Évaluation statistique et prévision de la performance de gestionnaires d'actifs

Évaluation statistique et prévision de la performance

de gestionnaires d’actifs

Résumé

En finance, la gestion passive consiste à gérer un portefeuille d’actifs afin d’obtenir un ren-dement similaire à un indice de marché ciblé. La gestion active quant à elle vise à obtenir un rendement supérieur. Les coûts reliés à une gestion active et les risques associés sont plus élevés. Une compagnie d’assurance se pose la question si les gestionnaires d’actifs ont les capacités de battre l’indice de marché de façon statistiquement significative. Un modèle au coeur du type d’analyse permettant de répondre à cette question est le modèle d’évaluation des actifs financiers (MÉDAF). Dans ce mémoire, différents modèles de régression et deux approches ont été retenus pour évaluer la performance de ces gestionnaires dans le cadre du MÉDAF, soit une approche par critère et une approche par prévision. Nos résultats sug-gèrent que certains gestionnaires d’obligations ont les capacités de battre l’indice de marché de façon significative alors que ce n’est pas le cas pour les gestionnaires d’actions.

Abstract

In finance, passive management is about managing assets to achieve a return similar to a targeted market index, whereas active management aims to achieve superior performance. The costs associated with active management and the associated risks are higher. An insur-ance company wants to know whether the asset managers have the ability to beat the market index, statistically speaking. The principal model to answer this question is the CAPM. In this thesis, different regression models and two approaches were used to evaluate the perfor-mance of these managers under the CAPM, an approach based on criteria and an approach based on forecasts. Our results suggest that some bond managers have the ability to beat the market index significantly, while this is not the case for stock managers.

Table des matières

Résumé iii

Abstract v

Table des matières vii

Liste des tableaux ix

Liste des figures xiii

Remerciements xv

Introduction 1

1 Méthodes classiques pour évaluer la performance des gestionnaires 5

1.1 Modèle d’évaluation des actifs financiers (MÉDAF) . . . 6

1.2 Modèle à trois facteurs de Fama-French . . . 7

1.3 Extension à l’évaluation des gestionnaires d’actifs . . . 9

1.4 Mesure de performance en pratique . . . 10

2 Méthodes statistiques utilisées 13 2.1 Données disponibles pour les analyses . . . 13

2.2 La régression linéaire . . . 14

2.3 La régression quantile . . . 25

2.4 La régression linéaire mixte . . . 31

2.5 Comparaisons multiples de gestionnaires d’actifs . . . 37

3 Évaluation des critères de mesure de performance 41 3.1 Données et objectifs pour ce type d’analyse . . . 42

3.2 Sélection des modèles. . . 43

3.3 Approche par critère . . . 45

3.4 Approche par prévision . . . 50

4 Étude de la performance des gestionnaires d’actifs 55 4.1 Gestionnaires d’actions engagés par la compagnie . . . 55

4.2 Gestionnaires d’obligations engagés par la compagnie . . . 58

4.3 Tous les gestionnaires d’actions . . . 61

4.4 Tous les gestionnaires d’obligations. . . 67

Conclusion 75

A Résultats pour tous les gestionnaires d’actions 79

A.1 Approche par critère pour les 12 derniers mois . . . 79

A.2 Approche par critère pour le deuxième modèle . . . 81

A.3 Approche par prévision . . . 84

B Résultats pour tous les gestionnaires d’obligations 89 B.1 Approche par critère pour les 12 derniers mois . . . 89

B.2 Approche par critère pour le deuxième modèle . . . 91

B.3 Approche par prévision . . . 94

B.4 Approche par prévision pour le deuxième modèle . . . 98

C Fonctions de la librairie R : "ÉvaluationGestionnaire" 103 D Résultats des taux de bonnes classifications des modèles sélectionnés 125 D.1 Tableaux présentant les résultats avec la technique de bonne classification 125 D.2 Code R utilisé pour un modèle de régression avec la technique de bonne classification . . . 128

Liste des tableaux

2.1 Nombres d’erreurs commises en testant n hypothèses nulles . . . 38

3.1 Statistiques descriptives des rendements mensuels nets des gestionnaires

d’ac-tions pour la période de septembre 2009 à mars 2014. . . 42

3.2 Statistiques descriptives des rendements mensuels nets des gestionnaires

d’obli-gations pour la période de novembre 2006 à mars 2014 . . . 43

3.3 Résultats des rendements nets et des taux de bonnes classifications obtenus avec les deux modèles sélectionnés pour les gestionnaires d’actions. Modèle 1 : régression linéaire avec coefficient bêta non fixé et erreurs AR(2) et modèle

2 : régression quantile avec coefficient bêta non fixé et erreurs i.i.d.. . . 49

3.4 Résultats des rendements nets et des taux de bonnes classifications obtenus avec les deux modèles sélectionnés pour les gestionnaires d’obligations. Mo-dèle 1 : régression quantile avec coefficient bêta fixé et erreurs i.i.d. et moMo-dèle

2 : régression linéaire avec coefficient bêta fixé et erreurs i.i.d.. . . 50

3.5 Résultats des rendements nets et des taux de bonnes classifications obtenus avec l’approche par prévision pour les gestionnaires d’actions. Modèle 1 :

ré-gression quantile, coefficient bêta fixé et erreurs i.i.d.. . . 52

3.6 Résultats des rendements nets et des taux de bonnes classifications obtenus avec l’approche par prévision pour les gestionnaires d’obligations. Modèle 1 : régression linéaire, coefficient bêta non fixé et erreurs AR(2) et modèle 2 :

ré-gression linéaire avec coefficient bêta non fixé et erreurs i.i.d. . . 52

4.1 Coefficient alpha standardisé, coefficient bêta et valeur p pour le test de com-paraison simple obtenus à partir de l’approche par critère pour les gestion-naires d’actions engagés par la compagnie avec le modèle de régression li-néaire, coefficient bêta non fixé et erreurs AR(2), pour la période de 2009 à

2013 . . . 56

4.2 Coefficient alpha standardisé, coefficient bêta et valeur p pour le test de com-paraison simple obtenus à partir de l’approche par critère pour les gestion-naires d’actions engagés par la compagnie avec le modèle de régression

li-néaire, coefficient bêta non fixé et erreurs AR(2) au cours des 12 derniers mois 57

4.3 Coefficient alpha standardisé, coefficient bêta et valeur p pour le test de com-paraison simple obtenus à partir de l’approche par critère pour les gestion-naires d’actions engagés par la compagnie avec le modèle de régression quan-tile, coefficient bêta non fixé et erreurs i.i.d., pour la période de 2009 à 2013

4.4 Coefficient alpha standardisé, coefficient bêta et valeur p pour le test de com-paraison simple obtenus à partir de l’approche par critère pour les gestion-naires d’actions engagés par la compagnie avec le modèle de régression

quan-tile, coefficient bêta non fixé et erreurs i.i.d. au cours des 12 derniers mois . . 59

4.5 Prévisions des gestionnaires d’actions ainsi que leurs intervalles de confiance obtenus à partir du 25ième, du 50ième, du 75ième percentiles du rendement net du marché et du dernier rendement net du marché observé, en utilisant le

modèle de régression quantile, coefficient bêta fixé et erreurs i.i.d. . . 60

4.6 Coefficient alpha standardisé, coefficient bêta et valeur p pour le test de com-paraison simple obtenus à partir de l’approche par critère pour les gestion-naires d’obligations engagés par la compagnie avec le modèle de régression

quantile, coefficient bêta fixé et erreurs i.i.d... . . 61

4.7 Coefficient alpha standardisé, coefficient bêta et valeur p pour le test de com-paraison simple obtenus à partir de l’approche par critère pour les gestion-naires d’obligations engagés par la compagnie avec le modèle de régression

quantile, coefficient bêta fixé et erreurs i.i.d... . . 61

4.8 Coefficient alpha standardisé, coefficient bêta et valeur p pour le test de com-paraison simple obtenus à partir de l’approche par critère pour les gestion-naires d’obligations engagés par la compagnie avec le modèle de régression

linéaire, coefficient bêta fixé et erreurs i.i.d.. . . 62

4.9 Coefficient alpha standardisé, coefficient bêta et valeur p pour le test de com-paraison simple obtenus à partir de l’approche par critère pour les gestion-naires d’obligations engagés par la compagnie avec le modèle de régression

linéaire, coefficient bêta fixé et erreurs i.i.d.. . . 62

4.10 Prévisions des gestionnaires d’obligations ainsi que leurs intervalles de confiance obtenus à partir du 25ième, du 50ième, du 75ième percentiles du rendement net du marché et du dernier rendement net du marché observé, en utilisant le

modèle de régression linéaire, coefficient bêta non fixé et erreurs AR(2) . . . . 63

4.11 Prévisions ainsi que leurs intervalles de confiance obtenus à partir du 25ième, du 50ième_{, du 75}ième_{percentiles du rendement net du marché et du dernier}

ren-dement net du marché observé, en utilisant le modèle de régression linéaire,

coefficient bêta non fixé et erreurs i.i.d.. . . 63

4.12 Coefficient alpha standardisé, coefficient bêta et valeur p pour le test de com-paraison simple obtenus à partir de l’approche par critère pour tous les ges-tionnaires d’actions. Modèle : régression linéaire, coefficient bêta fixé et

er-reurs AR(2). . . 71

4.13 Prévisions des gestionnaires d’actions ainsi que leurs intervalles de confiance obtenus à partir du 25ième, du 50ième, du 75ième percentiles du rendement net du marché et du dernier rendement net du marché observé, en utilisant le

modèle de régression quantile, coefficient bêta fixé et erreurs i.i.d... . . 72

4.14 Coefficient alpha standardisé, coefficient bêta et valeur p pour le test de com-paraison simple obtenus à partir de l’approche par critère pour tous les ges-tionnaires d’obligations avec le modèle de régression quantile, coefficient bêta

fixé et erreurs i.i.d., pour la période de 2008 à 2013 . . . 73

4.15 Prévisions des gestionnaires d’obligations ainsi que leurs intervalles de confiance obtenus à partir du 25ième, du 50ième, du 75ième percentiles du rendement net du marché et du dernier rendement net du marché observé, en utilisant le

4.16 Exemple du type de jeu de données requis pour la librairie R

Liste des figures

1.1 Rendement net en fonction du taux du marché . . . 9

1.2 Rendement net en fonction du taux du marché . . . 10

2.1 Graphiques ACF et PACF théoriques pour un processus AR(2) . . . 18

2.2 Corrélogrammes simples et partiels des résidus du modèle (1.1) ajusté aux

rendements mensuels nets d’un gestionnaire d’obligations . . . 19

2.3 Fonction de répartition et fonction quantile . . . 26

2.4 Droite d’une régression linéaire comparée à la régression quantile avec

diffé-rentes valeurs de τ . . . 27

2.5 Modèles linéaires mixtes sans et avec pentes aléatoires . . . 32

4.1 Rendement de 1$ en utilisant une gestion active contre une gestion passive

pour les actions . . . 67

4.2 Rendement de 1$ en utilisant une gestion active contre une gestion passive

Remerciements

Je tiens principalement à remercier mon directeur Thierry Duchesne et mon codirecteur Mi-chel Carbon pour la réalisation de ce mémoire. Ils m’ont beaucoup aidée tout au long de ce mémoire. Leurs conseils ont été d’une grande valeur afin de le compléter. Ils étaient toujours disponibles pour répondre à mes questions. Ce fut un plaisir de travailler avec eux.

Par ailleurs, je tiens à remercier la compagnie qui m’a permis de réaliser ce mémoire. Ce fut également un plaisir de travailler avec ces gens. La finance était un domaine que je voulais explorer et, grâce à cette compagnie, j’ai eu la chance de mettre les pieds dans un départe-ment de finance et de réaliser un travail qui m’a beaucoup plu. Un grand merci égaledéparte-ment à MITACS qui a subventionné à parts égales avec la compagnie ce projet.

Je tiens également à remercier mes amis et ma famille qui m’ont épaulée et encouragée à en-treprendre des études au cycle supérieur et qui m’ont soutenue tout au long de mes études. Un merci particulier à mon amoureux Frédérick et à mes parents pour leurs aides et leur soutien ainsi que leur présence tout au long de mes études universitaires. Un merci spécial à Jessica qui m’a encouragée à poursuivre au 2e cycle en statistique et qui a été une partenaire d’étude formidable tout au long de ce cheminement tout comme Elsa, Aurélien, Charles et Maxime. Également merci à Virginie ma partenaire de travail au premier cycle pour ton amitié, ce fut de belles années.

Introduction

Dans la gestion de placements, deux approches sont principalement utilisées : la gestion passive et la gestion active. La gestion passive consiste à reproduire le rendement d’un indi-cateur de référence utilisé pour mesurer la performance d’un marché, cet indiindi-cateur de réfé-rence est nommé l’indice de marché. L’indice de marché est un regroupement de plusieurs actifs qui ensemble représente le mieux possible les fluctuations à la bourse. Contrairement à la gestion passive, la gestion active vise à obtenir en moyenne, sur un certain horizon de temps, un rendement supérieur à cet indice de marché. Les coûts reliés à la gestion active sont plus élevés que ceux associés à la gestion passive puisque la gestion active mise ha-bituellement sur les talents d’un gestionnaire et vise à obtenir des rendements supérieurs, ce qui augmente les coûts. En fait, la gestion active vise à obtenir sur un certain horizon de temps, un rendement supérieur à ce qui pourrait être obtenu avec une gestion passive qui tente de reproduire l’indice de marché en sélectionnant les mêmes actifs que cet indice. La gestion active mise sur les talents d’un gestionnaire d’actifs qui utilise son jugement, les études financières déjà réalisées, la statistique et les données économiques pour constituer son portefeuille d’actifs et décider quand il vend et quand il achète des actifs. Il cherche de façon simultanée à diminuer le risque et augmenter le rendement de son portefeuille d’ac-tifs. Ces deux approches peuvent être utilisées sur les actifs que possède un individu ou une compagnie. Un actif est un contrat ou un titre pouvant permettre au détenteur de celui-ci d’obtenir des revenus en échange d’un certain risque (Dispas and Boudghene(2011)). Dans le domaine de l’assurance, pour rester compétitif et solvable, une compagnie doit s’assurer d’obtenir sur les actifs qu’elle possède le meilleur rendement offert sur le marché et ce à moindre coût, en limitant les risques associés à une volatilité trop élevée. Pour ce faire, elle fait souvent affaire avec des gestionnaires externes spécialisés dans la gestion active. Deux questions se posent : les rendements obtenus par ces gestionnaires sont-ils supérieurs à ceux qui auraient pu être obtenus par la compagnie, en limitant ses coûts, en utilisant une gestion passive ? Est-ce que les rendements obtenus sont simplement liés à la chance, ou plutôt aux compétences du gestionnaire ?

En finance, la demande est grandissante pour l’évaluation de la performance des gestion-naires en gestion active au sein des compagnies d’assurances. Avec les nouvelles législations stipulant entre autres que toutes les entreprises doivent enregistrer et signaler ces

investis-sements, il existe de plus en plus de bases de données disponibles pour ce type d’analyse. Par ailleurs, la littérature entourant l’évaluation de la performance des gestionnaires est très vaste, mais les méthodes utilisées ainsi que les conclusions en résultant sont souvent dif-férentes. Les modèles de régression usuels tels que la régression linéaire ou la régression logistique ont longtemps été au centre de la recherche dans les domaines financiers et écono-miques. Un premier modèle d’évaluation des actifs financiers (MÉDAF, traduction de l’an-glais CAPM) a été proposé parSharpe (1964), utilisant la régression linéaire pour obtenir le rendement espéré d’un actif, c’est-à-dire pour calculer les revenus moyens auquel le dé-tenteur d’un actif peut s’attendre. Ce modèle a servi de référence jusque dans les années 80, année où Ross a amélioré ce même modèle (Ross et al.(1986)) en y incorporant différentes va-riables explicatives. Par la suite, avec les progrès technologiques en informatique, telles que l’amélioration de la performance des ordinateurs en matière de calcul, leur procurant une plus grande puissance et leur permettant une plus grande capacité pour entreposer des don-nées, de nouvelles approches d’estimation sont utilisées telles que l’estimation bayésienne (Silli(2006)) et la simulation par bootstrap (Chen et al.(2012)).

Au cours des dernières années, le recours à l’utilisation de la régression quantile pour éva-luer la performance des gestionnaires a augmenté de façon graduelle. On peut entre autres citer des références où l’évaluation de la performance de gestionnaires d’actifs se fait à l’aide de la régression quantile (David Ellen and Powell(2009) etCarlo Matallin-Saez and Tortosa-Ausina(2013)). Cette technique permet d’élargir de façon considérable les options de modé-lisation en permettant d’analyser les différents impacts pour chaque quantile. Ce mémoire se base sur l’utilisation de la régression linéaire, la régression quantile et la régression li-néaire mixte pour évaluer si la performance des gestionnaires d’actifs est significativement meilleure que le rendement qu’on pourrait obtenir avec une gestion passive basée sur l’évo-lution d’un indice de marché approprié. Les objectifs principaux de cette étude sont de dé-velopper des modèles de régression en utilisant les données disponibles d’une compagnie d’assurance sur les rendements de ses gestionnaires et à partir des modèles retenus, de clas-ser les gestionnaires d’actifs par ordre de performance et de déterminer rapidement si un gestionnaire en gestion active a les capacités et le talent de surpasser l’indice de marché comparable de façon significative. On voudra aussi utiliser les modèles conçus pour pré-dire les rendements futurs attendus pour un gestionnaire en gestion active à partir de son historique.

La théorie associée aux modèles financiers et les outils pour évaluer la performance des ges-tionnaires d’actifs se trouve au chapitre1. Au chapitre2, la théorie concernant les méthodes statistiques utilisées, telles la régression linéaire, la régression quantile et la régression li-néaire mixte, est expliquée. Au chapitre3, on présente les approches utilisées pour sélec-tionner les modèles qui permettent de bien classer les gestionnaires et de faire les meilleures prévisions. Finalement au chapitre4, on retrouve les résultats obtenus pour ces gestionnaires

Chapitre 1

Méthodes classiques pour évaluer la

performance des gestionnaires

Ce chapitre présente une brève introduction aux modèles et aux outils utilisés dans la littérature pour évaluer la performance des gestionnaires utilisant une stratégie de gestion active. Il est important de comprendre que l’évaluation de la performance d’un gestionnaire d’actifs financiers ne tient pas compte uniquement de son rendement moyen, c’est-à-dire des revenus moyens qu’il peut générer, mais également du risque qui lui est associé : l’argent in-vesti dans un actif n’est pas plus garanti que le rendement de l’actif. En effet, si une compa-gnie prend un grand risque, donc si elle investit une grande somme d’argent, dans un actif, c’est qu’elle anticipe un rendement espéré élevé, sinon elle ne prendrait pas ce risque. Les deux classes d’actifs retenues pour les analyses sont les actions et les obligations. Une action est une part dans une entreprise et les revenus qui y sont associés sont les dividendes. Les obligations sont un financement public des dettes d’une entreprise, d’un état ou d’une col-lectivité locale et les revenus qui y sont associés sont nommés les coupons. Ainsi, l’émission d’actions permet de diversifier les moyens de financement tandis que l’émission d’obliga-tions permet de varier les emprunts (Dispas and Boudghene(2011)).

Dans la section1.1, on détaille le premier modèle, développé en tenant compte de l’effet du risque associé à un actif, c’est-à-dire le modèle d’évaluation des actifs financiers (MÉDAF). Dans la section1.2, on décrit un modèle complémentaire au modèle d’évaluation des actifs financiers, le modèle de Fama-French. Dans la section1.3, on explique comment les modèles des deux sections précédentes sont adaptés pour les appliquer aux rendements des gestion-naires d’actifs. Finalement, la section1.4traite de certains outils principalement utilisés pour évaluer la performance des gestionnaires et ensuite les classer par ordre de rendement at-tendu.

1.1

Modèle d’évaluation des actifs financiers (MÉDAF)

Au cours des années 1961 à 1972, grâce à la collaboration de Sharpe, Treynor, Mossin, Linter et Black, un modèle d’évaluation des actifs financiers (MÉDAF), traduit du nom an-glais "Capital asset pricing model" (CAPM), a été développé. Plusieurs ouvrages et articles traitent de ce modèle, par exempleDispas and Boudghene(2011),Womack and Zhang(2003) etAmenc and Sourd(2002). Ce modèle est considéré comme une extension du modèle créé parMarkowitz(1952) avec l’introduction d’un taux sans risque, un taux d’intérêt connu sur une certaine période de temps. L’ajout de cette nouvelle variable permet le calcul d’indices de mesure de performance. Ce modèle est conditionnel au taux sans risque qui est supposé déterministe, donc de variance zéro. Par conséquent, sa corrélation et sa covariance avec les autres actifs risqués sont nulles. Habituellement, le type de taux sans risque utilisé est celui des obligations gouvernementales, car celles-ci sont moins risquées. Lors de l’évaluation des actifs, le MÉDAF est le premier modèle à prendre en compte la notion de risque dû aux fluc-tuations économiques et financières qui peuvent à tout moment réduire la valeur de l’actif. Il permet de modéliser la relation entre le risque associé à l’actif et le rendement espéré. Il fait également appel à une variable représentant le rendement du marché de référence, appelé "benchmark", auquel est comparé le rendement obtenu par l’actif qui est la seule variable explicative du modèle. Le modèle s’écrit de la façon suivante :

(rit−rtT) =αi+βi(rMt −rtT) +εit i=1, ..., n t =1, ..., T (1.1)

où

rit : rendement obtenu pour l’actif i au temps t, où t est défini habituellement de façon

journalière, hebdomadaire ou mensuelle rT

t : taux sans risque au temps t

αi: ordonnée à l’origine associée à l’actif i

βi: coefficient bêta associé à l’actif i

r_tM: rendement du marché de référence ("benchmark") associé à l’actif i évalué au temps t εit: terme de fluctuation aléatoire au temps t pour l’actif i

n : nombre d’actifs observés

T : dernier temps d’observation du rendement observé

La variable dépendante(rit−rTt)représente le rendement net associé à l’actif i évalué. Ce

rendement net est le revenu rapporté par l’actif en excès de celui de l’actif sans risque. La variable explicative(rM

t −rTt)représente le rendement net associé à l’indice auquel l’actif i

plus de l’actif évalué, car c’est par rapport à ce "benchmark" qu’on interprétera le coefficient αi, comme nous l’expliquerons plus bas.

Le modèle d’évaluation des actifs financiers permet ainsi d’obtenir le rendement espéré d’un actif tout en tenant compte du risque qui lui est associé, et ce, de façon relativement simple. L’utilisation du MÉDAF se base sur plusieurs hypothèses. En voici quelques-unes :

−il ne doit y avoir aucun coût de transaction ou de taxes ;

−les investisseurs doivent tous avoir le même horizon d’investissement ; −les mêmes informations doivent être disponibles pour tous les investisseurs.

Dans l’équation (1.1), l’ordonnée à l’origine, αiest une mesure qui permet de classer les actifs

par ordre de préférence. Cette mesure permet d’évaluer la performance obtenue par un actif et sera détaillée dans la section1.4.

Le coefficient βireprésente la partie du risque qui est corrélée avec le rendement du marché.

Il mesure la manière dont le rendement de l’actif évolue quand ce rendement du marché change. Sa valeur avoisine habituellement 1 et s’interprète ainsi :

β= 1 : rendement de l’actif suit le rendement du marché

β< 1 : rendement de l’actif change moins rapidement que le rendement du marché

β> 1 : rendement de l’actif change plus rapidement que le rendement du marché (rende-ment du gestionnaire plus volatile)

En résumé, le MÉDAF est l’un des modèles les plus utilisés en finance. Il est simple d’utilisa-tion et les conclusions tirées de ce modèle sont claires et reflètent bien la réalité présente dans la variation des prix des actifs financiers, même si plusieurs articles ont remis en question à la fois les postulats sur lesquels il s’appuie et son pouvoir prédictif (Mirza(2005)).

1.2

Modèle à trois facteurs de Fama-French

Une extension au MÉDAF fut conjointement développée en 1992, par Eugene Fama et Ken French, nommé le modèle Fama-French, voirWomack and Zhang(2003) etFama and French

(1996). Ils ont essayé de trouver un modèle permettant de mieux mesurer le rendement at-tendu d’un actif. Pour cela, ils ont ajouté deux variables explicatives macroéconomiques au MÉDAF, nommées SMB "Small Minus Big" et HML "High Minus Low". La variable "SMB" re-présente la différence entre la moyenne des rendements de certains portefeuilles d’actions de petites entreprises et la moyenne des rendements de certains portefeuilles de grandes entre-prises tandis que la variable "HML" représente la différence entre des portefeuilles d’actions de type "value" et des portefeuilles d’actions de type "growth". Les actions de type "value"

sont des actions dont la valeur moyenne calculée à partir de certains ratios comptables est inférieure à la moyenne du marché. À l’inverse, les actions de type "growth" sont des actions dont la moyenne est supérieure à celle du marché. Ces deux variables, "SMB" et "HML", per-mettent d’augmenter le pouvoir prédictif du modèle. Ce modèle permet toujours de calculer le rendement attendu d’un actif tout en tenant compte du risque. Ces modèles avec ajout de variables explicatives au MÉDAF sont des modèles de type multifactoriels. Ceux-ci s’uti-lisent principalement avec des variables macroéconomiques ou statistiques ; voir le chapitre 15 deZivot and Wang (2006). Le modèle de Fama et French est un modèle dérivé de ces modèles multifactoriels et s’écrit de la façon suivante :

(rit−rtT) =αi+βi(rMt −rtT) +βsSMBt+βhHMLt+εit i=1, ..., n , (1.2)

où

βs: coefficient bêta associé à la variable SMB ;

βh: coefficient bêta associé à la variable HML.

Dans le cas où les paramètres βset βhdevant les deux nouvelles variables sont nuls, on

re-trouve l’équation (1.1) du MÉDAF. Comme ces nouvelles variables sont construites à partir de rendements d’actions, ce modèle est principalement utilisé pour l’évaluation des actions. Par contre, pour évaluer des obligations, il est possible d’utiliser le même concept en rem-plaçant les variables "SMB" et "HML" par d’autres variables macroéconomiques permettant d’améliorer le pouvoir prédictif du modèle (1.1), comme c’est le cas dans l’article de Litter-man and ScheinkLitter-man(1991).

Ce modèle a également certaines limites, car les deux variables ajoutées ne permettent pas d’expliquer certaines particularités. Par exemple, lorsque le rendement d’un actif est élevé/bas au temps t, il aura tendance à être également élevé/bas au temps t+1 ce qu’on appelle, la "tendance". C’est pourquoi un nouveau modèle à quatre facteurs a été développé en 1997 par Carhart, comme indiqué dans l’article deWang et al.(2014), en y incorporant une variable explicative représentant la tendance, nommée "MOM". Cette variable est déterminée par la différence entre les rendements d’actifs qui sont performants, et ceux qui ne le sont pas. Le modèle est le suivant :

(rit−rTt) =αi+βi(rtM−rTt) +βsSMBt+βhHMLt+βmMOMt+εit i=1, ..., n , (1.3)

βm: coefficient bêta associé à la variable MOM.

L’interprétation de l’ordonnée à l’origine et de la pente associée aux rendements nets du marché pour les deux modèles définis aux équations (1.2) et (1.3) reste la même que pour le MÉDAF défini à l’équation (1.1).

1.3

Extension à l’évaluation des gestionnaires d’actifs

Dans ce mémoire, l’objectif principal est de comparer la gestion active à la gestion passive afin de déterminer si les rendements obtenus par les gestionnaires d’actifs sont supérieurs aux rendements qui auraient pu être obtenus par la compagnie, en limitant les coûts, en uti-lisant une gestion passive. De plus, la compagnie veut être en mesure de déterminer si des gestionnaires d’actifs ont les talents nécessaires pour battre le marché de façon significative. Pour répondes à ces objectifs, nous utilisons les modèles présentés aux sections précédentes avec les rendements rit étant les rendements des gestionnaires sur une certaine période de

temps, au lieu du rendement d’un seul actif. Les rendements finaux des gestionnaires repré-sentent les rendements obtenus en gérant différents actifs sur une certaine période de temps. En fait, la compagnie engage des gestionnaires pour gérer certains montants, chacun des gestionnaires engagés par la compagnie investit une partie de cette somme dans différents actifs dans le but de faire fructifier l’argent. C’est le rendement final obtenu sur ces différents actifs à la fin de la période qui est utilisé dans les modèles pour être en mesure d’évaluer la performance des gestionnaires.

Pour être en mesure de comparer divers gestionnaires en gestion active entre eux et de les classer par ordre d’efficacité, il est important que leurs coefficients bêta présentés dans les modèles précédents soient de valeurs similaires. Pour illustrer ce concept, les figures1.1et

1.2présentent deux scénarios différents.

FIGURE1.1: Rendement net en fonction du taux du marché

Dans la figure1.1, les deux gestionnaires ont une même pente, donc un bêta similaire. Dans cette situation, l’ordonnée à l’origine permet de très bien classer les gestionnaires par ordre de performance et ce, peu importe que le rendement espéré du marché soit élevé ou faible. Le gestionnaire 1 aura toujours un rendement espéré supérieur au gestionnaire 2. Dans ce type de situation, pour choisir son gestionnaire la compagnie d’assurance doit orienter son choix sur le gestionnaire dont l’ordonnée à l’origine est la plus élevée, soit le gestionnaire 1. Dans la figure1.2, les conclusions sont différentes de celles de la figure1.1puisque les pentes

FIGURE1.2: Rendement net en fonction du taux du marché

ne sont pas égales pour les deux gestionnaires. Le gestionnaire 2 a un rendement espéré assez constant, et ce, peu importe la valeur du marché, tandis que le gestionnaire 1 aura de forts rendements espérés lorsque le rendement du marché sera élevé et, inversement, un rendement espéré faible lorsque le rendement du marché sera faible. Dans le cas où les rendements moyens obtenus par chacun des deux gestionnaires seraient les mêmes à la fin d’une année, une compagnie d’assurance devrait préférer le gestionnaire 2, qui est beaucoup plus constant. Ses rendements attendus sont beaucoup moins volatils et donc moins risqués pour la compagnie.

1.4

Mesure de performance en pratique

Les sections1.1 et1.2 présentent les modèles souvent utilisés en finance pour évaluer la performance des gestionnaires d’actifs. La valeur des paramètres composant ces modèles est inconnue et chacune d’entre elles doit être estimée. L’estimation de ces paramètres se fait à partir de séries d’observations des rendements et trois variables sont nécessaires. La pre-mière variable est le rendement observé(rit)des gestionnaires à évaluer sur une certaine

période de temps t∈ {1, 2, ..., T}, et idéalement à intervalles réguliers, par exemple, chaque jour, chaque semaine ou chaque mois. La deuxième variable nécessaire est le rendement du marché(r_tM)auquel sont comparés les rendements des gestionnaires sur la même période et avec les mêmes intervalles temporels que les rendements observés des gestionnaires. Fi-nalement, il est nécessaire d’avoir les valeurs observées du taux sans risque(rT_t), également sur la même période de temps et aux mêmes intervalles que les deux autres variables. Ces observations sont utilisées dans des modèles paramétriques de régression pour estimer les paramètres composant le MÉDAF, présenté à la section1.1. Pour être en mesure d’utiliser les extensions au MÉDAF de la section1.2, d’autres variables explicatives doivent être ob-servées, c’est-à-dire les variables SMBt, HMLt et MOMt définies à la section 1.2. Dans ce

seront utilisées pour estimer les différents paramètres des modèles présentés aux sections

1.1et1.2. La théorie concernant ces méthodes d’estimation sera présentée au chapitre2. À partir de ces observations et de la régression choisie, les paramètres sont estimés selon le modèle désiré, ce qui permet également d’obtenir des écarts types et des valeurs p asso-ciés aux estimations de ces paramètres. La valeur p est une probabilité qui correspond à la probabilité d’obtenir une valeur aussi extrême que celle observée dans l’échantillon étudié, sous l’hypothèse nulle que le rendement moyen du gestionnaire évalué n’est pas différent du rendement du marché. Une fois les paramètres des modèles estimés à l’aide des rendements observés et de la régression, des mesures de performance peuvent être calculées à partir de ces estimations. Une mesure de performance très utilisée pour comparer des gestionnaires prenant des risques similaires est le coefficient alpha de Jensen (1968), comme indiqué dans

Ferson(2010). Cette mesure est une estimation de l’ordonnée à l’origine des modèles de ré-gression du MÉDAF donné à l’équation (1.1). C’est une mesure très sensible au choix du rendement de marché utilisé pour mesurer le rendement espéré. Le coefficient alpha de Jen-sen mesure la différence entre le rendement réel et le retour attendu selon le niveau de risque mesuré par le coefficient bêta. C’est la valeur du coefficient alpha de Jensen qui permet de déterminer si la valeur ajoutée est due à un coup de chance ou au talent du gestionnaire. En fait, on parle de coup de chance si les rendements excédentaires obtenus par le gestionnaire ne sont pas dus à ses compétences et aux informations récoltées, c’est-à-dire que les rende-ments excédentaires obtenus risquent, dans le futur, de ne pas être constants et donc de ne pas persister. Déterminer si les rendements excédentaires sont dus à un coup de chance est important, car si c’est le cas, le gestionnaire ne sera probablement pas en mesure dans le futur de répéter ses performances. Dans le cas où les performances du gestionnaire sont dues à un coup de chance, une compagnie n’aurait pas intérêt à sélectionner ce gestionnaire si d’autres ont également réussi à battre le marché grâce à leurs talents. Un coefficient alpha significati-vement supérieur à zéro indique que le gestionnaire a réussi à battre le marché tandis qu’un coefficient alpha non significativement supérieur à zéro indique qu’il n’a pas réussi à battre le marché. Le coefficient alpha de Jensen permet ainsi d’effectuer le test statistique bilatéral suivant :

Hypothèse nulle (H0) : le gestionnaire i n’a pas obtenu un rendement moyen différent du

marché (αi =0) ;

Hypothèse alternative (H1) : le gestionnaire i a obtenu un rendement moyen différent du

marché (αi 6=0).

Ainsi un coefficient alpha supérieur à zéro avec une valeur p associée au test ci-dessus infé-rieur à un certain seuil indiquerait que le gestionnaire i a battu le marché, et ce, non grâce à la chance, mais probablement à cause de son talent. C’est une valeur qui permet de classer les gestionnaires, mais uniquement ceux dont les actifs comparés possèdent un risque similaire,

c’est-à-dire un coefficient bêta similaire.

Une autre mesure de performance plus adaptée pour évaluer la performance des gestion-naires est le coefficient alpha standardisé, nommé également le ratio d’information, voir

Amenc and Sourd(2002) etBodson et al.(2010). Cette valeur est estimée par l’ordonnée à l’origine divisée par son erreur standard et elle peut être interprétée comme le rendement di-visé par le risque. Contrairement au coefficient alpha de Jensen, qui utilise uniquement l’or-donnée à l’origine de la régression, le coefficient alpha standardisé tient également compte de la volatilité présente dans cette estimation de l’ordonnée à l’origine. Cette volatilité per-met de voir si le gestionnaire conserve une certaine forme de régularité lorsqu’il dépasse le "benchmark" associé à son indice. Cette erreur associée au coefficient alpha est le prix à payer par un gestionnaire pour espérer obtenir de meilleurs rendements. Clairement, elle est directement associée à la valeur p du test de nullité du coefficient αi.

Le coefficient alpha standardisé est une mesure très utilisée pour classer les gestionnaires de portefeuilles d’actifs, car le ratio représente la partie qui n’est pas expliquée par le rendement du marché de référence. Cette partie non expliquée est due aux choix faits par le gestionnaire pour tenter de battre le marché. Le ratio s’écrit de la façon suivante :

IR= αbi σ(αbi) = Eb[ri−rTi] −Eb[rm−rTi] σ(Eb[r_i−r_Ti] −Eb[r_m−r_Ti]) (1.4) où

σ(αbi): représente l’écart-type associé à l’estimé de l’ordonnée à l’origine(αbi).

Généralement, un bon ratio d’information se situe aux alentours de 2.5, voirBlatt (2004). Comme pour le coefficient alpha de Jensen, le ratio d’information permet de classer les ges-tionnaires par ordre de préférence et de déterminer si les rendements excédentaires obtenus sont dus au talent du gestionnaire et non à la chance. Lorsque deux gestionnaires d’actifs ont un ratio similaire, il est important de regarder l’écart-type de chacun d’eux, car plus celui-ci sera faible, moins le risque encouru sera élevé et plus le gestionnaire aura tendance à poursuivre dans le même sens, soit limiter le risque.

Chapitre 2

Méthodes statistiques utilisées

Au chapitre1, on a présenté les modèles utilisés principalement en finance pour évaluer la performance des gestionnaires. Ce chapitre présente les outils statistiques nécessaires pour estimer les paramètres de ces modèles financiers afin d’être en mesure de classer les gestion-naires par ordre de performance sur la base d’observations de leurs rendements.

Dans la section2.1, on présente les données disponibles pour réaliser ces types d’analyses. Dans la section2.2, on détaille la première méthode utilisée pour estimer les paramètres des modèles financiers, soit la régression linéaire. La section2.3offre une alternative au modèle de régression linéaire, la régression quantile, une méthode plus robuste aux données aber-rantes que la précédente. La section2.4est consacrée à la régression linéaire mixte, une ap-proche différente utilisée pour estimer simultanément les paramètres des modèles financiers de plusieurs gestionnaires. La section 2.5 présente la méthode de comparaisons multiples utilisée dans ce mémoire pour être en mesure de comparer plusieurs gestionnaires entre eux.

2.1

Données disponibles pour les analyses

Comme mentionné au chapitre1, les vraies valeurs des paramètres composant les mo-dèles pour évaluer la performance des gestionnaires sont inconnues ; il faut donc les estimer. Pour ce faire, l’analyse se base sur les rendements obtenus par des gestionnaires d’actions et d’obligations au cours d’une période d’observation donnée. Pour chacun de ces gestion-naires, une série de ses rendements bruts est nécessaire sur une certaine période de temps, par exemple, chaque mois pendant quelques années. La période étudiée doit être assez longue, principalement si on a recours à l’utilisation de séries temporelles pour modéliser la corrélation entre les observations. Au chapitre1, on a décrit le modèle d’évaluation des actifs financiers (MÉDAF), le modèle de Fama-Frech et le modèle de Carhart pour évaluer la per-formance de gestionnaires. Par contre, pour la suite du mémoire, seul le MÉDAF représenté par l’équation (1.1) sera considéré. L’ajout de variables explicatives au MÉDAF, comme celles

suggérées par Fama-French et Carhat, définies à la section1.2, a été testé, mais ces variables n’ont pas permis d’améliorer la qualité des modèles en terme de prédictions et pour classer les gestionnaires par ordre de performance. Le taux sans risque est déterminé par l’analyste financier et celui-ci est habituellement représentatif de l’horizon de placement visé. La va-riable dépendante de l’équation (1.1) du MÉDAF est le rendement net d’un gestionnaire d’actifs, soit le rendement brut du gestionnaire, après déduction des frais encourus, moins le taux sans risque. La variable explicative utilisée est le taux du marché (benchmark) moins le taux sans risque. Le taux du marché est également déterminé par l’analyste financier et celui-ci n’est pas le même pour les gestionnaires d’actions et les gestionnaires d’obligations. Ainsi, au final, deux types de modèles seront créés, un pour les gestionnaires d’actions et un autre pour les gestionnaires d’obligations, et l’estimation des paramètres est détaillée dans les sections suivantes.

2.2

La régression linéaire

La régression linéaire est un modèle simple et facile d’utilisation. Elle est utilisée dans dif-férents domaines pour étudier la relation entre une variable réponse quantitative et une ou diverses variables explicatives et pour faire de la prédiction. On parle de régression linéaire simple lorsqu’on considère une seule variable explicative et on parle de régression linéaire multiple lorsque plusieurs variables explicatives modélisent la variable réponse.

2.2.1 Modèle

Le modèle correspondant à une régression linéaire simple est le suivant :

Yt =α+βxt+εt t=1, ..., T , (2.1)

où

Yt: variable réponse du modèle, soit le rendement net d’un gestionnaire pour la période t

α: ordonnée à l’origine du modèle qui correspond à l’alpha de Jensen, une mesure de per-formance du gestionnaire

β: représente le risque systématique, c’est-à-dire le risque associé à la volatilité du marché xt: variable explicative du modèle, soit le rendement net du marché à la période t

εti.i.d.∼ N(0, σ2), t=1, ..., T

T : nombre de périodes d’observations

L’ordonnée à l’origine du modèle, c’est-à-dire le coefficient α de la régression linéaire, repré-sente la valeur moyenne de Ytlorsque xtvaut zéro. Dans ce mémoire, le coefficient α indique

que, lorsque le rendement net du marché est nul, la valeur moyenne des rendements nets du gestionnaire est α. En effet, dans le cas où xt = 0 et quand l’hypothèse de linéarité est

respectée, le coefficient α représente l’espérance de Yt,

E[Yt] =E[α+β×0+εt] =α+E[εt] =α.

C’est pourquoi on peut dire qu’un coefficient α supérieur à zéro indique que le gestionnaire a réussi à battre le marché. La pente de la régression, le coefficient β, représente l’augmentation de la valeur moyenne de Ytlorsque la valeur de xtaugmente d’une unité. Ainsi le coefficient

βest l’augmentation de la valeur moyenne des rendements du gestionnaire lorsque le ren-dement du marché augmente d’une unité. Généralement en pratique, on s’attend à ce que le coefficient β avoisine 1, c’est-à-dire que le gestionnaire d’actifs suit son "benchmark". Pour utiliser la régression linéaire, certaines hypothèses doivent être respectées pour chacun des termes d’erreurs (ε). Les trois principales hypothèses sont la linéarité, l’homoscédasticité et la non-corrélation des termes d’erreurs, ce qui signifie que chacun des termes d’erreur doit être d’espérance nulle, de variance σ2(homoscédasticité) et deux termes d’erreurs provenant d’observations différentes ne doivent pas être corrélés entre eux (Cov(εi, εj) =0 pour i 6=j).

Une quatrième hypothèse est que les termes d’erreurs doivent tous suivre une distribution normale. Si l’une ou plusieurs de ces hypothèses ne sont pas respectées, les résultats obtenus à partir de ce modèle tels que les estimations de paramètres, les intervalles de confiance ou les tests utilisés ne sont pas interprétables.

2.2.2 Estimation des paramètres

Les principaux paramètres à estimer sont les coefficients α et β. Pour les estimer, la mé-thode qui est généralement utilisée est celle des moindres carrés. Cette mémé-thode vise à mini-miser l’écart quadratique entre les valeurs observées Ytet la droite ˆYt = ˆα+ ˆβxt. L’estimé du

coefficient α est :

ˆα=Y¯ − ˆβ ¯x , (2.2)

où ¯

Y : est la moyenne des rendements nets obtenus par un gestionnaire d’actifs ¯x : est la moyenne des rendements nets du marché

et une estimation de sa variance est : ˆ var[ˆα] =σˆ2 1 n + ¯x2 Sxx  , (2.3)

où ˆσ2 ₌ 1

n−2∑ n

i=1ˆε2et Sxx =∑in=1(xi− ¯x)2.

L’estimation du coefficient α ainsi que l’estimation de sa variance sont utilisées, principale-ment, pour le calcul de mesures de performance ainsi que pour la prévision de rendements futurs, tel que présentés à la section2.2.4. L’estimé du coefficient β est :

ˆβ= ∑ n t=1Ytxt−Y¯∑nt=1xt ∑n t=1x2t − ¯x∑nt=1xt = ∑ n t=1(xt− ¯x)Yt ∑n t=1(xt− ¯x)2 . (2.4) et sa variance est : ˆ var[ˆβ] = ˆσ 2 Sxx .

L’estimation du coefficient β et l’estimation de sa variance sont surtout utilisées pour la pré-vision. Certaines mesures de performance utilisent l’estimation du coefficient β, mais ce ne sont pas celles retenues dans ce mémoire.

2.2.3 Série temporelle

Une série temporelle est une suite d’observations obtenues à des intervalles réguliers, par exemple chaque jour, chaque semaine, chaque mois. L’étude des séries temporelles vise à déterminer un modèle qui permettra de bien identifier la structure de corrélation entre les observations.

Habituellement, la régression linéaire se base sur l’hypothèse que les erreurs sont identi-quement distribuées et indépendantes (i.i.d.) de moyenne zéro et de variance sigma carrée. Par contre, dans certains cas, il peut arriver que les erreurs soient autocorrélées, c’est-à-dire que les erreurs dépendent de leurs valeurs passées, principalement lorsque les données sont obtenues à intervalles réguliers. Dans ce cas, des modèles de série temporelle doivent être utilisés pour bien spécifier la distribution des erreurs afin d’être en mesure de bien tenir compte de l’incertitude dans l’estimation de la relation entre la variable réponse et la va-riable explicative.

Un des principaux modèles utilisés dans l’étude des séries temporelles est le modèle ARMA (p, q)« Processus autorégressif moyenne mobile ». Ce modèle est composé d’une partie au-torégressive(p)et d’une partie moyenne mobile(q). Dans le cas où il n’y a pas de moyenne mobile, on parle de processus autorégressif, AR(p)=ARMA(p, 0). Un processus autorégres-sif est expliqué non pas par une combinaison de variables explicatives, mais par ses valeurs passées. Un processus autorégressif d’ordre 2 signifie que la loi de la prochaine valeur à pré-dire sera en fonction des deux dernières valeurs observées. Plus généralement, un processus

autorégressif d’ordre p signifie que la loi de la prochaine valeur à prédire sera en fonction des p dernières valeurs observées. Voici, par exemple, le modèle associé à un processus au-torégressif d’ordre 2 :

et = ϕ1et−1+ϕ2et−2+ωt , (2.5)

où les ωtsont i.i.d.∼ N(0, σω2)avec σ

2

ω >0 et ϕ1et ϕ2sont des paramètres autorégressifs.

Afin de déterminer si les erreurs de la régression nécessitent l’utilisation de séries tempo-relles, il faut tout d’abord vérifier s’il y a dépendance entre les termes d’erreur. Dans le cas où les erreurs sont simplement indépendantes, il n’y a pas lieu d’aller plus loin. Pour valider s’il y a dépendance ou non entre les erreurs, la fonction d’autocorrélation simple (ACF) est utilisée. La fonction d’autocorrélation simple notée ρ(h) est définie à partir de la fonction d’autocovariance notée γ(h)qui est la covariance entre deux variables décalées de h unités, soit γ(h) =cov(εt, εt+h). La fonction d’autocorrélation simple s’écrit de la façon suivante :

ρ(h) = γ(h) γ(0) =

cov(εt, εt+h)

var(εt) .

Pour être un processus autorégressif AR(p) les autocorrélations doivent tendre vers zéro avec h, et ce, de façon exponentielle. L’autocorrélation partielle r(h)(PACF) est définie par :

r(h) = ρ(h) − [ρ(h−1) · · ·ρ(1)]R(h−1)−1     ρ(1) .. . ρ(h−1)     1− [ρ(h−1) · · ·ρ(1)]R(h−1)−1     ρ(h−1) .. . ρ(1)    

où R(h−1)−1_{est la matrice d’autocorrélation du vecteur ε}

t,· · · , εt+N−1 où N représente le

nombre d’observations du processus εt: R(h) =

      1 ρ(1) ρ(2) · · · ρ(N−1) ρ(1) 1 ρ(1) · · · ρ(N−2) .. . . .. . .. . .. ... ρ(N−1) ρ(N−2) · · · ρ(1) 1       Ce sont les autocorrélations partielles qui permettent de déterminer l’ordre p, car celles-ci s’annulent à partir de l’ordre p+1. L’autocorrélation partielle est définie comme la corréla-tion entre deux variables décalées de h unités en leur enlevant l’informacorréla-tion linéaire conte-nue entre ces deux variables. Pour plus d’information sur les fonctions d’autocorrélation

simples et partielles, se référer àKirchgässner and Wolters(2007). La figure2.1présente les graphiques ACF et PACF théoriques d’un processus autorégressif d’ordre 2.

FIGURE2.1: Graphiques ACF et PACF théoriques pour un processus AR(2)

En pratique, on n’observe pas directement les valeurs associées aux autocorrélations simples et partielles, il faut les estimer à partir des données observées. Pour l’estimation des autocor-rélations simples, on utilise :

ˆρ(h) = γˆ(h) ˆ

γ(0) , h =0, 1,· · · , où ˆγ(h) = _n1∑n_t=−₁h(et−¯en) (et+h− ¯e).

Quant à l’estimation des autocorrélations partielles, elle se fait à l’aide des estimateurs sui-vants : ˆr(h) = ˆρ(h) − [ˆρ(h−1) · · · ˆρ(1)]Rˆ(h−1)−1     ˆρ(1) .. . ˆρ(h−1)     1− [ˆρ(h−1) · · · ˆρ(1)]Rˆ(h−1)−1     ˆρ(h−1) .. . ˆρ(1)     , h=0, 1,· · · , où ˆRN = ˆ Γ(h) ˆ γ(0)et ˆΓ(h) =       ˆ γ(0) γˆ(1) · · · γˆ(N−1) ˆ γ(1) γˆ(2) · · · γˆ(N−2) .. . . .. . .. ... ˆ γ(N−1) γˆ(N−2) · · · γˆ(0)       .

La figure2.2 montre un exemple de ce qui a été obtenu à partir des rendements nets ob-servés d’un gestionnaire d’obligations. Ces graphiques permettent très bien de déterminer

qu’il s’agit d’un processus autorégressif d’ordre deux. En effet, sur le premier graphique (ACF), les autocorrélations décroissent rapidement en dessous de la bande de confiance tan-dis que dans le second graphique (PACF), seules les deux premières autocorrélations par-tielles sortent de l’intervalle de confiance, et sont donc significativement non nulles.

FIGURE2.2: Corrélogrammes simples et partiels des résidus du modèle (1.1) ajusté aux ren-dements mensuels nets d’un gestionnaire d’obligations

Lorsque les erreurs de la régression sont bien de type autorégressif d’ordre 2, deux nouveaux paramètres doivent être estimés, soit ϕ1et ϕ2, et l’estimation du coefficient α sera modifiée.

Avant d’attaquer l’estimation de ces deux nouveaux paramètres et de voir l’effet d’erreurs autocorrélées sur le modèle de régression linéaire simple, il est important de définir l’opé-rateur "retard". C’est cet opél’opé-rateur qui permettra la réécriture de l’équation (2.5) pour être en mesure de modifier l’estimation du coeffcient α. L’opérateur "retard", dénoté B, est un opérateur linéaire qui se définit de la façon suivante :

Bet=et−1 (et, t∈Z)

et de façon plus générale, on a :

Biet =e_t−i (et, t∈Z), ∀i∈N.

temps. À l’aide de l’opérateur "retard", on peut réécrire l’équation (2.5) de la façon suivante : ωt =et I−ϕ₁B−ϕ2B2
| {z } Φ(B) ,

oùΦ(B)est un polynôme de degré deux. Ainsi, on a

et=

ωt

Φ(B) (2.6)

et siΦ(B)est inversible on peut donc réécrire l’équation (2.1) en substituant le côté droit de l’équation (2.6) pour εt: Φ(B)Yt=Φ(B)α+Φ(B)βxt+ωt. (2.7) De l’équation (2.7), on obtient : Y_t? =Yt−φ1Yt−1−φ2Yt−2 =Φ(B)Yt (2.8) x?_t =xt−φ1xt−1−φ2xt−2 =Φ(B)xt (2.9) α? = (1−φ1−φ2)α=Φ(B)α (2.10) À partir de l’équation (2.10), il est possible d’obtenir l’estimation du nouveau coefficient α :

ˆα = ˆα

?

1−_φˆ₁−_φˆ₂
, (2.11)

où ˆα?est celui défini par l’équation (2.2). L’estimation de sa variance est :

ˆ

var[ˆα?] = varˆ [ˆα]

(1−_φˆ₁−_φˆ₂)2 , (2.12)

où ˆvar[ˆα]est défini à l’équation (2.3).

L’estimé de la pente reste le même qu’à l’équation (2.4).

Estimation des paramètres ϕ1et ϕ2

Pour estimer les paramètres autorégressifs ϕ1et ϕ2, la méthode de Yule-Walker peut être

utilisée. Les équations de Yule-Walker dans le cas d’une série autorégressive d’ordre 2 s’écrivent de la façon suivante :

Ainsi, en remplaçant h dans l’équation (2.13) par 1 et 2, on obtient le système de deux équa-tions et deux inconnues suivant :

γ(1) = ϕ1γ(0) +ϕ2γ(−1) γ(2) = ϕ1γ(1) +ϕ2γ(0).

En utilisant la parité de γ(h)et en remplaçant les fonctions d’autocovariance par leurs esti-mations respectives, on obtient les deux équations suivantes :

ˆ

γ(1) = ϕˆ1γˆ(0) +ϕˆ2γˆ(1) (2.14) ˆ

γ(2) = ϕˆ1γˆ(1) +ϕˆ2γˆ(0). (2.15) Chaque membre des deux équations (2.14et2.15) est divisé par γ(0)pour faciliter les calculs, ce qui permettra de retrouver les fonctions d’autocorrélation simples ρ(h) = γ(h)

γ(0 :

ˆ

ϕ1 = ˆρ(1) −ϕˆ2ˆρ(1) (2.16)

ˆ

ϕ2 = ˆρ(2) −ϕˆ1ˆρ(1). (2.17)

Par la suite, il suffit de remplacer ˆϕ1donné par (2.16) dans (2.17) pour obtenir

ˆ ϕ2 = ˆρ(2) − ˆρ(1) [ˆρ(1) −ϕˆ2ˆρ(1)] | {z } ˆ ϕ1 ˆ ϕ2= ˆρ(2) − ˆρ(1)2 1− ˆρ(1)2 = ˆr(2) , (2.18)

où ˆr(2)est la fonction d’autocorrélation partielle estimée qui est une conséquence du théo-rème de Frisch-Waugh. Ceci permet d’obtenir l’estimé de ϕ2. Pour l’estimé de ϕ1, on

rem-place ˆϕ2par son estimé (2.18) dans l’équation (2.16) :

ˆ

ϕ1= ˆρ(1) − ˆρ(1)ˆr(2). (2.19)

Les équations de Yule-Walker permettent également d’obtenir une équation pour la variance du bruit blanc, notée σ_ω2 :

σ_ω2 =γ(0) −ϕ1γ(1) −ϕ2γ(2). Ainsi, l’estimé de la variance du bruit blanc sera

ˆσ_ω2 =γˆ(0) −ϕˆ1γˆ(1) −ϕˆ2γˆ(2).

Utiliser une série temporelle pour modéliser les termes d’erreurs de la régression linéaire a un impact sur l’estimé des paramètres. En effet, comme le démontre l’équation (2.11), le coefficient alpha est modifié pour tenir compte de l’impact du fait que les erreurs sont pos-siblement autocorrélées. Cet impact se reflètera sur le classement des gestionnaires, car les principaux outils utilisés pour évaluer la performance de gestionnaires sont basés sur des estimés du coefficient α.

2.2.4 Prévision

Dans le contexte actuel, la prévision des valeurs futures des rendements des gestionnaires permettra à une compagnie de guider son choix lors de la sélection des gestionnaires. En effet, si la compagnie a en sa possession une prévision des rendements futurs de chacun des gestionnaires d’actifs qu’elle peut potentiellement engager, elle préfèrera un gestion-naire dont le rendement attendu est le plus élevé et le moins risqué. De plus, en connaissant l’estimation des rendements attendus des gestionnaires qu’elle aura sélectionnés, la compa-gnie sera en mesure de mieux prévoir le risque présent au sein de son portefeuille d’actifs. Pour être en mesure de prévoir les valeurs futures des rendements des gestionnaires, il faut connaître la valeur future des variables explicatives du modèle. Pour le modèle d’évaluation des actifs financiers, la seule variable explicative est le rendement net du marché. Connais-sant cette valeur, disons x0, l’équation pour prédire une nouvelle valeur de Y sachant la

valeur du rendement du marché sera, dans le cas où les erreurs sont i.i.d,

ˆ

Y0 = ˆα+ ˆβx0.

L’intervalle de confiance associé à cette prévision est le suivant :  ˆα+ ˆβx₀±tn−2(1−α/2) q c var_ˆ Yi   , où

tn−2: quantile de la loi de student à n−2 degrés de liberté et

c var_ˆ Yi  = ˆσ2  1+1_n+ (x0−¯x)2 ∑n i=1(xi−¯x)2  .

Dans le cas où les erreurs sont de type autorégressif d’ordre deux, la prévision d’une nou-velle valeur va dépendre des erreurs (ε) aux deux temps précédents. Par exemple, la pré-vision de Y au temps t = T va dépendre de la l’erreur au temps t = T−1, εT−1 et au

temps t = T−2, εT−2. Supposons toujours qu’au temps t = T, xT = x0. Alors on obtient la

prévision suivante :

ˆ

YT = ˆα+ ˆβx0+ϕˆ2ˆεT−2+ϕˆ1ˆεT−1

avec

ˆα=αˆ∗ (2.20)

où α∗ est obtenu à partir de l’équation (2.10) et

ˆβ= ∑ n t=1(x∗t −x¯∗)Yt∗ ∑n t=1(x∗t −x¯∗) 2 (2.21)

où x∗_t et Y_t∗sont obtenus à partir des équations (2.9) et (2.8). Le terme ˆεT−1est calculé à partir

de T−1 observations et ˆεT−2est calculé à partir de T−2 observations, pour plus de détails,

voirMalinvaud(1961). Les estimations des paramètres autorégressifs ϕ1et ϕ2sont obtenues

à partir des équations (2.16) et (2.17).

Un intervalle de confiance à approximativement 95% correspondant à cette prévision est :  ˆ YT±t0.025;T−2× q c var(YˆT)  , oùvarc(YˆT) = var[ˆα] (1−ϕˆ1−ϕˆ2)2 +x 2 0var[ˆβ] +σ2[ϕˆ12+ϕˆ22] +σw2.

2.2.5 Variante au modèle de régression linéaire

Deux variantes au modèle de régression linéaire simple ont été testées pour permettre d’ajuster le meilleur modèle possible aux données afin de bien comparer les gestionnaires entre eux.

1- Transformation de la variable réponse

Pour la construction des modèles, la variable réponse représentant le rendement net associé à un actif a été remplacée par le log(1+rendement). Puisqu’en finance il arrive souvent que les distributions soient asymétriques, l’utilisation du log permet souvent de corriger ce pro-blème. La constante 1 du log(1+rendement) permet de conserver les propriétés suivantes :

−lorsque le rendement tend vers l’infini, le log(1+rendement) tend également vers l’infini ; −lorsque le rendement tend vers -1, le log(1+rendement) tend vers - l’infini.

Effet sur la prévision

Pour obtenir la prévision du rendement net d’un gestionnaire en utilisant comme variable réponse le log(1+Yt), il est nécessaire d’utiliser la transformation suivante :

ˆ Y_t??=exp  ˆ Yt+ 1 2ˆσ 2  −1 ,

ce qui permet d’obtenir une prévision sans biais du rendement futur du gestionnaire. 2- Pente égale à 1 pour tous les gestionnaires

Il pourrait arriver que la valeur estimée du coefficient β soit très différente d’un gestionnaire à l’autre. Comme mentionné dans la section1.4, pour comparer des gestionnaires entre eux simplement à partir du coefficient α, il est important que le risque systématique (β) soit égal, ou du moins similaire, d’un gestionnaire à l’autre. Pour ce faire, des modèles avec paramètre βfixé à 1 ont été testés. Avec un coefficient bêta fixé à 1, on a le modèle suivant :

Yt=α+xt+et.

Dans le cas où les erreurs sont i.i.d., il y a un seul paramètre à estimer, soit le coefficient α. La prévision sera :

ˆ

Yt= ˆα+xt,

où ˆα est donné par l’équation (2.2) en posant ˆβ=1.

Dans le cas où les erreurs sont de type autorégressif d’ordre deux, la prévision sera :

ˆ

YT = ˆα+x0+ϕˆ2ˆεT−2+ϕˆ1ˆεT−1.

où le coefficient ˆα est défini par l’équation (2.11).

Les estimateurs obtenus par la méthode des moindres carrés sont très affectés par les valeurs extrêmes, comme on en observe souvent dans des séries de rendements financiers. C’est pourquoi on dit souvent que la régression linéaire manque de robustesse. De plus, lorsque les données ne sont pas distribuées de façon normale, comme c’est souvent le cas avec des

données de rendement sur un indice de marché, les intervalles de confiance et les tests ob-tenus ne sont pas interprétables. C’est pourquoi une variante à cette méthode est considérée dans la section suivante.

2.3

La régression quantile

La régression quantile, telle que décrite parKoenker(2005), est utilisée pour généraliser la régression linéaire. L’utilisation de la régression linéaire permet d’obtenir la moyenne condi-tionnelle de la variable à prédire selon les variables explicatives, tandis que la régression quantile suppose un modèle pour la médiane ou d’autres quantiles conditionnels de la va-riable réponse.

Dans certaines situations, et c’est souvent le cas dans le domaine de la finance lorsqu’on étu-die les rendements obtenus par les gestionnaires suite à une gestion active, les distributions sont souvent asymétriques. En effet, ces distributions, dans bien des cas, s’éloignent de la loi normale. Elles ont des queues épaisses et contiennent souvent des valeurs extrêmes et des données aberrantes. Dans ces circonstances, la régression quantile est beaucoup plus robuste, car elle ne met pas l’accent seulement sur la moyenne, mais sur l’ensemble de la distribu-tion condidistribu-tionnelle de la variable explicative. La médiane est une mesure plus robuste aux données aberrantes que la moyenne, car elle est beaucoup moins influencée par les valeurs extrêmes. Par ailleurs, les résultats obtenus avec la régression quantile sont généralement plus stables en terme d’estimation des paramètres que ceux qui peuvent être obtenus avec la régression linéaire lorsque les résidus sont très dispersés. C’est pourquoi la régression quan-tile est de plus en plus utilisée et populaire pour évaluer la performance de gestionnaires d’actifs, voirDavid Ellen and Powell(2009),Carlo Matallin-Saez and Tortosa-Ausina(2013) etChiang and Li(2012).

2.3.1 Modèle

Le τième quantile, qτ, est défini de sorte que P(Y ≤ qτ) = τ. Par exemple, le quantile

représentant la médiane, q0.5 , est défini de sorte que P(Y ≤ q0.5) = 0.5, ce qui divise la

population en deux groupes de même "taille". En fait, la fonction de quantile, QY(τ), d’une variable aléatoire est définie comme l’inverse généralisé de sa fonction de répartition :

QY(τ) =F_Y−1(τ) =inf{Y : FY(Y) ≥τ}, 0≤ τ≤1.

Cette fonction de quantile est représentée par le seuil où la probabilité d’observer une va-riable inférieure au seuil est exactement τ, comme illustré à la figure 2.3. Les rendements les moins élevés seront associés aux quantiles les plus faibles tandis que les rendements les plus élevés seront associés aux quantiles les plus élevés. Ainsi, la fonction de quantile décrit

de façon complète les caractéristiques statistiques de la variable aléatoire. L’ensemble des valeurs de τ est compris dans(0, 1).

FIGURE2.3: Fonction de répartition et fonction quantile

Tout comme la fonction de quantile, la fonction de quantile conditionnelle de la variable réponse Y sachant x est l’inverse de la fonction de répartition conditionnelle correspondante :

QY(τ|x) =F_Y−_|1_x(τ|x) =inf{Y : FY(Y|x) ≥τ}, 0≤τ≤1.

Le but principal de la régression quantile est de déterminer comment chacun des quantiles de la distribution conditionnelle dépend des variables explicatives. Le modèle développé pour évaluer les rendements nets d’un gestionnaire d’actif avec une seule variable explica-tive, comme c’est le cas avec le MÉDAF, est le suivant :

QYt(τ|x=xt) =α(τ) +β(τ)xt+εt(τ), 0≤τ≤1.

Tout comme le modèle de régression linéaire qui suppose une relation linéaire entre la moyenne de Y et les valeurs prises par la variable explicative, la régression quantile postule, elle aussi, une relation linéaire, mais entre le τième quantile de Y et les valeurs prises par la variable explicative. On distingue deux principaux modèles :

1- Modèle de translation linéaire

Dans ce type de modèle, seule l’ordonnée à l’origine varie d’un quantile à l’autre et les pentes des droites restent les mêmes. Ainsi, dans ces modèles, les droites seront parallèles d’un quantile à l’autre puisque les variables explicatives ont un effet uniquement sur la moyenne des rendements et non sur la variance. Dans ce type de modèle, la variance des résidus reste la même, peu importe le quantile, et l’hypothèse d’homoscédasticité est respectée. Même si les hypothèses de la régression linéaire sont respectées, il peut être avantageux d’utiliser la régression quantile avec un modèle de translation linéaire puisque les estimateurs de la

régression quantile sont plus robustes. En effet, ils sont moins sensibles à la présence de valeurs aberrantes.

2- Modèle de translation-échelle

Dans ce type de modèle, l’ordonnée à l’origine ainsi que la pente varient d’un quantile à l’autre. Il y a un effet sur la moyenne, mais également sur la variance de la variable dépen-dante Y. La variance de Y varie en fonction des valeurs prises par la variable explicative x. Dans un modèle de translation-échelle, les pentes ne sont plus parallèles d’un quantile à l’autre. Ce type de modèle est une variante très intéressante au modèle linéaire de la section

2.2, principalement lorsque l’hypothèse d’homoscédasticité n’est pas respectée.

Dans le cas de la régression quantile, les termes d’erreurs, εt(τ), ne suivent pas nécessaire-ment une loi normale, mais sont habituellenécessaire-ment indépendants et identiquenécessaire-ment distribués. Comme dans le cas de la régression linéaire section (2.2.3), il est possible d’ajuster un modèle de série temporelle sur les erreurs lorsque celles-ci sont autocorrélées.

Contrairement à la régression linéaire, qui doit respecter les hypothèses mentionnées à la section2.2 sur la distribution des termes d’erreurs, la régression quantile ne nécessite pas l’homoscédasticité des termes d’erreurs.

FIGURE2.4: Droite d’une régression linéaire comparée à la régression quantile avec diffé-rentes valeurs de τ

2.3.2 Estimations des paramètres

Koenker(2005), présente une méthode d’estimation qui ne requiert pas que les données soient ordonnées, ce qui peut réduire considérablement les calculs. On sait que la moyenne peut-être définie de la façon suivante :

µ=arg min

c