Chapitre 02 Vecteurs_colinearite_equations_de_dtes

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Vecteurs, colin ´earit ´e et

´equations de droites

Transmath 2011 p.168. Objectifs :

– Savoir exprimer un vecteur du plan en fonction de deux vecteurs non colinéaires, et choisir une décomposition pertinente pour résoudre un problème donné.

– Faire le lien entre coefficient directeur et vecteur directeur.

– Connaˆıtre une condition de colin´earit´e de deux vecteurs (xy0− yx0_{= 0), et savoir l’utiliser pour obtenir une}

´

equation cart´esienne de droite

– Faire le lien entre vecteur directeur et équation cartésienne d’une droite : déterminer une équation cartésienne de droite connaissant un vecteur directeur et un point, déterminer un vecteur directeur d’une droite définie par une équation cartésienne.

Aper¸cu historique :

Sur les bases jetées par la géométrie grecque et l’algèbre babylonienne, ainsi que sur les travaux des Chinois et des Arabes, Pierre de Fermat (1601 - 1665), et René Descartes (1596 - 1650) utilisent des systèmes de coordonnées pour étudier notamment des problèmes géométriques.

C’est la géométrie analytique, qu’Isaac Newton (1643 - 1727) développera et utilisera en astronomie : cette application est à l’origine du terme “vecteur”. Mais il faudra attendre la première moitié du XIXe siècle pour que Bernard Bolzano (1781 - 1848) formalise la notion de vecteur.

Puis Jean-Victor Poncelet (1788 - 1867) et Michel Chasles (1793 - 1880) affineront les travaux de Bolzano à partir de la géométrie projective. Enfin, la formalisation encore actuellement enseignée, est l’œuvre de Giusto Bellavitis (1803 - 1880).

1. Vecteurs colin ´eaires

A. D éfinition et premi ères propri ét és

D ´efinition 2.1 Deux vecteurs −→u et −→v non nuls sont dits colin ´eaires s’il

existe un r ´eel k tel que −→u = k−→v.

´

Etymologiquement, colinéaire signifie “sur une même ligne” : deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite.

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Cons´equences imm´ediates :

– Deux vecteurs non nuls sont colin´eaires ssi ils ont mˆeme direction

– Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles ssi−AB et−→ −−→CD sont colinéaires – Trois points distincts A, B et C sont alignés ssi −AB et−→ −BC sont colin´−→ eaires

−

→_{u , −}→_{v et −}→_{w sont colin´}_eaires _(AB)//(CD) _{A, B, C sont align´}_es

B. Caract ´erisation analytique

Propri ét é 2.1 Dans un rep ère, les vecteurs −→u (x; y)et −→v (x0; y0)sont colin éaires ssi xy0− x0y = 0.

D émonstration :Pour d émontrer que ces deux propositions sont équivalentes, on va d émontrer une double

implication.

Dans un rep `ere, soient deux vecteurs −→u (x; y)et −→v (x0; y0).

1) Montrons que si les vecteurs −→u (x; y)et −→v (x0; y0)sont colin ´eaires alors xy0− x0_{y = 0.}

- si −→u =−→0, alors x = 0 et y = 0 donc xy0− x0_{y = 0}_.

- si −→v =−→0, alors x0_{= 0}_{et y}0_{= 0}_{donc xy}0_{− x}0_{y = 0}_.

- si −→u (x; y)et −→v (x0; y0)sont non nuls, alors puisque −→u (x; y)et −→v (x0; y0)sont colin ´eaires, il existe un r ´eel k tel que donc x0_{= kx}_{et y}0 _{= ky}_{donc xy}0_{− x}0_{y = x(ky) − (kx)y = kxy − kxy = 0.}

On a d émontr é que si −→u (x; y)et −→v (x0; y0)sont colin éaires, alors xy0_{− x}0_{y = 0.}

1) R ´eciproquement, montrons que si xy0_{− x}0_{y = 0, alors les vecteurs −}→_{u (x; y)}_{et −}→_{v (x}0_{; y}0₎_{sont colin ´eaires.}

Supposons donc que xy0_{− x}0_{y = 0.}

- Si −→u =−→0, alors −→u est colin éaire à tous les vecteurs donc −→u et −→v sont colin éaires. - Si −→u 6=−→0, alors l’une de ses coordonn ées au moins est non nulle :

Si il s’agit de x, alors xy0− x0_{y = 0}_{implique y}0₌ x0

xyet donc on a exhib ´e un r ´eel k = x0

x tel que y

0_{= ky. De}

plus, x0=x_x0x, donc on a aussi x0 = ky. Finalement, −→u et −→v sont colin éaires. S’il s’agit de y, on montrerait de m ême que −→u et −→v sont colin éaires.

On a d émontr é que si xy0− x0_{y = 0, alors −}→_{u (x; y)}_{et −}→_{v (x}0_{; y}0₎_{sont colin éaires.}

Conclusion : Les propositions “−→u (x; y)et −→v (x0; y0)sont colin ´eaires”, et “xy0− x0_{y = 0” sont ´equivalentes.}

Notations : On note les implications avec cette flèche : =⇒. Ainsi, “Si A, alors B” se note : A =⇒ B. On note les équivalences avec cette flèche : ⇐⇒. Ainsi, “A si et seulement si B” se note : A ⇐⇒ B. Exemple : Soit α un réel. Pour quelles valeurs éventuelles de α les vecteurs −→u (α + 2; 8) et −→v (2; α − 2) seront-ils colinéaires ?

Ici, xy0− x0_{y = (α + 2) × (α − 2) − 2 × 8, donc :}

xy0− x0_y ₌ ₀

⇐⇒ (α + 2) × (α − 2) − 2 × 8 = 0

⇐⇒ α2_{− 4 − 16} ₌ ₀

⇐⇒ α2 = 20

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2. Rappels sur les rep `eres, notion de base, expression d’un vecteur

dans une base

Rappel : On appelle repère du plan la donnée de trois points O, I, J du plan, non alignés. Ces trois points vont permettre de construire un système de coordonnées dans le plan. On dit parfois que l’on a un triplet (O ;I ;J).

Rappel : On dit que le repère (O ;I ;J) est orthonormé ssi* OI=OJ=1, et (OI)⊥(OJ). *ssi est une abréviation pour “si et seulement si”.

“Ortho” signifie “droit” : les droites (OI) et (OJ) forment un angle droit.

“Normé” signifie “de même norme”, c’est-à-dire que les vecteurs−→OI et−→OJ sont de même norme : k−→OIk = k−→OIk, c’est-à-dire OI = OJ .

Voici un repère orthonormé (figure 1), et à titre de curiosité : un repère orthogonal, mais non normé (figure 2), un repère normé, mais non orthogonal (figure 3).

figure 1 figure 2 figure3

D éfinition 2.2 On appelle base du plan la donn ée de deux vecteurs −→u et −→v du plannon colin éaires.

On note (−→u ; −→v )cette base.

Remarque importante : Si l’on dispose déjà d’un repère (O; I; J ), le couple de vecteurs (−→OI;−→OJ ) est une base : c’est la base associée au repère (O; I; J ). Si le repère est orthogonal, normé ou orthonormé, la base associée sera dite respectivement orthogonale, normée ou orthonormée.

base orthonorm´ee base orthogonale base quelconque

Th ´eor `eme 2.1 Soit (−→u ; −→v )une base du plan.

Pour tout vecteur −→w du plan, il existe un unique couple de r éels (a; b) tel que −→w = a−→u + b−→v. Le couple (a; b) est appel é couple des coordonn ées du vecteur −→w dans la base (−→u ; −→v ).

Les coordonn´ees d’un vecteur dans une base sont parfois appel´ees composantes du vecteur dans cette base.

D ´emonstration

Soient (−→u ; −→v )une base du plan et −→w un vecteur de ce plan.

On va montrer d’abord l’existence, puis l’unicit ´e du couple de coor-donn ´ees de −→w dans (−→u ; −→v ).

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Par d éfinition d’une base, −→u et −→v sont non colin éaires, donc (OU ) et (OV ) ne sont pas parall èles, et la parall èle à (OV ) passant par W coupe la droite (OU ) en un unique point W1.

De la m ême mani ère, la parall èle à (OU ) passant par W coupe la droite (OV ) en un unique point W2.

Par construction, OW1W W2est un parall ´elogramme ( ´eventuellement aplati), donc

−−→

OW =−−−→OW1+

−−−→ OW2(*)

Or−−−→OW1et −→u sont colin ´eaires, donc il existe un r ´eel a tel que

−−−→

OW1= a−→u. De m ˆeme, il existe un r ´eel b tel

que−−−→OW2= b−→v.

Dans l’ égalit é (*), il vient : −→w = a−→u + b−→v , on a construit les r éels a et b, ce qui assure leur existence. 2) Unicit é. On va raisonner par l’absurde pour montrer l’unicit é du couple (a; b), en supposant qu’il en existe deux, pour aboutir à une contradiction.

Supposons qu’il existe deux couples distincts de r ´eels (a; b) et (a0; b0)tels que −→w = a−→u + b−→v et −

→_{w = a}0−→_{u + b}0−→_v_.

Alors a−→u − a0−→u = (−→w − b−→v ) − ((−→w − b0−→v ) = −b−→v + b0−→v, c’est- `a-dire (a − a0₎₋→_{u = (b}0_{− b)−}→_v_.

Or −→u et −→v ne sont pas colin ´eaires ((−→u ; −→v )est une base), donc : (

a − a0 = 0 b0− b = 0 ⇐⇒

( a = a0

b0= b ce qui contredit le fait que (a; b) et (a

0_{; b}0₎

soient distincts.

Donc la d ´ecomposition −→w = a−→u + b−→v est unique.

Rappel : Relation de Chasles

Quels que soient les points A, B, I, on a :−AB =−→ −AI +→ −→IB.

Exemple de la m´ediane :

Soient ABC un triangle, et I le milieu de [BC]. Alors−AI =→ 1₂−AB +−→ 1₂−→AC.

En effet : en appliquant la relation de Chasles, on a : −−→

AB +AC =−→ −AI +→ −→IB +−AI +→ −IC, donc :→ AB +−−→ −→AC = 2−AI +→ −→IB +−IC(*).→ Or I est le milieu de−BC, donc−→ −→IB = −IC, d’o`−→ u−→IB +−IC =→ −→0 .

Dans (*), il vient :−AB +−→ −→AC = 2−AI +→ →−0 , i.e.−AB +−→ −→AC = 2−AI.→ D’o`u, en divisant par 2 chaque membre :−AI =→ 1₂−AB +−→ 1₂−→AC.

Or ABC est un triangle, donc les vecteurs −AB et−→ −→AC ne sont pas co-lin´eaires : ils forment une base du plan.

D’après ce qui précède, les coordonnées de −AI dans cette base sont :→ −→

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3. ´

Equations cart ´esiennes d’une droite

A. Vecteurs directeurs d’une droite

D ´efinition 2.3 Soit (D) une droite du plan. On appelle vecteur directeur de (D) tout vecteur non nul

ayant la m ˆeme direction que (D).

Remarques :

- Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs, qui sont tous colinéaires entre eux, puisque de même direction.

-Si A et B sont deux points distincts de la droite (D), alors le vecteur −−→

AB est un vecteur directeurs de (D). Cons´equences :

– On peut d´efinir une droite par la donn´ee d’un point et d’un vecteur directeur. Par exemple ici, (D) est la droite passant par A et de vecteur directeur−AB.−→

– On a alors la caract´erisation suivante pour les points de (D) : M ∈ (D) ⇐⇒−−→AM et−AB sont colin´−→ eaires.

B. ´

Equations cart ´esiennes d’une droite

Th éor ème 2.2 Dans un rep ère, toute droite (D) admet une équation de la forme ax + by + c = 0,

avec (a; b) 6= (0; 0).

Une telle équation est appel ée équation cart ésienne de (D), et le vecteur −→u (−b; a)est un vecteur directeur de (D).

D ´emonstration Soient (D) une droite, A(xA; yA)un point de (D), et −→v (α; β)un vecteur directeur de (D).

On a : M (x; y) ∈ (D) ⇐⇒−−→AMet −→vcolin ´eaires ⇐⇒ x−−→ AM.y−→v − y−−→AM.x−→v = 0 Or−−→AMx − xA y − yA et −→v α β , donc : −−→ AMet −→vcolin ´eaires ⇐⇒ (x − xA) × β − (y − yA) × α = 0 ⇐⇒ βx − αy + (−βxA+ αyA) = 0

Donc, en posant a = β, b = −α, et c = (−βxA+ αyA), la droite (D) admet bien une ´equation cart ´esienne de

la forme ax + by + c = 0.

De plus, ~v est un vecteur directeur de (D), donc ~v est non nul, i.e. (α; β) 6= (0; 0). Comme (α; β) = (−b; a), cela ´equivaut `a la condition (a; b) 6= (0; 0).

Remarques :

– La droite (D) possède une infinité d’équations cartésiennes ; il suffit pour s’en convaincre de multiplier chaque membre de l’équation ax + by + c = 0 par une constante non nulle quelconque.

– Le cas a = 0 correspond `a une droite horizontale. – Le cas b = 0 correspond `a une droite verticale.

– Pour retrouver la formulation y = mx + p (équation réduite), il suffit de diviser l’équation par b, ce qui interdit le cas b = 0. Les équations de la forme y = mx + p ne couvrent donc pas le cas d’une droite verticale.

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Exemple :

Déterminons une équation cartésienne de la droite (AB), avec A(−2; 3) et B(4; 1).

On a :−AB(6; −2) est un vecteur directeur de (AB), donc on peut poser −b = 6 et a = −2.−→ Ainsi, la droite (AB) admet une ´equation cart´esienne de la forme −2x − 6y + c = 0.

Pour déterminer le nombre c, on écrit dans cette équation que le point A(−2; 3) appartient à (AB) : −2xA− 6yA+ c = 0

⇐⇒ −2 × (−2) − 6 × 3 + c = 0 ⇐⇒ 4 − 18 + c = 0

⇐⇒ c = 14

Donc une ´equation cart´esienne de la droite (AB) est −2x − 6y + 14 = 0.

Autre réponse : en simplifiant cette égalité (ou encore le vecteur directeur de départ) par −2, on obtient l’équation cartésienne : x + 3y − 7 = 0, qui est une autre équation cartésienne de la même droite. Pour vérifier nos calculs, on peut mettre les coordonnées de B dans l’équation.

Le théorème suivant est la réciproque du théorème 2.2

Th éor ème 2.3 Soient a, b, c des r éels tels que (a; b) 6= (0; 0). Dans un rep ère, l’ensemble des points

M (x; y)tels que ax + by + c = 0 est une droite de vecteur directeur ~u(−b; a).

D ´emonstration Soient a, b, c des r ´eels tels que (a; b) 6= (0; 0). Soit E l’ensemble des points M du plan dont

les coordonn ´ees v ´erifient ax + by + c = 0.

1) Montrons que l’ensemble E contient au moins un point.

- Si b 6= 0, alors ax + by + c = 0 ⇐⇒ a_bx + y +c_b = 0 ⇐⇒ y = −a_bx −c_b. En choisissant un r ´eel xAquelconque,

il suffit donc de poser yA= −abxA−cb pour que le point A(xA; yA)appartienne `a E, qui n’est donc pas vide.

- Si b = 0, alors la condition (a; b) 6= (0; 0) assure que a 6= 0. Il vient :

ax + by + c = 0 ⇐⇒ ax + c = 0 ⇐⇒ x = −_ac. Ainsi, en choisissant un r ´eel yAquelconque, le point A(−_ac; yA)

appartient `a E, qui n’est donc pas vide. On a montr ´e que dans tous les cas E 6= ∅.

2)Montrons que l’ensemble E est bien une droite de vecteur directeur ~u(−b; a). - Montrons que si un point appartient à E, alors il appartient à une droite donn ée.

Soit A(xA; yA)un point de E, on a : axA+ byA+ c = 0(1). Soit M (x; y) tel que ax + by + c = 0(2).

En soustrayant membre `a membre les ´equations (2) et (1), il vient : a(x − xA) + b(y − yA) = 0, ce qui traduit

exactement que les vecteurs−−→AM et ~u(−b; a)sont colin éaires, c’est- à-dire que le point M appartient à la droite de vecteur directeur ~u(−b; a)passant par le point A.

- Montrons que tous les points de cette droite appartiennent bien `a E.

Les coordonn ées de tous les points de cette droite v érifient (1) car :−−→AMet ~u(−b; a)sont colin éaires =⇒ a(x − xA) + b(y − yA) = 0

=⇒ ax + by − (axA+ byA) = 0, or d’apr `es (1) : axA+ byA= −c,

D’o ù ax + by + c = 0, et les coordonn ées de M v érifient bien l’ équation (2).

L’ensemble E est donc bien l’ensemble des points M (x; y) tels que ax + by + c = 0, et c’est une droite de vecteur directeur ~u(−b; a).

N.B. : On peut aussi d émontrer qu’il s’agit d’une droite en se ramenant à l’ équation r éduite vue en classe de

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Remarque : Une droite donnée admet une infinité d’équations cartésiennes, mais son équation réduite est unique.

Exemple : Déterminons l’ensemble des points M (x; y) tels que 2x + 5y − 7 = 0(*). D’après ce qui précède, il s’agit d’une droite de vecteur directeur ~u(−5; 2).

Il suffit de trouver un point appartenant à cette droite, et celle-ci sera parfaitement déterminée.

Pour simplifier les calculs, choisissons par exemple x = 0. Dans (*), il vient : 5y − 7 = 0, c’est-`a-dire y = 7₅. Il s’agit donc de la droite passant par A(0;7₅) et de vecteur directeur ~u(−5; 2).

C. Caract ´erisation de deux droites parall `eles

Propri ´et ´e 2.2 Deux droites (D)|ax + by + c = 0 et (∆)|a0x + b0y + c = 0(avec (a; b) 6= (0; 0) et (a0; b0) 6=

(0; 0)) sont parall `eles ssi ab0− a0_{b = 0.}

D ´emonstration (D)//(∆) ssi leurs vecteurs directeurs respectifs ~u(−b; a)et ~v(−b0; a0)sont colin ´eaires,

c’est- `a-dire ssi ab0− a0_{b = 0.}

Exemple : Soient (D)|3x + 2y + 1 = 0 et (∆)|6x + 4y − 3 = 0. On a : 3 × 4 − 6 × 2 = 12 − 12 = 0, donc ces droites sont parall`eles.