Théorème des deux carrés

2.16 Théorème des deux carrés

Référence :D. Perrin, Cours d’Algèbre, Ellispes, 1996. Leçons concernées : 120, 121, 122, 126.

On introduit Zris :“ ta ` ib, a, b P Zu l’anneau des entiers de Gauss et on pose ⌃ :“ tn P N˚ | n “ a2<sub>` b</sub>2_{, a, bP Nu. On pose également}

N : Zris Ñ N

z“ a ` ib fiÑ zz “ a2` b2 où, pour z “ a ` ib P Zris, z “ a ´ ib.

Proposition 1. Les inversibles de Zris sont t˘1, ˘iu, de sorte que z P Zris˚_{ô Npzq “ 1}

Démonstration. Il est clair que ces éléments sont inversibles, réciproquement, si z “ a`ib est inversible, alors il existe z1 _{P Zris tel que zz}1 _{“ 1, et donc Npzz}1_{q “ NpzqNpz}1_{q “ Np1q “ 1}

dans N, donc Npzq “ Npz1_{q “ 1. On a donc a}2_{` b}2 _{“ 1, donc (a “ ˘1 et b “ 0) ou (a “ 0}

et b “ ˘1) ce qui nous fournit les quatre éléments annoncés. Théorème 2. On a, pour p premier,

(i) Zris est euclidien, donc principal.

(ii) p P ⌃ ô p n’est pas irréductible dans Zris ô p “ 2 ou p ” 1 mod 4.

Démonstration. Pour la preuve du point (i), on montre que Zris est euclidien relativement à N. Soit z, t P Zriszt0u, on considère z{t “ x ` iy P C, et on prend q “ a ` ib avec a, b P Z tels que a et b soient les entiers les plus proches de x et y, ainsi, |x´a| § 1{2 et |y ´b| § 1{2 et donc |z{t ´ q| §?2{2 † 1 (c’est plus clair sur un dessin) d’où |z ´ tq| † |t|. Si on pose r :_{“ z ´ tq, on a z “ tq ` r dans Zris et en passant au carré dans |r| † |t|, on obtient} Nprq † Nptq.

On montre alors la première équivalence du point (ii) : pour le sens direct, si p “ a2_`b2_,

alors p “ pa ` ibqpa ´ ibq dans Zris et puisque a et b sont non nuls, a ` ib et a ´ ib ne sont pas inversibles dans Zris et donc p n’est pas irréductible.

Réciproquement, si p “ zz1 _{avec z, z}1 _{R Zris}˚_{, Nppq “ p}2 _{“ NpzqNpz}1_{q et puisque p est}

premier et Npzq, Npz1_{q ‰ 1, Npzq “ Npz}1_{q “ p et donc p P ⌃.}

On montre maintenant la seconde équivalence. Puisque Zris est principal donc factoriel, pest irréductible dans Zris si et seulement si l’idéal ppq “ pZris est premier. On utilise alors les isomorphismes suivants : on sait que Zris – ZrXs{pX2_{` 1q. D’autre part,}

pZrXs{pX2_{` 1qq{ppq – ZrXs{pp, X</sub>2<sub>` 1q – pZrXs{ppqq{pX}2_{` 1q – pZ{pZqrXs{pX</sub>2<sub>` 1q}

d’après le troisième théorème d’isomorphisme. On obtient que ppq est premier dans Zris si et seulement si pX2_{` 1q est premier dans F}

prXs, or pX2` 1q est premier dans FprXs si et

seulement si pX2_{` 1q n’a pas de racine dans F}

prXs si et seulement si ´1 n’est pas un carré

modulo p. Or cette dernière condition est caractérisée par p ” 3 mod 4, ce qui achève la démonstration du théorème.

On peut maintenant conclure sur l’ensemble ⌃ :

Proposition 3. On a n P ⌃ si et seulement si pour tout p premier tel que p ” 3 mod 4, ⌫ppnq est pair.

Démonstration. On sait que n P ⌃ si et seulement si Dz P Zris tel que n “ Npzq, et donc par multiplicativité de N on obtient la fait que ⌃ est stable par multiplication. Le sens réciproque s’obtient alors facilement avec le théorème 2.

Réciproquement, soit p ” 3 mod 4. On montre par récurrence sur k P N que pour tout n P ⌃ tel que ⌫ppnq § k, ⌫ppnq est pair. Si k “ 0, c’est clair. Sinon, soit n P ⌃ tel que

⌫ppnq § k P N˚. Si ⌫ppnq “ 0 le résultat est clair, sinon p | n “ a2` b2“ pa ` ibqpa ´ ibq, or

pest irréductible dans Zris principal, donc p | pa ` ibq ou p | pa ´ ibq, disons que p | pa ` ibq. Alors p | a et p | b, ainsi a “ pa1 _{et b “ pb}1_{, donc n “ p}2_pa12_{` b}12_{q et donc} n

p2 P ⌃. Or

⌫pp_pn2q “ ⌫ppnq ´ 2 et ⌫pp_pn2q est pair par hypothèse de récurrence, donc ⌫ppnq aussi, ce qui

conclut la preuve.

On montre maintenant la série d’isomorphismes donnée à la fin de la preuve du théorème. Théorème 4 (Troisième théorème d’isomorphisme). Soit A un anneau, et soit I, J deux idéaux de A tels que I Ä J. Alors en tant qu’anneaux,

pA{Iq{pJ{Iq – A{J.

Démonstration. On note ⇡ : A Ñ A{I le morphisme surjectif canonique. Puisque I Ä J, ⇡pJq “ J{I et est un idéal de A{I. D’autre part, puisque I Ä J, on peut factoriser ⇡2 : AÑ

A_{{J par I et obtenir le morphisme surjectif ' : A{I Ñ A{J, dont le noyau est exactement} J{I, et donc par le premier théorème d’isomorphisme, pA{Iq{pJ{Iq – A{J.

On peut alors montrer :

Proposition 5. Pour p premier on a

pZrXs{pX2_{` 1qq{ppq – ZrXs{pp, X</sub>2<sub>` 1q – pZrXs{ppqq{pX}2_{` 1q – pZ{pZqrXs{pX</sub>2<sub>` 1q.}

Démonstration. On montre par exemple ZrXs{pX2_{` 1qq{ppq – ZrXs{pp, X</sub>2<sub>` 1q grâce au}

premier théorème d’isomorphisme appliqué à A “ ZrXs, J “ pp, X2_{`1q et I “ pX</sub>2<sub>`1q en}

remarquant que pp, X2_{` 1q{pX</sub>2<sub>` 1q “ ppq. Le dernier isomorphisme s’obtient facilement}

avec le premier théorème d’isomorphisme.

Remarque : on peut ne pas faire la première proposition sur la détermination des inversibles, et ne faire la proposition 3 que si il reste du temps. La partie sur le troisième théorème d’isomorphisme sert à se préparer à une éventuelle question sur ce point.