Vecteurs

Mme LE DUFF Seconde générale et technologique

1

Fiche méthode 6 : seconde générale – Vecteurs.

Trouver les coordonnées d'un point :

On cherche une relation vectorielle (égalité ou colinéarité) entre 2 vecteurs dont l'un fait intervenir ce point.

On calcule les coordonnées de chaque vecteur. On obtient l'équation et on la résout.

Rappels :

Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées.

Deux vecteurs u(x;y)et v(x';y')ont colinéaires ssixy'−x'y=0

Exemple :

Soient A(-1;5), B(7;3) et C(1;4). Calculer les coordonnées de M tel que ABCM soit un parallélogramme.

Résolution :

ABCM est un parallélogramme ssi AB=MC.       − − − 5 3 ) 1 ( 7 AB donc _      −2 ) 8 AB et _      − − M M y x MC 4 1 MC

AB= ssi ils ont les mêmes coordonnées :

M M y x − = − − = 4 2 1 8 2 4 8 1 + = − = M M y x 6 7 = − = M M y x Donc M(-7;6).

Montrer que des droites sont parallèles :

On calcule les coordonnées d'un vecteur porteur de chaque droite. On prouve qu'ils sont coliénaires.

Rappels :

ABet CD colinéaires (AB)//(CD).

Mme LE DUFF Seconde générale et technologique

2 Exemple :

Soient A(7;-1), B(4;3), C(12;-5) et D(6;3). Montrer que (AB)//(CD). Résolution :       − − − ) 1 ( 3 ) 7 4 AB donc _     − 4 3 AB et _      − − − ) 5 ( 3 12 6 CD donc _     − 8 6 CD

Comme(−6)×4−(−3)×8=−24+24=0alorsABcolCD. ABcolCDdonc (AB)/(CD).

Montrer que des points sont alignés :

On calcule les coordonnées de deux vecteurs constitués de ces 3 points. On prouve qu'ils sont coliénaires.

Rappels :

AC col

AB A, B et C sont alignés.

Deux vecteursu(x;y) et v(x';y')sont colinéaires ssixy'−x'y=0ouu=

λ

Exemple :

Soient A(1;3), B(2;7) et C(4;15) . Montrer que A, B et C sont alignés. Résolution :       − − 3 7 1 2 AB donc _      4 1 AB et _      − − 3 15 1 4 AC donc _      12 3 AC

Comme AB=3ACalorsABcolAC. ABcolACdonc A, B et C sont alignés. Réduire une expression :

On transforme les soustractions en addition de l'opposé : BA=−AB On réorganise le calcul et on utilise la relation de Chasles.

Rappel : AB+BC= AC (relation de Chasles)

Exemple : DA CB MB MA u= − + − Résolution : u=MA−MB+CB−DA=MA+BM +CB+AD=CB+BM +MA+AD=CD

Mme LE DUFF Seconde générale et technologique

3 Construire une somme de vecteurs :

On applique la méthode du « bout a bout ». Exemple 1:

Soient u et v ci-dessous. Construire u+v .

Résolution :

Exemple 2:

Soit le parallélogramme ABCD ci-dessous. Construire le point M tel que AM =3AB−2DB .

Résolution : On commence à construire le vecteur 3AB−2DBavec pour origine le point A, le point M est son extrémité.