Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ 1 Dans tous les exercices le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé direct(𝑶 , 𝒖⃗⃗ , 𝒗⃗⃗ ).
Exercice 1
Résoudre dans l’ensemble ℂ des nombres complexes les équations suivantes :
𝑧2− 4𝑧 + 16 = 0 ;𝑧2+ 2𝑧 + 5 = 0 ;𝑧2− (2 + 𝑖)𝑧 + 3 + 𝑖 = 0 ; 𝑧2− (3 + 4𝑖)𝑧 − 1 + 5𝑖 = 0
𝑧2− (1 + 𝑖)𝑧 − 2 + 2𝑖 = 0 ; 𝑧2− 3(1 + 𝑖)𝑧 + 5𝑖 = 0 ; 𝑧2− (1 + 3𝑖) − 2 + 2𝑖 = 0
Exercice 2
1) Résoudre dans ℂ l’équation : 𝑧2+ 𝑖√3𝑧 − 𝑖 = 0
2) Soit (𝐸𝜃) ∶ 𝑧2+ (2𝑖 sin 𝜃)𝑧 − 2𝑖 cos 𝜃 = 0 avec 𝜃 un réel de l’intervalle [0 , 𝜋 2]
a) Vérifier que (cos 𝜃 + 𝑖)2 = −𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 2𝑖 cos 𝜃
b) Résoudre l’équation (𝐸𝜃)
3) On désigne par , 𝐵 et 𝐶 les points d’affixes respectives :
𝑎 = 𝑖 , 𝑏 = cos 𝜃 + (1 − sin 𝜃)𝑖 et 𝑐 = − cos 𝜃 − (1 + sin 𝜃)𝑖 a) Déterminer 𝜃 pour que les points , 𝐵 et 𝐶 soient alignés
b) Déterminer 𝜃 pour que les points 𝐵 et 𝐶 appartiennent au même cercle de centre 𝐶
Exercice 3
Soit (𝐸) ∶ 𝑧2− 2𝑖𝑧 − 1 − 𝑖𝑒2𝑖𝜃 = 0 avec 𝜃 un réel de l’intervalle [0 , π]
1) Résoudre (𝐸) pour 𝜃 =𝜋
4
2) a) Vérifier que 𝑒𝑖(𝜃+ 𝜋
4) est une racine carrée de 𝑖𝑒2𝑖𝜃 b) Résoudre (𝐸)
3) On désigne par , 𝐵 , 𝐶 et 𝐼 les points d’affixes respectives : 2𝑖 , 𝑖 + 𝑒𝑖(𝜃+𝜋4) , 𝑖 − 𝑒𝑖(𝜃+ 𝜋 4) et 𝑖 Soit C le cercle de centre 𝐼 et de rayon 1.
a) Calculer les affixes des vecteurs 𝐼𝐵⃗⃗⃗⃗ et 𝐼𝐶⃗⃗⃗⃗ . En déduire que [𝐵𝐶] est un diamètre du cercle C b) Montrer alors que pour ≠𝜋
4 , le quadrilatère 𝑂𝐵𝐴𝐶 est un rectangle
Exercice 4
Soit 𝛼 un réel de l’intervalle [0 , π]. 1) Vérifier que : 𝑒2𝑖𝛼 − 2𝑖𝑒𝑖𝛼sin 𝛼 = 1
2) Résoudre dans ℂ l’équation : 𝑧2− 2𝑒2𝑖𝛼𝑧 + 2𝑖𝑒𝑖𝛼sin 𝛼 = 0
3) On désigne par , 𝑀′ , 𝑀′′ les points d’affixes respectives 𝑒𝑖𝛼 , 𝑒𝑖𝛼− 1 , et 𝑒𝑖𝛼+ 1 a) Montrer que 𝑀 est le milieu du segment [𝑀′𝑀′′] et que 𝑀𝑀′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −𝑢⃗
b) Placer le point 𝑀 dans le cas où 𝛼 ∈ ]0 ,𝜋
6[ et construire alors les points 𝑀′ et 𝑀′′
4) a) Montrer que 𝑂𝑀 = 1
2𝑀′𝑀′′ et en déduire que 𝑂𝑀
′𝑀′′ est un triangle rectangle.
b) Déterminer 𝛼 pour que le tringle 𝑂𝑀′𝑀′′ soit isocèle.
Equations à coefficients complexes 4
èmeSc Techniques
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ 2 Exercice 5 1) Montrer que 𝑖𝑒𝑖 𝜋 6 = (𝑒𝑖 𝜋 3) 2
2) Résoudre dans ℂ l’équation : 𝑧2− 2 (𝑒𝑖12𝜋) 𝑧 + (1 − 𝑖)𝑒𝑖𝜋6 = 0
3) On désigne par , 𝐵 et 𝐶 les points d’affixes respectives : 𝑒𝑖 𝜋 3 , 𝑒𝑖 𝜋 12 et 𝑒𝑖 𝜋 3 + 𝑒𝑖 𝜋 12
a) Montrer que le quadrilatère 𝑂𝐴𝐶𝐵 est un losange b) Placer les points , 𝐵 et 𝐶
c) Calculer l’air du losange 𝑂𝐴𝐶𝐵
Exercice 6
1) Soit, dans ℂ, l’équation (𝐸) ∶ 2𝑧2− √3(√3 + 𝑖)𝑧 + 1 + 𝑖√3 = 0. a) Vérifier que 1 est une racine de l’équation (𝐸).
b) Déduire l’autre racine de (𝐸).
2) On considère les points 𝐴 et 𝐵 d’affixes respectives 𝑧𝐴 = 1+𝑖√3
2 et 𝑧𝐵 = 𝑖𝑧𝐴
On désigne par 𝐼 le milieu de [𝐴𝐵] et on note 𝑧𝐼 l’affixe de 𝐼.
a) Donner la forme exponentielle de 𝑧𝐴 et 𝑧𝐵
b) Placer les points 𝐴 ; 𝐵 et 𝐼 dans le repère (O , u⃗ , v⃗ ). 3) a) Montrer que le triangle OAB est isocèle et rectangle. b) En déduire que 𝑂𝐼 =√2
2 et que (𝑢⃗ , 𝑂𝐼̂ ) =⃗⃗⃗⃗ 7𝜋
12+ 2𝑘𝜋 ; 𝑘 ∈ ℤ.
c) Ecrire 𝑧𝐼 sous la forme algébrique et en déduire la valeur exacte de cos7𝜋
12 et sin 7𝜋 12
Exercice 7
1) a) Vérifier que (√3 − 3𝑖)2 = −6 − 6√3 𝑖
b) Résoudre dans ℂ l’équation : 𝑧2− (√3 + 𝑖)𝑧 + 2 + 2√3 𝑖 = 0
2) Soient les points 𝐴 et 𝐵 d’affixes respectives : 2𝑖 et √3 − 𝑖 a) Ecrire sous forme trigonométrique les complexes 2𝑖 et √3 − 𝑖 b) Placer dans le plan les points 𝐴 et 𝐵
3) a) Soit le 𝐶 point du plan tel que 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ déterminer l’affixe du point 𝐶. b) Montrer que le point 𝐶 appartient au cercle de centre 𝑂 et passant par 𝐴 c) Montrer que le quadrilatère 𝑂𝐴𝐶𝐵 est un losange.
Exercice 8
1) a) Déterminer le module et un argument du complexe : −2√3 − 2𝑖.
b) Résoudre dans ℂ l’équation : 𝑧2 = −2√3 − 2𝑖 on donnera les solutions sous la forme exponentielle 2) Soit 𝑢 = √2 − √3 − 𝑖√2 + √3
a) Calculer 𝑢2
b) En déduire le module et un argument de 𝑢.
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ 3 3) Déterminer les valeurs exactes de cos7𝜋
12 et sin 7𝜋 12
Exercice 9
1) Résoudre dans ℂ, l’équation : 𝑧2− 2𝑧 + 2 = 0
2) Soit 𝜃 ∈ ]−𝜋 , 𝜋[ et soit dans ℂ l’équation (𝐸): 𝑧2− 2(1 + cos 𝜃)𝑧 + 2(1 + cos 𝜃) = 0
a) Résoudre dans ℂ, l’équation (𝐸)
b) Ecrire ses solutions 𝑧′ et 𝑧′′ sous forme trigonométrique.
3) On désigne par 𝑀′ et 𝑀′′ les points d’affixes respectives 𝑧′ et 𝑧′′.
En déduire que lorsque 𝜃 varie dans ]−𝜋 , 𝜋[ les deux points 𝑀′ et 𝑀′′ appartiennent à un même demi cercle que l’on précisera.
4) Dans cette question on suppose que 𝜃 = 𝜋
2
a) Calculer 𝑧′ et 𝑧′. (On désigne par 𝑧′ la solution dont la partie imaginaire est positive) b) Déterminer et construire les ensembles suivants :
𝐸 = {𝑀(𝑧) ∈ 𝑃/|𝑧 − 𝑧′| = |𝑧 − 𝑧′′|} et 𝐹 = {{𝑀(𝑧) ∈ 𝑃/|𝑧 − 𝑧′| = 2|𝑧 − 𝑧′′|}}
Exercice 10
1) Résoudre dans C, l’équation (𝐸): 𝑧2− (1 + 𝑖)𝑧 + 2(1 + 𝑖) = 0.
2) On considère les points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 d’affixes respectives 2𝑖 : 1 − 𝑖 ; 3 − 𝑖 et 3 + 𝑖 a) Placer les points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷.
b) Montrer que le triangle 𝐴𝐵𝐷 est isocèle.
c) Montrer que les points 𝐵 et 𝐷 sont symétriques par rapport à la droite (𝐴𝐶). d) Calculer l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶 et en déduire l’aire du quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷.
Exercice 11
1) Résoudre dans ℂ l’équation 𝑧2− (1 + 𝑖)𝑧 + 𝑖 = 0
2) Soit 𝜃 un réel de l’intervalle ]0 ,𝜋
2[, on considère dans ℂ l’équation : (𝐸𝜃) ∶ 𝑧
2− 2𝑒𝑖𝜃cos 𝜃 𝑧 + 𝑒2𝑖𝜃 = 0
a) Vérifier que 1 est solution de l’équation (𝐸𝜃) b) En déduire l’autre solution de (𝐸𝜃).
3) On désigne par 𝐴 et 𝐵 les points d’affixes respectives 1 et 𝑒2𝑖𝜃.
a) Déterminer l’ensemble des points 𝐵 quand 𝜃 varie dans l’intervalle ]0 ,𝜋
2[.
b) Déterminer l’affixe du point 𝐶 tel que 𝑂𝐴𝐶𝐵 est un losange.
c) Déterminer les réels 𝜃 pour que la mesure de l’aire du losange 𝑂𝐴𝐶𝐵 soit égale à 1
2
Exercice 12
1) a) Résoudre dans ℂ l’équation : 𝑧2− 2√3𝑧 + 4 = 0
b) Ecrire les solutions trouvées sous la forme exponentielle.
c) En déduire les solutions de l’équation : 𝑧4− 2√3𝑧2+ 4 = 0.
2) Soit l’équation (𝐸): 𝑧3+ 2(−√3 + 𝑖)𝑧2+ 4(1 − 𝑖√3)𝑧 + 8𝑖 = 0.
a) Montrer que l’équation (𝐸) admet une unique solution imaginaire que l’on déterminera.
Kooli Mohamed Hechmi 58 300 174
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ 4 b) On pose 𝑃(𝑧) = 𝑧3+ 2(−√3 + 𝑖)𝑧2+ 4(1 − 𝑖√3)𝑧 + 8𝑖
Déterminer les complexes 𝑎, 𝑏 et 𝑐 tel que : ∀𝑧 ∈ ℂ ; 𝑃(𝑧) = (𝑧 + 2𝑖)(𝑎𝑧2+ 𝑏𝑧 + 𝑐)
c) Résoudre alors l’équation (𝐸).
3) Dans le plan complexe, on considère les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 d’affixes respectives : 𝑧𝐴 = −2𝑖 ; 𝑧𝐵 = √3 + 𝑖 et 𝑧𝐶 = √3 − 𝑖
a) Placer les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶.
b) Montrer que le quadrilatère 𝑂𝐴𝐵𝐶 est un losange. 4) On pose 𝑤 =𝑧𝐵
𝑧𝐶
a) Donner la forme trigonométrique de 𝑤.
b) On désigne par 𝑀, 𝑀1 et 𝑀2 les points d’affixes respectives 𝑧, 𝑤𝑧 et 𝑤2𝑧 où 𝑧 ∈ ℂ∗
c) Montrer que le quadrilatère 𝑂𝐴𝐵𝐶 est un losange.
Exercice 13
1) a) Vérifier que (9 + 2𝑖)2 = 77 + 36𝑖
b) Résoudre dans ℂ, l’équation 𝑧2+ (9 − 2𝑖)𝑧 − 18𝑖 = 0
2) Déterminer dans ℂ les solutions de l’équation 𝑧4+ (9 − 2𝑖)𝑧2− 18𝑖 = 0 On donnera les solutions sous forme trigonométrique.
3) Soient les points 𝐴 et 𝐵 d’affixes respectives 1 + 𝑖 et 3𝑖 a) Placer les points 𝐴 et 𝐵.
b) Soit 𝐶 le point d’affixe 1 + 𝛼𝑖 où ∈ ℝ , Déterminer 𝛼 pour que 𝐴𝐵𝐶 soit un triangle rectangle en 𝐶
Exercice 14
1) Soit l’équation complexe (𝐸): 𝑧3+ (𝑖 − √3)𝑧2+ (1 − 𝑖√3)𝑧 + 𝑖 = 0
a) Montrer que l’équation (𝐸) admet une solution imaginaire que l’on déterminera. b) Déterminer les nombres complexes 𝑎, 𝑏 et 𝑐 tel que tel que ∀𝑧 ∈ ℂ on a : 𝑧3+ (𝑖 − √3)𝑧2+ (1 − 𝑖√3)𝑧 + 𝑖 = (𝑧 + 𝑖)(𝑎𝑧2+ 𝑏𝑧 + 𝑐)
c) Résoudre dans ℂ l’équation (𝐸). 2) Soit 𝜃 ∈ ]0 , 𝜋[.
a) Résoudre dans ℂ l’équation (𝐸𝜃); 𝑧2− 2𝑒𝑖𝜃𝑧 + (2𝑖 sin 𝜃)𝑒𝑖𝜃 = 0
b) Vérifier que les solutions de (𝐸𝜃) s’écrivent sous la forme : (2 cos𝜃
2) 𝑒 𝑖𝜃
2 et (2 sin𝜃
2) 𝑒 𝑖(𝜃2+𝜋2)
c) Déterminer alors les solutions de l’équation (𝐸′𝜃); 𝑧4− 2𝑒𝑖𝜃𝑧2+ (2𝑖 sin 𝜃)𝑒𝑖𝜃 = 0
Exercice 15
1) On donne les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 d’affixes respectives √3 + 𝑖 ; −√3 + 𝑖 et 2𝑖 Montrer que le quadrilatère 𝑂𝐴𝐶𝐵 est un losange.
2) a) Résoudre dans ℂ l’équation (𝐸) ∶ 𝑧2− 2𝑖𝑧 − 4 = 0
b) Donner la forme exponentielle de chacune des solutions de (E). 3) Soit 𝑝(𝑧) = 𝑧3− 4𝑖𝑧2− 8𝑧 + 8𝑖 .
Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ 5 a) Vérifier que 𝑝(2𝑖) = 0
b) Déterminer les nombres complexes 𝑚 et 𝑝 tels que 𝑝(𝑧) = (𝑧 − 2𝑖)(𝑧2+ 𝑚𝑧 + 𝑝) .
c) Résoudre alors l’équation 𝑝(𝑧) = 0.
Exercice 16
Soit 𝑃(𝑧) = 𝑧3+ (1 − 2𝑖)𝑧2− (1 + 6𝑖)𝑧 − 5 ; 𝑧 ∈ ℂ
1) a) Montrer que 𝑃(𝑧) = 0 admet une solution imaginaire que l’on déterminera.
b) Déterminer les complexes 𝑎, 𝑏 et 𝑐 tel que ∀𝑧 ∈ ℂ ; 𝑃(𝑧) = (𝑧 − 𝑖)(𝑎𝑧2+ 𝑏𝑧 + 𝑐).
c) Résoudre alors l’équation : 𝑃(𝑧) = 0
2) On considère les 𝐴, 𝐵 et 𝐶 d’affixes respectives 𝑧𝐴 = 𝑖 ; 𝑧𝐵 = 1 + 2𝑖 et 𝑧𝐶 = −2 − 𝑖
a) Placer les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶.
b) Montrer que les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont alignés 3) a) Montrer que 𝑂𝐵𝐶 est un triangle isocèle.
b) Déterminer l’affixe 𝑧𝐷 du point 𝐷 pour
que 𝑂𝐵𝐷𝐶 soit un losange.
Exercice 17
1) a) Résoudre dans l’ensemble ℂ l’équation (𝐸): 𝑧2− √2(1 + 𝑖)𝑧 − 1 + 𝑖 = 0
b) Ecrire les solutions sous la formes exponentielle.
2) En déduire les solutions de chacune des équations suivantes : (𝐸1): 𝑧4− √2(1 + 𝑖)𝑧2− 1 + 𝑖 = 0 et (𝐸
1): 𝑧6− √2(1 + 𝑖)𝑧3− 1 + 𝑖 = 0
