9
Résolution de problèmes à l’aide de
matrices
23
Leçon
n°
Niveau Terminale ES
Prérequis (définition d’une matrice, opérations sur les matrices), fonction dérivée, inté-grales, résolution d’un système d’équations, utilisation d’un logiciel de calcul
formel
Références [5], [70], [71]
Proposition : Mettre la section23.1comme prérequis.
23.1
Matrices et opérations sur les matrices
23.1.1 Définition d’une matrice
Définition 23.1 — Matrice. Soit n et p deux entiers naturels non nuls. On appelle matrice réelle à nlignes et p colonnes la donnée d’un tableau rectangulaire à n lignes et p colonnes composé de nombres réelles appelés coefficients de la matrice.
Une matrice à n lignes et p colonnes est dite matrice d’ordre (n, p) ou de dimension n × p. L’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients réels se note Mn,p(R).
Exemple 23.2 La matrice :
A= √21 7 −42
3 π !
a 2 lignes et 3 colonnes donc A ∈ M2,3(R). Le coefficient de la deuxième ligne et de la troisième
colonne est a23= π.
Définition 23.3 — Quelques matrices particulières. Soit A ∈ Mn,p(R). On appelle matrice transpo-sée de A, notée AT est la matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A.
Une matrice est dite carrée s’il a même nombre de lignes que de colonnes. L’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels se note Mn(R).
Exemple 23.4 Soit la matrice :
Y = −3 8 2, 5 9 −4 7, 2
Y est une matrice de dimension3 × 2 : Y ∈ M3,2(R).
Sa matrice transposée est :
YT = −3 2, 5 −48 9 7, 2
!
YT est une matrice de dimension2 × 3 : YT ∈ M
2,3(R).
Définition 23.5 — Égalité de matrices. Soit A et B deux matrices. On dit que les matrices A et B sont égales si :
— A et B ont même dimension n × p
— pour tous i, j tels que1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ p, aij = bij.
Exercice 23.6 Soient A= 3x 0 2 2y − 1 ! , B = 12 0 2y − x 5 ! .
Déterminer x et y pour que A et B soient deux matrices égales. Dv •Solution — A= B ⇔ 3x = 12 2 = 2y − x 2y − 1 = 5 ⇔ n x= 4 y = 3 •
Définition 23.7 Soient A et B deux matrices réelles de même ordre. On appelle somme de matrices Aet B la matrice notée A+B, de même ordre que A et B obtenue en ajoutant les coefficients situés en même position dans A et dans B.
R 23.8 Une matrice A de dimension n × p est nulle si, pour tout 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ p, aij = 0.
Définition 23.9 — Produit d’une matrice par un réel. Soit A une matrice réelle et soit λ un nombre réel. On appelle produit de la matrice A par le réel λ la matrice notée λA, de même ordre que A obtenue en multipliant chaque coefficient de A par le réel λ.
Dans le cas où λ= −1, la matrice −A est appelée opposée de A.
Propriétés 23.10 Soient A, B et C trois matrices de même ordre ; soit k et k0deux nombres réels :
1. A+ B = B + A
2. (A + B) + C = A + (B + C) 3. k(A + B) = kA + kB
4. k(k0A) = k0(kA) = (kk0)A 23.1.3 Produit de deux matrices
Définition 23.11 Soit A une matrice d’ordre n × p et B une matrice d’ordre p × r : A ∈ Mn,p(R) et B ∈ Mp,r(R).
On appelle produit des matrices A et B la matrice C = (cij)1≤i≤n,1≤j≤rdéfinie coefficient par coefficient par : cij = ai1× b1j+ ai2× b2j+ · · · + aip× bpj= p X k=1 aikbkj.
23.1 Matrices et opérations sur les matrices 11
La multiplication de deux matrices se fait selon le schéma suivant :
R 23.12
1. Le produit A × B n’est défini que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. 2. Il peut arriver que le produt A × B soit réalisable alors que le produit B × A ne l’est pas (problème de
dimensions).
3. Le produit de deux matrices n’est pas commutatif.
Propriétés 23.13 Soient A, B et C trois matrices réelles ; si les opérations indiquées existent, alors on a les égalités :
1. A × (B + C) = A × B + A × C 2. (A + B) × C = A × C + B × C 3. A × (B × C) = (A × B) × C
23.1.4 Le problème
On réalise le jeu suivant : on lance4 fois de suite un dé équilibré. On multiple le résultat du premier lancer par5, celui du deuxième par 10, celui du troisième par 15 et celui du quatrième par 20. Avec les valeurs obtenues, on retranche la deuxième à la première, on ajoute la troisième et on retranche la quatrième pour finir : on obtient le score pour la partie. Si l’on considère plusieurs joueurs, la personne qui obtient le score le plus élevé sur une série de4 lancers est déclarée gagnante.
1. On prend une partie de5 joueurs. Construire la matrice des résultats affichés par le dé pour chacun des joueurs. On placera les résultats de chaque série ordonnée de4 lancers en colonne, par joueur.
2. Déterminer par un calcul matriciel le résultat de chacun des joueurs. Qui a gagné ? 3. Quel est le score minimal possible à ce jeu ? Le score maximal.
Dv
•Solution —
aura alors la matrice : T = t11 t12 t13 t14 t21 t22 t23 t24 t31 t32 t33 t34 t41 t42 t43 t44 t51 t52 t53 t54
2. Pour obtenir le score de chaque joueur, on multiplie la matrice T par la matrice C de diagonale(5, 10, 15, 20) C= 5 0 0 0 0 10 0 0 0 0 15 0 0 0 0 20 . La matrice T × C sera donc de la forme :
P = T × C = 5t11 10t12 15t13 20t14 5t21 10t22 15t23 20t24 5t31 10t32 15t33 20t34 5t41 10t42 15t43 20t44 5t51 10t52 15t53 20t54 .
Ensuite, pour obtenir le score final de chaque joueur, on multiplie la matrice P par la matrice-colonne (vecteur) V : V = 1 (−1) 1 (−1) Ainsi : P× V = 5t11− 10t12+ 15t13− 20t14 5t21− 10t22+ 15t23− 20t24 5t31− 10t32+ 15t33− 20t34 5t41− 10t42+ 15t43− 20t44 5t51− 10t52+ 15t53− 20t54 .
3. Pour obtenir le score minimal de ce jeu, il faut maximiser les deuxième et quatrième lancers et minimiser les premier et troisième lancers.
smin= 5 × 1 − 10 × 6 + 15 × 1 − 20 × 6 = 5 − 60 + 15 − 120 = −160.
Pour obtenir le score maximal de ce jeu, il faut minimiser les deuxième et quatrième lancers et maximiser les premier et troisième lancers.
smax= 5 × 6 − 10 × 1 + 15 × 6 − 20 × 1 = 30 − 10 + 90 − 20 = 90.
•
23.2
Résolution de systèmes d’équations
23.2.1 Le problème
Un client achète chez un traiteur deux bouchées à la reine au ris de veau et trois oeufs en gelée pour 18, 70 e. Le client suivant prend une bouchée à la reine au ris de veau et deux oeufs en gelée pour10, 60 e.
23.2 Résolution de systèmes d’équations 13
Déterminer le prix d’une bouchée à la reine au riz de veau et d’un oeuf en gelée.
23.2.2 La théorie
Matrices inversibles
Définition 23.14 — Matrice identité. La matrice Inde dimension n×n définie de la manière suivante :
In= 1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 ... ... ... ... 0 0 · · · 1
est appelée matrice d’identité d’ordre n.
Définition 23.15 — Matrice inversible. Soit A une matrice carrée d’ordre n. On dit que la matrice A est inversible s’il existe une matrice carrée B d’ordre n telle que :
A× B = In.
Propriété 23.16 Soit A une matrice carrée d’ordre n. S’il existe une matrice carrée B d’ordre n telle que A × B = In, alors B est unique.
B est appelée l’inverse de la matrice A et se note A−1.
Dv
• Démonstration — Supposons qu’il existe B et C carrées d’ordre n telle que A × B =
A× C = In. On a a :
B= B × In= B × (A × C)
= (B × A) × C = In× C = C.
•
Résolution de systèmes
Propriété 23.17 Tout système d’équations linéaires peut s’écrire sous forme matricielle.
a11x1+ · · · + a1nxn= b1 ... ... ap1x1+ · · · + apnxn= bp ⇔ AX = B où A= a11 · · · a1n ... ... ... ap1 · · · apn
est la matrice du système B = b1 ... bp et X = x1 ... xn .
Pour résoudre le sysètme précédent, si la matrice A est inversible, on a : AX = B ⇔ A−1× (AX) = A−1× B.
D’après l’associativité du produit matriciel :
A−1× (AX) = A−1× B ⇔ (A−1× A) × X = A−1× B. Ainsi :
In× X = X = A−1× B.
Et finalement : X = A−1× B. On détermine ainsi aisément x et y à l’aide d’un calcul matriciel.
Matrices inversibles2 × 2
Propriété 23.18— Admise. Soit A = a b c d
une matrice 2 × 2. La matrice A est inversible si et
seulement si ad − bc = 0. Si tel est le cas, A−1 = 1 ad− bc d −b −c a ! . 23.2.3 Solution du problème Dv •Solution —On cherche :
— x le prix d’une bouchée à la reine — y le prix d’un œuf en gelée
On doit résoudre le système matriciel suivant :
AX= B ⇔2 31 2 x y =18,7010, 60.
La matrice A est inversible car2 × 2 − 3 × 1 = 1 et la matrice A−1s’obtient de la manière
suivant :
A−1= 2 −1
−3 2
.
On peut donc résoudre le système matriciel :
AX= B ⇔ X = A−1B. On effectue le calcul : X = A−1B= −1 2 2 −3 ×18,7010, 60 =2 × 18, 70 − 3 × 10, 60−18, 70 + 2 × 10, 60 =2,505, 60 •
23.3
Matrice de Leontief
Définition 23.19 On considère n types de productions et ces consommations intermédiaires entre elles.
23.4 Courbes polynomiales 15
par une branche et la production totale de la branche.
Soit C la matrice des coefficients techniques cij (c’est une matrice carrée d’ordre n). On appelle matrice de Leontief la matrice L= I2− C.
R 23.20
1. Si L représente la matrice de Léontief d’un secteur d’activité, le terme d’indice(i, j) de la matrice L−1
est le montant dont le secteur i doit augmenter sa production pour satisfaire à une augmentation de la demande finale d’une unité de la part du secteur j.
2. Si le terme(i, j) de la matrice L−1 est nul, cela signifie que toute augmentation d’une unité de la
demande du secteur nojn’influence pas la production totale du secteur noi.
Exercice 23.21 On considère une économie fermée à deux secteurs dont on donne la matrice C des
coefficients techniques,
C= 0, 2 0, 10, 3 0, 4
!
1. Calculer la demande finale correspondant à un niveau de production P = (50 30).
2. Déterminer à l’aide d’une matrice inverse les niveaux de production nécessaires pour répondre à une demande finale D = (200
50 ).
Dv
•Démonstration —
1. La demande finale est donné par LP = DFoù L est la matrice de Leontief L= I2− C.
D’où :
DF = (I2− C) × P =1 − 0,2 0,10, 3 1 − 0, 4 5030
=0,8 0,10, 3 0, 6 5030=4333.
2. On doit résoudre le système matriciel suivant : 200
50
=0,8 0,10, 3 0, 6P
d’inconnue P . La matrice C = 0,8 0,1
0,3 0,6est inversible car0, 8 × 0, 6 − 0, 1 × 0, 3 6= 0.
D’où : C−1= 4 3 −29 −13 169
On peut ainsi déterminer les niveaux de production :
P = 4 3 −29 −13 169 200 50 =23009 −4009 •
23.4
Courbes polynomiales
D’après BAC Pro Aéronautique 2008
Après arrêt d’un moteur turbo propulseur, l’hélice d’un avion continue de tourner librement jus-qu’à son arrêt. Son mouvement est un mouvement de rotation uniformément décéléré. Le nombre de
tours N effectués en fonction du temps t (en secondes) est donné par N = f(t) = at2+ bt, où a et b
sont des réels à déterminer et t ∈ [0 , 72.5].
1. Sachant que l’hélice étudiée effectue 250 tours en 20 secondes et 510 tours en une minute, déterminer le système d’équations d’inconnues a et b correspondant à ces données.
2. Résoudre ce système à l’aide d’un calcul matriciel et en déduire l’expression de f(t).
3. On admet que la fréquence de rotation de l’hélice est donnée par la dérivée f0de la fonction f.
Déterminer f0(t) pour t ∈ [0 , 72.5], puis déterminer le nombre de tours effectués par l’hélice
jusqu’à son arrêt.
Dv
•Solution —
1. Avec les données, on doit résoudre le système d’équations (d’inconnues a et b) suivant : (
400a + 20b = 250 3600a + 60b = 510
2. La résolution du système d’équations est équivalente à la résolution du système matriciel suivant : AX= B ⇔ 400 203600 60 a b =250510 La matrice A est inversible car400 × 60 − 3600 × 20 6= 0 et
A−1= −80031 24001 40 −1201 . On a alors : X = A−1B⇔ a b =−80031 24001 40 −1201 250 510 =−29101 2
On en déduit une expression de f(t) :
f(t) = −1
10t2+292 t. 3. La fonction dérivée de f se calcule facilement :
f0(t) = −2
10t+ 29
2 , pour tout t ∈ [0, 72.5] La fréquence devient nulle quand
f0(t) = 0 ⇔ − 2 10t+ 29 2 = 0 ⇔ t = 290 4 = 72, 5,
c’est-à-dire que les hélices s’arrêtent à t= 72, 5. Le nombre de tours d’hélices effectués par l’hélice jusqu’à son arrêt est donnée par :
Z 72,5 0 f(t) dt = Z 72,5 0 − 1 10t2+292 tdt
23.5 Trigonalisation de matrices 17 =−t 3 30+29t 2 4 72,5 0 = − 72, 53 30 +29 × 72, 5 2 4 ' 50811. Il faut50811 tours d’hélices pour que l’hélicoptère s’arrête complètement.
•
23.5
Trigonalisation de matrices
Une matrice carrée d’ordre n est trigonalisable s’il existe une matrice carrée P d’ordre n inver-sible et une matrice T triangulaire d’ordre n telles que A= P T P−1.
On considère les matrices A et P ci-dessous. A= 1 1 1 −6 0 5 0 1 2 et P = 1 1 0 −1 5 0 1 1 1
On admet que P est inversible.
1. À l’aide d’un logiciel de calcul formel, calculer P−1AP. Quelle est la forme de la matrice
obtenue ?
2. Que peut-on déduire pour la matrice A ? Pour la suite, on posera T = P−1AP.
3. Exprimer A2puis A3 en fonction de P , T et P−1.
4. Déterminer l’expression de An(n ∈ N∗) en fonction de P , T et P−1.
5. On admet que Tn(n ∈ N∗) a pour expression
Tn= 1 6n 3n(n − 1) 0 1 n 0 0 1 . Déterminer les coefficients de Anen fonction de n.
6. Vérifier vos résultats en remplaçant n par2.
Dv •Solution — 1. A := [[1,1,1],[-6,0,5],[0,1,2]] [[1,1,1], [-6,0,5], [0,1,2]] P := [[1,1,0],[-1,5,0],[1,1,1]] [[1,1,0], [-1,5,0], [1,1,1]] inv(P) [[5/6,-1/6,0], [1/6,1/6,0], [-1,0,1]] inv(P)*A*P
[[1,6,0], [0,1,1], [0,0,1]] 2. La matrice A est trigonalisable car il existe T =
1 6 00 1 1 0 0 1
une matrice triangulaire et
Pune matrice d’ordre3 telle que :
T = P−1AP ⇔ A = P T P−1.
3. On exprime A2et A3en fonction de P , T et P−1:
A2= (P T P−1)2= P T P−1P T P−1= P T T P−1= P T2P−1. A3= (P T2P−1)(P T P−1) = P T3P−1.
4. De proche en proche, on obtient :
An= P TnP−1.
5. Sur Xcas, on obtient :
T := [[1,6*n,3*n*(n-1)],[0,1,n],[0,0,1]] [[1,6*n,3*n*(n-1)], [0,1,n], [0,0,1]] P * T * inv(P) [[[(5+6*n+1-(3*n*(n-1)+n)*6)/6,(-1+6*n+1)/6,3*n*(n-1)+n], [[(-5-6*n+5-(-3*n*(n-1)+5*n)*6)/6,(1-6*n+5)/6,-3*n*(n-1)+5*n], [[(5+6*n+1-(3*n*(n-1)+n+1)*6)/6,(-1+6*n+1)/6,3*n*(n-1)+n+1]] 6. Pour n= 2, n := 2 2 P * T * inv(P) [[-5,2,8], [-6,-1,4], [-6,2,9]] •
23.6
DM TICE - Chiffrement de Hill
Lester HILL(mathématicien américain, 1891-1961) a publié en 1929 une méthode de chiffrement dite polygraphique, où il ne s’agit pas de coder un message lettre par lettre mais par « paquets » de 2 lettres.
23.6 DM TICE - Chiffrement de Hill 19 23.6.1 Chiffrement
Méthode
On commence par associer à chaque lettre de l’alphabet un nombre compris entre0 et 25 (le plus simple étant A= 0, B = 1, . . ., Z = 25).
On se donne une matrice A= (aij) carrée d’ordre 2 bien choisie.
Soit x1 et x2 les nombres entiers (compris entre0 et 25) associées aux deux premières lettres du
message à coder. On remplace ces deux lettres par celles associées aux nombres entiers y1et y2(eux
aussi compris entre0 et 25) définis par les congruences suivantes :
( y1 ≡ a11x1+ a12x2 (mod 26) y2 ≡ a21x1+ a22x2 (mod 26) soit y1 y2 ! ≡ A × xx1 2 ! (mod 26). Exemple avec un tableur
On prend A= (3 1
4 3) et on veut coder le message : CLASSEDETERMINALES.
Construire la feuille de calcul ci-edssous, nommée « chiffrement » : — La colonne D contient les lettres du message à coder.
— La fonction CODE permet d’associer à chaque lettre son code ASCII compris entre65 (pour la lettre A) et90 (pour la lettre Z). Utiliser cette fonction pour remplir la colonne E.
— Pour coder les cellules de la plage F4:F5, — sélectionner les cellules de la plage E4:E5 ;
— saisir la formule permettant de calculer le produit de la matrice A par le vecteur colonne de la plage E4:E5 (utiliser la fonction PRODUITMAT) ;
— valider cette formule en tapant simultanément sur les touches CTRL , SHIFT , ENTREE . — Sélectionner les cellules F4 et F5 puis tirer la formule vers le bas jusqu’en F21.
— La colonne G contient les restes modulo26 des nombres situés dans la colonne F (utiliser la fonction MOD).
— La colonne H contient les lettres correspondant aux nombres trouvés dans la colonne G, obte-nues avec la fonction CAR : par exemple, pour la cellule H4,17 + 65 = 82 et CAR(82) = R.
23.6.2 Déchiffrement Méthode
On avait l’égalité(y1
y2) ≡ A × (xx12) (mod 26).
Pour retrouver les nombres x1et x2 à partir des nombres y1et y2, il suffit d’inverser cette égalité
matricielle pour obtenir une égalité du type(x1
x2) ≡ B × (yy12) (mod 26) où B est une matrice carrée
Détermination de la matrice B 1. Calculer la matrice inverse de A.
Cette matrice convient-elle ? Pourquoi ?
2. Vérifier que la matrice A−1 peut s’écrire sous la forme5−1 3 −1 −4 3
3. Existe-t-il un entier a compris entre0 et 25 tel que 5 × a ≡ 1 (mod 26) ? Pourquoi ? Déter-miner cet entier a.
4. En déduire que la matrice B= (11 5
20 11) convient.
Dv
•Solution —
1. Au niveau de la Term ES, on peut utiliser la calculatrice. Ici, nous utiliserons le procédé d’inversion de Gauss. On veut inverser A= (3 1 4 3). 3 1 1 0 4 3 0 1 1 1 3 13 0 1 3 4 0 14 L1← 13L1 L2← 14L2 1 1 3 13 0 0 5 12 −13 14 L1 L2← L2− L1 1 1 3 13 0 0 1 −4 5 35 L1 L2←125L2 3 0 9 5 −35 0 1 −4 5 35 L1← 3L1− L2 L2 1 0 3 5 −15 0 1 −4 5 35 L1← 13L1 L2 On en déduit que : A−1= 3 5 −15 −45 45 .
La matrice ne convient pas car ses coefficients ne sont pas des nombres entiers. 2. On peut remarquer que :
3 5 = 15 ×3 = 5−1× 3 −15 = 15 × −1 = 5−1× −1 −45 = 15 × −4 = 5−1× −4 et ainsi : A−1= 5−1 3 −1 −4 3 = 5−1A˜
23.6 DM TICE - Chiffrement de Hill 21
3. CommePGCD(25, 26) = 1, il existe un entier a compris entre 0 et 25 tel que 5 × a ≡ 1 (mod 26) et cet entier a vaut 21.
4. On multiplie chaque coefficient de la matrice ˜Apar21 et on prend le reste modulo 26. 3 × 21 = 63 ≡ 11 (mod 26) −1 × 21 = −21 ≡ 5 (mod 26) −4 × 21 = −84 ≡ 20 (mod 26) La matrice B=11 520 11
convient pour notre problème.
• 23.6.3 Décodage du message codé
Dans la feuille de calcul précédente, ouvrir un autre onglet et le nommer « déchiffrement ». 1. Dans la plage A7:B8, saisir les coefficients de la matrice B.
2. Recopier le message codé obtenu précédemment. Se placer en D1 et choisir Édition – Collage spécial – valeurs.
3. Déchiffrer, en colonne H, le message codé en utilisant les fonctions CODE, PRODUITMAT, MODet CAR.
Bibliographie
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