Corrélateur courant-courant dans le domaine temporel d'une jonction tunnel mesuré par spectroscopie micro-onde.

temporel d’une jonction tunnel mesur´

e par

spectroscopie micro-onde.

par

Karl Thibault

M´emoire pr´esent´e au d´epartement de physique en vue de l’obtention du grade de maˆıtre `es sciences (M.Sc.)

FACULT ´E des SCIENCES UNIVERSIT ´E de SHERBROOKE

le jury a accept´e le m´emoire de M. Karl Thibault dans sa version finale.

Membres du jury

Professeur Bertrand Reulet Directeur de Recherche D´epartement de physique

Professeur Ren´e C ˆot´e Membre interne D´epartement de physique

Professeur Denis Morris Pr´esident rapporteur D´epartement de physique

`

Ce m´emoire rapporte les premi`eres mesures de fluctuations de courant ´emises par une jonction tunnel sur une large bande passante, de 0.3 `a 13 GHz, `a une temp´erature tr`es basse de 35 mK. Cela nous a permis de r´ealiser la spectroscopie (i.e. mesurer la d´ependance en fr´equence) du bruit thermique (tension de polarisation nulle, temp´erature variable), bruit de grenaille (basse temp´erature, tension de biais variable) et bruit photo-assist´e (tension de polarisation AC). Gr ˆace `a la large bande passante de nos mesures, nous pouvons calculer le corr´elateur courant-courant dans le domaine temporel. Nous observons le d´eclin thermique de ce corr´elateur ainsi que ses oscillations de p´eriode h/eV, une cons´equence directe du principe de Pauli sur le transport quantique.

This thesis reports the first measurements of the current fluctuations emitted by a tunnel junction with a very wide bandwidth, from 0.3 to 13 GHz, down to very low temperature T =35 mK. This allowed us to perform the spectroscopy (i.e., measure the frequency dependence) of thermal noise (no dc bias, variable temperature), shot noise (low temperature, variable dc voltage bias) and photon-assisted noise (ac bias). Thanks to the very wide bandwidth of our measurement, we can deduce the current-current correlator in time domain. We observe the thermal decay of this correlator as well as its oscillations with a period h/eV, a direct consequence of the effect of the Pauli principle in quantum transport.

Je tiens d’abord `a remercier mon directeur de recherche Bertrand Reulet pour son soutien durant les deux derni`eres ann´ees. J’ai toujours cru qu’un bon directeur de recherche en physique se devait d’ˆetre un mentor pour ses ´etudiants, en leur apprenant une m´ethode de recherche scientifique. Bertrand a su remplir ce r ˆole pour moi et je le remercie pour toutes les connaissances que j’ai acquises durant ma maˆıtrise. Je veux aussi remercier l’assistant de recherche Christian Lupien, une source de conseils et d’informations in´epuisables sur le fonctionnement des appareils dans le laboratoire. Je tiens `a souligner le travail des techniciens en salle blanche du D´epartement de physique qui font un excellent travail pour garder tous les appareils en bon ´etat de fonctionnement, tout sp´ecialement Christian Sarra-Bournet qui m’a aid´e dans le d´eveloppement de la recette de fabrication des jonctions tunnel. Merci aussi `a tous mes coll`egues pour les nombreuses discussions pertinentes (ou pas !) qui m’en ont tellement appris. Finalement, je tiens `a remercier mes parents qui m’ont toujours encourag´e `a poursuivre mes ´etudes. Je ne me serais pas rendu ici sans leur soutien inconditionnel.

Sommaire ii

Introduction 1

0.1 Probl´ematique . . . 2

0.2 La jonction tunnel . . . 5

1 Th´eorie des fluctuations 6 1.1 Repr´esentation math´ematique dans le domaine temporel . . . 6

1.2 Diagrammes d’´energie . . . 8

1.3 Domaine fr´equentiel . . . 12

1.4 Op´erateur Courant . . . 14

1.5 Densit´e spectrale des fluctuations de courant . . . 17

1.5.1 Densit´e spectrale `a l’´equilibre . . . 18

1.5.2 Densit´e spectrale hors ´equilibre . . . 19

1.5.3 Densit´e spectrale des fluctuations photo-assist´ees . . . 21

1.6 Domaine temporel . . . 22

1.7 Autre corr´elateur dans le domaine temporel : corr´elateur charge-charge 23 2 Fabrication 24 2.1 Design des jonctions tunnel . . . 24

2.2 Photolithographie . . . 26 2.2.1 _{Shadow Evaporation. . . . 27} 3 Montage exp´erimental 32 3.1 Porte-´echantillon . . . 32 3.2 Instruments de laboratoire . . . 34 v

3.2.1 Cryostat `a dilution . . . 35

3.2.2 Instruments d’excitation, instruments de mesure et compo-sants g´en´eraux . . . 35

3.3 Montages . . . 40

3.3.1 Montage de mesure de r´esistance . . . 40

3.3.2 Montage complet . . . 40

3.4 Filtrage . . . 42

3.5 Calibration . . . 42

4 R´esultats et analyse 46 4.1 Caract´erisation de l’´echantillon . . . 46

4.2 Mesures en fr´equence . . . 47

4.2.1 Densit´e spectrale du bruit thermique . . . 47

4.2.2 Densit´e spectrale du bruit avec excitation DC . . . 49

4.2.3 Densit´e spectrale du bruit photo-assist´e . . . 50

4.2.4 Comparaison des comportements en fr´equence . . . 52

4.3 Domaine temporel . . . 53

4.3.1 Bruit thermique . . . 54

4.3.2 Bruit avec excitation DC . . . 58

4.3.3 Bruit avec excitation AC . . . 61

4.3.4 Corr´elateur charge-charge . . . 63

Conclusion 66

1 Exemple d’un signal bruit´e. . . 2

2 R´egion m´esoscopique avec deux contacts. . . 3

1.1 Diagramme d’´energie d’une jonction tunnel `a l’´equilibre. . . 8

1.2 Diagramme d’´energie d’une jonction tunnel polaris´ee en DC.. . . 10

1.3 Syst`eme m´esoscopique `a deux ports. . . 14

1.4 Limites de la densit´e spectrale `a l’´equilibre. . . 18

2.1 Sch´ematique d’une jonction tunnel.. . . 25

2.2 Dessin de jonction tunnel pour photolithographie. . . 27

2.3 Photographie d’un pont de r´esine suspendu prise au microscope ´ electronique. . . 28

2.4 Sch´ema ´etape par ´etape de la fabrication d’une jonction tunnel. . . . 29

2.5 Sch´ema du pont de r´esine permettant de calculer l’angle d’´evaporation. 30 2.6 Image d’une jonction tunnel prise au microscope ´electronique. . . 31

3.1 Jonction tunnel mont´ee sur un porte-´echantillon (ancien design). . . 33

3.2 Jonction tunnel mont´ee sur un porte-´echantillon. . . 34

3.3 Sch´ema d’un bias-tee. . . 35

3.4 Sch´ema d’un coupleur directionnel. . . 37

3.5 Sch´ema d’un mixeur. . . 39

3.6 Montage permettant de mesurer la r´esistance de l’´echantillon. . . 40

3.7 Montage exp´erimental. . . 41

3.8 Mesure directe de la puissance `a la sortie du montage exp´erimental. 43 3.9 D´ependance en fr´equence du gain total du syst`eme de mesure.. . . . 44

3.10 Temp´erature de bruit ajout´ee par les amplificateurs. . . 44

4.1 Densit´e spectrale des fluctuations `a l’´equilibre (V=0) pour diff´erentes temp´eratures. . . 47

4.2 Limites de la densit´e spectrale `a l’´equilibre. . . 48

4.3 Densit´e spectrale des fluctuations `a l’´equilibre mise `a l’´echelle. . . 49

4.4 Densit´e spectrale des fluctuations hors ´equilibre (V 6= 0) pour diff´erents voltages de biais DC. . . 50

4.5 Densit´e spectrale des fluctuations hors ´equilibre (Vac 6= 0) pour

diff´erents voltages de biais AC. . . 51

4.6 Comparaison des d´ependances en fr´equence pour les trois excitations pour TN(0)=150 mK. . . 52

4.7 Forme de la fenˆetre appliqu´ee aux mesures de densit´e spectrale des fluctuations de courant modifi´ees avant leur transform´ee de Fourier. 54

4.8 Fenˆetrage de la densit´e spectrale `a l’´equilibre ST(ω, T). . . 56

4.9 Corr´elateur courant-courant temporel `a l’´equilibre. . . 57

4.10 Corr´elateur courant-courant temporel `a l’´equilibre mis `a l’´echelle. . . 58

4.11 Fenˆetrage de la densit´e spectrale lors de l’application d’un voltage de biais DC. . . 61

4.12 Corr´elateur courant-courant temporel hors-´equilibre (V 6=0). . . 62

4.13 Corr´elateur courant-courant temporel hors-´equilibre (V 6=0) mis `a l’´echelle. . . 62

4.14 Modulation du corr´elateur courant-courant temporel hors-´equilibre (V 6=0). . . 63

Depuis les premi`eres exp´eriences scientifiques, les fluctuations (ou le bruit) sont reconnues pour ˆetre les ennemis num´ero 1 des exp´erimentateurs. En effet, celles-ci brouillent l’information contenue dans les signaux que les scientifiques cherchent `a mesurer. La figure 1montre bien l’effet n´efaste que les fluctuations peuvent avoir lorsqu’on cherche `a mesurer un signal particulier. C’est pourquoi le bruit est en g´en´eral att´enu´e le plus possible afin de mieux distinguer le signal voulu. Dans ce m´emoire, ce sont les fluctuations du courant qui seront ´etudi´ees. Dans les dispositifs ´electroniques de pointe qui composent l’essentiel de nos ordinateurs, t´el´ephones portables ou automobiles, r´eduire les fluctuations de courant revient `a augmenter la fiabilit´e. Toutefois, d’un point de vue fondamental, ces fluctuations proviennent du mouvement des ´electrons eux-mˆemes. En 1998, Rolf Landauer, un pionnier de la physique m´esoscopique, affirma que_{Le bruit est le signal !dans}

son article publi´e dans la c´el`ebre revue Nature [1]. Cette fameuse phrase cherchait `

a faire r´ealiser `a la communaut´e que de pr´ecieuses informations pouvaient ˆetre tir´ees des fluctuations. Depuis, les fluctuations de courant ont ´et´e exploit´ees de diverses fac¸ons afin de mieux comprendre le transport ´electronique `a travers de nombreux dispositifs. Par exemple, ces fluctuations peuvent ˆetre utilis´ees pour mesurer la charge des porteurs dans l’effet Hall fractionnaire [2]. Elles peuvent aussi servir de thermom`etre primaire [3]. Dans ce m´emoire, nous explorons le transport ´

electronique `a travers une jonction tunnel sur une large bande de fr´equence. Cela nous permet de sonder tous les r´egimes. Le r´egime quantique o `u la fr´equence de d´etection est l’´energie la plus ´elev´ee, le r´egime classique o `u la tension de polarisation repr´esente l’´energie dominante, le r´egime thermique o `u la temp´erature domine tous les autres effets et les transitions interm´ediaires `a tous ces r´egimes. Finalement, les fluctuations dans le domaine temporel sont ´etudi´ees afin de mieux comprendre la

F i g u r e 1 – Exemple d’un signal bruit´e. Le signal parfait en bleu et le mˆeme signal bruit´e en vert.

fac¸on dont les essais de passage des ´electrons `a travers une jonction tunnel sont corr´el´es.

0.1

Probl´ematique

Lors de l’´etude d’un conducteur de taille m´esoscopique, o `u les effets quantiques commencent `a apparaˆıtre, il est crucial de consid´erer les contacts qui le connectent au monde ext´erieur. En effet, les ´electrons qui traversent le conducteur doivent y ˆ

etre inject´es et ˆetre r´ecup´er´es ensuite par des contacts. Nous consid´ererons toujours une g´eom´etrie `a deux contacts,_{gauche (L) etdroite (R). Ceux-ci sont de}

faible perturbation pour les contacts. Ils sont donc toujours caract´eris´es par leur ´etat `a l’´equilibre. Ainsi, les contacts agissent comme des r´eservoirs caract´eris´es par une distribution de Fermi-Dirac o `u la temp´eratureTL,Ret le potentiel chimiqueμL,R

sont fix´es. Il est crucial de pr´eciser que ces contacts sont consid´er´es sans r´eflexion,

i.e. lorsqu’un ´electron ´emis par un contact r´eussi `a traverser la r´egion m´esoscopique,

il est n´ecessairement absorb´e par l’autre contact. Il faut `a pr´esent caract´eriser le transport `a l’int´erieur de la r´egion m´esoscopique.

Puisque le conducteur est de taille m´esoscopique, le mouvement des ´electrons qui le traverse doit ˆetre quantifi´e. On introduit alors la notion de mode ou 

ca-nal de transport quantique  _{`a travers lequel l’´electron peut traverser la r´egion}

m´esoscopique et dans lequel son ´energie est quantifi´ee. Ces canaux sont tous ind´ependants, nous permettant de faire les calculs pour un seul canal puis de sommer sur la totalit´e des canaux. Ensuite, puisque les contacts sont sans r´eflexion, on introduit l’id´ee suivante : un ´electron ´emis par un contact vers le conducteur a une probabilit´eTn

d’ˆetre transmis jusqu’`a l’autre contact par le canaln et une probabilit´e(1−Tn)d’ˆetre

r´efl´echi par le canaln. Ces probabilit´es de transmission sont les seules quantit´es

diff´erenciant une r´egion m´esoscopique d’une autre. La figure2montre ce concept

Figure 2 – R´egion m´esoscopique avec deux contacts. La probabilit´e de transmission

des ´electrons provenant du contact de gauche est repr´esent´ee par des fl`eches.

par une image simple pour un seul canal de probabilit´e T. La conductance d’un tel canal est d´etermin´ee parGn =G0Tno `u G0 = e

2

h est le quantum de conductance. La

conductance totale de la r´egion est doncG =∑nGn.

Ensuite, il est possible d’estimer le temps moyen entre chaque essai de passage d’un ´electron `a travers une telle r´egion m´esoscopique, pour un canaln. Le courant

´

etant le nombre d’´electrons transmis par unit´e de temps, on obtient hin(t)i =GnV = e τTn ⇒τ = h eV (1) puisque Gn = e 2

hTn =G0Tnest la conductance de la r´egion. On voit que les ´electrons

essaient de passer en moyenne `a un intervalle τ = h/eV dans chaque canal de conduction.

De plus, la th´eorie du transport quantique nous dit que ce temps entre chaque essai n’est pas seulement moyen, mais r´egulier, i.e. un ´electron essaie de traverser `a chaque h/eV. Lesovik et Levitov ont pr´edit th´eoriquement le temps caract´eristique entre chaque essai de passage des ´electrons `a travers une r´egion m´esoscopique dans leur papier de 1994 [4]. Cet article explique que les essais de passage des ´electrons `a travers la r´egion m´esoscopique sont grandement corr´el´es et presque p´eriodiques, une affirmation qui n’a jusqu’ici pas ´et´e prouv´ee exp´erimentalement. Cette p´eriodicit´e doit apparaˆıtre dans le corr´elateur courant-courant C(t) = hi(τ)i(τ+t)iqui d´epend seulement de la diff´erence de temps t entre les deux courants. L’origine de cette corr´elation est li´ee au principe d’exclusion Pauli, qui empˆeche deux ´electrons de passer en mˆeme temps. Les essais se succ`edent donc de mani`ere presque p´eriodique, chaque h/eV. Les auteurs proposent ensuite une exp´erience qui permettrait de d´etecter ce temps caract´eristique gr ˆace `a l’effet Aharonov-Bohm non-stationnaire. Ici, notre objectif est de r´ealiser une exp´erience diff´erente et plus directe afin de le d´etecter pour la premi`ere fois.

Une fac¸on de sonder le domaine temporel est de r´ealiser des mesures dans le domaine des fr´equences puis d’effectuer une transform´ee de Fourier inverse afin de retrouver le corr´elateur temporel voulu : C(t). La quantit´e que l’on doit mesurer dans le domaine fr´equentiel se nomme la densit´e spectrale des fluctuations. Cette technique est plus pratique que mesurer directement dans le domaine temporel, car plusieurs instruments tr`es performants permettent de telles mesures dans le domaine fr´equentiel. Nous r´ealisons donc la spectroscopie de la densit´e spectrale des fluctuations de courant sur une large bande de fr´equences, afin de pouvoir en faire la transform´ee de Fourier.

de fluctuations que nous explorons en d´etail plus tard : les fluctuations thermiques, de grenaille et photo-assist´ees. La technique spectroscopique nous permet de r´ealiser cette exp´erience qui n’a jamais ´et´e r´ealis´ee auparavant.

0.2

La jonction tunnel

Une jonction tunnel est, tout simplement, deux contacts m´etalliques s´epar´es par une barri`ere isolante. Cette barri`ere est habituellement une couche d’oxyde de quelques nanom`etres. La jonction tunnel est donc un exemple de r´egion m´esoscopique d´ecrite ci-dessus. Puisque le transport ´electronique ne peut se faire de fac¸on clas-sique `a travers la barri`ere, les ´electrons doivent traverser par effet tunnel. Cet effet quantique est li´e `a la nature ondulatoire des ´electrons. Dans le r´egime classique de conduction, le courant peut ˆetre vu comme une suite al´eatoire d’impulsions non corr´el´ees. De plus, Tn  1 pour tous les canaux dans le cas d’une barri`ere

tunnel. Ces deux propri´et´es du transport impliquent que le courant traversant la jonction tunnel est r´egi par une distribution de Poisson. La jonction tunnel est le composant ´electrique le plus simple dans lequel ce ph´enom`ene se produit. Dans le r´egime quantique toutefois, il y a des corr´elations entre les passages des ´electrons. De plus, les jonctions tunnel sont assez simples `a fabriquer. Lors de la fabrication, il est possible de choisir la r´esistance de l’´echantillon voulue en r´eglant les param`etres d’´evaporation (voir section2.1).

Th´eorie des fluctuations

1.1

Repr´esentation math´ematique dans le domaine temporel

Afin de d´ecrire math´ematiquement les fluctuations d’une variable statistique, une multitude d’objets statistiques construits au fil du temps sont `a notre disposition. Dans ce m´emoire, nous nous limitons aux moments. Un moment est une mesure quantitative qui caract´erise l’allure d’une distribution de probabilit´es. La d´efinition math´ematique du moment sera pr´ecis´ee `a la fin de cette section. Pour l’instant, regardons des objets statistiques assez connus : la moyenne et la variance. Lors de la mesure d’un signal de courant quelconque i(t)en fonction du temps, il est possible d’obtenir la moyenne de celui-ci hi(t)i, o `u les crochets signifient une moyenne statistique. Dans le cas o `u le courant est seulement continu (DC) en moyenne, on peut le d´ecomposer en sa moyenne et ses fluctuations, i(t) = hi(t)i +δi(t). On note sa moyennehi(t)i = I. Une mesure possible des fluctuations est alors de calculer l’´ecart `a la moyenne pour tous les temps δi(t) = i(t) −I. Il est aussi possible de mesurer la moyenne statistique de ces fluctuations. Toutefois, celle-ci est nulle par d´efinition

hδi(t)i = h(i(t) −I)i = hi(t)i −I

=0. (1.1)

La variance, qui mesure l’´etendue d’un nuage de points, n’est rien d’autre que la moyenne du carr´e des fluctuationshδi(t)2i. Contrairement `a la moyenne, la variance des fluctuations n’est pas nulle

hδi(t)2i = h(i(t) −I)2i

= hi(t)2i −2hiiI+I2 = hi(t)2i −I2

= hi(t)2i − hi(t)i2. (1.2)

Dans le cas plus g´en´eral d’un courant compos´e d’une partie fluctuante et d’une autre p´eriodique dans le temps, o `u i(t) = f(t) +δi(t), la moyenne statistique ne moyennera pas la modulation f(t). En effet, on a quehi(t)i = hf(t)i = f(t). Pour mieux comprendre, imaginez que f(t)est un cosinus. Lors de la moyenne statistique sur i(t), les fluctuations autour de ce cosinus sont moyenn´ees, mais pas le cosinus lui-mˆeme. Le r´esultat de la moyenne statistique est donc ce cosinus, la modulation du courant. La moyenne des fluctuations est toujours nulle :

hδi(t)i = h(i(t) − f(t))i = hi(t)i − f(t)

=0. (1.3)

La variance est encore la mˆeme, mais il ne faut pas oublier que i(t)contient une modulation.

hδi(t)2i = h(i(t) − f(t))2i

= hi(t)2i −2hi(t)if(t) + f(t)2 = hi(t)2i − f(t)2

= hi(t)2i − hi(t)i2. (1.4)

Afin de g´en´eraliser la fac¸on de caract´eriser les fluctuations, on appelle le moment d’ordre n : hδi(t)ni. La moyenne est donc le premier moment et la variance le deuxi`eme.

1.2

Diagrammes d’´energie

Maintenant que la base math´ematique des fluctuations est pos´ee, on l’utilise afin de formuler un mod`ele simple permettant de comprendre les d´ependances des fluctuations de courant dans une jonction tunnel.

Figure 1.1 – Diagramme d’´energie d’une jonction tunnel `a l’´equilibre. La figure1.1repr´esente une jonction tunnel `a l’´equilibre, mais `a temp´erature finie. Les parties hachur´ees repr´esentent des niveaux d’´energie remplis par les ´electrons. `A temp´erature nulle, les niveaux ´electroniques des deux contacts m´etalliques, s´epar´es par une barri`ere isolante d’´energie infinie, seraient remplis jusqu’`a l’´energie de Fermi qui est la mˆeme de chaque c ˆot´e. Puisqu’aucun ´etat libre n’est disponible, le transport ´electronique `a temp´erature nulle et `a l’´equilibre est impossible. Toutefois, la temp´erature permet aux ´electrons d’occuper des niveaux d’´energie sur une gamme d’´energieE kBT autour du niveau de Fermi. Les ´etats d’´energie sur cette gamme

sont donc partiellement remplis. Les ´electrons peuvent alors tenter de traverser la barri`ere tunnel pour aller remplir un ´etat disponible de l’autre c ˆot´e. Aussi, plus la temp´erature est grande, plus le nombre d’´etats potentiellement libres `a basse ´energie est grand. Ainsi, on s’attend `a ce que les fluctuations de courant augmentent avec la temp´erature. Ces fluctuations de courant sont repr´esent´ees par les fl`eches vertes sur la figure1.1. Les fluctuations sont symm´etriques par rapport `a la barri`ere, car rien ne favorise le transport dans une des deux directions. De ces consid´erations, on peut

estimer la variance des fluctuations. D´efinissons i+le courant circulant de gauche `a droite et i−le courant dans le sens inverse. Ils sont tous les deux proportionnels `a la temp´erature

i+ =αkBT , i− = −i+ , (1.5)

o `u α est une constante de proportionnalit´e. Puisque le courant total est donn´e par i =i++i−, on trouve que la moyenne du courant est nulle :

hii = hi++i−i = 0. (1.6)

La moyenne des fluctuations du courant total aussi est nulle, comme mentionn´e auparavant. Puisque, comme expliqu´e `a la section0.2, le transport des charges `a travers une jonction tunnel est gouvern´e par une loi de Poisson, la variance des fluctuations de courant de chaque c ˆot´e est proportionnelle au courant la traversant. On a donc quehδi2+i = hδi2−i = e|i+|. Comme les fluctuations de chaque c ˆot´e ne sont pas corr´el´ees entre elles, la variance des fluctuations du courant total est donn´ee par

hδi2i = hδi2++δi2−i (1.7) =e|i+| +e|i−|

=2eαkBT

=2kBTG

Nous avons suppos´e α = G/e. La valeur de cette constante de proportionnalit´e sera obtenue `a partir du cas V 6= 0. Malgr´e la simplicit´e du mod`ele, il m`ene au mˆeme r´esultat pour la variance que la th´eorie g´en´erale usuellement utilis´ee que nous d´eriverons `a la section1.5.

Lorsqu’une tension DC de polarisation est appliqu´ee aux bornes d’une jonction, les ´electrons d’un c ˆot´e acqui`erent une ´energie suppl´ementaire E=eV. Leur niveau de Fermi est donc augment´e de cette ´energie. La figure1.2repr´esente cette situation. La r´egion jaune repr´esente l’´energie suppl´ementaire des ´electrons de l’´electrode de gauche. Puisqu’on travaille encore `a temp´erature finie, une gamme d’´energie o `u les niveaux d’´energie sont partiellement remplis sera encore pr´esente autour du nouveau niveau de Fermi. Ainsi, un courant moyen s’installe `a travers la jonction,

Figure 1.2 – Diagramme d’´energie d’une jonction tunnel polaris´ee par un voltage DC.

car les ´electrons de gauche sont les seuls pouvant traverser. Les ´electrons d’un c ˆot´e ont maintenant beaucoup plus de chance de traverser la jonction grˆace `a leur ´energie plus ´elev´ee, ce qui alt`ere les fluctuations de courant. Revenons au mod`ele simple utilis´e dans le casV =0. Lorsque V k_BT, on a

i+ =αeV , i− =0. (1.8)

La moyenne du courant total est donc

I =i++i− =αeV. (1.9)

Puisque on a aussiI = GV, on trouve que α=G/e comme utilis´e ci-dessus. Encore

une fois, la moyennne des fluctuations du courant total est nulle. Sa variance nous donne δi2_{ = δi}2 ++δi2− (1.10) =e|i+| +e|i−| =eGV =eI

jonction. Ce r´esultat est ´egalement en accord avec la th´eorie g´en´erale. Comme on le verra `a la section1.5, la formule compl`ete contient la transition entre ces deux r´egimes.

Il est aussi int´eressant de noter que lors du passage d’un ´electron `a travers la jonction, l’´energie perdue lorsque l’´electron revient `a EFdoit ˆetre absorb´ee par l’envi-ronnement. Cela peut se faire par ´emission de photons ou de phonons. L’´emission de phonons chauffe l’´echantillon par effet Joule (ce qui n’a aucun effet notable puisque les r´eservoirs ont une temp´erature fixe), tandis que l’´emission de photons contribue au signal ´electromagn´etique d´etectable par nos appareils de mesure.

Il est donc possible de comprendre les fluctuations mesur´ees en fonction de la fr´equence avec une repr´esentation en ´emission de photons. Lorsqu’un ´electron traverse la jonction, il peut ´emettre un photon correspondant `a la diff´erence d’´energie entre les niveaux initial et final. Prenons l’exemple de la figure1.2a T` =0. Lorsqu’un ´

electron de gauche traverse la jonction, il ´emettra un photon d’´energie h f < eV. En d´etectant les fluctuations `a une fr´equence h f <eV, il est possible de mesurer des photons provenant de cet ´ev´enement. Si h f > eV, c’est impossible pour un ´

electron traversant la jonction d’´emettre un photon `a la fr´equence de d´etection. Ce changement de comportement est visible dans la variance des fluctuations (voir la section4.2.2).

Lorsqu’un voltage alternatif (AC) est appliqu´e, la r´egion jaune sur la figure1.2

oscille dans le temps `a la fr´equence d’excitation ω0, modulant ainsi les fluctuations de courant de la jonction. D’un autre c ˆot´e, l’application d’un voltage AC peut aussi ˆ

etre vu comme un flux de photons d’´energie h f0envoy´e sur l’´echantillon. On voit alors un changement dans les fluctuations mesur´ees `a h f = h f0, pour les mˆemes raisons que dans le cas o `u h f =eV.

1.3

Domaine fr´equentiel

Autant d’un point de vue th´eorique qu’exp´erimental, il est souvent plus pratique de travailler dans le domaine des fr´equences. Il est possible de transformer la variance du domaine temporel au domaine des fr´equences gr ˆace `a la d´efinition suivante de la transform´ee de Fourier inverse du courant :

i(t) = Z ∞ −∞ 1 2πe iωt_i(ω)dω. (1.11)

Exp´erimentalement, il est impossible de mesurer toutes les composantes fr´equentielles du bruit. Tout syst`eme de mesure a une bande passante finie. Il est donc n´ecessaire, afin de bien d´ecrire le courant mesur´e, d’ajouter un filtre en fr´equence `a notre d´efinition de la transform´ee de Fourier. On a alors

i(t) = Z ∞ −∞ 1 2πe iωt h(ω)i(ω)dω, (1.12)

o `u h(ω)est le filtre en fr´equence, n´ecessaire afin de bien d´efinir la bande passante du syst`eme de mesure qui apparaˆıtra `a l’´equation1.15. Pour un appareil mesurant parfaitement toutes les fr´equences, h(ω)serait ´egal `a 1.

Pour les manipulations math´ematiques `a venir, il est n´ecessaire de d´efinir la valeur moyenne temporelle f(t) = _T1 R₋T/2_T/2 f(t)dt. En supposant que T  _ω1, _ω1₀, les fr´equences de d´etection et d’excitation, on peut pousser les bornes de l’int´egrale vers l’infini : T →∞. La d´efinition du delta de dirac est aussi importante :

2πδ(ω) =

Z ∞

−∞e iωt_dt.

(1.13)

La valeur moyenne temporelle d´efinie ci-dessus est tr`es importante. En effet, exp´erimentalement, toutes les mesures de courant r´ealis´ees (pour ce m´emoire) sont moyenn´ees dans le

temps. Ainsi, lors d’une mesure des fluctuations de courant, on a hδi(t)2_{i = hi(t)}2_{i − hi(t)i}2_.

En remplac¸ant la d´efinition1.12dans l’´equation1.14, on obtient hδi(t)2_{i = hi(t)}2_{i − hi(t)i}2

= 1 4π2 Z ∞ −∞e iωt_{h(ω)i(ω)dω} Z ∞ −∞e iω0t_h(ω0_)i(ω0_)dω0  − 1 4π2 Z ∞ −∞e iωt_h( ω)i(ω)dω  Z ∞ −∞e iω0_t h(ω0)i(ω0)dω0  = 1 4π2 Z ∞ −∞ dt Z ∞ −∞ dω Z ∞ −∞ dω 0

h(ω)h(ω0)hi(ω)i(ω0)iei(ω+ω

0_)t − 1 4π2 Z ∞ −∞ dt Z ∞ −∞ dω Z ∞ −∞ dω 0

h(ω)h(ω0)hi(ω)ihi(ω0)iei(ω+ω

0_)t = 1 4π2 Z ∞ −∞ dω Z ∞ −∞ dω 0 h(ω)h(ω0)hi(ω)i(ω0)i Z ∞ −∞ dte i(ω+ω0)t − 1 4π2 Z ∞ −∞ dω Z ∞ −∞ dω 0 h(ω)h(ω0)hi(ω)ihi(ω0)i Z ∞ −∞ dte i(ω+ω0)t = 1 4π2 Z ∞ −∞ dω Z ∞ −∞ dω 0 h(ω)h(ω0)hi(ω)i(ω0)i2πδ(ω+ω0) − 1 4π2 Z ∞ −∞ dω Z ∞ −∞ dω 0 h(ω)h(ω0)hi(ω)ihi(ω0)i2πδ(ω+ω0) = 1 2π Z ∞ −∞ dωh(ω)h(−ω)hi(ω)i(−ω)i − 1 2π Z ∞ −∞ dωh(ω)h(−ω)hi(ω)ihi(−ω)i = Z ∞ −∞ dω 1 2π|h(ω)| 2 S(ω) '2∆ f S(ω),˜ (1.15)

o `uR<sub>−</sub>∞<sub>∞</sub> dω<sub>2π</sub>1 |h(ω)|2=2∆ f , ∆ f ´etant la bande passante du syst`eme exp´erimental. On d´efinit ˜ω comme ´etant la fr´equence centrale de la bande passante. On a suppos´e S(ω)˜ constante sur la bande passante. Cette approximation est valide si la bande passante est petite par rapport `a l’´echelle caract´eristique de fr´equence sur laquelle S(ω)varie. De plus, la densit´e spectrale des fluctuations est d´efinie comme

S(ω) = hi(ω)i(−ω)i − hi(ω)ihi(−ω)i. (1.16)

La densit´e spectrale des fluctuations est la quantit´e mesur´ee lors de toutes les exp´eriences pr´esent´ees dans ce m´emoire. Le deuxi`eme terme est non-nul seulement `

a ω =0, ce qui n’est jamais le cas ici. Il est possible de mesurer d’autres quantit´es utiles, comme le troisi`eme ou le quatri`eme cumulant des fluctuations [5,6], mais

cela ne sera pas discut´e plus en d´etails dans ce m´emoire. Pour de plus amples informations sur ce sujet, voir le m´emoire de Fatou Bintou Sane1.

1.4

Op´erateur Courant

Maintenant que les fluctuations de courant sont bien d´efinies, il ne reste qu’ `a d´efinir ce qu’est le courant qui traverse une r´egion m´esoscopique. Cette r´egion pourrait ˆetre, par exemple, une jonction tunnel. Cette section se base sur le formalisme de la matrice de diffusion d´evelopp´e par B ¨uttiker [7]. La figure1.3repr´esente une

F i g u r e 1.3 – Syst`eme m´esoscopique `a deux ports.

r´egion m´esoscopique et ses deux contacts qui sont chacun `a une temp´erature TL,R et ont un potentiel chimique µL,R. Afin de trouver l’´equation du courant qui la traverse, il faut d’abord d´efinir quelques op´erateurs de cr´eation (a†αet b

†

α) et d’annihilation (aα

et bα), o `u α =L, R repr´esente le cˆot´e gauche ou droite de la r´egion m´esoscopique.

Les op´erateurs a correspondent aux ´etats sortant des contacts et entrant dans la r´egion m´esoscopique, alors que les op´erateurs b aux ´etats r´efl´echis ou transmis par la r´egion m´esoscopique. Afin de trouver l’´etat propre g´en´eral repr´esentant ce syst`eme, on suppose la fonction d’onde ´electronique s´eparable en parties longitudinale et transverse. La partie longitudinale est une onde plane d’´energie E= ¯h2k2/2m. Dans la direction transverse, l’´energie est quantifi´ee par l’indice discret n, o `u une ´energie En repr´esente un mode ou canal transverse de conduction quantique `a travers la r´egion. On trouve alors que l’´etat propre du syst`eme est une combinaison d’´etats

dans les contacts de gauche (L) et droite (R) ainsi que dans la r´egion m´esoscopique (M) : ˆ ψE(x, r⊥) =          ∑n[aLnφ+_nE(x, r⊥) +bLnφ−_nE(x, r⊥)], x ∈ L ψM,E(x, r⊥), x ∈ M ∑n[bRnφ+_nE(x, r⊥) +aRnφ−_nE(x, r⊥)], x ∈ R , (1.17) avec φ±_nE(x, r⊥) = 1 p2π¯hνn(E) χn(r⊥)e±iknx, (1.18) o `u χn(r⊥)est la fonction d’onde transverse et νn(E)est la vitesse des porteurs de charge dans le canal n. Il est possible d’obtenir l’´equation du courant en utilisant ensuite l’´equation standard du courant de probabilit´e en m´ecanique quantique

ˆi(x) = ¯he i2m Z dr⊥ h ˆ ψ†(x, r⊥)∂xψ(x, rˆ ⊥) −ψ(x, rˆ ⊥)∂xψˆ†(x, r⊥) i . (1.19)

Pour simplifier l’´equation finale, il est aussi utile de tout r´e´ecrire seulement en fonction des op´erateurs entrants a, gr ˆace `a la relation suivante :

bαn =

∑

β=L,R

∑

m

sαn,βmaβm. (1.20)

o `u sαn,βmrepr´esente les diff´erents coefficients de la matrice de diffusion de la r´egion

m´esoscopique s= sLL sLR sRL sRR  = r t t0 r0  . (1.21)

Les blocs diagonaux r et r0d´ecrivent respectivement les r´eflexions ´electroniques des r´eservoirs de gauche et droite, tandis que les blocs hors-diagonaux t et t0 corres-pondent aux transmissions ´electroniques `a travers l’´echantillon. L’´etape finale est de passer dans le domaine de Fourier. Apr`es ces manipulations math´ematiques, on

retrouve l’´equation du courant suivante : ˆi(ω) = e h Z dE[a†_L(E)aL(E+¯hω) −r∗(E)r(E+¯hω)a†_L(E)aL(E+¯hω)

−r∗(E)t(E+¯hω)a†_L(E)aR(E+¯hω)

−t∗(E)r(E+¯hω)a†_R(E)aL(E+¯hω)

−t∗(E)t(E+¯hω)a†_R(E)aR(E+¯hω)], (1.22)

o `u nous avons suppos´e l’existence d’un seul canal de conduction. Dans le cas o `u plusieurs canaux sont consid´er´es, il y a un op´erateur a et a†et des coefficients r et t pour chaque canal n et une somme sur les canaux est n´ecessaire. La d´emonstration de cette ´equation est r´ealis´ee en grande partie dans le chapitre 2 des notes du cours

_{Physique M´esoscopiquepar Alexandre Blais}2_.

Afin de mieux comprendre l’op´erateur courant, il est utile de calculerhˆi(ω)i. La relationa†α(E)aβ(E+¯hω)



=δα,βfα(E)δ(¯hω), qui est utile pour ce calcul, nous

montre que cette valeur moyenne est non-nulle seulement lorsque α=β et lorsque ¯hω =0. De plus, on d´efinit la probabilit´e de transmission d’un ´electron `a travers un canal de conduction de la r´egion m´esoscopique comme T(E) = t(E)t∗(E) = 1−r(E)r∗(E).

On retrouve alors la loi d’Ohm hi(ω)i = e

h

Z

dED(1−r∗(E)r(E+¯hω))a†_L(E)aL(E+¯hω) −t∗(E)t(E+¯hω)a†R(E)aR(E+¯hω)

E = e

h

Z

dEt∗(E)t(E+¯hω)[fL(E) − fR(E)]δ(¯hω) hi(0)i = e

h

Z

dET(E)[fL(E) − fR(E)]

= e hT

Z

dE[fL(E) −fR(E)]

= e hTeV

=V/R, (1.23)

o `u on a suppos´e la probabilit´e de transmission ind´ependante de l’´energie et avec 2. http://dl.dropboxusercontent.com/u/2644574/Web/Enseignement/Meso/Meso.pdf

1 R =

e2

hT. Dans le cas `a plusieurs canaux de transmission, on a 1 R =

e2

h ∑nTn.

1.5

Densit´e spectrale des fluctuations de courant

Avant de calculer la densit´e spectrale des fluctuations de courant, il faut men-tionner que la densit´e spectrale telle que d´efinie `a l’´equation1.16est une version classique. Dans le cas quantique, il est n´ecessaire de sym´etriser la densit´e spectrale des fluctuations [8–10]. Cela provient du fait que[ˆi(ω), ˆi(−ω)] 6=0. On obtient alors

S0(ω) = S(ω) +S(−ω).

2 (1.24)

Cette ´equation tient compte du fait que les fr´equences n´egatives et positives sont mesur´ees exp´erimentalement. Dans ce qui suit, la densit´e spectrale est consid´er´ee comme ´etant sym´etris´ee et est not´ee par S(ω).

Il est maintenant possible de remplacer l’´equation 1.22dans1.16sym´etris´ee en1.24. On obtient l’´equation g´en´erale de la densit´e spectrale des fluctuations de courant. Ce calcul fastidieux est pr´esent´e dans le m´emoire de Gabriel Gasse en Annexe 13. Dans ce qui suit, nous supposons que la r´egion m´esoscopique ´etudi´ee est une jonction tunnel. Cons´equemment, le facteur de Fano

F = ∑nTn(1−Tn)

∑nTn (1.25)

est ´egal `a 1 dans les ´equations qui suivent puisque Tn 1. Pour plus d’informations

sur le facteur de Fano, voir la revue sur le bruit de grenaille par Blanter et B ¨uttiker [11].

1.5.1

Densit´

e spectrale `

a l’´

equilibre

Commenc¸ons par le r´esultat `a l’´equilibre (V =Vac =0) :

Seq(ω, T) = lim V,Vac→0 S(ω, T, V, Vac, ω0) =G¯hω coth  ¯hω 2kBT  (1.26)

o `u G =1/R est la conductance de l’´echantillon. Ceci est le th´eor`eme fluctuation-dissipation dans le cas des fluctuations de courant d’une r´egion m´esoscopique avec une g´eom´etrie `a deux contacts [12]. La figure1.4montre l’allure de la densit´e

F i g u r e 1.4 – Limites de la densit´e spectrale `a l’´equilibre.

spectrale `a l’´equilibre et ses deux limites. La densit´e spectrale a ´et´e divis´ee par 2kBG afin de tracer la temp´erature de bruit TN(ω) = <sub>2k</sub>S(<sub>B</sub>ω<sub>G</sub>). Les ´echelles d’´energie importantes `a comparer ici sont la temp´erature et la fr´equence. Dans la limite basse fr´equence, on utilise le d´eveloppement limit´e coth(x 1) '1/x. On obtient alors

o `u la densit´e spectrale des fluctuations de courant d’une jonction tunnel se r´eduit `a celle d’une r´esistance `a la temp´erature T. Cette ´equation est mieux connue sous le nom de th´eor`eme de fluctuation-dissipation classique ou bruit de Johnson-Nyquist [13]. Puisque la densit´e spectrale est proportionnelle `a la temp´erature, il est possible de mesurer celle-ci et d’en d´eduire la temp´erature de l’´echantillon. C’est ce qui est nomm´e la thermom´etrie par bruit de Johnson [3]. Cette technique est toutefois rarement utilis´ee, car elle n´ecessite la calibration du syst`eme de mesure. Dans la limite haute fr´equence, on trouve

Seq(¯hω kBT) =G¯h|ω| (1.28)

puisque coth(x →∞) = 1. Cette ´equation repr´esente les fluctuations du vide, ou quantiques. Cette contribution `a la densit´e spectrale a ´et´e mise en ´evidence en 1981 par Koch et al. dans le cas d’une r´esistance [14]. Les mesures pr´esent´ees `a l’int´erieur de ce m´emoire montrent clairement la pr´esence de ces fluctuations de courant pour une jonction tunnel. On pourrait s’attendre `a ce qu’un objet `a temp´erature nulle et `a l’´equilibre n’ait aucune fluctuation. Ce n’est pas le cas. Les fluctuations du champ ´electromagn´etique `a l’int´erieur de la jonction sont encore possibles. Elles sont appel´ees fluctuations du vide, car leur grandeur est celle d’un photon d’´energie ¯hω dans le vide.

1.5.2

Densit´

e spectrale hors ´

equilibre

Lorsqu’une tension de polarisation DC est appliqu´ee `a la jonction tunnel, la densit´e spectrale est donn´ee par [15]

S(ω, T, V) = 1 2_σ

∑

=±  G(eV+σ¯hω)coth eV+σ¯hω 2kBT  , (1.29)

Regardons les limites de cette ´equation. Maintenant, il y a trois ´echelles d’´energie importantes : la tension, la temp´erature et la fr´equence. Premi`erement, lorsque eV ¯hω, kBT, on retrouve l’´equation4.3de la densit´e spectrale `a l’´equilibre ´etudi´ee

ci-dessus. On s’int´eresse ici `a la limite suivante : S(¯hω kBT, eV) =GeV coth  eV 2kBT  . (1.30)

Cette ´equation repr´esente le bruit de grenaille d’une jonction tunnel. Le bruit de grenaille est une cons´equence directe de la discr´etisation de la charge participant au transport dans la jonction tunnel. Cette ´equation et l’´equation4.3sont exactement les mˆemes sous le changement eV ↔ ¯hω. La limite kBT eV redonne donc le bruit

de Johnson. Dans la limite classique, o `u la tension de polarisation appliqu´ee est beaucoup plus grande que toutes les autres ´echelles d’´energie, on obtient

S(eV kBT) = eG|V| = e|I|. (1.31)

Cette ´equation nous montre que, dans le r´egime classique, les fluctuations sont directement proportionnelles au courant traversant la jonction. Cela correspond au mod`ele simple ´etudi´e plus t ˆot `a la section1.2. Cela provient du fait que le m´ecanisme de transport des charges `a travers la jonction est caract´eris´e par une distribution de Poisson. Cette ´equation est souvent nomm´ee formule de Schottky [16]. Elle montre qu’il est possible de mesurer la charge des porteurs en mesurant leurs fluctuations de courant dans cette limite.

Une technique de thermom´etrie, nomm´ee thermom´etrie par bruit de grenaille, est enti`erement bas´ee sur l’´equation1.30[3]. En mesurant les fluctuations de cou-rant en fonction de la tension, la temp´erature ´electronique de l’´echantillon peut ˆ

etre d´etermin´ee en caract´erisant la transition entre les deux limites expliqu´ees pr´ealablement. Cette technique a le grand avantage de ne pas n´ecessiter la cali-bration du syst`eme de mesure. C’est celle que nous avons utilis´ee afin de d´eterminer la temp´erature ´electronique de notre ´echantillon.

La densit´e spectrale des fluctuations de courant est souvent mesur´ee `a une fr´equence particuli`ere [17] et non pas sur une large gamme de fr´equences. La premi`ere mesure montrant la d´ependance en fr´equence de la densit´e spectrale des fluctuations de courant en pr´esence d’une tension de polarisation a ´et´e r´ealis´ee par Schoelkopf et al. sur un fil diffusif en 1997 [18]. Cet article montre la diff´erence entre des courbes de la d´eriv´ee de la densit´e spectrale en fonction du voltage

ap-pliqu´e pour cinq fr´equences de d´etection entre 1.5 et 20 GHz. Depuis, l’exp´erience pr´esentant des mesures sur une bande de fr´equence la plus large a ´et´e r´ealis´ee par Mariantoni et al. en 2010 [19], o `u le bruit thermique d’une r´esistance est mesur´e entre 4,7 et 7,1 GHz. Dans le chapitre4de ce m´emoire, nous pr´esentons une spectroscopie compl`ete entre 0.2 et 13 GHz de la densit´e spectrale des fluctuations de courant d’une jonction tunnel.

Il est aussi int´eressant de remarquer que l’´equation1.29peut se r´e´ecrire comme S(ω, V, T) = 1 2  Seq  ω+eV ¯h , T  +Seq  ω−eV ¯h , T  . (1.32)

Lorsque la densit´e spectrale est ´ecrite sous cette forme, on voit qu’exciter l’´echantillon avec une tension de polarisation DC revient d’une certaine fac¸on `a d´ecaler son bruit en fr´equence de±eV/h.

1.5.3

Densit´

e spectrale des fluctuations photo-assist´

ees

Finalement, on peut aussi appliquer une tension de polarisation AC de fr´equence ω0sur la r´egion m´esoscopique. L’irradiation de notre ´echantillon par une telle exci-tation m`ene `a ce qui est appel´e du bruit_{photo-assist´e. Lorsqu’une excitation AC}

sinuso¨ıdale est appliqu´ee sur une jonction tunnel, la densit´e spectrale des fluctua-tions de courant devient [15]

S(ω, T, V, Vac, ω0) = 1 2 ∞

∑

n=−∞ J_n2 eVac ¯hω0 

∑

σ=±  G(eV+σ¯hω+n¯hω0)coth  eV+σ¯hω+n¯hω0 2kBT  . (1.33) Tout au long de ce m´emoire, on notera ω la fr´equence de d´etection des fluctuations et ω0la fr´equence d’excitation du voltage AC appliqu´e. Sous cette forme, la densit´e spectrale montre tr`es bien que les ´echelles d’´energie qui sont importantes `a compa-rer sont eV, ¯hω, ¯hω0et kBT. Les premi`eres mesures de bruit photo-assist´e ont ´et´e

r´ealis´ees par Schoelkopf et al. en 1998 [20], `a fr´equence de d´etection nulle. Depuis, de nombreuses ´equipes ont explor´e ce ph´enom`ene [21–23]. Dans le chapitre4de ce

m´emoire nous pr´esentons pour la premi`ere fois une spectroscopie large bande (de 0.2 `a 13 GHz) du bruit photo-assist´e ´emis par une jonction tunnel.

Des ´etudes ont aussi ´et´e r´ealis´ees sur des excitations autres que sinuso¨ıdales [24–28], mais nous n’explorons pas ces autres genres d’excitation.

Notons que toutes les ´equations de densit´e spectrale montr´ees ci-dessus peuvent ˆ

etre d´eriv´ees `a partir de l’´equation1.33en prenant diverses limites. Elle comprend les trois types de fluctuations ´etudi´ees : les fluctuations thermiques, le bruit de grenaille et le bruit photo-assist´e.

Dans cette section, les trois ´equations correspondant aux trois sources d’excita-tion utilis´ees exp´erimentalement sont d´emontr´ees. La densit´e spectrale `a l’´equilibre en fonction de la temp´erature s’exprime par l’´equation4.3. En pr´esence d’une exci-tation DC, elle correspond `a l’´equation1.29ou1.32. Dans le cas d’une excitation AC, on obtient l’´equation1.33.

1.6

Domaine temporel

Afin d’obtenir une meilleure compr´ehension des m´ecanismes r´egissant les fluc-tuations, il est int´eressant de passer de nouveau dans le domaine temporel. La trans-form´ee de Fourier inverse de la densit´e spectrale des fluctuations est le corr´elateur courant-courant dans le domaine temporel. Plus pr´ecis´ement, celui-ci est donn´e par

TF−1[S(ω)] =C(t)

= h[i(τ)i(τ+t)]i. (1.34)

La d´efinition de la transform´ee de Fourier utilis´ee est la mˆeme qu’ `a l’´equation

1.11.

Une fois la densit´e spectrale mesur´ee, il ne reste donc qu’ `a la transformer en utilisant la relation1.34. Toutefois, certains probl`emes se pr´esentent lors de cette d´emarche puisque la bande passante de d´etection est finie. Nous verrons en d´etail pourquoi dans le chapitre4.

1.7

Autre corr´elateur dans le domaine temporel : corr´elateur

charge-charge

Il peut ˆetre int´eressant de regarder d’autres types de corr´elateur afin d’en retirer de la physique suppl´ementaire. Par exemple, les fluctuations du nombre de charges pass´ees en un temps t, q(t) −q(0) = It, ont ´et´e ´etudi´ees th´eoriquement par Lesovik et Levitov en 1993 [29]. Le corr´elateur charge-charge `a temps ´egal est donc donn´e par : hq(t)q(t)i = Z t 0 dt 0Z t 0 dt 00_hi(t0 )i(t00)i = 1 2π Z ∞ −∞ dω Z t 0 Z t 0 dt 0 dt00eiωt0e−iωt00S(ω) = 1 2π Z ∞ −∞ dωS(ω)  eiωt−1 iω   e−iωt−1 −iω  = 4 π Z ∞ 0 dωS(ω) sin2(ωt/2) ω2 . (1.35)

On voit ici que ce corr´elateur en temps correspond `a une transform´ee tr`es sem-blable `a celle de Fourier de la densit´e spectrale. En effet, c’est comme si la fonction exp(iωt)etait remplac´´ ee par une autre fonction ζ(ω) = sin

2₍

ωt/2) ω2 .

Une caract´eristique int´eressante de ce corr´elateur est qu’il d´ecroˆıt lorsque la fr´equence augmente. En effet, la fonction ζ(ω)d´ecroˆıt en fonction de la fr´equence, contrairement `a exp(iωt) dans la transform´ee de Fourier habituelle. Cela vient contrecarrer l’effet des fluctuations quantiques qui divergent, rendant la t ˆache beau-coup plus simple lors du passage de la densit´e spectrale au domaine temporel.

Fabrication

Les techniques de fabrication d´ecrites dans ce chapitre permettent de fabriquer une jonction tunnel dont la r´esistance est proche de 50 Ω afin d’optimiser son cou-plage au circuit micro-ondes. Au final, la jonction utilis´ee pour obtenir les r´esultats pr´esent´es dans ce m´emoire avait une r´esistance de 51 Ω. Cela est tr`es pr`es du r´esultat voulu.

2.1

Design des jonctions tunnel

Nos dispositifs sont d´epos´es sur un substrat de silicium r´esistif lui-mˆeme oxyd´e, afin d’empˆecher le transport `a travers le substrat. La jonction tunnel est compos´ee de deux contacts m´etalliques s´epar´es par une couche d’oxyde. Dans notre cas, l’alu-minium et l’oxyde d’alul’alu-minium sont utilis´es. L’aire de la jonction est d´etermin´ee par la surface de recouvrement entre l’oxyde et chaque contact. Cette surface est sym´etrique pour notre technique de fabrication. La r´esistance d’une jonction tun-nel est inversement proportiontun-nelle `a l’aire du recouvrement, R ∝ _A1. De plus, la r´esistance croˆıt exponentiellement avec l’´epaisseur d de la barri`ere. L’´epaisseur de la barri`ere utilis´ee lors des mesures pr´esent´ees plus loin et de celles fabriqu´ees lors de ma maˆıtrise est estim´ee `a 10 ˚A. L’aire de recouvrement pour une jonction typique de 50Ω est de 10 µm2.

Figure 2.1 – Sch´ematique d’une jonction tunnel.(a) Vue du dessus d’une jonction

tunnel. La zone de recouvrement entre les deux contacts formant la jonction est repr´esent´ee en rouge. En haut, on voit le contact large d’environ400 μm qui lui donne une imp´edance

de 50 Ω. En bas, on voit le contact plus large permettant plusieurs soudures `a la masse. (b) Coupe verticale de la jonction `a l’int´erieur de la zone de recouvrement (en rouge sur la

figure a). Le substrat est repr´esent´e en vert, le m´etal en gris et l’oxyde en rouge. On remarque que la majorit´e du transport se fait du haut vers le bas.(c) Sch´ema d’une jonction dans un circuit ´electrique.

`

A un niveau microscopique, on suppose g´en´eralement que l’oxyde de r´egion de recouvrement n’a pas une ´epaisseur constante, mais est plut ˆot rugueux. Cela cr´ee des endroits pr´ecis o `u les ´electrons auront plus de chance de traverser la jonction par effet tunnel. L’allure pr´ecise des barri`eres tunnel de ce type est assez m´econnue.

La figure2.1montre le sch´ema d’une jonction tunnel. Un contact de chaque c ˆot´e de la jonction permet de relier celle-ci `a un circuit ext´erieur. Un contact est laiss´e tr`es grand pour permettre plusieurs soudures `a la masse, afin de s’assurer que les ´electrons peuvent facilement s’y ´echapper. L’autre contact constitue une ligne `a transmission de type microstrip qui a une imp´edance caract´eristique de50 Ω jusque dans les micro-ondes, afin d’adapter l’imp´edance entre la jonction et le circuit ext´erieur qui a lui aussi une imp´edance de50 Ω. Le dispositif comprenant les contacts est environ 50000 fois plus grand que la jonction elle-mˆeme, qui a une

surface d’environ 10 µm2.

2.2

Photolithographie

La lithographie est une technique d’impression qui permet la cr´eation et la reproduction `a plusieurs exemplaires d’un dessin quelconque. Cette technique a ´et´e d´evelopp´ee en premier pour r´ealiser des trac´es sur de la pierre. La photolithographie est un proc´ed´e moderne permettant de d´eposer une couche du mat´eriau de son choix sur un substrat selon un trac´e pr´ed´etermin´e. Elle utilise une r´esine sensible aux photons ultraviolets qui, lorsque expos´ee `a ceux-ci, change ses caract´eristiques chimiques. Ainsi, on d´epose premi`erement une couche de r´esine sur le substrat. Puis, on expose les zones voulues, selon le trac´e pr´ed´etermin´e. La r´esine expos´ee devient alors sensible `a un certain solvant, que l’on appelle d´eveloppeur. Lorsque le tout est immerg´e dans le d´eveloppeur, la r´esine expos´ee se dissout, d´evoilant alors le substrat. En d´eposant le mat´eriau choisi dans les trous form´es dans la r´esine, puis en enlevant le surplus de r´esine, on obtient le dispositif voulu. La r´esolution de cette technique est de l’ordre de la longueur d’onde des photons utilis´es, soit environ 0.5 µm.

La technique de photolithographie utilise une r´esine sensible aux photons ultra-violets. L’appareil que j’ai utilis´e ´etait un syst`eme de photolithographie par ´ecriture directe SF-100-XPress. Le dessin utilis´e est montr´e `a la figure2.2. Les parties noires sont expos´ees `a la lumi`ere UV. La r´esolution de l’appareil pr´esent ici est de 1.5 µm, un peu plus de trois fois la longueur d’onde de la lumi`ere utilis´ee qui est de 0.435 µm. Cela est d ˆu au fonctionnement interne du syst`eme par ´ecriture directe, qui est moins pr´ecis mais beaucoup plus rapide que les syst`emes standards de photolithographie. Les r´esines que j’ai utilis´ees sont la LOR30B et la S1805. La LOR30B est une r´esine de soul`evement d´epos´ee en premier sur l’´echantillon. Elle est tr`es ´epaisse et visqueuse. La S1805 est une r´esine photosensible. Le proc´ed´e que j’ai d´evelopp´e comportait une bicouche de 1.3 µm de S1805 par-dessus 2.7 µm de LOR30B. La difficult´e avec l’utilisation conjointe de ces deux r´esines est qu’elles ont le mˆeme d´eveloppeur. Il faut donc faire tr`es attention lors de l’exposition de la S1805 pour ne pas trop l’exposer, sous peine d’avoir des probl`emes lors du d´eveloppement.

F i g u r e 2.2 – Dessin de jonction tunnel pour photolithographie.

2.2.1



Shadow Evaporation



La technique par pont suspendu ( _{Dolan Bridge ) [30] ou technique par shadow evaporationpermet de r´ealiser des jonctions tunnel `a l’aide de seulement}

une seule ´etape de photolithographie. Elle consiste `a fabriquer un pont de r´esine photosensible.

La figure2.3montre un pont de r´esine suspendu. Celui-ci fait environ 8 µm de long et 2 µm de large. On voit que la r´esine reste tr`es droite malgr´e le fait qu’elle soit suspendue au-dessus du vide. On remarque aussi que la r´esine sous le pont n’est pas compl`etement enlev´ee. Cela va r´eduire grandement la taille du recouvrement des deux contacts de m´etal, car lors du soul`evement la r´esine va enlever le m´etal qui s’est d´epos´e sur elle-mˆeme. Un d´eveloppement prolong´e de la r´esine pourrait permettre de r´esoudre en partie ce probl`eme.

Le sch´ema de la figure2.4montre les ´etapes importantes requises pour fabriquer une jonction tunnel par cette technique de_{shadow evaporation. Premi`erement,}

F i g u r e 2.3 – Photographie d’un pont de r´esine suspendu prise au microscope ´

electronique.

sur l’´echantillon. L’´etape 2 est l’exposition de la r´esine S1805 aux rayons UV. Le changement de couleur de la r´esine sur la figure repr´esente les changements de propri´et´es chimiques qui ont lieu. Le d´eveloppement par immersion dans le MF-319

`

a l’´etape 3 permet d’enlever la r´esine S1805 expos´ee et la r´esine LOR30B sous-jacente, qui est toujours sensible au d´eveloppeur. Les ´etapes 4 `a 6 comprennent l’´evaporation

`

a angle, l’oxydation de la premi`ere couche de m´etal puis le d´ep ˆot de la deuxi`eme couche. On d´epose un premier m´etal qu’on oxyde avant la deuxi`eme ´evaporation. Cette oxydation se fait in-situ, par entr´ee d’oxyg`ene `a l’int´erieur de l’´evaporateur. Finalement, la r´esine restante est enlev´ee en immergeant le dispositif dans un solvant, c’est le proc´ed´e nomm´e soul`evement.

Le sch´ema de l’´evaporation du m´etal montre l’utilit´e d’avoir un espacement sous le pont le plus grand possible. Si le pont n’est pas assez ´elev´e, il sera tr`es difficile

Figure 2.4 – Sch´ema ´etape par ´etape de la fabrication d’une jonction tunnel. d’avoir un recouvrement large entre les deux d´ep ˆots. En effet, plus le pont est bas et plus l’angle de d´eposition requis se rapprochera de l’horizontale, diminuant la pr´ecision du proc´ed´e. On peut ´eviter ce probl`eme en s’assurant d’avoir une hauteur de pont aussi grande que la largeur du recouvrement voulu. Puisque les jonctions r´ealis´ees avaient un recouvrement d’une largeur d’environ 2 μm, l’´epaisseur de 2.7 μm de la LOR30B ´etait ad´equate. La figure2.5, qui permet de trouver l’angle d’´evaporation en fonction du recouvrement voulu, aide aussi `a comprendre ce ph´enom`eme. Sur cette figure, A repr´esente la hauteur du pont avant le premier d´ep ˆot (ou la hauteur de la r´esine de soul`evement LOR30B), C est la largeur du

Figure 2.5 – Sch´ema du pont de r´esine permettant de calculer l’angle d’´evaporation. pont de r´esine photosensible (S1813) et B la largeur du d´ep ˆot m´etallique sous le pont. A’ est la hauteur sous le pont avant le deuxi`eme d´ep ˆot. Si le pont est tr`es haut devant l’´epaisseur du premier d´ep ˆot, ce qui est une assez bonne approximation,

A A. B est suppos´e le mˆeme pour les deux d´ep ˆots, car cela simplifie les calculs. Le recouvrement D peut alors ˆetre trouv´e par la formule

D=C− (C−B) − (C−B)

=2B−C. (2.1)

Les angles de d´ep ˆot sont calcul´es `a l’aide deθ =arctan(A/B)etα =arctan(A/B). La figure2.6montre une image prise au microscope ´electronique d’une jonction tunnel faite par lithographie. La r´egion encadr´ee en rouge montre l’aire de recou-vrement. Cette jonction n’est pas celle qui a ´et´e utilis´ee pour prendre les mesures obtenues dans ce m´emoire. Toutefois, mˆeme si celle pr´esent´ee ici est beaucoup plus petite que celle utilis´ee, leur forme est tr`es semblable.

F i g u r e 2.6 – Image d’une jonction tunnel prise au microscope ´electronique.

situ´ee. Elle ne montre pas les contacts de chaque c ˆot´e, o `u il y a aussi recouvrement entre les deux d´ep ˆots sur toute leur grandeur. Toutefois, puisque les contacts sont si grands, cela ne fait que cr´eer une jonction de tr`es faible r´esistivit´e de chaque c ˆot´e de la jonction. Ces jonctions n’ont aucun effet notable sur le transport. De plus, les soudures qui sont r´ealis´ees sur les contacts de chaque c ˆot´e pour les relier au circuit ext´erieur r´eduisent encore plus leur effet.

J’ai fabriqu´e toutes les jonctions durant ma maˆıtrise (dont celle utilis´ee pour extraire les r´esultats exp´erimentaux pr´esent´es plus loin) `a l’aide de la technique par

_{shadow evaporation. La recette compl`ete de fabrication par photolithographie}

Montage exp´erimental

Une fois la jonction tunnel fabriqu´ee, le montage exp´erimental peut ˆetre assembl´e afin de mesurer la densit´e spectrale des fluctuations de notre ´echantillon. Avant tout, le dispositif que nous avons fabriqu´e doit ˆetre mont´e sur un porte-´echantillon permettant le lien entre les composants ´electroniques usuels et notre dispositif. Ensuite, le montage peut ˆetre assembl´e en prenant bien soin de choisir les composants ad´equats.

3.1

Porte-´echantillon

Une fois la jonction tunnel fabriqu´ee, elle doit ˆetre mont´ee sur un porte-´echantillon. Le design de celui-ci est tr`es important. Il faut s’assurer que les imp´edances entre les composants ´electroniques ext´erieurs et la jonction tunnel sont le mieux adapt´ees possible. Puisque les c ˆables et composants disponibles sur le march´e ont tous une imp´edance de 50 Ω, la jonction utilis´ee avait une r´esistance de 51 Ω. En adaptant ainsi son imp´edance, les r´eflexions sont minimis´ees (maximisant le signal de sor-tie). Il est important que le porte-´echantillon soit lui aussi adapt´e aux c ˆables qui se connectent `a l’entr´ee. Pour ce faire, le porte-´echantillon doit avoir un port ex-terne de connexion de type K. Les connecteurs de type K sont tr`es semblables aux connecteurs SMA, ´etant de la mˆeme taille, mais permettent de mesurer jusqu’ `a de plus hautes fr´equences. Ces connecteurs sont utilisables jusqu’ `a 40 GHz. Ensuite,

il faut faire la connexion entre le connecteur K et la jonction tunnel. S’il ´etait pos-sible de souder directement l’un sur l’autre, ce serait l’id´eal. Malheureusement, les techniques connues de nos jours mettraient trop de stress sur la jonction tunnel. Il faut donc un composant interm´ediaire. On utilise une ligne `a transmission de type

_{microstrip. Cette microstrip est en fait un guide d’onde d’imp´edance 50Ω fait de}

cuivre et ayant comme di´electrique de la c´eramique. Il est alors possible de faire une soudure conventionnelle `a l’´etain pour faire la connexion entre la microstrip et le connecteur K. La microstrip est visible sur les figures3.1et3.2a la gauche des images.` Finalement, des microsoudures en_{wedge bondingsont faites pour connecter la}

jonction tunnel et la microstrip. Ces soudures par pontage sont r´ealis´ees avec un fil d’aluminium de 25 µm de diam`etre. Ces soudures cr´eent une petite inductance, de l’ordre du nH/mm. Pour r´eduire cette inductance, plusieurs microsoudures sont faites le plus pr`es possibles l’une de l’autre. Les figures3.1et3.2montrent deux jonctions tunnel mont´ees sur un porte-´echantillon en cuivre. La Fig.3.1montre un ancien design de jonction connect´ee `a la microstrip avec des soudures par pontage. La Fig.3.2montre une jonction faite avec le design discut´e dans le chapitre2soud´ee `

a l’aide d’un ruban d’aluminium. Ce ruban permet de r´eduire l’inductance due `a cette soudure, mais n’´etait pas disponible lors de ma maˆıtrise.

F i g u r e 3.2 – Jonction tunnel mont´ee sur un porte-´echantillon.

Puisque notre ´echantillon est compos´e d’aluminium, il est n´ecessaire d’empˆecher sa transition supraconductrice sous les 1.2 K. Pour ce faire, un aimant est plac´e sur la face arri`ere du porte-´echantillon. Le champ critique de l’aluminium ´etant un tr`es faible 100 Gauss, la force de cet aimant n’a pas `a ˆetre d’une grandeur qui affecterait les caract´eristiques de transport de notre ´echantillon.

3.2

Instruments de laboratoire

L’´echantillon ´etant maintenant prˆet `a ˆetre mesur´e, il ne reste qu’ `a pr´eparer les diff´erents instruments de laboratoire. Premi`erement, l’´echantillon doit ˆetre refroidi `

a de tr`es basses temp´eratures dans un cryostat. Ensuite, diff´erentes sources d’excita-tion doivent ˆetre connect´ees `a l’´echantillon. Finalement, les fluctuations de celui-ci doivent pouvoir ˆetre mesur´ees sur une tr`es large bande de fr´equences gr ˆace aux instruments de mesure.

3.2.1

Cryostat `

a dilution

Le cryostat utilis´e lors de ma maˆıtrise ´etait un cryostat `a dilution de BlueFors Cryogenics. Celui-ci utilise un m´elange d’h´elium 3 et 4 afin de descendre `a de tr`es basses temp´eratures. Ce cryostat est_sec_{, i.e. l’h´elium liquide circule dans un}

circuit ferm´e et ne touche `a aucun composant. Le circuit ferm´e refroidit chaque plaque du cryostat par contact thermique. Le cryostat comporte deux plaques ma-jeures. La premi`ere est `a 4 K alors que l’autre est sous 10 mK (typiquement 8 mK). L’´echantillon, ainsi que certains autres composants, est plac´e directement sur la plaque `a 8 mK. D’autres composants ´electroniques, comme l’amplificateur, d´egagent trop de chaleur et sont donc plac´es sur la plaque `a 4 K. En effet, la puissance de refroidissement du cryostat pour la plaque de 8 mK est beaucoup moindre que celle de la plaque `a 4 K.

3.2.2

Instruments d’excitation, instruments de mesure et composants g´

en´

eraux

 Bias-tee 

Un composant essentiel `a la d´etection de fluctuations et `a l’excitation DC est le

_bias-tee_{. Un}_bias-tee_{est un composant simple `a trois ports, comme montr´e}

sur la figure3.3.

Figure 3.3 – Sch´ema d’un bias-tee. Le port radio-fr´equence (RF) du

 _bias-tee  _{est reli´e au port RF+DC}

par un condensateur, alors que le port DC est reli´e au port RF+DC par une in-ductance. Ainsi, lorsque l’´echantillon est branch´e sur le port RF+DC, il est pos-sible d’envoyer un signal d’excitation

DC par le port DC et de mesurer les fluctuations AC de l’´echantillon par le port RF. Il est aussi possible d’utiliser un _bias-tee _{comme un filtre passe-haut ou}

Sources et multim`etre

Trois instruments de bases n´ecessaires sont une source de voltage DC, une source de voltage AC et un multim`etre. Les sources de voltage DC utilis´ees sont des Yokogawa ayant une pr´ecision allant jusqu’aux µV. Il est possible de transformer cet instrument en source de courant tout simplement en branchant une r´esistance tr`es ´elev´ee RLoad (assez grande pour n´egliger tout le reste du circuit, typiquement 100 kΩ) `a sa sortie. Le courant ´emis sera alors V/RLoad. Les sources AC utilis´ees permettaient d’envoyer un signal de fr´equence jusqu’ `a 40 GHz, avec une puissance allant de -100 dBm `a 30 dBm. Des multim`etres Agilent ont ´et´e utilis´es afin de prendre les mesures dehδi(t)2i.

Filtres

J’ai utilis´e plusieurs filtres lors de ma maˆıtrise, me permettant de filtrer autant les basses que les hautes fr´equences. Dans le sch´ema final du montage, les bandes passantes des filtres seront ´ecrites afin de permettre la compr´ehension de leur utilit´e. Ils servent principalement `a s’assurer d’isoler le DC, minimiser la temp´erature ´

electronique dans l’´echantillon et d´ecider d’une bande passante pour la mesure finale.

Diode

Lorsque le mot  _{fluctuations  est utilis´e, il fait tr`es souvent r´ef´erence `a la}

variance d’une variable statistique, comme expliqu´e au chapitre1de ce m´emoire. La variance ´etanthδi2i, elle ne repr´esente rien d’autre que les fluctuations de courant

´

elev´ees au carr´e. Lorsqu’elle est utilis´ee dans le bon r´egime, la diode permet de redresser un signal micro-ondes de grande amplitude. La moyenne de ce signal redress´e est proportionnelle `a la variance du signal brut. C’est pourquoi une diode est pr´esente `a la fin de chaque montage de mesure de fluctuations qui est montr´e dans ce m´emoire. Elle agit en tant que puissance-m`etre.

Amplificateur `a d´etection synchrone

L’amplificateur `a d´etection synchrone (de l’anglais_{lock-in amplifier) est un}

de mesurer un courant ou tension en phase avec cette excitation. Cela permet, par exemple, de mesurer la conductance ou la r´esistance diff´erentielle d’un composant.

Contrˆoleur de temp´erature

Le contr ˆoleur de temp´erature utilis´e ici permet non seulement de lire la temp´erature `a diff´erents endroits dans le cryostat, mais aussi de chauffer une plaque jusqu’`a une temp´erature voulue. Ce processus de chauffage est r´ealis´e `a l’aide d’une r´esistance plac´ee sur la plaque `a 10 mK du cryostat. En faisant passer un courant dans cette r´esistance, la plaque est chauff´ee par effet Joule. Le contr ˆoleur de temp´erature est capable de stabiliser la temp´erature partout entre 10 mK et 1K par une technique d’asservissement PID (Proportionnel-Int´egral-D´eriv´e).

Coupleur directionnel

Le coupleur directionnel est un composant ´electronique permettant de transf´erer du signal entre deux lignes, en choisissant une direction de propagation favoris´ee.

Figure 3.4 – a) Sch´ema d’un coupleur di-rectionnel. b) Propagation du signal entre les diff´erentes branches du coupleur direc-tionnel.

La figure 3.4 montre de quelle fac¸on le signal est propag´e d’une branche `a l’autre dans un coupleur directionnel. Lorsque les lignes sont pointill´ees, cela repr´esente un couplage inductif. Tradi-tionnellement, un coupleur permet de mesurer un signal tr`es intense prove-nant de l’´echantillon branch´e sur le port

_In_{. Il d´etourne une petite partie de}

ce signal dans la branche_Cpl_{afin de}

le mesurer. Dans notre cas, il sert plut ˆot `a envoyer une excitation AC sur notre ´echantillon tout en mesurant ses fluctua-tions de courant. En effet, lorsqu’un si-gnal AC est appliqu´e `a la branche_Cpl

_{, une faible partie de celui-ci est transf´er´e jusqu’au port}_In_{qui m`ene jusqu’`a}

l’´echantillon. Lorsque du signal provenant du port_In_{(donc de l’´echantillon)}