Lycée Joffre PCSI 3 http ://joffrepcsi3.wordpress.com
Résumé du cours
Calcul Intégral
Isera toujours un intervalle de R.P
ROPRIÉTÉS DER[a,b]
f (x)dx
B Les espaces de fonctions : Une fonction f : [a, b] → C est dite
– continue par morceaux lorsqu’il existe n > 2 et n + 1 réels a = c0< c1<
. . . < cn= btels que
∀i ∈ N, 0 6 i 6 n − 1, • f :]ci, ci+1[→ C est continue,
• lim
c+i
et lim
c−i+1
existent et sont réelles
On noteraM ([a, b]) cet ensemble de fonctions. C’est un sev et un sous-anneau deF ([a, b]) muni des lois auxquelles vous pensez. Toute fonction continue par morceaux est bornée.
– en escaliers lorsqu’il existe n > 2 et n+1 réels a = c0< c1< . . . < cn = b
tels que
∀i ∈ N, 0 6 i 6 n − 1, f :]ci, ci+1[→ C est constante.
On noteraE ([a, b]) cet ensemble de fonctions, qui est à nouveau un ev et un anneau, et un sous-ensemble deM ([a, b]). En reprenant les notations ci-dessus, une fonction en escalier f s’écrit f =
n−1
X
i=0
λi1]ci,ci+1[, où λi est
la valeur que prend f sur ]ci, ci+1[, et 1Aest la fonction qui vaut 1 sur A
et 0 ailleurs.
B Propriétés de l’intégrale : Soient a, b deux réels de I. L’intégrale de a à b est une fonctionnelle
f ∈M (I, C) 7→ Z b
a
f (t)dt ∈ C qui vérifie les propriétés suivantes
• Si k est un complexe,Rb
akdt = k(b − a).En particulier,
Ra
a f (t)dt = 0.
• Linéarité : Quels que soient λ, µ ∈ C et f, g ∈ M (I, C),
Z b a (λf (t) + µg(t)) dt = λ Z b a f (t) + µ Z b a g(t)dt. • Positivité : Soient a 6 b et f ∈ M ([a, b], R).
– Si f > 0, alorsRb
a f (x)dx > 0.
– Si f > 0, si elle est continue et s’il existe c ∈ [a, b] tel que f(c) > 0 alorsRb
af (x)dx > 0. Autrement dit, l’intégrale d’une fonction positive
et continue est nulle si et seulement si la fonction est nulle. • Croissance : Soient a 6 b et f, g ∈ M ([a, b], R).
– Si f > g, alorsRb
a f (x)dx >
Rb
a g(x)dx.
– L’intégrale est donc une forme linéaire croissante sur M ([a, b], R) et strictement croissante surC0
([a, b], R).
• Relation de Chasles : Soit f ∈M (I, R), et a, b, c ∈ I. On a
Z b a f (x)dx = Z c a f (x)dx + Z b c f (x)dx.
• Inégalité de la moyenne : Soient f, g ∈M (I, R). Alors, ∀a, b ∈ R,
Z b a f (x)g(x)dx 6 sup I |f | Z b a |g(x)|dx .
En voici une version faible : Z b a f (x)dx 6 |b − a| sup I |f |. 1
I
NTÉGRALE DE FONCTIONS CONTINUESB Le théorème fondamental du calcul différentiel :
Soit f continue sur I et à valeurs dans C. Pour tout a ∈ I, l’application
F : x ∈ I 7→ Z x
a
f (t)dt ∈ C est de classeC1sur I et de dérivée F0= f.
B Les primitives : Soit f : I → C. On appelle primitive de f toute fonc-tion dérivable sur I dont la dérivée est f . D’après le TFCD, toute foncfonc-tion continue possède des primitives. Plus précisément :
• Soient F et G deux primitives de f sur I. Alors il existe une constante k telle que F = G + k.
• Soit a ∈ I. F : x ∈ I 7→Rx
a f (t)dt ∈ C est l’unique primitive de f sur I qui
s’annule en a.
• Soit G une primitive de f sur I. Alors : Z b
a
f (t)dt = G(b) − G(a)
B Les sommes de Riemann : Soit f ∈ C0([0, 1], C). Alors
1 n n−1 X k=0 f k n −→ n→+∞ Z 1 0 f (x)dx
B L’inégalité de Cauchy-Schwarz : Soient f, g ∈ C0([a, b], R). Alors Z b a f (x)g(x)dx 6 s Z b a f (x)2dx s Z b a g(x)2dx
De plus, l’égalité est vérifiée si et seulement si f et g sont colinéaires.Nous verrons une interprétation géométrique fondamentale de ce résultat, mais il doit déjà avoir une certaine résonance pour vous.
B L’intégration par parties : Soient f et g deux fonctions continues sur [a, b] à valeurs dans C. Alors
Z b a f0(t)g(t)dt = [f (t)g(t)]ba− Z b a f (t)g0(t)dt
B Le théorème de changement de variables : Soient I, J deux intervalles réels et ϕ : J → I une application de classeC1, et f continue sur I. Alors
∀a, b ∈ J, Z ϕ(b) ϕ(a) f (t)dt = Z b a f ◦ ϕ(s)ϕ0(s)ds.
B Les théorèmes de Taylor : voir la feuille annexe à ce propos.
ex = lim n→+∞ 1 + x 1!+ x2 2! + . . . xn n! , ∀x ∈ R cos x = lim n→+∞ 1 − x 2 2! + x4 4! + . . . (−1) n x2n (2n)! , ∀x ∈ R sin x = lim n→+∞ x − x 3 3! + x5 5! + . . . (−1) n x 2n+1 (2n + 1)! , ∀x ∈ R ln(1 + x) = lim n→+∞ x − x 2 2 + x3 3 + . . . (−1) n+1xn n , ∀x ∈] − 1, 1] (1 + x)α = lim n→+∞1 + n X k=1 α(α − 1) . . . (α − k + 1) k! x k , ∀x ∈] − 1, 1[, ∀α ∈ R. 2
