré-Fréchet. On considère une suite (Tn)

d’applications lin´eaires continues de E dans F convergeant simplement vers T .

Alors T est lin´eaire continu de E dans F . De plus, si xn → x dans E, alors Tn(xn) → T (x) dans F .

1.3. Théorèmes de l’application ouverte et du graphe fermé

Théorème 1.4. — Soient E et F deux espaces de Banach, et T un opérateur linéaire continu de E dans F .

– Si T est surjectif, alors T envoie les ouverts de E sur les ouverts de F . – Si T est bijectif, T−1 est un op´erateur lin´eaire continu de F dans E.

D´emonstration. — On cherche δ > 0 tel que BF(0, δ) ⊂ T (BE(0, 1)).

On commence par d´efinir

Fn= T (BE(0, n)) de sorte que +∞

[

n=1

(15)

1.3. TH ÉOR ÈMES DE L’APPLICATION OUVERTE ET DU GRAPHE FERM É 7

D’après le théorème de Baire, il existe donc n0tel que Fn0 est d’intérieur non vide

B(x0, r0) ⊂ Fn0.

Par lin´earit´e, on a aussi

B(−x0, r0) ⊂ Fn0. Si kykF < r0, y =1 2(y0+ y) + 1 2(−y0+ y) ∈ T (BE(0, n0)) . Autrement dit, BF(0, r0 n0 ) ⊂ T (BE(0, 1)) . Soit maintenant y ∈ BF(0,_10nr0

0). D’après ce qui précède, il existe x0∈ BE(0,

1 10) tel que kT x0− ykF ≤ r0 10n0 ×1 2. Par r´ecurrence, on construit une suite xn telle que

kxnkE≤ 1 10 1 2n, k(T x0+ · · · + T xn) − ykF ≤ r0 10n0 × 1 2n+1. La s´erieP

nxn est donc normalement convergente et, par continuit´e de T , sa somme x v´erifie T x = y.

On en d´eduit que BF 0, r0 10n0 ⊂ T (BE(0, n0)) ,

ce qui montre que l’image de tout ouvert de E est ouverte.

Théorème 1.5. — Soient E et F deux espaces de Banach, et T un opérateur continu de E dans F . Alors T est continu si et seulement si son graphe G = {(x, T x) / x ∈ E} est fermé dans E × F . Démonstration. — On introduit sur E la norme du graphe

kxkG= kxkE+ kT xkF.

• Si T est continu, son graphe est toujours ferm´e : si (x, y) ∈ ¯G, il existe une suite (xn) de E telle que

(xn, T xn) → (x, y), et par continuit´e y = T x.

• Supposons maintenant que G ⊂ E × F soit ferm´e. En particulier, G est un espace de Banach. On consid`ere alors l’application

Π : (x, T x) ∈ G 7→ x ∈ E ,

qui est clairement continue et bijective. D’après le théorème de l’application ouverte, Π est un homéomorphisme, ce qui implique que T est continu.

Ces résultats peuvent aussi se généraliser au cas des espaces de Fréchet.

Théorème 1.6. — Soient E et F deux espaces de Fréchet, et T un opérateur continu de E dans F . – Si T (E) n’est pas maigre dans F , alors T est une application surjective et ouverte.

(16)

(17)

CHAPITRE 2

TH´

EOR`

EME DE HAHN-BANACH

Le théorème de Hahn-Banach donne l’existence de prolongements de formes linéaires satisfaisant à certaines conditions de norme.

– C’est un outil fondamental de l’analyse fonctionnelle car il permet d’introduire des topologies faibles (définies par dualité) pour lesquelles on a de bonnes propriétés de compacité, ce qui fera l’objet du prochain chapitre.

– Par son interprétation géométrique en termes d’hyperplans évitant un convexe fixé, il joue gale-ment un rôle primordial dans l’étude de la géométrie des convexes, et plus généralement en analyse convexe [7].

La preuve repose d’une part sur un argument simple permettant de prolonger une forme linéaire définie sur un sous-espace de codimension 1, et d’autre part sur le lemme de Zorn (équivalent à l’axiome du choix) qui permet d’obtenir une récurrence transfinie.

2.1. Forme analytique

Théorème 2.1. — Soient E un espace vectoriel réel, et p : E → R une application sous-additive, positivement homogène, i.e. telle que

∀x, y ∈ E, p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀x ∈ E, ∀t ≥ 0, p(tx) = tp(x) . Si F est un sous-espace de E, et f est une forme lin´eaire sur F telle que

∀x ∈ F, f (x) ≤ p(x) , il existe un prolongement lin´eaire ˜f de f `a E tel que

∀x ∈ E, f (x) ≤ p(x) ,˜

Démonstration. — On considère l’ensemble P des prolongements de f constitué des paires (G, g) où G est un sous-espace de E contenant F et g une forme linéaire sur G tels que

G|F = f et ∀x ∈ G, g(x) ≤ p(x).

(18)

10 CHAPITRE 2. TH ´EOR `EME DE HAHN-BANACH

– P 6= ∅ car (F, f ) ∈ P;

– P est ordonn´e par la relation d’ordre partiel

(G1, g1) ≺ (G2, g2) si G1⊂ G2 et g2|G1 = g1;

– P est inductif (toute partie totalement ordonnée admet un majorant). D’après le lemme de Zorn, il existe alors un élément maximal ( ¯G, ¯g) ∈ P.

Si ¯G 6= E, il existe x0 ∈ E \ ¯G. On cherche alors ˜g(x0) de sorte `a ce que l’application ˜g d´efinie sur

˜

G = ¯G + Rx0 par

˜

g(x + tx0) = ¯g(x) + t˜g(x0),

satisfasse la majoration attendue : pour tout x ∈ ¯G et tout t ∈ R ¯

g(x) + t˜g(x0) ≤ p(x + tx0) .

Cela implique en particulier que sup

x∈E

¯

g(x) − p(x − x0) ≤ ˜g(x0) ≤ inf

x∈E p(x + x0) − ¯g(x) .

Comme ˜g(x) + ˜g(x0) ≤ p(x + x0) ≤ p(x + x0) + p(x0− x0), cette condition est satisfaite, et on v´erifie

qu’elle suffit `a obtenir la majoration requise pour ˜g. En particulier ( ˜G, ˜g) ∈ P, ce qui contredit la maximalit´e de ( ¯G, ¯g).

Sous des hypothèses supplémentaires sur l’espace E, on peut démontrer un résultat analogue sans utiliser le lemme de Zorn. C’est le cas par exemple si E est de dimension finie, si E est un espace de Hilbert (il suffit alors d’utiliser le théorème de projection sur les fermés), si E est un espace vectoriel normé séparable...

2.2. Forme g´eom´etrique

On rappelle qu’un espace vectoriel topologique est un espace vectoriel muni d’une topologie rendant continues l’addition et la multiplication par un scalaire.

D´efinition 2.2.1. — Un espace vectoriel topologique est dit localement convexe si et seulement si tout voisinage de l’origine contient un voisinage convexe.

En associant `a chaque voisinage convexe de l’origine une semi-norme (jauge de Minkowski), on a alors la caract´erisation suivante :

Propriété 2.2.2. — Soit E un espace vectoriel topologique. E est localement convexe si et seulement si sa topologie peut être définie par une famille de semi-normes (pα) telles que

∀α, pα(x) = 0

⇒ x = 0 .

Sans perte de généralité, on peut supposer de plus que cette famille est filtrante, c’est-à-dire que ∀α1, . . . αn, ∃β, pβ ≥ pα1+ · · · + pαn.

Une partie A de E est alors ouverte si et seulement si

(19)

2.2. FORME G ´EOM ´ETRIQUE 11

Les espaces vectoriels normés et les espaces pré-Fréchet sont des espaces vectoriels topologiques locale-ment convexes.

Par contre, l’espace des fonctions continues sur [0, 1] muni de la distance d(f, g) =

Z 1

0

p|f − g| est un espace vectoriel topologique non localement convexe.

Th´eor`eme 2.2. — Soit E un espace vectoriel topologique localement convexe (de semi-normes (pα)).

Si A et B sont deux parties convexes non vides disjointes, alors

– si A est ouverte, il existe une forme lin´eaire f : F → R continue non nulle telle que sup

A

f ≤ inf

B f ;

– si A est compacte et B est ferm´ee, il existe une forme lin´eaire f : F → R continue non nulle telle que

sup

A

f < inf

B f.

Démonstration. — On va commencer par détailler les arguments dans le cas où l’un des ensembles est réduit à un point, puis on montrera comment on peut en déduire les autres cas.

• Cas o`u B = {x0} et A ouvert contenant 0.

On introduit la jauge de Minkowski de A

p(x) = inf{t > 0, x t ∈ A} ,

et on va montrer qu’elle permet de caract´eriser l’ensemble A de fa¸con fonctionnelle A = {x ∈ E / p(x) < 1} ,

et qu’elle satisfait les hypothèses du théorème de Hahn-Banach analytique. On commence par remarquer que, par définition, p est positivement homogène :

∀x ∈ E, ∀λ ≥ 0, p(λx) = λp(x) .

La sous-additivité est une conséquence de la convexité de A. Soient x, y ∈ E et ε > 0 fixé. Par définition, ˜ x = x p(x) + ε et ˜y = y p(y) + ε appartiennent à A. On a alors x + y p(x) + p(y) + 2ε = p(x) + ε p(x) + p(y) + 2εx +˜ p(y) + ε p(x) + p(y) + 2εy ∈ A˜ de sorte que p(x + y) ≤ p(x) + p(y) + 2ε.

Comme A est ouvert et contient l’origine, il existe α et r > 0 tels que Bα(0, r) ⊂ A. On a alors les

propri´et´es suivantes : – Si pα(x) > 0, on a ˜ x = rx pα(x) ∈ A donc p(x) ≤ pα(x) r .

(20)

– Si pα(x) = 0, pour tout t > 0, pα(x_t) = 0, donc x_t ∈ A et p(x) = 0.

On en d´eduit que

∀x ∈ E, p(x) ≤ Cpα(x) .

Comme A est convexe et contient l’origine, on v´erifie facilement que

{x ∈ E / p(x) < 1} ⊂ A, et {x ∈ E / p(x) > 1} ∩ A = ∅ . Puisque p est continue et A est ouvert, on a alors

A = {x ∈ E / p(x) < 1} .

On considère alors la forme linéaire définie sur Rx0 par f (tx0) = t. En particulier,

f (tx0) ≤ p(tx0) = tp(x0).

En utilisant la forme analytique du théorème de Hahn-Banach, on prolonge f à E avec ∀x ∈ E, f (x) ≤ p(x) .

Comme p ≤ Cpα, f est continue. De plus,

∀x ∈ A, f (x) ≤ p(x) < 1 de sorte que sup_Af ≤ f (x0).

• Cas o`u A est ouvert.

On se donne a0∈ A et b0∈ B, et on pose

C = A − B − a0+ b0= {x − y − a0+ b0/ x ∈ A, y ∈ B} =

[

y∈B

(A − a0+ b0− y) .

On v´erifie alors que C est ouvert, convexe et contient l’origine. De plus, comme A ∩ B = ∅, b0− a0∈ C./

En appliquant le résultat précédent, on obtient alors l’existence d’une forme linéaire f continue non nulle telle que

∀x ∈ A, ∀y ∈ B, f (x − y − a0+ b0) ≤ f (b0− a0) ,

ce qui montre que supAf ≤ infBf .

• Cas o`u A est compact et B est ferm´e.

La preuve est ici un peu plus complexe et repose sur les deux propriétés suivantes qui sont vérifiées dans les espaces vectoriels topologiques localement convexes :

(i) Soient A un compact, et B ferm´e non vide disjoint de A. Il existe un voisinage convexe V de 0 tel que (A + V ) ∩ B = ∅.

(ii) Si f est une forme lin´eaire continue non nulle, f est ouverte.

D’après la propriété (i), il existe un voisinage convexe V de 0 tel que (A + V ) ∩ B = ∅. L’ensemble A + V est ouvert (comme réunion d’ouverts) et convexe (comme somme de deux convexes). D’après ce qui précède, il existe donc une forme linéaire f continue non nulle telle que supAf ≤ infBf .

La propri´et´e (ii) implique alors que f est ouverte, donc f (A + V ) est un intervalle ouvert ]λ1, λ2[.

(21)

2.3. UN EXEMPLE D’APPLICATION : LE TH ´EOR `EME DE KREIN MILMAN 13

Il reste à montrer les deux propriétés utilisées dans la preuve.

- Soient A un compact, et B ferm´e non vide disjoint de A. Pour tout x ∈ A, il existe αxet δx> 0 tels

que Bαx(x, δx) ∩ B = ∅. Par d´efinition

A ⊂ [

x∈A

Bαx(x,

δx

2 ). Comme A est compact, on peut extraire un sous-recouvrement fini

A ⊂ N [ i=1 Bαi(xi, δi 2). On d´efinit alors l’ouvert convexe contenant 0

V = N \ i=1 Bαi(0, δi 2) . L’in´egalit´e triangulaire montre que

A + V ⊂

N

[

i=1

Bαi(xi, δi)

de sorte que (A + V ) ∩ B = ∅, ce qui prouve la propri´et´e (i).

- Soient f une forme lin´eaire continue non nulle, et U un ouvert (convexe) contenant 0. Il existe x1 tel

que f (x1) = 1. Pour t > 0 suffisamment petit, [−tx1, tx1] ⊂ U . On a alors

[−t, t] ⊂ f ([−tx1, tx1]) ⊂ f (U ) ,

i.e. f (U ) contient un voisinage ouvert de 0. Par linéarité, on en déduit que f est ouverte.

2.3. Un exemple d’application : le th´eor`eme de Krein Milman

D´efinition 2.3.1. — Soit K une partie d’un espace vectoriel E. On dit que x0 est un point extr´emal

de K si

x0= θz + (1 − θ)y avec θ ∈]0, 1[ et z, y ∈ K

⇒ x0= y = z .

Théorème 2.3. — Soient E un espace vectoriel topologique localement convexe séparé et K une partie compacte de E. Alors K est inclus dans l’enveloppe convexe fermée de ses points extrémaux et co¨ıncide avec elle si K est convexe.

Démonstration. — La démonstration de ce résultat se fait en deux étapes basées sur la version géométrique du théorème de Hahn-Banach : on commence par montrer que l’ensemble des points extrémaux E est non vide, puis on prouve que tout point de K est nécessairement dans l’adhérence de l’enveloppe convexe de E .

• On considère l’ensemble P des parties extrémales de l’enveloppe convexe fermée co(K) de K, i.e. des parties A compactes vérifiant

s’il existe x, y ∈ co(K), θ ∈]0, 1[ tels que θx + (1 − θ)y ∈ A, alors x, y ∈ A, que l’on munit de la relation d’ordre A ≺ B si B ⊂ A.

(22)

Si ˜P ⊂ P est totalement ordonné, B = ∩_{A∈ ˜}_PA est une partie extrémale non vide (intersection de fermés emboˆıtés dans un compact) majorant ˜P. Donc P est inductif. D’après le lemme de Zorn, P a alors un élément maximal M .

Si M contient deux points distincts x0et x1, d’après le théorème de Hahn-Banach, il existe une forme

lin´eaire continue sur E telle que f (x0) < f (x1). On d´efinit alors ˜M = {x ∈ M / f (x) = infMf }.

Comme M est compact et f est continue, ˜M 6= ∅. De plus, ˜M est compact (ferm´e dans un compact) et extr´emal

s’il existe x, y ∈ co(K), θ ∈]0, 1[ tels que θx + (1 − θ)y ∈ ˜M alors

( x, y ∈ M car M est extr´emal, θf (x) + (1 − θ)f (y) = inf

M f

donc x, y ∈ ˜M .

Ceci est absurde puisque M est extr´emal et que ˜M est strictement inclus dans M . M est donc r´eduit `

a un point.

• Soit E l’ensemble des points extrémaux de co(K) (qui par définition appartiennent à K), et x0 un

point de co(K) qui n’appartient pas `a l’adh´erence de l’enveloppe convexe de E .

D’après le théorème de Hahn-Banach, il existe une forme linéaire continue f sur E telle que f (x0) > sup{f (x) / x ∈ co(E )}.

Soit A l’ensemble des points de co(K) où f atteint son maximum. L’argument précédent montre que A est extrrémale. L’ensemble des parties extrémales de co(K) incluses dans A admet un élément maximal réduit à un point x1∈ E :

f (x1) ≥ f (x0) > sup{f (x) / x ∈ co(E )} ≥ sup E

f , ce qui aboutit `a une contradiction.

Remarque 2.3.2. — Dans le cas des espaces de Fréchet, l’enveloppe convexe fermée d’un compact est précompacte donc compacte, et pour tout x dans l’enveloppe convexe, il existe une mesure de probabilité µx sur l’ensemble E des points extrémaux telle que x =

R

(23)

CHAPITRE 3

DUALIT´

E ET TOPOLOGIES FAIBLES

La notion de dualité est au coeur des méthodes d’analyse moderne, et jouera un rôle fondamental dans ce cours, puisqu’elle est à l’origine de la notion même de distributions.

La présentation qui en est faite dans ce chapitre est assez abstraite, mais on verra par la suite beaucoup d’applications : dérivation de fonctions non continues, définition des solutions faibles d’équations aux dérivées partielles, démonstration des propriétés de la transformée de Fourier,...

C’est probablement l’un des objectifs les plus importants de ce cours d’utiliser ce nouveau point de vue pour ´etudier les espaces de fonctions.

3.1. Dual topologique

Si E et F sont deux espaces vectoriels, et <> une forme bilin´eaire de F × E dans R telle que

(3.1.1)

∀f ∈ F, < f, x >= 0 ⇒ x = 0,

∀x ∈ E, < f, x >= 0 ⇒ f = 0 .

on peut d´efinir une topologie d’espace vectoriel localement convexe sur E (respectivement sur F ) en consid´erant toutes les semi-normes

pB(x) = sup f ∈B

| < f, x > | o`u B est une partie finie de F (respectivement

qA(f ) = sup x∈A

| < f, x > | o`u A est une partie finie de E.)

Si E est un espace vectoriel topologique localement convexe séparé, défini par ses ouverts τ (E), on peut considérer la forme bilinéaire

(x, f ) ∈ E × E∗7→< f, x >= f (x) ∈ R .

D’après le théorème de Hahn-Banach, le crochet de dualité vérifie l’hypothèse (3.1.1). On peut ainsi définir une nouvelle topologie sur E, notée σ(E, E∗), et une topologie sur E∗, notée σ(E∗, E).

(24)

16 CHAPITRE 3. DUALIT ´E ET TOPOLOGIES FAIBLES

Théorème 3.1. — Soit E est un espace vectoriel topologique localement convexe séparé (défini par ses semi-normes (pα)).

Alors la topologie σ(E, E∗) est plus pauvre que τ (E) : elle a moins d’ouverts, plus de compacts, il existe moins de fonctions continues sur E `a valeurs r´eelles,...

D´emonstration. — Soit A un ouvert pour σ(E, E∗). Pour tout x0∈ A, il existe une partie finie B de

E∗et r > 0 tels que

pB(x − x0) < r ⇒ x ∈ A .

Comme B est finie, ses éléments sont uniformément continus : il existe C > 0 et α tels que ∀x ∈ E, ∀f ∈ B, | < f, x − x0> | ≤ Chα(x − x0) .

On en d´eduit que Bα(x0, r/C) ⊂ A, et donc que A est ouvert pour la topologie initiale.

Dans le cas d’un espace de Banach (E, k · k), E et E∗ sont mutuellement en dualit´e. En effet, E∗ est un espace de Banach pour la norme duale

kf kE∗= sup

x6=0

|f (x)| kxkE

. D´efinition 3.1.1. — Soit (E, k · k) un espace de Banach.

– La topologie associ´ee `a la norme k · k est dite topologie forte sur E. – La topologie σ(E, E∗) est dite topologie faible sur E.

– La topologie σ(E∗, E) est dite topologie faible sur E∗.

Si E est lui-même le dual d’un espace de Banach, on a alors trois topologies sur E. Propriété 3.1.2. — Soit (E, k · k) un espace de Banach.

– Si (xn) converge fortement vers x, xn converge faiblement vers x.

– Si (xn) converge faiblement vers x, xn est born´ee et

kxk ≤ lim inf

n→∞ kxnk .

Démonstration. — La première propriété est une simple conséquence de la continuité de f ∈ E∗(voir aussi le théorème précédent comparant les topologies forte et faible).

La seconde propriété est un corollaire du théorème de Banach-Steinhaus. L’inégalité est obtenue en utilisant la caractérisation suivante de la norme

kxkE= max kf kE∗≤1

|f (x)| qui résulte du théorème de Hahn-Banach.

De fa¸con analogue, on a

Propri´et´e 3.1.3. — Soit (E, k · k) un espace de Banach, et E∗ son dual.

(25)

3.2. TOPOLOGIE FAIBLE 17

– Si (fn) converge faiblement* vers f dans E∗, fn est born´ee et

kf k ≤ lim inf

n→∞ kfnk .

3.2. Topologie faible

Lorsque E est de dimension infinie, la topologie faible est distincte de la topologie forte : il existe toujours des fermés pour la topologie forte qui ne sont pas fermés pour la topologie faible (par exemple la sphère unité).

Pour les sous-ensembles convexes toutefois on a le r´esultat suivant :

Théorème 3.2. — Soit E est un espace vectoriel topologique localement convexe séparé. Si C ⊂ E est un convexe fermé pour τ (E), alors C est aussi fermé pour σ(E, E∗).

Démonstration. — Soit x0∈ C. D’apr`/ es le théorème de Hahn-Banach, on peut séparer {x0} et C

∃f ∈ E∗, ∃α ∈ R, f (x0) < α ≤ inf C f .

En particulier,

{x ∈ E / |f (x) − f (x0)| < α − f (x0)} ∩ C = ∅ ,

ce qui signifie que C est ferm´e (compl´ementaire d’un ouvert) pour la topologie σ(E, E∗).

Corollaire 3.2.1 (Lemme de Mazur). — Soit E un espace de Banach. Si (xn) converge

faible-ment vers x dans E, alors il existe une suite (yn) avec chaque yn combinaison convexe des (xk)k≥n,

qui converge fortement vers x.

Démonstration. — On considère l’enveloppe convexe Cn des (xk)k≥n, de sorte que x appartient à la

fermeture faible de Cn.

D’après le théorème 3.2, la fermeture forte de Cn est égale à la fermeture faible.

Proposition 3.2.2 ( sur l’équivalence continuité forte/faible). — Soient E, F deux espaces de Banach, E∗, F∗ leurs duaux respectifs, et T : E → F une application linéaire.

Alors T est continue de (E, k · kE) dans (F, k · kF) si et seulement si T est continue de (E, σ(E, E∗))

dans (F, σ(F, F∗)).

D´emonstration. — • Supposons d’abord T continue de (E, k · kE) dans (F, k · kF). Pour tout f ∈ F∗,

f ◦ T ∈ E∗et donc est continue pour σ(E, E∗). On en d´eduit alors que T est continue de (E, σ(E, E∗)) dans (F, σ(F, F∗)).

En effet, σ(F, F∗) est la topologie la moins fine contenant la famille Λ = {f−1(ω) / f ∈ E∗ et ω ouvert de R}. Soit U un ouvert de σ(F, F∗), on a U = [ j∈J \ i∈Ij f_i−1(ωi)

(26)

o`u chaque Ij est fini, fi∈ F∗et ωi est un ouvert de R. On a alors

T−1(U ) = [

j∈J

\

i∈Ij

(fi◦ T )−1(ωi)

qui est bien ouvert puisque chaque fi◦ T est continue.

• Supposons maintenant que T est continue de (E, σ(E, E∗_{)) dans (F, σ(F, F}∗_{)). Alors le graphe de}

T est ferm´e pour σ(E × F, E∗× F∗_{) et donc aussi fortement ferm´}_{e dans E × F . Comme E et F sont}

des espaces de Banach, on déduit du théorème du graphe fermé, que T est continue de (E, k · kE) dans

(F, k · kF).

3.3. Topologie faible*

Th´eor`eme 3.3 (de Banach-Alaoglu). — Soient E un espace de Banach et E∗ son dual.

Alors la boule unit´e B = {f ∈ E∗/ kf kE∗≤ 1} est compacte pour la topologie faible*.

De plus, si E est s´eparable, B est s´equentiellement compacte pour la topologie faible*.

D´emonstration. — En utilisant la correspondance entre f et (f (x))x∈E, on peut voir B comme une

partie de

K = Y

x∈E

[−kxk, kxk] .

D’après le théorème de Tychonov (qui repose sur le lemme de Zorn), un produit quelconque d’espaces topologiques compacts est compact pour la topologie produit, donc K est compact. Comme B est le sous-ensemble de K constitué des fonctions linéaires

B = {f ∈ K / ∀x, y ∈ E, ∀λ ∈ R, f (λx + y) = λf (x) + f (y)} , B est ferm´e dans K, donc compact.

Dans le cas o`u E est s´eparable, il existe une suite (xj) dense dans E. Si on se donne une suite (fn) de

B, par extraction diagonale, on peut construire une suite nk telle que, pour tout j,

fnk(xj) → g(xj) quand k → ∞ avec |g(xj)| ≤ kxjk .

Par densité et linéarité, on peut alors prolonger g en une fonction linéaire sur E telle que, ∀x ∈ E, |g(x)| ≤ kxk .

Par in´egalit´e triangulaire, on peut alors montrer que fnk converge simplement vers g (convergence

faible*).

Cette preuve utilise uniquement le fait que, si U est un voisinage de 0, K = {f ∈ E∗/ ∀x ∈ U, |f (x)| ≤ 1} est compact.

En particulier, le théorème de Banach-Alaoglu est encore vrai dans les espaces vectoriels topologiques localement convexes séparés.

(27)

3.4. NOTION D’ESPACE R ´EFLEXIF 19

Remarque 3.3.1. — Si E est s´eparable, la topologie faible-* sur la boule est m´etrisable : si (xn) est

une suite dense dans BE(0, 1), on peut d´efinir par exemple

∀f, g ∈ BE∗(0, 1), d(f, g) = +∞ X 0 −n_{|(f − g)(x} n|.

Si K est un espace métrique compact, E = C(K) muni de la norme uniforme est un espace de Banach séparable. Son dual E∗ est l’espace des mesures signées sur K (théorème de représentation de Riesz).

D’après le théorème de Banach-Alaoglu, si (µn) est une suite de mesures de probabilités, il existe alors

une probabilité µ sur K telle que, à extraction d’une sous-suite près, µn* µ faiblement *.

3.4. Notion d’espace r´eflexif

Soit E un espace de Banach. On voit facilement que E s’identifie à un sous-espace vectoriel de E∗∗ grâce à l’injection

j : x ∈ E 7→ j(x) ∈ E∗∗ o`u < j(x), f >=< f, x > pour tout f ∈ E∗,

qui est une isom´erie d’espace vectoriel norm´e.

Définition 3.4.1. — Soit E un espace de Banach. On dit que E est réflexif s’il est le dual de son dual, i.e. si l’application j définie précédemment est surjective.

Pour un espace réflexif, on a donc σ(E, E∗) = σ(E∗∗, E∗) et la boule unité est faiblement compacte. Il s’agit en fait d’une caractérisation des espaces réflexifs :

Théorème 3.4 (de Kakutani). — Soit E un espace de Banach. Alors E est réflexif si et seulement si sa boule unité est compacte pour σ(E, E∗).

La preuve de ce résultat est un peu technique car elle nécessite de jongler avec les différentes topologies. Elle repose sur les deux lemmes suivants.

Lemme 3.4.2 (de Helly). — Soit E un espace de Banach. On se donne f1, . . . , fn dans E0 et

α1, . . . , αn des réels. Alors les deux propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) pour tout ε > 0, il existe xε∈ BE tel que

∀i = 1, . . . , n, |fi(xε) − αi| < ε ;

(ii) pour tout β1, . . . βn r´eels, on a

n X i=1 βiαi ≤ n X i=1 βifi .

Lemme 3.4.3 (de Goldstine). — Soit E un espace de Banach. On d´efinit j : x ∈ E 7→ j(x) ∈ E∗∗ o`u < j(x), f >=< f, x > pour tout f ∈ E∗, Alors j(BE) est dense dans BE∗∗ pour la topologie faible* σ(E∗∗, E∗).

(28)

Démonstration du théorème de Kakutani. — Supposons d’abord que E est réflexif, de sorte que l’isométrie

j : x ∈ E 7→ j(x) ∈ E∗∗ o`u < j(x), f >=< f, x > pour tout f ∈ E∗,

est surjective : j(BE) = BE∗∗. D’après le théorème de Banach-Alaoglu, B_E∗∗ est compact pour la

topologie σ(E∗∗, E∗).

Comme j−1 est une isom´etrie, pour tout f ∈ E∗, f ◦ j−1 est continue pour σ(E∗∗, E∗). Cela im-plique que j−1 est continue de (E∗∗, σ(E∗∗, E∗)) vers (E, σ(E, E∗)). La boule BE est donc faiblement

compacte dans E.

R´eciproquement, si BE est faiblement compacte, comme j est une isom´etrie de E sur E∗∗, elle est

continue de (E, σ(E, E∗)) dans (E∗∗, σ(E∗∗, E∗∗∗)) d’apr`es le Corollaire 3.2.2. Comme σ(E∗∗, E∗) est moins fine que σ(E∗∗, E∗∗∗), j est aussi continue de (E, σ(E, E∗)) dans (E∗∗, σ(E∗∗, E∗)). Cela implique que j(BE) est compact pour σ(E∗∗, E∗).

Le lemme de Goldstine montre alors que BE∗∗= B_E, et donc E∗∗= E.

Reste alors `a ´etablir les deux lemmes.

D´emonstration du lemme d’Helly. — Supposons d’abord que pour tout ε > 0, il existe xε ∈ BE tel

que

∀i = 1, . . . , n, |fi(xε) − αi| < ε .

Soient β1, . . . , βn des r´eels quelconques. On a

n X i=1 βiαi ≤ n X i=1 βifi(xε) + ε n X i=1 |βi| ≤ n X i=1 βifi + ε n X i=1 |βi|

d’o`u l’on d´eduit (ii) en faisant tendre ε → 0.

On établit ensuite la réciproque par contraposition. On définit F = (f1, . . . fn). Par définition, F (BE)

est un convexe ferm´e de Rn_{. D’apr`}_{es le th´}_eor`_{eme de Hahn-Banach, si α = (α}

1, . . . αn) /∈ F (BE), il

existe une forme lin´eaire sur Rn qui s´epare strictement α et F (BE), autrement dit il existe β1, . . . , βn

et γ tels que : ∀x ∈ BE, n X i=1 βifi(x) < γ < n X i=1 βiαi,

ce qui implique en particulier que n X i=1 βifi < n X i=1 βiαi .

D´emonstration du lemme de Goldstine. — Soit η ∈ BE∗∗ et V un voisinage de η pour la topologie

σ(E∗∗, E∗). Il s’agit de montrer que V ∩ j(BE) 6= ∅.

Sans perte de généralité, on peut supposer qu’il existe ε > 0, f1, . . . , fn dans E∗ tels que

(29)

3.4. NOTION D’ESPACE R ´EFLEXIF 21 Si on pose αi= η(fi), on a ∀β1, . . . βn∈ Rn, n X i=1 βiαi = η n X i=1 βifi ! ≤ n X i=1 βifi . D’apr`es le lemme d’Helly, il existe alors xε∈ BE tel que

∀i = 1, . . . , n, |fi(xε) − αi| < ε ,

ce qui signifie exactement que j(xε) ∈ V , et donc que V ∩ j(BE) 6= ∅.

Une condition suffisante pour qu’un espace de Banach soit réflexif est qu’il soit uniformément convexe. Définition 3.4.4. — Un espace vectoriel normé E est dit uniformément convexe si on a la propriété

∀ε > 0, ∃δ > 0, kxk ≤ 1, kyk ≤ 1 et k1

2(x + y)k ≥ 1 − δ

⇒ kx − yk ≤ ε .

Théorème 3.5 (de Milman-Pettis). — Tout espace de Banach uniformément convexe est réflexif.

D´emonstration. — On doit montrer que j(E) = E∗∗, ou de fa¸con ´equivalente que j(BE) = BE∗∗.

Comme j(BE) est fermée, il suffit par homogénéité de montrer que j(BE) est dense (pour la topologie

forte) dans la sph`ere

S = {η ∈ E∗∗/ kηkE∗∗ = 1} .

On se donne alors η ∈ S et ε > 0, et on va montrer qu’il existe x ∈ BE tel que kj(x) − ηk ≤ ε.

Comme E est unifom´ement convexe, il existe δ > 0 tel que

∀x, y ∈ BE, kx − yk > ε ⇒ kx + yk ≤ 2(1 − δ) .

On choisit alors f ∈ E∗_{telle que}

kf kE∗= 1 et η(f ) ≥ 1 −

δ 2.

D’apr`es le lemme de Goldstine, j(BE) est dense dans BE∗∗ pour la topologie faible* σ(E∗∗, E∗) : il

existe donc x ∈ BE tel que

|η(f ) − f (x)| < δ 2. – si kj(x) − ηkE∗∗ ≤ ε, on a la propri´et´e voulue.

– si kj(x) − ηkE∗∗> ε, comme E∗∗\B_E∗∗(j(x), ε) est ouvert pour la topologie σ(E∗∗, E∗), il r´esulte

du lemme de Goldstine qu’il existe y ∈ BE tel que

kj(y) − j(x)k = kx − yk > ε et |η(f ) − f (y)| < δ 2. On a alors 1 2kx + yk ≥ (1 − δ) puisque 1 − δ 2 ≤ η(f ) < 1 2f (x + y) + δ 2 ≤ 1 2kx + yk + δ 2 ce qui aboutit `a une contradiction.

(30)

Pour tout ouvert Ω ⊂ RN, on définit Lp(Ω) comme l’espace des fonctions de puissance p-ième intégrable, quotienté par la relation d’équivalence d’égalité presque partout, et muni de la norme

kf kp= Z Ω |f |p_(x)dx 1/p .

Ces espaces ont été introduits de fa¸con détaillée dans le cours Zhan Shi (voir aussi les notes de cours de Jean-Fran¸cois Legall). On en rappelle sans démonstration quelques propriétés fondamentales : Propriété 3.4.5. — Soit Ω un ouvert de RN_{. Si p ∈ [1, ∞[,}

– l’espace Lp(Ω) est complet; – l’espace Lp_{(Ω) est s´}_eparable;

– C_c∞(Ω) (et a fortiori Cc(Ω)) est dense dans Lp(Ω).

Un autre résultat important est que ces espaces sont réflexifs si p ∈]1, +∞[, et que les bornés sont donc faiblement compacts.

Propriété 3.4.6. — Soit Ω un ouvert de RN. Si p ∈]1, ∞[, Lp(Ω) est uniformément convexe, donc réflexif. Démonstration. — On pose h(x) = (1 + x1/p)p+ |1 − x1/p|p_. On a alors h0(x) = (1 + x−1/p)p−1+ |1 − x−1/p|p−2_{(1 − x}−1/p₎ h00(x) = p − 1 p x −1−1 p h |1 − x−1/p|p−2_{− (1 + x}−1/p₎p−2i

de sorte que h est convexe sur R+ si p ≤ 2 et concave si p ≥ 2.

Si p ≥ 2, l’in´egalit´e de Jensen donne h R Ωv p_dx R Ωu p_dx ≥R u p_h v u p dx R up_dx , soit encore ku + vkpp+ ku − vk p p≤ (kukp+ kvkp)p+ |kukp− kvkp|p. En particulier, si kukp= kvkp= 1 et ku − vkp> 2ε, 1 2(u + v) _p ≤ (1 − εp₎1/p_.

Donc Lp_{(Ω) est uniform´}_{ement convexe.}

Si p ≤ 2, ku + vkp p+ ku − vk p p≥ (kukp+ kvkp)p+ |kukp− kvkp|p. En particulier, si k˜ukp= k˜vkp= 1, (k1 2(˜u + ˜v)kp+ k 1 2(˜u − ˜v)kp) p_{+ |k}1 2(˜u + ˜v)kp− k 1 2(˜u − ˜v)kp| p ≤ 2 Donc Lp(Ω) est uniform´ement convexe.

(31)

PARTIE II

(32)

(33)

CHAPITRE 4

LA TH´

EORIE DE SCHWARTZ

L’espace des distributions est, en un sens convenable, le “plus petit espace” contenant les fonctions continues, et où la dérivation est partout définie. La théorie des distributions, élaborée par Schwartz `

a la fin des années quarante, est l’aboutissement d’un processus s’étalant sur plus d’un demi-siècle et comprenant, entre autres, le calcul symbolique de l’ingénieur Heaviside (1893), le formalisme introduit par le physicien Dirac (1926), les “parties finies” d’intégrales divergentes de Hadamard (1932) et les dérivées généralisées de Sobolev (1936). On trouvera une présentation complète de cette théorie par exemple dans [13], [18].

L’idée de départ consiste à changer de point de vue pour décrire les fonctions : plutôt que de considérer une fonction f de variable réelle comme la collection de ses valeurs f (x) où x parcourt R, on décrit f par la collection de ses moyennes pondéréesR f ϕ(x)dx où ϕ parcourt Cc∞(R) . La formule d’intégration

par parties Z R f0ϕ(x)dx = − Z R f ϕ0(x)dx

permet alors de d´efinir l’objet f0.

4.1. Définition et propriétés élémentaires 4.1.1. L’espace des distributions. —

D´efinition 4.1.1. — Une distribution T sur un ouvert Ω ⊂ RN _{est une forme lin´}_{eaire sur C}∞ c (Ω)

ϕ ∈ C_c∞(Ω) 7→ hT, ϕi ∈ R ,

qui vérifie la propriété de continuité : pour tout K compact de Ω, il existe p ∈ N et C > 0 tels que (4.1.1) ∀ϕ ∈ C∞(Ω) à support dans K, |hT, ϕi| ≤ C sup

|α|≤p

k∂α_ϕk ∞.

Si on peut choisir p ind´ependamment du compact K, on dit que la distribution T est d’ordre fini p.

L’espace D0(Ω) des distributions sur Ω est un espace vectoriel. C’est en fait le dual topologique de C_c∞(Ω).

(34)

26 CHAPITRE 4. LA TH ´EORIE DE SCHWARTZ

– Pour chaque compact K ⊂ Ω, l’ensemble des fonctions C∞(Ω) `a support dans K muni des semi-normes

pm(ϕ) = sup |α|≤m

k∂α_ϕk ∞

est un espace de Fr´echet, donc un espace m´etrisable.

– On d´efinit alors la topologie de C_c∞(Ω) = ∪K⊂⊂ΩC∞(K) comme limite inductive des C∞(K),

i.e. comme la topologie la plus fine rendant continues les injections de C∞(K) dans C_c∞(Ω); – On v´erifie que la condition (4.1.1) exprime bien la continuit´e pour cette topologie.

Lemme 4.1.2. — Soient Ω un ouvert de RN_{, T ∈ D}0_{(Ω) et (ϕ}

n) une suite de Cc∞(Ω) convergeant

vers ϕ dans C_c∞(Ω). Alors

lim

n→∞hT, ϕni = hT, ϕi .

D´emonstration. — Si (ϕn) converge vers ϕ dans Cc∞(Ω), alors par d´efinition

– il existe un compact K ⊂ Ω tel que

∀n ∈ N, ∀x /∈ K, ϕn(x) = 0 ,

(en particulier ϕ est `a support dans K), – pour tout α ∈ NN_{, la suite (∂}α_ϕ

n) converge vers ∂αϕ uniform´ement sur K.

Puisque T est une distribution, il existe C > 0 et p ∈ N (d´ependant uniquement de K) tels que |hT, ϕn− ϕi| ≤ C sup

|α|≤p

k∂α_(ϕ

n− ϕ)k∞,

ce qui donne la convergence attendue.

Le th´eor`eme d’annulation sur L1_loc(Ω) ∀v ∈ Cc∞(Ω), Z Ω uvdx = 0 ⇒ u = 0 presque partout

permet d’identifier L1_loc(Ω) à un sous-espace de D0(Ω). A chaque f ∈ L1_loc(Ω), on associe en effet (de manière injective) la distribution Tf définie par

∀ϕ ∈ C_c∞(Ω), hTf, ϕi = Z Ω f ϕdx de sorte que ∀ϕ ∈ C∞_{(Ω) `}_{a support dans K,} _|hT f, ϕi| ≤ kf kL1_(K)kϕk_∞.

D´efinition 4.1.3. — Soient Ω un ouvert de RN, et (Tn) une suite de D0(Ω). On dit que (Tn) converge

vers T dans D0(Ω) si

∀ϕ ∈ C∞

c (Ω), hTn, ϕi → hT, ϕi quand n → ∞.

La convergence au sens des distributions est une convergence tr`es faible : elle est impliqu´ee par exemple par la convergence dans L1

(35)

4.1. D ÉFINITION ET PROPRI ÉT ÉS ÉL ÉMENTAIRES 27

4.1.2. D´erivation au sens des distributions. —

D´efinition 4.1.4. — Soient Ω un ouvert de RN_{, T ∈ D}0_{(Ω) et α ∈ N}N_{. La d´}_eriv´_{ee ∂}α_{T d’ordre α}

de la distribution T est la distribution d´efinie par

∀ϕ ∈ Cc∞(Ω), h∂αT, ϕi = (−1)|α|hT, ∂αϕi .

Il est facile de vérifier que la dérivée distribution co¨ıncide avec la dérivée classique, en utilisant la formule de Green.

En utilisant cette remarque très simple et le lemme de fermeture suivant, on peut alors obtenir les règles de dérivation des distributions.

Lemme 4.1.5. — Soient Ω un ouvert de RN, et (Tn) une suite de D0(Ω) convergeant vers T dans

D0(Ω). Alors, pour tout α ∈ NN_,

∂αTn→ ∂αT au sens des distributions.

D´emonstration. — On a h∂α_T

n, ϕi = (−1)|α|hTn, ∂αϕi → (−1)|α|hT, ∂αϕi = h∂αT, ϕi

et ceci pour tout fonction ϕ ∈ C_c∞(Ω).

Propri´et´e 4.1.6. — Soient Ω un ouvert de RN et T ∈ D0(Ω).

– Pour toute f ∈ C∞(Ω), f T ∈ D0(Ω) et ∀α ∈ NN_, _∂α_{(f T ) =} X β≤α β α ∂α−βf ∂βT

avec les notations usuelles pour les multi-indices et les coefficients binomiaux. – Pour tout diff´eomorphisme φ ∈ C∞(ω, Ω), T ◦ φ ∈ D0(ω) et

∂j(T ◦ φ) =

X

k

(∂jφk)(∂kT ◦ φ).

Démonstration. — Les règles de calcul s’obtiennent à partir du calcul différentiel usuel par dualité. • On définit la distribution produit f T par

∀ϕ ∈ Cc∞(Ω), hf T, ϕi = hT, f ϕi

de sorte que, pour tout compact K,

|hf T, ϕi| ≤ C sup |α|≤p k∂α_{(f ϕ)k} ∞ ≤ ˜C sup |α|≤p k∂α_ϕk ∞

pour toute fonction ϕ ∈ C∞ à support dans K, où ˜C ne dépend que de C et de f (par la formule de Leibniz).

On a alors

h∂j(f T ), ϕi = −hf T, ∂jϕi = −hT, f ∂jϕi

= −hT, ∂j(f ϕ) − ϕ∂jf i

(36)

d’où ∂j(f T ) = (∂jf )T + f (∂jT ) dans D0(Ω). Par récurrence sur |α|, on peut établir la formule de

Leibniz annonc´ee.

• On d´efinit l’image inverse T ◦ φ de T par le changement de variable φ par ∀ϕ ∈ C∞

c (ω), hT ◦ φ, ϕi = hT, | det Dφ−1|ϕ ◦ φ−1i .

En utilisant les règles de dérivation des fonctions composées, la formule de Leibniz et le fait que | det Dφ−1_{| est dans C}∞_{(Ω), on obtient alors que, pour tout compact K,}

hT ◦ φ, ϕi ≤ C sup |α|≤p k∂α_{(| det Dφ}−1_{|ϕ ◦ φ}−1_)k ∞ ≤ ˜C sup |α|≤p k(∂α_{ϕ) ◦ φ}−1_k L∞_(K) ≤ ˜C sup |α|≤p k(∂α_ϕ)k L∞_(φ−1_(K))

pour toute fonction ϕ ∈ C∞`a support dans φ−1(K).

Or, pour tout g ∈ C_c∞(Ω), Z ω ∂j(g ◦ φ)dy = X k Z ω ∂jφk(∂kg ◦ φ)dy =X k Z Ω (∂jφk◦ φ−1)∂kg| det Dφ−1|dx = 0 ,

d’o`u l’on d´eduit que

ce qui conclut la preuve.

4.2. Quelques exemples

4.2.1. Mesures de Radon. — L’ensemble M+(Ω) des mesures positives localement finies sur Ω

s’identifie `a un sous-ensemble de D0_{(Ω) via l’application}

µ ∈ M+(Ω) 7→ Tµ∈ D0(Ω) d´efinie par ∀ϕ ∈ C_c∞(Ω), hTµ, ϕi = Z Ω ϕdµ .

(37)

4.2. QUELQUES EXEMPLES 29

Cette application est en effet injective puisque Cc∞(Ω) est dense dans Cc(Ω).

Il est facile de v´erifier que les distributions ainsi obtenues sont d’ordre 0 : pour tout compact K ⊂ Ω, ∀ϕ ∈ C∞ `a support dans K, |hTµ, ϕi| ≤ µ(K)kϕk∞.

On a en fait la caract´erisation suivante :

Th´eor`eme 4.1. — Soit Ω un ouvert de RN_{. Si T est une distribution positive sur Ω, i.e.}

∀ϕ ∈ C∞(Ω, R+), hT, ϕi ≥ 0 . alors T est une mesure de Radon positive.

Démonstration. — On commence par vérifier que T se prolonge en une forme linéaire positive sur Cc(Ω).

• Pour tout compact K ⊂ Ω, on peut construire (par r´egularisation de 11{x / d(x,K)≤δ}) une fonction

ψ ∈ C_c∞(Ω) telle que

ψ(Ω) ⊂ [0, 1], et ψ_|K≡ 1 . Pour toute fonction ϕ ∈ C∞`a support dans K, on a alors

∀x ∈ Ω, −kϕk∞ψ(x) ≤ ϕ(x) ≤ kϕk∞ψ(x) .

Par positivit´e de T , on en d´eduit

|hT, ϕi| ≤ kϕk∞hT, ψi ,

ce qui signifie que T est continue pour la norme L∞(K).

• Pour toute fonction g ∈ Cc(Ω), g est la limite d’une suite (gn) de Cc∞(Ω) uniform´ement support´ee

dans un compact K (r´egularisation par convolution). On pose alors hT, gi = lim

n→∞hT, gni

qui est bien d´efinie car (hT, gni) est de Cauchy.

Le théorème de représentation de Riesz permet alors de conclure que T s’identifie à une mesure de Radon.

Attention : toute distribution ne s’écrit pas comme la différence de deux distributions positives. Par exemple, δ0 - qui est d’ordre 1 - n’est pas la différence de deux distributions positives.

4.2.2. Valeurs principales et parties finies. —

Définition 4.2.1. — Soit Tn la distribution sur R associée à la fonction intégrable

fn(x) =

1

x11|x|≥n1 .

La valeur principale de 1/x est la distribution vp(1_x) d’ordre 1 sur R, obtenue en passant à la limite dans la suite (Tn). C’est la dérivée-distribution de log |x|.

(38)

D´emonstration. — Pour toute fonction ϕ ∈ Cc∞(R) `a support dans [−a, a]

hTn, ϕi = Z 1 n≤|x|≤a ϕ(x) x dx = Z 1 n≤|x|≤a ϕ(x) − ϕ(0) x dx par parit´e.

Comme la fonction x 7→ (ϕ(x) − ϕ(0))/x se prolonge par continuit´e en 0, elle est int´egrable sur [−a, a], et on a lim n→∞hTn, ϕi = Z |x|≤a ϕ(x) − ϕ(0) x dx .

En utilisant à nouveau la parité, on obtient que la limite est indépendante de a. Par exemple, hvp(1 x), ϕi = Z |x|≤1 ϕ(x) − ϕ(0) x dx + Z |x|>1 ϕ(x) x dx .

• Pour toute fonction ϕ ∈ C∞

c (R) à support dans [−a, a], l’inégalité des accroissements finis donne

hvp(1 x), ϕi ≤ 2akϕ0k∞.

On en d´eduit que vp(_x1) est bien une distribution, d’ordre au plus 1. En particulier, on peut la prolonger en une forme lin´eaire continue sur C1

c(K) pour tout compact K ⊂ R.

Elle n’est pas d’ordre 0 comme on le voit facilement en choisissant ϕk = ρk ∗ 11[0,1], elle est donc

exactement d’ordre 1.

• Reste `a prouver l’identit´e vp(1_x) = (log |x|)0. Pour toute fonction ϕ ∈ Cc∞(R),

h(log |x|)0, ϕi = −hlog |x|, ϕ0i = − Z

log |x|ϕ0(x)dx .

Comme x 7→ log |x| est dans L1

loc(R), on a Z log |x|ϕ0(x)dx = lim n→0 Z |x|≥1/n log |x|ϕ0(x)dx .

Par int´egration par parties, Z |x|≥1/n log |x|ϕ0(x)dx = − Z |x|≥1/n ϕ(x) x dx + log n ϕ(1 n) − ϕ(− 1 n) .

Le second terme du membre de droite tend vers 0 quand n → ∞ car ϕ est dérivable en 0, donc Z log |x|ϕ0(x)dx = − lim n→0 Z |x|≥1/n ϕ(x) x dx = −hvp( 1 x), ϕi, ce qui est l’identité annoncée.

De fa¸con similaire, on d´efinit les parties finies P f (xα+) pour α ∈]−2, −1[ par d´erivation de x α+1

+ /(α+1).

D´efinition 4.2.2. — La partie finie de xα

+ est la distribution P f (xα+) d’ordre 1, d´efinie par

hP f (xα+), ϕi = − Z +∞ 0 xα+1 α + 1ϕ 0_{(x)dx = lim} n→∞ Z x≥1 n xαϕ(x)dx .

(39)

4.3. LOCALISATION, CONVOLUTION, R ´EGULARISATION 31

4.2.3. Dérivées des indicatrices et formule de saut. — Soit K un compact de classe C1de RN. En utilisant une partition de l’unité et des changements de carte locaux, on peut montrer la formule de Stokes

∂xi(11K) = −νidσ,

où ν est le vecteur unitaire normal à ∂K orienté vers l’extérieur et dσ est la mesure de Lebesqgue superficielle de ∂K. Cette formule n’est rien d’autre que la généralisation de la formule d’intégration par parties

d

dx11[a,b]= δa− δb.

Proposition 4.2.3. — Soient Ω un ouvert de RN_{, K un compact de classe C}1 _{de Ω et f ∈ C(Ω)}

telle que ∂xif ∈ L

1

loc(Ω). Alors

∂xi(f 11K) = (∂xif )11K− νif dσ

où ν est le vecteur unitaire normal à ∂K orienté vers l’extérieur et dσ est la mesure de Lebesqgue superficielle de ∂K.

Démonstration. — On commence par se ramener au cas d’une fonction à support compact. Par régularisation de 11_{{x / d(x,K)≤δ}} avec δ ≤ 1

2d(K, ∂Ω), on peut construire une fonction ψ ∈ C ∞ c (Ω)

v´erifiant

ψ(Ω) ⊂ [0, 1] et ψ ≡ 1 sur un voisinage de K. Si on pose g = ψf , g ∈ Cc(Ω) et ∂xig ∈ L

1_{(Ω). Comme f ≡ g sur un voisinage de K, il suffit de}

prouver la formule des sauts pour g.

On se ramène alors au cas où la fonction est de classe C∞ par régularisation. On se donne une suite régularisante (ρn) définie par

∀x ∈ RN_, _ρ

n(x) = nNρ(nx) où ρ ∈ C∞(RN, [0, 1]) à support dans la boule unité,

et on pose gn= ρn∗ g. La formule de Stokes et la r`egle de d´erivation du produit montrent que

∂xi(gn11K) = gn(∂xi11K) + (∂xign)11K = −νigndσ + (∂xign)11K.

Par le lemme de fermeture,

∂xign→ ∂xig dans D

0_(Ω), _{et ∂}

xi(gn11K) → ∂xi(g11K) dans D

0_(Ω).

Les r´esultats classiques sur la convolution montrent que

gn→ g uniform´ement sur Ω, et ∂xign→ ∂xig dans L

1_{(Ω) .}

On obtient alors la formule des sauts pour g.

4.3. Localisation, convolution, r´egularisation

Comme pour les fonctions, le procédé de régularisation des distributions le plus standard est la convo-lution. Dans le cas où les distributions sont définies sur un ouvert Ω, cette régularisation est partielle car elle ne va pas jusqu’au bord. On va donc définir la notion de support d’une distribution, mais pour simplifier la présentation, on exposera la suite des résultats dans le cas où Ω = RN.

(40)

D´efinition 4.3.1. — Soit Ω un ouvert de RN et T une distribution sur Ω. Le support de T est le compl´ementaire du plus grand ouvert V tel que T|V ≡ 0.

Supp(T ) = Ω \ {x ∈ Ω / ∃ω voisinage de x, T|ω= 0}.

On note E0(Ω) l’ensemble des distributions `a support compact.

On a la caractérisation suivante des distributions dont le support est réduit à un point :

Propriété 4.3.2. — Soit a ∈ RN. Les distributions sur RN dont le support est {a} sont les combi-naisons linéaires des dérivées de la masse de Dirac en a.

Démonstration. — On commence par montrer que les distributions à support compact sont toujours d’ordre fini. Soient T ∈ E0(Ω) et K un voisinage compact de Supp(T ). On peut construire (par régularisation d’une fonction caractéristique par exemple) une fonction ψ ∈ Cc∞(Ω) à support dans K

telle que

ψ(Ω) ⊂ [0, 1] et ψ_|_Supp_{(T )}≡ 1.

On a alors T = T ψ. Donc, pour toute fonction ϕ ∈ Cc∞(Ω), comme ψϕ est `a support dans K,

par la formule de Leibniz. T est donc d’ordre pK.

Soit maintenant T une distribution dont le support est r´eduit `a {a}, disons d’ordre p. On se donne une fonction ψ ∈ C∞

c (Ω) `a support dans B(a, δ) telle que

ψ(Ω) ⊂ [0, 1] et ψ ≡ 1 sur un voisinage de a, et on pose ψn(x) = ψ(a + n(x − a)).

La formule de Taylor donne, pour toute fonction ϕ ∈ C_c∞(Ω)

ϕ(x) = ψ(x)   X |α|≤p (x − a)α α! ∂ α_ϕ(a)  + ˜ϕ(x) avec

∀α tel que |α| ≤ p, ∂αϕ(a) = 0.˜ Par d´efinition du support de T ,

hT, ˜ϕ(1 − ψn)i = 0.

De plus, comme T est d’ordre p,

|hT, ˜ϕψni| ≤ C sup |α|≤p

k∂α( ˜ϕψn)k∞≤ ˜C/n

en utilisant la formule de Leibniz et la formule de Taylor ∀x ∈ B(a, δ/n), |∂β_{ϕ(x)| ≤ C}_˜ 1

n

p+1−|β| . On en d´eduit que hT, ˜ϕi = 0.

(41)

D´efinition 4.3.3. — Soient T ∈ D0(RN) et ϕ ∈ Cc∞(RN). La convolution de T par ϕ est d´efinie

sur RN _par

T ∗ ϕ(x) = hT, τxϕi o`ˆ u ˆϕ(y) = ϕ(−y) .

Proposition 4.3.4. — Soient T ∈ D0(RN_{) et ϕ ∈ C}∞

c (RN). Alors

Supp(T ∗ ϕ) ⊂ SuppT + Suppϕ . De plus, T ∗ ϕ ∈ C∞(RN) et on a

∂α(T ∗ ϕ) = T ∗ (∂αϕ) = (∂αT ) ∗ ϕ.

D´emonstration. — Soit x /∈ SuppT + Suppϕ, on a

SuppT ∩ Supp(τxϕ) = SuppT ∩ (x − Suppϕ) = ∅,ˆ

ce qui implique que T ∗ ϕ(x) = hT, τxϕi = 0.ˆ

Soient x ∈ RN _{et α ∈ N}N _{avec |α| = 1. Pour tout ε > 0,}

1 ε

T ∗ ϕ(x + εα) − T ∗ ϕ(x)=1

εhT, (τx+εαϕ − τˆ xϕ)i .ˆ Or on peut montrer que 1_ε(τx+εαϕ − τˆ xϕ) converge vers τˆ x(∂\αϕ) dans Cc∞(R

N_{) quand ε → 0 :} – pour tout ε ∈]0, 1], Supp 1 ε(τx+εαϕ − τˆ xϕ)ˆ ⊂ Supp( ˆϕ) + B(x, 1) , – pour tout β ∈ NN ∂β 1 ε(τx+εαϕ − τˆ xϕ) − τˆ x(∂\ α_ϕ) → 0 uniform´ement quand ε → 0.

On a alors

1 ε

T ∗ ϕ(x + εα) − T ∗ ϕ(x)→ hT, τx(∂\αϕ)i .

Par d´efinition de la d´erivation des distributions, h∂α_{T, τ}

xϕi = −hT, ∂ˆ ατxϕiˆ

= −hT, τx∂αϕi = hT, τˆ x∂dαϕi , ce qui donne la derni`ere identit´e.

On conclut alors par r´ecurrence sur la longueur de α.

Th´eor`eme 4.2. — L’ensemble des fonctions lisses C∞(RN) est dense dans D0(RN).

Démonstration. — Soit (ρn) une suite régularisante définie par

∀x ∈ RN_, _ρ

n(x) = nNρ(nx) où ρ ∈ C∞(RN, [0, 1]) à support dans la boule unité.

Pour toute fonction ϕ ∈ C∞

c (RN), ϕ ∗ ˆρn→ ϕ dans Cc∞(RN) puisque

– pour tout n ≥ 1,

(42)

– pour tout β ∈ NN

∂β(ϕ ∗ ˆρn) = (∂βϕ) ∗ ˆρn→ ∂βϕ

uniform´ement quand n → ∞. On a alors hT ∗ ρn, ϕi = Z RN T ∗ ρn(x)ϕ(x)dx = Z RN hT, τxρˆniϕ(x)dx = hT, Z RN ϕ(x)τxρˆndxi = hT, ϕ ∗ ˆρni → hT, ϕi

en utilisant par exemple des sommes de Riemann pour justifier l’interversion du crochet de distribution et de l’int´egrale.

(T ∗ ρn)n∈N est donc une suite de C∞(RN) qui converge vers T au sens des distributions.

En fait, de fa¸con plus générale, on peut définir la convolution de deux distributions, pourvu que l’une au moins soit à support compact.

D´efinition 4.3.5. — Soient T ∈ D0(RN_{) et S ∈ E}0_(RN_{). La convolution de T par S est la}

distribu-tion d´efinie par

∀ϕ ∈ C∞ c (R

N_), _{hT ∗ S, ϕi = hT, ˆ}_{S ∗ ϕi}

o`u ˆS est l’image inverse de S par le changement de variable x 7→ −x.

Avec cette définition, on a les propriétés usuelles de la convolution : Propriété 4.3.6. — Soient T ∈ D0(RN_{) et S, S}

1, S2∈ E0(RN).

Supp(T ∗ S) ⊂ Supp(T ) + Supp(S), ordre(T ∗ S) ≤ ordre(T ) + ordre(S), ∀α ∈ NN_, _∂α_{(T ∗ S) = ∂}α_{T ∗ S = T ∗ ∂}α_S,

S1∗ S2= S2∗ S1, (T ∗ S1) ∗ S2= T ∗ (S1∗ S2) .

D´emonstration. — Puisque

Supp( ˆS ∗ ϕ) ⊂ Supp( ˆS) + Supp(ϕ), ˆ

S ∗ ϕ est une fonction C∞`a support compact, et T ∗ S est bien d´efinie. De plus,

si Supp(ϕ) ∩ (Supp(T ) + Supp(S)) = ∅, alors Supp( ˆS ∗ ϕ) ∩ Supp(T ) = ∅, et hT ∗ S, ϕi = hT, ˆS ∗ ϕi = 0. On obtient ainsi la condition sur les supports convolutifs.

Si T est d’ordre fini p

|hT ∗ S, ϕi| = |hT, ˆS ∗ ϕi| ≤ C sup

|α|≤p sup x∈K+Supp( ˆS) |∂α_{( ˆ}_{S ∗ ϕ)(x)|} ≤ C sup |α|≤p |β|≤p0 sup x∈K |∂α+β_ϕ(x)|

(43)

Pour la dérivation, en utilisant la dualité, on a les identités

h∂α_{(T ∗ S), ϕi = (−1)}|α|_{hT ∗ S, ∂}α_{ϕi = (−1)}|α|_{hT, ˆ}_{S ∗ ∂}α_ϕi

= (−1)|α|hT, ∂α_{( ˆ}_{S ∗ ϕ)i = h∂}α_{T ∗ S, ϕi}

= (−1)|α|hT, ∂α_{S ∗ ϕi = hT ∗ ∂}_ˆ α_{S, ϕi .}

Les propriétés de réflexivité et d’associativité se prouvent par régularisation hS1∗ S2, ϕi = hS1, ˆS2∗ ϕi = lim

n→∞hS1∗ ρn, ˆS2∗ ϕi

car ˆS2∗ ϕ ∈ Cc∞(RN) et S1∗ ρn→ S1dans D0(RN).

Comme précédemment, en utilisant des sommes de Riemann, on intervertit le crochet et l’intégrale hS1∗ ρn, ˆS2∗ ϕi = Z S1∗ ρn(x)h ˆS2, τxϕidx = h ˆˆ S2, Z S1∗ ρn(x)τxϕdxiˆ = h ˆS2, S1∗ (ρn∗ ˆϕ)i = hS2, ˆS1∗ (ˆρn∗ ϕ)i = hS2∗ S1, ˆρn∗ ϕi → hS2∗ S1, ϕi

ce qui donne la réflexivité. De la même fa¸con, on a

T ∗ (S1∗ S2) = lim_n→∞ m→∞ T ∗ ((S1∗ ρn) ∗ (S2∗ ρm)) = lim n→∞ m→∞ (T ∗ (S1∗ ρn)) ∗ (S2∗ ρm) = (T ∗ S1) ∗ S2 car ∀ϕ1, ϕ2∈ Cc∞(R N_), _{T ∗ (ϕ} 1∗ ϕ2) = (T ∗ ϕ1) ∗ ϕ2.

Cela montre l’associativit´e.

Les deux résultats qui précèdent reposent essentiellement sur les généralisations suivantes des théorèmes de Fubini et de dérivation sous le signe somme.

– Int´egration sous le crochet. Soient S ∈ E0(RN) et ϕ ∈ C∞(RN +q). Pour tout compact K ⊂ Rq_, hS, Z K ϕ(·, y)dyi = Z K hS, ϕ(·, y)idy .

– D´erivation sous le crochet. Soient S ∈ E0(RN_{) et ϕ ∈ C}∞_(RN +q_{). La fonction φ : y 7→}

hS, ϕ(·, yi est de classe C∞ _et

(44)

(45)

CHAPITRE 5

SOLUTIONS SINGULI`

ERES D’´

EQUATIONS AUX D´

ERIV´

EES

PARTIELLES

On va présenter maintenant une application très simple de la notion de distribution à la résolution d’équations aux dérivées partielles présentant des singularités en temps fini. La résolution se fera par approximation, puis par passage à la limite : cela permettra donc de manipuler les différentes notions de convergence introduites aux chapitres précédents.

L’équation aux dérivées partielles que nous allons considérer ici n’a pas d’application physique di-recte, mais c’est un prototype de système hyperbolique de lois de conservation, comme il en apparaˆıt naturellement par exemple en mécanique des fluides ou en élasticité [17], [4].

L’équation de Hopf est une équation scalaire unidimensionnelle, ce qui signifie que l’inconnue u est réelle et dépend du temps t ∈ R+ et d’une seule variable d’espace x ∈ R. Elle s’écrit

(5.0.1) ∂tu + ∂x 1 2u 2 = 0 ce qui est équivalent pour des solutions classiques régulières à

(5.0.2) ∂tu + u∂xu = 0.

Cette dernière équation est aussi appelée équation de Burgers non visqueuse.

5.1. M´ethode des caract´eristiques et explosion

En utilisant la forme (5.0.2) de l’´equation, on peut calculer explicitement la solution en fonction de la donn´ee initiale

u|t=0= u0,

au moins pour des temps petits. En effet, on dispose d’une méthode très générale pour la résolution des équations de transport, dite méthode des caractéristiques.

5.1.1. La m´ethode des caract´eristiques. —

Proposition 5.1.1. — Les solutions de l’´equation de transport

(46)

38 CHAPITRE 5. SOLUTIONS SINGULI ÈRES D’ ÉQUATIONS AUX D ÉRIV ÉES PARTIELLES

peuvent s’écrire simplement à partir des solutions de l’équation différentielle ordinaire

(5.1.2) dX

dt = a(t, X), X(0, x0) = x0 On a en effet

v(t, X(t, x0)) = v0(x0).

Si Xt: x 7→ X(t, x) est bijective, alors

v(t, x) = v0(Xt−1(x)).

Dans le cas d’un champ de convection constant a, le mouvement est uniforme v(t, x) = v0(x − at)

Figure 1. Les caract´eristiques sont des lignes droites.

Sous des hypothèses de régularité sur le champ a, le théorème de Cauchy-Lipschitz assure que les trajectoires de (5.1.2) sont localement bien définies et uniques, de sorte que Xtest un difféomorphisme.

Théorème 5.1 (de Cauchy-Lipschitz). — Soit E un espace de Banach réel, U un ouvert de R×E, et a : U → E une application lipschitzienne. Alors

– Pour tout (t0, x0) ∈ U , il existe une unique solution maximale X(t0,x0): I(t0,x0)→ E de l’´equation

diff´erentielle

dX

dt = a(t, X(t)).

– L’application x 7→ X(t0,x)(s) est continue au voisinage de x0 pour tout s ∈ I(t0,x0).

– Si a est de classe Ck_{, toute solution de l’´}_{equation diff´}_{erentielle est de classe C}k+1_.

Dans le cas de l’équation de Hopf, le champ de vitesses u est transporté par lui-même. On a donc dX

dt = u(t, X), X(0, x0) = x0, u(t, X(t, x)) = u0(x).

tant que X est un difféomorphisme, i.e. un changement de variables régulier. On rappelle que le fait que X soit un difféomorphisme dépend de la régularité de u (par le théorème de Cauchy-Lipschitz).

(47)

5.1. M ´ETHODE DES CARACT ´ERISTIQUES ET EXPLOSION 39

Figure 2. Les caractéristiques définissent un difféomorphisme sur R

5.1.2. Apparition de singularit´e. —

En différentiant l’équation des caractéristiques par rapport à x, on obtient ∂ ∂t ∂X ∂x = ∂ ∂x(u(t, X)) = u 0 0(x)

En int´egrant par rapport au temps t, on en d´eduit que ∂X ∂x = 1 + u 0 0(x)t. Au temps t0= 1 supx∈R(−u00(x))+

la fonction ∂X_∂x s’annule au moins en un point, de sorte que X n’est plus un diff´eomorphisme.

(x1,0)  (x2,0) 

(x0,t0) 

t 

characteristics 

Figure 3. Croisement des caract´eristiques

En effet, au point (t0, x0) la solution u devient multivalu´ee et donc u(t0, x0) n’est pas d´efini. De plus,

il y a un saut lim x→x−₀ u(t0, x) 6= lim x→x+₀ u(t0, x).