Intégrales  chapitre-8.pdf

Lycée Joffre PCSI 3 http ://joffrepcsi3.wordpress.com

Résumé du cours

Calcul Intégral

P

[a,b]

f (x)dx

B Les espaces de fonctions : Une fonction f : [a, b] → C est dite

– continue par morceaux lorsqu’il existe n > 2 et n + 1 réels a = c0< c1<

. . . < cn= btels que

∀i ∈ N, 0 6 i 6 n − 1, • f :]ci, ci+1[→ C est continue,

• lim

c+_i

et lim

c−_i+1

existent et sont réelles

On noteraM ([a, b]) cet ensemble de fonctions. C’est un sev et un sous-anneau deF ([a, b]) muni des lois auxquelles vous pensez. Toute fonction continue par morceaux est bornée.

– en escaliers lorsqu’il existe n > 2 et n+1 réels a = c0< c1< . . . < cn = b

tels que

∀i ∈ N, 0 6 i 6 n − 1, f :]ci, ci+1[→ C est constante.

On noteraE ([a, b]) cet ensemble de fonctions, qui est à nouveau un ev et un anneau, et un sous-ensemble deM ([a, b]). En reprenant les notations ci-dessus, une fonction en escalier f s’écrit f =

n−1

X

i=0

λi1]ci,ci+1[, où λi est

la valeur que prend f sur ]ci, ci+1[, et 1Aest la fonction qui vaut 1 sur A

et 0 ailleurs.

B Propriétés de l’intégrale : Soient a, b deux réels de I. L’intégrale de a à b est une fonctionnelle

f ∈M (I, C) 7→ Z b

a

f (t)dt ∈ C qui vérifie les propriétés suivantes

• Si k est un complexe,Rb

akdt = k(b − a).En particulier,

Ra

a f (t)dt = 0.

• Linéarité : Quels que soient λ, µ ∈ C et f, g ∈ M (I, C),

Z b a (λf (t) + µg(t)) dt = λ Z b a f (t) + µ Z b a g(t)dt. • Positivité : Soient a 6 b et f ∈ M ([a, b], R).

– Si f > 0, alorsRb

a f (x)dx > 0.

– Si f > 0, si elle est continue et s’il existe c ∈ [a, b] tel que f(c) > 0 alorsRb

af (x)dx > 0. Autrement dit, l’intégrale d’une fonction positive

et continue est nulle si et seulement si la fonction est nulle. • Croissance : Soient a 6 b et f, g ∈ M ([a, b], R).

– Si f > g, alorsRb

a f (x)dx >

Rb

a g(x)dx.

– L’intégrale est donc une forme linéaire croissante sur M ([a, b], R) et strictement croissante surC0

([a, b], R).

• Relation de Chasles : Soit f ∈M (I, R), et a, b, c ∈ I. On a

Z b a f (x)dx = Z c a f (x)dx + Z b c f (x)dx.

• Inégalité de la moyenne : Soient f, g ∈M (I, R). Alors, ∀a, b ∈ R,

     Z b a f (x)g(x)dx      6 sup I |f |      Z b a |g(x)|dx      .

En voici une version faible :      Z b a f (x)dx      6 |b − a| sup I |f |. 1

I

B Le théorème fondamental du calcul différentiel :

Soit f continue sur I et à valeurs dans C. Pour tout a ∈ I, l’application

F : x ∈ I 7→ Z x

a

f (t)dt ∈ C est de classeC1_{sur I et de dérivée F}0_{= f.}

B Les primitives : Soit f : I → C. On appelle primitive de f toute fonc-tion dérivable sur I dont la dérivée est f . D’après le TFCD, toute foncfonc-tion continue possède des primitives. Plus précisément :

• Soient F et G deux primitives de f sur I. Alors il existe une constante k telle que F = G + k.

• Soit a ∈ I. F : x ∈ I 7→Rx

a f (t)dt ∈ C est l’unique primitive de f sur I qui

s’annule en a.

• Soit G une primitive de f sur I. Alors : Z b

a

f (t)dt = G(b) − G(a)

B Les sommes de Riemann : Soit f ∈ C0([0, 1], C). Alors

1 n n−1 X k=0 f k n  −→ n→+∞ Z 1 0 f (x)dx

B L’inégalité de Cauchy-Schwarz : Soient f, g ∈ C0([a, b], R). Alors      Z b a f (x)g(x)dx      6 s Z b a f (x)2_dx s Z b a g(x)2_dx

De plus, l’égalité est vérifiée si et seulement si f et g sont colinéaires.Nous verrons une interprétation géométrique fondamentale de ce résultat, mais il doit déjà avoir une certaine résonance pour vous.

B L’intégration par parties : Soient f et g deux fonctions continues sur [a, b] à valeurs dans C. Alors

Z b a f0(t)g(t)dt = [f (t)g(t)]b_a− Z b a f (t)g0(t)dt

B Le théorème de changement de variables : Soient I, J deux intervalles réels et ϕ : J → I une application de classeC1_{, et f continue sur I. Alors}

∀a, b ∈ J, Z ϕ(b) ϕ(a) f (t)dt = Z b a f ◦ ϕ(s)ϕ0(s)ds.

B Les théorèmes de Taylor : voir la feuille annexe à ce propos.

ex = lim n→+∞  1 + x 1!+ x2 2! + . . . xn n!  , ∀x ∈ R cos x = lim n→+∞  1 − x 2 2! + x4 4! + . . . (−1) n x2n (2n)!  , ∀x ∈ R sin x = lim n→+∞  x − x 3 3! + x5 5! + . . . (−1) n x 2n+1 (2n + 1)!  , ∀x ∈ R ln(1 + x) = lim n→+∞  x − x 2 2 + x3 3 + . . . (−1) n+1xn n  , ∀x ∈] − 1, 1] (1 + x)α = lim n→+∞1 + n X k=1 α(α − 1) . . . (α − k + 1) k! x k , ∀x ∈] − 1, 1[, ∀α ∈ R. 2