algo en probas presentation

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ALGORITHMES

EN PROBABILITES

Rappels du programme : Rappels du programme :

◊ On peut simuler la loi géométrique tronquée avec un algorithme.

◊ On peut simuler la loi binomiale avec un algorithme

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EXEMPLE POUR LA LOI

GEOMETRIQUE TRONQUEE

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1) Parmi les trois algorithmes

suivants, lequel :

simule des lancers de dés

jusqu’à l’obtention d’un 6 ,

et donne le nombre de lancers

nécessaires pour obtenir le premier 6 ? Pour i allant de 1 à 6 a ← _{Ent(6Alea + 1) ;} Si a = 6 alors donner i ; FinSi ; FinPour ; Pour i allant de 1 à 6 a ← _{Ent(6Alea + 1) ;} Si a = 6 alors donner i ; FinSi ; FinPour ; premier 6 ? a ← _{0 ;} Pour i allant de 1 à 6 a ← _{Ent(6Alea + 1) ;} FinPour ; Donner a ; a ← _{0 ;} Pour i allant de 1 à 6 a ← _{Ent(6Alea + 1) ;} FinPour ; Donner a ; a ← _{0 ;} i ← 0 ;

Tant Que a ≠ _{6 faire}

i ← _{i + 1 ;} a ← _{Ent(6Alea + 1) ;} FinTantQue ; Donner i ; a ← _{0 ;} i ← 0 ;

Tant Que a ≠ _{6 faire}

i ← _{i + 1 ;}

a ← _{Ent(6Alea + 1) ;}

FinTantQue ; Donner i ;

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2) On considère l’expérience aléatoire consistant à

lancer trois fois successivement un dé et à observer les résultats.

On note A l’événement « le 6 est sorti au 3ème _lancer

uniquement » .

a) Ecrire un algorithme qui simule l’expérience et qui dit

si l’événement A est réalisé.

b) Ecrire un algorithme qui :

simule 1000 fois cette expérience,

compte le nombre de fois où l’événement A est réalisé, et donne la fréquence de réalisation de A .

c) A l’aide d’un arbre pondéré, déterminer la probabilité

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a) On simule une expérience :

b) On simule 1000 expériences :

a ← 0 ; i ← 0 ;

Tant Que (a ≠ _{6) et (i} _<_{3) faire}

i ← _{i + 1 ; a} ← _{Ent(6Alea + 1 ) ; FinTantQue ;}

Si (i = 3) et (a = 6) alors Afficher « A est réalisé » ; FinSi ;

a ← 0 ; i ← 0 ;

Si (i = 3) et (a = 6) alors Afficher « A est réalisé » ; FinSi ;

S ← _{0 ;}

Pour k allant de 1 à 1000 faire

a ← 0 ; i ← 0 ;

Si (i = 3) et (a = 6) alors S ← _{S + 1 ; FinSi ;}

FinPour ;

Afficher (S / 1000) ;

S ← _{0 ;}

Pour k allant de 1 à 1000 faire

a ← 0 ; i ← 0 ;

Si (i = 3) et (a = 6) alors S ← _{S + 1 ; FinSi ;}

FinPour ;

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Particule sur un écran

Sur un écran de contrôle, d’une largeur de 50 unités, on repère une particule qui obéit à la loi suivante : à chaque instant, la particule avance horizontalement d’une unité vers la droite, et elle se déplace verticalement d’une

unité ou de zéro unité vers le haut, avec des proba-bilités respectives p et 1 – p .

On se demande à quelle hauteur « moyenne » la particule sort de l’écran.

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1) Simulation à l’aide d’un tableur.

a) Recopier le tableau suivant

b) Quelle formule faut-il placer en C3 pour obtenir par

recopie la hauteur de la particule sur l’écran ? recopie la hauteur de la particule sur l’écran ?

c) Obtenir la simulation de 50 déplacements, puis

représenter graphiquement la trajectoire.

d) Observer plusieurs simulations de trajectoires.

Arrive-t-il que la hauteur de sortie soit strictement inférieure à 25 ?

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2) Conjecturer à l’aide d’un algorithme.

Voici un programme permettant de

simuler 1000 trajectoires et d’obtenir la hauteur moyenne.

a) Comment le programme calcule-t-il

la hauteur moyenne ?

b) Utiliser le programme pour

Algobox

b) Utiliser le programme pour

conjecturer une formule liant p et la hauteur moyenne, sur un grand

nombre de trajectoires.

c) Modifier le programme pour qu’il

détermine le nombre de trajectoires

pour lesquelles la hauteur de sortie est inférieure à 25. Faire une simulation pour p=0,8 , p=0,6 et p=0,5 .

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3) Etude théorique :

On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de déplacements vers le haut, et H la hauteur de la particule lorsqu’elle sort de l’écran.

a) Quelle est la loi de X ?

b) Quelle est l’espérance de X ? c) Déterminer le lien entre X et H.