Géométrie / 2e  / 20-21

GÉOMÉTRIE VECTORIELLE

ET ANALYTIQUE DU PLAN

2

e

_année

3.1 Vecteurs du plan

1

3.1.1 Introduction

1

3.1.2 L’ensemble



2

2

3.1.3 Composantes et norme d’un vecteur

3

3.1.4 Opérations élémentaires sur les vecteurs

9

3.1.5 * Composantes d’un vecteur du plan en fonction

de sa norme et de son angle directeur *

23

3.1.6 Ce qu’il faut absolument savoir

26

3.2 Produit scalaire et déterminant

27

3.2.1 Produit scalaire

27

3.2.2 Déterminant d’ordre 2

35

3.2.3 Ce qu’il faut absolument savoir

37

3.3 Droites dans le plan

38

3.3.1 Équations paramétriques d’une droite

38

3.3.2 Équations cartésiennes d’une droite

39

3.3.3 Positions relatives de deux droites et intersections

42

3.3.4 Angles entre deux droites

44

3.3.5 Distance entre un point et une droite

45

3.3.6 Droites remarquables du triangle

49

3.4 Cercles dans le plan

56

3.4.1 Équations cartésiennes des cercles

56

3.4.2 Positions relatives d’une droite avec un cercle

et intersections

58

3.4.3 Droites tangentes à un cercle

60

3.4.4 * Positions relatives de deux cercles *

62

3.4.5 Ce qu’il faut absolument savoir

65

AVANT-PROPOS

• Ce document a été conçu pour l’enseignement des mathématiques dispensé au Collège de

Genève en deuxième année, en géométrie vectorielle et analytique du plan. Cela dit,

il peut servir de support de cours pour d’autres filières d’enseignement.

• Vous trouverez dans ce chapitre de la théorie (définitions, théorèmes, démonstrations, etc.) et des exercices qui vous permettront progressivement de vous familiariser et de maîtriser les diverses notations et concepts mathématiques. À la fin du chapitre se trouvent les solutions des exercices.

• Les exercices accompagnés d’un astérisque (*), sont des exercices supplémentaires de

développement destinés, par exemple, aux élèves ayant choisi l’option, niveau avancé (MA2). • Pour mieux repérer les points importants de la théorie, les définitions sont dans un encadré

blanc et les théorèmes dans un encadré grisé.

• Pour vérifier votre niveau de compréhension à la fin de l’étude d’un sous chapitre, vous pouvez vous référer à la section : « Ce qu’il faut absolument savoir ».

• Vous pouvez télécharger ce document au format PDF à l’adresse suivante :

http://www.sismondi.ch/disciplines/mathematiques/espace-perso-profs/serge-picchione

• Pour finir, un grand merci aux collègues de divers établissements scolaires qui ont partagé leurs cours : Nicolas Chabal, Yves Drevous, Bernard Gisin, Alain Klopfenstein, Maurizio Lalicata, Bernard Lenggenhager, Romanita Nagy Gauxachs, Adrien Schleining et Serge Zoutter.

3.1 Vecteurs du plan

3.1.1 Introduction

Dans ce cours de Mathématiques, nous allons reprendre le concept de vecteur étudié en Physique. Nous nous intéresserons à généraliser et à modéliser ce concept afin de l'utiliser dans l'étude de la Géométrie.

Pour rappel, certaines grandeurs physiques peuvent être modélisées à l'aide d'un seul nombre. Par exemple, la température, la masse, une distance, un angle d'inclinaison, etc.

Ces grandeurs sont appelées grandeurs scalaires. D'autres grandeurs comme une force, une position, une vitesse, un champ électrique ne peuvent pas être modélisées qu'à l'aide d'un seul nombre. On a besoin de connaître leur direction, leur sens et leur intensité (un nombre).

Ces grandeurs sont alors appelées grandeurs vectorielles.

t

v =vecteur position du"point" au temps t.

 Définitions

Un vecteur vest un objet entièrement déterminé par la donnée d'une direction, d'un sens et d'une intensité (un nombre).

Si on considère deux points quelconques A et B du plan, on peut tracer une flèche de A à B. Cette flèche définit un vecteur car on a une direction (une droite), un sens (pointe) et une intensité (longueur de la flèche).

• On note ce vecteur v



=



AB et v = AB son intensité (on dit aussi norme de v



). Le point A est l’origine du vecteur et le point B son extrémité.

• On appelle vecteur nul, noté 0, le vecteur dont le point d'application et l’extrémité coïncident :

  

AA=BB=0. Le vecteur nul 0



à une intensité nulle, sa direction est indéterminée.

• Le vecteur opposé de v



=



AB est le vecteur dont l’origine est B et l’extrémité A. Il est noté − = −v



 

AB=BA.

Deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont même direction, même sens et même intensité (longueur).

Exemples Les vecteurs



AB

et CD



sont égaux (même norme, direction et sens). Les vecteurs



AB

et

EF



ne sont pas égaux car ils n’ont pas la même norme. Les vecteurs GH



et JI



ne sont pas égaux car ils n’ont pas le même sens.

A B O

•

•

•

A • B P1 P2 P3 A B C D E F H J • _• • • •

3.1.2 L’ensemble

2



Définitions

• Dans le plan, un repère cartésien (orthonormé) est constitué d’un point O, nommé origine et de deux axes orientés Ox et Oy, perpendiculaires deux à deux, (muni d’une même échelle). • Un point P du plan, peut alors être représenté par deux nombres réels : x et y.

On notera :P x; y .

(

)

•

(

x; y est un couple de nombres réel et x, y sont les coordonnées cartésiennes du point P.

)

• Autrement dit, un point P du plan est identifié à un couple de nombres : P • ←→

(

x; y

)

Illustration

L'ensemble de tous les couples de nombres

{

(

x; y

)

x et y∈

}

se note :   × = 2 Le plan est donc identifié à 2.

Exemple

Déterminons les coordonnées des points A, B, C et D dans le plan muni d’un repère orthonormé.

( )

(

)

(

)

(

)

A 3;4 ; B −2;1 ; C − −1; 2 ; D 5; 1−

0 x

3.1.3 Composantes et norme d’un vecteur

Exemple

Considérons, dans un repère orthonormé, les vecteur   AB, CD, EF et GH .

• Cas du vecteurAB :

Pour « aller » du point A (origine) au point B (extrémité) nous devons, suivant : - l’axe Ox, effectuer un déplacement vers la droite (sens positif) de 3 unités. - l’axe Oy, effectuer un déplacement vers le haut (sens positif) de 2 unités.

Nous dirons que les composantes du vecteur AB sont

( )

3;2 et nous noterons : AB=

(

3; 2

)

• Cas du vecteurCD :

Pour « aller » du point C (origine) au point D (extrémité), nous devons suivant : - l’axe Ox, effectuer un déplacement vers la droite (sens positif) de 4 unités. - l’axe Oy, effectuer un déplacement vers le bas (sens négatif) de 1 unité.

Nous dirons que les composantes du vecteur CD sont

(

4; 1−

)

et nous noterons : CD=

(

4 ; 1−

)

• Cas du vecteurEF :

Pour « aller » du point E (origine) au point F (extrémité), nous devons suivant : - l’axe Ox, effectuer un déplacement vers la gauche (sens négatif) de 1 unité. - l’axe Oy, effectuer un déplacement vers le haut (sens positif) de 4 unités.

Nous dirons que les composantes du vecteur EF sont

(

−1;4

)

et nous noterons : EF= −

(

1;4

)

• Cas du vecteurGH :

Pour « aller » du point G (origine) au point H (extrémité), nous devons suivant : - l’axe Ox, effectuer un déplacement vers la gauche (sens négatif) de 4 unités. - l’axe Oy, effectuer un déplacement vers le bas (sens négatif) de 3 unités.

Nous dirons que les composantes du vecteur GH sont

(

− −4; 3

)

et nous noterons : GH= − −

(

4 ; 3

)

-1 - 3 -1 +2 +4 +3 - 4 +4 - 1 - 1 - 3

Question

Comment déterminer les composantes d’un vecteur à partir des coordonnées des deux points (origine A et extrémité B) ?

Définition

Soient A a ;a

(

_{1 2}

)

et B b ;b

(

_{1 2}

)

deux points du plan et



AB

un vecteur du plan. La 1ère _{composante du vecteur}



_AB

_{est le nombre :}

1 1

b − (différence des coordonnées en x). a

La 2ème _{composante du vecteur}



_AB

_{est le nombre :}

2 2

b − (différence des coordonnées en y). a

On note alors AB=

(

b₁−a ;b_{1 2}−a₂

)

Exemple

(

) ( )

AB= 5−2;4−2 = 3;2 

( )

(

)

(

)

CD= − −1 3 ;4− =5 4; 1−

( )

( )

(

)

(

)

EF = − − −2 1 ;1− −3 = −1;4  GH=

(

2− − −6; 2 1

) (

= − −4; 3

)

-1 - 3 -1 +2 +4 +3 - 4 +4 - 1 - 1 - 3 • B • A

Question

Comment calculer la norme (intensité) d’un vecteur à partir des coordonnées des deux points (origine A et extrémité B) ?

Proposition

Soient A a ;a

(

_{1 2}

)

et B b ;b deux points du plan et

(

_{1 2}

)

AB un vecteur du plan.

La norme du vecteur (intensité) AB est donné par : AB =

(

b₁−a₁

) (

2+ b₂−a₂

)

2 Démonstration

On utilise le théorème de Pythagore.

On a un triangle rectangle donc AB 2 =

(

b₁−a₁

) (

2+ b₂ −a₂

)

2 ⇔ AB =

(

b₁−a₁

) (

2+ b₂ −a₂

)

2

Exemple

(

) ( )

AB= 5−2;4−2 = 3;2  et AB =

(

5−2

) (

2+ 4−2

)

2 = 32 +22 = 13≅3.61

( )

(

)

(

)

CD= − −1 3 ;4− =5 4; 1−  et CD = 42 + −

( )

1 2 = 17 ≅4.12

( )

( )

(

)

(

)

EF= − − −2 1 ;1− −3 = −1;4  et EF =

( )

−1 2 +42 = 13≅3.61

(

) (

)

GH= 2 6; 2 1− − − = − −4; 3  et GH =

( ) ( )

−4 2+ −3 2 = 25 =5 • B • A -1 - 3 -1 +2 +4 +3 - 4 +4 - 1 - 1 - 3

Remarques

a) Chaque vecteur du plan peut être associé à un unique couple de nombre. Ces nombres sont les composantes du vecteur qui définissent sa direction, son sens et sa norme (intensité).

b) Il ne faut pas confondre le point P 3;1 dont les

( )

coordonnées sont respectivement 3 et 1 avec le vecteur AB=

( )

3;1 dont les composantes sont respectivement 3 et 1. Dans les deux cas nous utilisons le même couple de nombres ; cependant les coordonnées de P représentent la « position » du point P relativement aux axes Ox et Oy alors que les composantes de AB représentent un « déplacement », une « translation ».

c) Pour chaque point P x; y du plan on peut construire

(

)

un vecteur OP d’origine O 0;0 et d’extrémité

( )

P x; y .

(

)

Les composantes de OP=

(

x 0; y 0− −

) (

= x; y

)

. Dans ce cas, les coordonnées du point P et les composantes du vecteur OP ont mêmes valeurs.

d) Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes composantes.

( ) ( )

(

)

(

)

(

) ( )

( ) ( )

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

) ( )

u 1 4; 2 3 3;1 v 7 4;4 3 3;1 w 8 5; 2 1 3; 1 x 1 2;5 6 3; 1 z 11 8;2 1 3;1 = − − − − = − = − − = = − − − − = − = − − − = − − = − − =     

Le vecteur opposé de x= − −

(

3; 1

)

est v=

( )

3;1 et réciproquement.

Les vecteurs v=

( )

3;1 est z=

( )

3;1 sont égaux (même direction, sens et intensité). Un peu d'histoire

L’Irlandais Sir William Hamilton (1805-1865) fut l’un des premiers à utiliser les vecteurs et il est probablement l’inventeur du mot (mot venant du latin vehere, qui signifie « porter »). L’Allemand Hermann Grassman (1809-1877) introduisit la notation vectorielle à l’occasion de problèmes de physique. L’Américain Gibbs (1839-1903) et l’Anglais Heaviside (1850-1925), disciples de Hamilton, donnent au calcul vectoriel sa forme quasi définitive, mais ce type de « calcul » met assez de temps à

s’introduire en France. Michel Chasles (1793-1880), avait déjà pressenti l’importance du sens sur un axe sans aller jusqu’à la notion de vecteur.

y 0 1 x 1 4 7 3 4 0 x y 1

•

P 3 3 1 • B • A • P • O

Exercice 1

a) Déterminer les composantes des vecteurs r , t , u , v , w , x , y , z        . b) Dessiner dans la figure ci-dessus :

1) le point S tel que : KL =SR et le vecteur SR. 2) le point T tel que : QT= −PO et le vecteur QT. 3) le point U tel que : QU =PO et le vecteur QU.

c) Déterminer deux vecteurs qui sont égaux parmi les vecteurs dessinés ci-dessus. d) Déterminer deux vecteurs qui sont opposés parmi les vecteurs dessinés ci-dessus. Exercice 2

Considérons les quatre points A 0;5 , B 1;0 , C 6;1 et D 5;6

( )

( )

( )

(

)

du plan et les six vecteurs     AB, AC , AD, BC , BD et CD du plan.

a) Dessiner, dans le même repère orthonormé, les quatre points et les six vecteurs. b) Déterminer les composantes de chaque vecteur.

c) Calculer la norme de chaque vecteur.

d) Parmi les six vecteurs définis ci-dessus, lesquels sont égaux ? et opposés ? Exercice 3

Considérons les six points O 0;0 , A 5;7 , B 7;10 , C 7;5 , D 9;8 et E 6;12

( ) ( ) (

) ( ) (

)

(

)

du plan. a) Dessiner dans le même repère orthonormé les six points ci-dessus.

b) Déterminer les coordonnées du point F tel que OF =AB et dessiner les deux vecteurs. c) Déterminer les coordonnées du point G tel que OG =BE et dessiner les deux vecteurs. d) Déterminer les coordonnées du point M tel que  AB=MC et dessiner les deux vecteurs. e) Déterminer les coordonnées du point N tel que MN= −MC et dessiner les deux vecteurs.

x y

1 1 0

Exercice 4

a) On considère un parallélogramme de sommets ABCD. Le point I est l’intersection des diagonales.

Remarque : Un parallélogramme est un quadrilatère avec deux paires de cotés parallèles.

Compléter les égalités afin qu’elles soient vraies :  AB=...C D.... =CB  AA=....B

IA =C.... ID= −....B BD= −....B

BA = ...C IA = I .... AC = ....C

b) On considère un hexagone régulier ABCDEF de centre O.

Remarque : Il y a six triangles équilatéraux et égaux.

1) Compléter les égalités afin qu’elles soient vraies :

 

AB=F .... OF

 

=D.... FB

 

=....C DC

 

=...O −BE E... = FO= −C....

BA = ...C OA = D.... AC = ....E

2) Déterminer tous les vecteurs égaux au vecteur FA . c) Considérons un triangle ABC.

Vrai ou faux ? Justifier.

1) Si AB = BC alors  AB=BC.

2) Si AB = BC alors le triangle ABC est équilatéral.

3) Si AB =3 , AB = ⋅2 BC et 4 BC⋅  = CA alors le périmètre du triangle ABC est 10,5. 4) Si AB =3 et BC =8 alors l’aire du triangle ABC est 12.

5) Si CA = CB alors le triangle ABC est isocèle et rectangle. 6) Si AB=

(

3;6

)

alors A 1;1

( )

et B 4;7

( )

7) Si A 1;1

( )

et B 4;7

( )

alors AB = 45 A B C D E F O • • • • • • • D C I B A • • • • •

3.1.4 Opérations élémentaires sur les vecteurs

Il y a deux opérations élémentaires qu’on peut définir sur les vecteurs. Définition

Additionner deux vecteurs a et b  c’est obtenir le vecteur a b + en faisant coïncider les origines des vecteurs a et b et en dessinant un parallélogramme. Le vecteur a b + est la flèche sur une diagonale du parallélogramme.

On peut aussi faire coïncider l’extrémité de a avec l’origine de b et tracer une flèche de l’origine de a avec l’extrémité de b , on obtient a b + :

Définition

Multiplier un vecteur a par un scalaire λ (un nombre), c’est obtenir le vecteur λ⋅a en considérant qu’il a : • la même direction que a.

• une norme égale à λ ⋅ a .

• le même sens que a si λ > 0 et il est de sens opposé à a si λ < 0.

Remarques

a) En Physique le vecteur a b + est la « résultante » du vecteur a et b .

b) On constate que l’addition de deux vecteurs est un vecteur et que la multiplication d’un vecteur par un scalaire est aussi un vecteur.

c) Ces deux opérations sont essentielles pour modéliser les phénomènes physiques ainsi que pour obtenir certains résultats en géométrie.

Question

Comment calculer les composantes du vecteur a +b et

λ

⋅a



à partir des composantes des vecteurs a et b  ?

Définition

Considérons a =

(

a ;a_{1 2}

)

et b=

(

b ;b_{1 2}

)

deux vecteurs du plan et

λ

∈



un scalaire.

(

1 2

) (

1 2

) (

1 1 2 2

)

a+ =b a ;a + b ;b = a +b ;a +b

 

(addition entre deux vecteurs)

(

1 2

) (

1 2

)

a a ;a a ; a

λ⋅ = ⋅ λ = λ⋅ λ⋅ (multiplication d’un vecteur par un scalaire)

Illustration

Exemple

Considérons v₁=

( )

3;1 , v₂ =

(

0; 2 et v−

)

₃ = −

(

2;2

)

trois vecteurs du plan.

• Le vecteur a =2v₁+ ⋅ =2 v₂ 2 3;1

_{( )}

+ ⋅2

₍

0; 2−

₎

=

(

6;2

) (

+ 0; 4− =

) (

6; 2−

)

• Le vecteur b= ⋅ +2 v ₁ v₃ = ⋅2

_{( ) (}

3;1 + −2;2

₎

=

(

6;2

) (

+ −2;2

) (

= 4;4

)

• On considère un vecteur c= −

₍

6;2

₎

.

On cherche deux scalaires α βet ∈ tel que c= ⋅ + ⋅α v₂ β v₃ :

(

)

(

)

(

) (

) (

)

SYS 2 x 2 _{2 6 3} 6;2 0; 2 2;2 6;2 2 ; 2 2 2 2 2 2 β β α β β α β α β α − = − =   − = ⋅ − + ⋅ − ⇔ − = − − + ⇔_ ⇔_ − + = =   Remarque

Les vecteurs sont devenus des couples nombres (composantes du vecteur).

Les opérations entre les vecteurs sont devenues des opérations entre des couples de nombres. On peut alors s'affranchir de la représentation géométriquement des vecteurs pour effectuer des opérations entre vecteurs. C'est plus facile et plus rapide.

y 0 x λ A B 0 x y

Définition

La soustraction de deux vecteurs est définie, grâce à l’addition, par : a b  − = + − = + − ⋅a

( )

b a

( )

1 b

Exemple a − =b

( ) (

3;1 − 6; 2− =

) ( ) ( ) (

3;1 + − ⋅1 6; 2− =

) ( ) (

3;1 + −6;2

) (

= −3;3

)

Remarque

Les vecteurs a +b et a b − donnent les directions des diagonales du parallélogramme construit sur a



et b. Définition

Soit n scalaires λ λ₁, ₂,...,λ_n et n vecteurs v ,v ,...,v _{1 2} _n .

Le vecteur défini de la manière suivante : λ_{1 1}v+λ₂v₂+...+λ_nv_n est appelé combinaison linéaire des vecteurs v ,v ,...,v _{1 2} _n .

Exemples

a) Le vecteur d=λ₁⋅v₁ est combinaison linéaire du vecteur v₁. b) Le vecteur c= ⋅ +λ₁ v₁ λ₂⋅v₂ est combinaison linéaire

des vecteurs v et v₁ ₂.

c) Le vecteur v₁ n’est pas combinaison linéaire du vecteur v₂ car il n’existe pas de scalaire λ tel que : v₁= ⋅λ v₂ .

Définition

Deux vecteurs a



et b



du plan sont colinéaires ⇔ ∃ ∈λ  tel que b= ⋅λ a Illustration

Exemples

a) Les vecteurs a =

(

6;3

)

et b=

( )

2;1 sont colinéaires car a



= ⋅3 b



ou b 1 a 3

= ⋅

 

b) Les vecteurs i=

( )

1;0 et j=

( )

0;1 ne sont pas colinéaires car i≠ ⋅λ j ∀ ∈λ 

Remarques

a) Deux vecteurs a



et b



colinéaires non nuls ont la même direction mais pas forcément le même sens ou intensité.

Si λ > alors 0 a



et b



ont le même sens. Si λ< alors 0 a



et b



sont de sens contraires.

b) Si deux vecteurs non nuls sont colinéaires alors un est combinaison linéaire de l'autre et réciproquement.

Exercice 5

Considérons v₁= − −

(

2; 2 , v

)

₂ =

(

2; 1 et d−

)

= −

(

3;3

)

trois vecteurs du plan.

a) Calculer les composantes des vecteurs a =2v₁+2v₂ , b  =v₁−v₂ et c 3v₁ 3v₂ 2

= − +

  

b) Déterminer par des calculs, les deux scalaires α βet ∈ tel que d= ⋅ + ⋅α v₁ β v₂ . c) Dessiner dans le même repère, les vecteurs v , v , a, b, c et d    _{1 2} .

d) Calculer, avec les composantes, la norme (intensité) des vecteurs v , v , a, b, c et d    _{1 2} . Exercice 6

Considérons les trois vecteurs a =

(

a ;a_{1 2}

)

, b=

(

b ;b_{1 2}

)

et c=

(

c ;c_{1 2}

)

du plan et λ µ, ∈ deux scalaires.

Démontrer, en utilisant les composantes des vecteurs, les propriétés de l'addition vectorielle

et de la multiplication par un scalaire suivantes :

a   + = +b b a commutativité de l'addition

P1)

( )

a b     + + = + +c a

( )

b c associativité de l'addition

P2)

0  + =a a 0 est l' élément neutre pour l' addition

P3)

( )

a+ − =a 0 tout vecteur a possède un vecteur opposé a −

P4)

1 a⋅ = a 1 est l'élément neutre pour la multiplication

P5)

( )

a b a b distributivité λ⋅ +  = ⋅ + ⋅λ  λ  P6)

(

λ µ+

)

⋅ = ⋅ + ⋅a λ a µ a P7)

( )

a

(

)

a associativité λ µ⋅ ⋅ = λ µ⋅ ⋅ P8) 0 x y

Exercice 7

Considérons les deux vecteurs a=

(

a ;a_{1 2}

)

et b=

(

b ;b_{1 2}

)

du plan et le scalaire

λ

∈



.

Démontrer, en utilisant les composantes des vecteurs, les propriétés de la norme d’un vecteur suivantes : P1) a ≥0 P2) a =0 ⇔ =a 0 P3) λ⋅ =a λ ⋅ a P4)* a b + ≤ a + b ( inégalité du triangle ) Rappel : Si a=

(

a ;a_{1 2}

)

alors a = a₁2+a₂2 Exercice 8

Considérons les vecteurs i=

( )

1;0 et j =

( )

0;1 , appelés base canonique du plan. Considérons un repère orthonormé ci-contre

et les vecteurs du plan suivant :

a) Écrire les vecteurs a , b , c , d , e et f      comme combinaison linéaire des vecteurs  i , j .

b) Peut-on toujours écrire un vecteur v =

(

v ;v_{1 2}

)

du plan comme combinaison linéaire des vecteurs i=

( )

1;0 et j =

( )

0;1 ? Justifier.

c) Écrire le vecteur



i comme combinaison linéaire de d et e  .

Autrement dit, calculer les deux scalaires α βet ∈ tel que i= ⋅ + ⋅α d β e

Indication : Résoudre un système d’équation linéaire 2 x 2 avec α et β comme inconnues.

d) Écrire le vecteur f comme combinaison linéaire de b et e  .

Autrement dit, calculer les deux scalaires λ µet ∈ tel que f = ⋅ + ⋅λ b µ e

Indication : Résoudre un système d’équation linéaire 2 x 2 avec λ µet comme inconnues.

e) Sans calculs inutiles, écrire le vecteur e



comme combinaison linéaire de  f et b .

x y

• C

A •

• B

O •

Proposition (Relations de Chasles) Quels que soient les points A, B, C et O du plan, on a les trois relations suivantes : P1)   AB+BC=AC P2) − AB=BA P3) AB  =OB OA− Exemple Points : O 0;0

( )

; A 1;2

( )

; B 5;4 ; C 2;4

( )

( )

Relations de Chasles : •   AB=OB−OA=

( ) ( ) (

5;4 − 1;2 = 5 1;4− −2

) ( )

= 4;2 •   BC=OC−OB=

( ) ( ) (

2;4 − 5;4 = 2−5;4−4

) (

= −3;0

)

•   AC= AB+BC=

( ) (

4;2 + −3;0

) ( )

= 1;2 • BA= −AB= − ⋅

( ) ( ) (

1 4;2 = − −4; 2

)

Remarques

a) La première relation de Chasles se généralise par exemple :

   

AB+BC CD+ =AD b)   AB≠OA OB+

Démonstration

P1) En mettant les deux vecteurs  AB et BC de sorte que l'extrémité de



AB

coïncide avec le point d’origine de BC on obtient :  AB BC+ qui est égal au vecteur



AC.

P2) On pose C=A et on considère   AC=AB BC+

On obtient :   AA=AB BA+ ⇔ =0  AB BA+ ⇔ + −0

( )

AB = + AB BA+ + −

( )

AB ⇔ − AB=BA

P3)   OA+AB=OB⇔OA +AB+ −

( )

OA =OB+ −

( )

OA ⇔  AB=OB OA− Exercice 9

On considère les quatre points O 0 ;0

(

)

, A 4;5

(

)

, B 9 ;3

(

)

et C 2 ; 3

(

−

)

du plan.

a) Dessiner, dans le même repère orthonormé, les points O, A, B et C et les vecteurs OA



, OB



, OC



,   AB, BC et AC.

b) Calculer les composantes, puis la norme des vecteurs du point a). c) Calculer le périmètre du triangle ABC.

B

•

A

•

4 2

•

O 0 1 5 C

•

2 x y

A A’

• •

Exercice 10 Réponse sur l’énoncé

a) On veut obtenir les vecteurs « sommets » du carré A'B'C'D' à partir des vecteurs « sommets » du carré ABCD.

Compléter les égalités vectorielles suivantes :

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

OA' OA OB' OB OC' OC ...;... ... ...;... ...;... ... ...;... ...;... ... ...;... ...;... = = =            

(

)

OD' OD ... ...;... =    

b) On veut obtenir les vecteurs « sommets » du carré A''B''C''D'' à partir des vecteurs

« sommets » du carré A'B'C'D'. Compléter les égalités vectorielles suivantes :

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

OA'' OA' OB'' OB' OC'' OC' ...;... ... ...;... ...;... ... ...;... ...;... ... ...;... = = =            

(

)

(

)

OD'' OD' ...;... =... ...;...    

c) Comment appelle-t-on cette transformation du plan ?

d) Quel objet et quelle opération mathématique

avez-vous utilisés pour obtenir ces transformations ?

e) Quelles sont les grandeurs conservées par cette

transformation ? (longueur des côtés, angles, aires, parallélisme, orientation)

f) Est-ce que cette transformation s’applique uniquement aux carrés ? Justifier.

x 0 y A’ B’ C’ D’ A’’ B’’ C’’ D’’ A B C D 2 2

Exercice 11 Réponse sur l’énoncé

a) On veut obtenir les vecteurs « sommets » du carré A’B’C’D’ à partir des vecteurs « sommets » du carré ABCD.

Compléter les égalités vectorielles suivantes :

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

OA' OA OB' OB OC' OC ...;... ... ...;... ...;... ... ...;... ...;... ... ...;... ...;... = = =            

(

)

OD' OD ... ...;... =    

b) On veut obtenir les vecteurs

« sommets » du carré A’’B’’C’’D’’ à partir des vecteurs

« sommets » du carré A’B’C’D’. Compléter les égalités vectorielles suivantes :

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

OA'' OA' OB'' OB' OC'' OC' ...;... ... ...;... ...;... ... ...;... ...;... ... ...;... = = =            

(

)

(

)

OD'' OD' ...;... =... ...;...    

c) Comment appelle-t-on cette transformation du plan ?

d) Quel objet et quelle opération mathématique

avez-vous utilisés pour obtenir ces transformations ?

e) Quelles sont les grandeurs conservées par cette transformation ? (longueur des côtés, angles, aires, parallélisme, orientation)

f) Est-ce que cette transformation s’applique uniquement aux carrés ? Justifier.

0 x y A’ B’ C’ D’ A’’ B’’ C’’ D’’ A B C D 2 2

•

B M A D C I B A • • • • • Exercice 12

a) On considère le point M, milieu du segment [AB]. Remarque : M appartient au segment [AB] et est à égale distance de A et de B.

Compléter les égalités afin qu’elles soient vraies : M .... M .... 0

  

+ = 2 A....⋅

 

=A....

b) On considère le parallélogramme de sommets ABCD. Le point I est l’intersection des diagonales.

Remarque : Un parallélogramme est un quadrilatère avec deux paires de cotés parallèles.

Compléter les égalités afin qu’elles soient vraies :

  

A.... AD+ =....C CI 1

(

C.... C....

)

2 = ⋅ +   

  

BI+IC=... 2B.... BD

 

=

  

IC+I .... 0=

    

IA IB+ +IC+ID=.... c) les points distincts A, B et C sont

alignés (sur la même droite).

Compléter les égalités afin qu’elles soient vraies :

∃ ∈µ  tel que A....= ⋅µ A.... ∃ ∈λ  tel que ....B= ⋅λ B....

d) Soit A, B, P et Q, quatre points distincts du plan. La droite d_PQ passant par P et Q est parallèle à la droite dPQ passant par A et B.

Compléter les égalités afin qu’elles soient vraies :

∃ ∈µ  tel que P....= ⋅µ ....B ∃ ∈λ  tel que ....A=.... Q....⋅

e) On considère un hexagone régulier ABCDEF de centre O.

Remarque : Il y a six triangles équilatéraux et égaux.

Compléter les égalités afin qu’elles soient vraies :

  

AE=AF+....E

  

FB=FO ....A+ FA   +AB+BC=F .... OC  +OF =....

    FA+AB+BO+AO=F ....   AB=OB−....A

FE    +ED+CB+OA=E.... ....B=2OC+2OA

−   FA−AB−BO=....F   AB−AD=D.... OA O.... BC    + + +....F =0 BE=.... BO⋅ CF=.... FO⋅ 1 DO DC D.... 2⋅ = +    A B C D E F O • • • • • • • A B C

•

•

•

Q A

•

•

•

•

P B

Marche à suivre pour résoudre les problèmes

1) Représenter la situation à l’aide d’un dessin schématique (points, droites, triangles, etc.) et déterminer les inconnues. Il n’est pas nécessaire de dessiner le problème à l’échelle. 2) Dessiner les vecteurs utiles à votre problème sur le schéma et écrire les égalités vectorielles. Utiliser, si nécessaire, les règles de Chasles.

3) Écrire les vecteurs à l’aide des composantes (couples de nombres). 4) Résoudre algébriquement.

Exercice 13

a) On considère le point M, milieu du segment [AB]. 1) Monter que OM 1

(

OA OB

)

2

= ⋅ +

  

(indication : voir exercice 12) 2) Déterminer les coordonnées du pointM si A a ;a

(

_{1 2}

)

et B b ;b

(

_{1 2}

)

. b) Si A 2; 3 et B 4;4

(

−

)

(

)

, déterminer les coordonnées du point M. c) Considérons les trois points distincts A, B et C du plan.

Soit M le milieu de

[ ]

AC et N le milieu de

[ ]

BC . Montrer que MN 1AB 2

=

  . Exercice 14

Considérons les quatre points A 10;4 , B 0;0 , C 8; 20 et D 18; 16

(

) ( ) (

−

)

(

−

)

du plan.

a) Le quadrilatère ABCD est-il un parallélogramme ? Justifier. (indication : voir exercice 12) b) Déterminer les coordonnées du point M milieu du segment [AC] et les coordonnées du point N milieu du segment [BD]. Que constate-t-on ? Quelle conjecture peut-on énoncer ?

Exercice 15

Les points A 4; 6 , B 6 ;10 , C

(

−

) (

) (

−6;1 et D 1; 7

)

(

−

)

pris dans cet ordre sont les sommets d’un quadrilatère ABCD et M, N, P et Q respectivement les points milieux des côtés

[ ] [ ] [ ] [ ]

AB , BC , CD et DA .

a) Calculer les coordonnées des points M, N, P et Q.

b) Le quadrilatère MNPQ est-il un parallélogramme ? Justifier. (indication : voir exercice 12) Quelle conjecture peut-on énoncer ?

Exercice 16

Considérons les trois points A 2; 5

(

−

)

, B

(

−2;3

)

et C 6;4

( )

du plan.

a) Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. (indication : voir exercice 12)

b) Déterminer les coordonnées du point I, intersection des deux diagonales de ce parallélogramme. c) Calculer IA , IB , IC , ID    , IA IC + ,  IB ID+

Quelle conjecture peut-on énoncer ?

A B M O

Exercice 17

Soit A 2; 3

(

−

)

et B 4;3

(

)

deux sommets du parallélogramme ABCD et I

(

−2;2

)

l'intersection des diagonales.

a) Déterminer les coordonnées des deux autres sommets C et D.(indication : voir exercice 12)

b) Calculer le périmètre du parallélogramme ABCD. c*) Soit ABCD un parallélogramme.

1) Démontrer en utilisant le théorème de Thalès que ses diagonales se coupent en leur milieu. 2) Démontrer en utilisant le calcul vectoriel que ses diagonales se coupent en leur milieu. Exercice 18

a) Soit A, B et C trois points distincts du plan.

Déterminer dans chaque cas si les points A, B et C sont alignés (sur la même droite) : 1) A 6;4 , B 14; 12 et C 2;12

(

) (

−

)

(

)

2) A 0;4 , B 6;1 et C

( ) ( )

(

−12;13

)

b) Soit A, B, P et Q, quatre points distincts du plan.

Déterminer dans chaque cas si la droite d_PQ passant par les points P et Q est parallèle à la droite dPQ passant par les points A et B :

1) P 1; 1 , Q 4;3 , A

(

−

) ( ) (

−1;5 et B 5;2

)

( )

2) P 1; 1 , Q 4;3 , A 3; 3 et B 12;9

(

−

) ( ) (

−

)

(

)

Indication : voir exercice 12

Exercice 19

Soit les pointsA 3;2 , B 2;0 ,C

( )

( ) (

−3;2 et D 5;k

)

( )

avec k∈. a) Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de k, les points A, B et D sont alignés.

b) Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de k, la droite dAB est parallèle à la droite dCD .

Exercice 20

Soient A

(

−3;3 , B 2; 4 et C

)

(

−

)

(

− −4; 3

)

trois points du plan. a) Le triangle ABC est-il isocèle ou équilatéral ? Justifier. b) Calculer le périmètre et l’aire du triangle.

Exercice 21

a) Soient les points A 3;2

( )

et B 5;k

(

)

. Déterminer les valeurs k∈ tel que AB =4. b) Soient les points C

(

− −3; 2

)

et D m; 4

(

−

)

. Déterminer les valeurs m∈ tel que CD =3. c) Soient les points P

(

− −3; 1

)

et R 2;3

(

)

. Déterminer les coordonnées du point N qui vérifie l’égalité ON



= ⋅4 PR



.

d) Soient les points A 3; 4

(

−

)

et B

(

−1;2

)

. Déterminer les coordonnées du point C qui vérifie l’égalité



AB= − ⋅5 AC



.

Exercice 22 *

Démontrer le théorème de Varignon à l'aide du calcul vectoriel : « En joignant les milieux d'un quadrilatère ABCD

quelconque, on obtient un parallélogramme IJKL ».

Exercice 23 *

Le centre de gravité G d'un objet est une notion physique qui est liée, entre autres choses, à la répartition de la masse à l'intérieur de cet objet. C'est en ce point qu'une force égale au poids de l'objet doit être appliquée pour que celui-ci soit en équilibre. Dans le cas d'une masse homogène et d'un champ de gravitation uniforme, le centre de gravité est en rapport

direct avec la géométrie de l'objet et ses axes de symétrie : le centre de gravité d'un triangle se trouve à l'intersection de ses médianes et celui d'un rectangle à l'intersection de ses diagonales. a) Soit A a ;a

(

_{1 2}

) (

, B b ;b_{1 2}

)

et C c ;c

(

_{1 2}

)

les sommets du triangle ABC dans le plan.

Par définition, le point G g ; g

(

_{1 2}

)

est le centre de gravité du triangle ABC s’il satisfait vectoriellement GA GB GC   + + =0. 1) Montrer que OG 1

(

OA OB OC

)

3 = ⋅ + +     . 2) Déterminer les coordonnées du point G.

b) Déterminer les coordonnées du centre de gravité G du triangle ABC avec A

(

−6;0 ,B 4;4 et C 4; 4 .

) ( )

(

−

)

c) On donne un triangle ABC par deux sommets

A 6; 1 ,B

(

−

) (

−2;6

)

et le centre de gravité G 3;4

( )

. Calculer les coordonnées du troisième sommet C.

d) Construire vectoriellement le point G. (réponse sur la feuille)

A

•

B

•

C

•

•

O G • • • • • • • • • L D _B C A I J K G B A C O

•

•

•

•

Définition

Un vecteur u est unitaire ⇔ u =1

Exemples

a) Dans le plan i=

( )

1;0 et j =

( )

0;1 sont unitaires. Vérification : i = 12+02 =1 j = 02+12 =1

b) Dans le plan tout vecteur de la forme : u =

(

cos(θ); sin(θ )

)

∀ ∈θ  est unitaire car : u = cos ( ) sin ( )2 θ + 2 θ = 1=1

Si 45 alors u

(

cos 45 ;sin 45

( ) ( )

)

2; 2 est unitaire. 2 2 θ = = _{= } _       Vérification : 2 2 2 2 2 2 u 1 1 2 2 4 4     = _{ } +_{ } = + = =      Proposition Si v ≠0 alors le vecteur u 1 v v = ⋅  

 est un vecteur unitaire de même direction et de même

sens que v.

Remarque Cette opération, est appelée normalisation d’un vecteur. Exemple

• On considère le vecteur v=

( )

1;1 qui n’est pas unitaire car 2 2

v = 1 +1 = 2  • On normalise le vecteur v



:

( )

2 2 1 1 1 1 u v 1;1 ; 2 2 2 v 1 1 et u 1 2 2   = ⋅ = ⋅ _{=  }       = _{ } +_{ } =        

Le vecteur u



est unitaire et à la même direction el le même sens que v.

• On cherche un vecteur w



de norme 3 et qui à

la même direction et même sens que v : w 3 u 3 1 ; 1 3 ; 3

2 2 2 2     = ⋅ = ⋅_{  }= _       avec w =3 . 1 θ 0 _cos(θ) sin(θ) 1 x y

•

•

Démonstration

Considérons le vecteur v=

(

a;b

)

de norme v = a2+b2 et le vecteur :

( )

2 2 2 2 2 2 1 1 a b u v a;b ; v a b a b a b   = ⋅ = ⋅ _{=  } +  + +     • Calculons sa norme : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b a b a b u 1 1 a b a b a b a b a b     + = _{ } +_{ } = + = = = + + + + +      Le vecteur u est unitaire.

• Les vecteurs uet v



sont colinéaires car il existe 1 0 v

λ= _ > tel que u



= ⋅

λ

v



Ils ont donc la même direction et le même sens.

Exercice 24

a) Calculer la norme des vecteurs suivants : (réponse en valeur exacte)

a

(

8;15 ; b

)

( )

3;4 ; c cos ;sin ; d 3 1; ; a b ; 5a ; a b 3 3 2 2 π π        = = =_{    } =_{ } − − +                 

b) Parmi les vecteurs du point a), lesquels sont unitaires ?

Exercice 25

Déterminer dans chaque cas par calcul, un vecteur u :

a) unitaire ayant la même direction et même sens que v=

(

4; 3−

)

. b) d’intensité 5 ayant la même direction et même sens que w=

(

9; 12−

)

. c) unitaire ayant la même direction que x= − −

(

3 ; 3

)

.

d) ayant la même direction que v= −5i 12 j  mais de sens opposé à v



et dont la norme est égale à 8. Rappel : i=

( )

1;0 ; j=

( )

0;1

3.1.5 * Composantes d'un vecteur du plan en fonction

de sa norme et son angle directeur *

Exprimons les composantes d'un vecteur du plan en fonction de sa norme et de son angle directeur *

• Considérons le vecteur v=

₍

a;b

₎

• On a : v =norme de v (intensité de v ) angle directeur de v

(direction et sens de v par rapport à la partie positive de l'axe horizontal.)

θ = 



• Question : Comment obtenir v et θ à l'aide des composantes a et b de v ?

( )

2 2 1 Pythagore : v a b b b

Trigonométrie : tan tan ou 180

a a θ − θ θ = +   = ⇔ _{ }= +    

• Question : Comment obtenir les composantes a et b de v à l'aide v et θ ?

Trigonométrie : cos( ) a a v cos( ) v

θ = _ ⇔ =  ⋅ θ

sin( ) b b v sin( ) v

θ = _ ⇔ =  ⋅ θ

Donc v=

( )

a;b =

(

v cos( ); v sin( ) ⋅ θ  ⋅ θ

)

= v ⋅

(

cos( );sin( )θ θ

)

Exemple *

( )

2 2 1 2

Si v 2;2 alors v 2 2 8 ( norme ) et tan 45 ( angle directeur ) 2 θ −   = = + = = _{ }=     

On peut écrire : v=

(

8 cos( 45 ); 8 sin( 45 )⋅  ⋅ 

)

= 8 cos( 45 );sin( 45 )⋅

(

 

)

y

θ

0 a

b

Exercice 26 *

On considère un octogone régulier (8 côtés de même longueur) inscrit dans un cercle de rayon 14.

Déterminer les composantes des vecteurs « sommets »

i

OK de la "molécule" suivante : (réponse en valeur exacte).

Exercice 27 *

Déterminer les composantes des vecteurs « sommets » OH et ON _{i i} des "molécules" suivantes :

(réponse en valeur exacte).

Exercice 28 *

a) Le point P est soumis à deux forces PQ et PR d’intensités respectives 5 [N] et 8 [N].

(Le newton est l’unité de force)

La direction de PQ est Nord 20° Est et la direction de PR est Nord 65° Est.

Calculer la norme et la direction de la force résultantePS.

b) Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.

1) « En additionnant les normes des vecteurs a et b on obtient la norme du vecteur a +b. » 2) « En additionnant les angles directeurs des vecteurs a et b on obtient l’angle directeur du vecteur a +b. » O K1 K2 K3 x y K4 K5 K6 K7 K8 H1 H2 H3 H4 0 Carré de côté 10 et de centre C(2;3) x y C Hexagone de côté 7 et de centre C(-3;-6) N1 N2 N3 N4 N5 N6 0 x y C

Exercice 29 *

Déterminer une force additionnelle F₄ pour que la condition d’équilibre statique F    ₁+F₂+F₃+F₄ =0 soit satisfaite.

Calculer la norme et l’angle directeur de la force additionnelleF₄.

Exercice 30 *

Les vecteurs sont très utiles pour décrire le mouvement d’un robot.

La figure représente le bras d’un robot. Ce bras peut pivoter aux articulations P et Q.

Le bras supérieur, représenté par c =PQ, fait 37,5 cm de long et l’avant-bras, y compris la main, représenté par d =QR a une longueur de 42,5 cm.

a) Calculer les composantes du vecteur PR.

b) Calculer la norme et l’angle directeur du vecteur PR.

Exercice 31 *

La figure montre deux remorqueurs qui amènent un navire dans le port. Le remorqueur A (le plus puissant) génère une force de 20’000 [N] sur son câble, le plus petit B une force de 16’000 N. Si le navire suit une ligne droite l, calculer l’angle θ que forme le remorqueur A avec la droite l.

A

3.1.6

Ce qu’il faut absolument savoir

1♥ Connaître la définition d’un vecteur. ok

2♥ Comprendre la notion d’égalité entre deux vecteurs. ok

3♥ Comprendre les identifications : 2

plan↔



. ok

4♥ Déterminer les composantes d’un vecteur dans le plan. ok 5♥ Calculer la norme d’un vecteur à l’aide des composantes. ok

6♥ Additionner deux vecteurs à l’aide des composantes. ok

7♥ Multiplier un vecteur par un scalaire à l’aide des composantes. ok 8♥ Connaître les propriétés de l’addition vectorielle et de la multiplication

par un scalaire. ok

9♥ Soustraire deux vecteurs à l’aide des composantes. ok

10♥ Connaître la définition de combinaison linéaire et de colinéarité. ok

11♥ Connaître et appliquer les relations de Chasles. ok

12♥ Connaître les propriétés de la norme d’un vecteur. ok

13♥ Connaître la définition de vecteur unitaire et savoir normaliser un vecteur. ok 14♥ * Calculer la norme et l’angle directeur d’un vecteur. ok

3.2 Produit scalaire et déterminant

3.2.1 Produit scalaire

Considérons les deux vecteurs :

• d

 

=AB Le déplacement d’un objet P entre le point A et le point B. • F La force constante appliquée à l’objet.

En Physique, on définit le travail W d’une force F constante appliquée à un objet P se déplaçant d’un point A à un point B ( d = AB) par : W = proj F_d ⋅ d

Donc :

( )

( )

(

)

d

notation

W = proj F ⋅ d = F ⋅cos θ ⋅ d = d ⋅ F ⋅cos θ = F d  produit scalaire de F et d 

Remarque Si F est perpendiculaire à d = AB alors laproj F_dest nulle et le travail W est nul.

Définition (Mathématique) Illustration

Le produit scalaire de deux vecteurs a et b  noté a b  , est le nombre réel (scalaire) défini par a b    = a ⋅ b cos( )⋅ θ avec 0≤ ≤θ 180 qui est la mesure de l’angle formé par les

vecteurs a et b  lorsqu’on les rapporte à une même origine.

Exemples

(

)

( )

( )

2 Si a 2;0 et b 1;1 alors a b 2 2 cos 45 2 2 2 2 = = = ⋅ ⋅  = ⋅ ⋅ =     

( )

(

)

( )

Si b= 1;1 et c= −1;1 alors b c  = 2⋅ 2 cos 90⋅  = 2⋅ 2 0⋅ =0

θ

A B P θ

Théorème (Expression du produit scalaire de deux vecteurs a et b  du plan à l’aide des composantes)

(

1 2

)

(

1 2

)

Si a = a ;a et b = b ;b alors on peut calculer le produit scalaire a b  de la manière suivante : a b  = ⋅ + ⋅a b_{1 1} a b_{2 2}

Exemples

a) Si a =

( )

4;0 et b=

( )

1;1 alors a b  = ⋅ + ⋅ =4 1 0 1 4

b) Si a = −

(

1;1 et b

)

=

( )

1;1 alors a b  = − ⋅ + ⋅ =1 1 1 1 0

Démonstration

Appliquons le théorème du cosinus :

(

)

2 2 2 2 2 2 a b a b a b 2 a b cos( ) 1 a b cos( ) a b a b 2 θ θ = − = + − ⋅ ⋅ ⇔ ⋅ ⋅ = ⋅ + − −                 Avec les composantes :

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 a b a a b b a b a b 2 1 a a b b a 2a b b a 2a b b 2 1 a a b b a 2a b b a 2a b b 2 ⇔ = ⋅ + + + − − − − = ⋅ + + + − − + − − + = ⋅ + + + − + − − + −    =a b₁⋅ + ⋅ ₁ a b_{2 2} Proposition

La mesure de l’angle formé par deux vecteurs a et b  est donné par : arccos a b avec 0 180

a b θ ₌   _{≤ ≤}θ  _⋅          Remarque : 1 arccos=cos−

Exemple Considérons les trois points O 0;0 , A 2;1 et B 1;2 .

( ) ( )

( )

Calculons la mesure de l’angle θ =



AOB à l’aide du produit scalaire :

( )

( )

2 2 2 2 OA 2;1 et OA 2 1 5 OB 1;2 et OB 1 2 5 = = + = = = + =     OA OB 2 1 1 2 4

arccos arccos arccos 36 ,87 5 5 5 OA OB θ ₌  ₌ _ ⋅ + ⋅ _=  _{ ≅ °}  ⋅   ⋅          

Démonstration a b a b cos( ) cos( ) a b arccos a b

a b a b θ θ θ   = ⋅ ⋅ ⇔ = ⇔ =   ⋅ _ ⋅ _         _{ }      θ O y A B • • 1 1 x θ θ