Espaces vectoriels normés I

(1)

Exercice 1 Soit E = C0_{([0, 1], R) muni de la norme k.k}

∞. On dénit également

l'applica-tion N1 sur E par :

N1(f ) =

Z 1

0

et|f (t)|dt. 1. Montrer que N1 est une norme sur E.

2. Soit (fn)n∈N la suite d'éléments de E dénie par

fn(x) =

1 − nx _{si 0 6 x 6 1/n} 0sinon.

Étudier cette suite pour les normes k.k∞ et N1. Que peut-on en conclure ?

Exercice 2 Pour tout couple (x, y) ∈ R2, on note

N (x, y) = sup t∈R x + ty 1 + t + t2 .

Montrer que N dénit une norme sur R2 _{et tracer la boule unité fermée}

B_N0 _{(0, 1) = {(x, y) ∈ R}2_{/ N (x, y) 6 1}.}

Exercice 3 On dénit sur R2 l'application N suivante :

∀(x, y) ∈ R2_, _{N (x, y) = sup} t∈R x + ty √ 1 + t2 . 1. Montrer que N est une norme sur R2_.

2. Est-elle équivalente à la norme euclidienne k.k2?

3. Déterminer la boule unité pour N. 4. Conclure.

(2)

Exercice 4 Soit E un evn et soit A ⊂ E, A 6= ∅.

1. Montrer que x ∈ A ssi il existe une suite (xn)de points de A qui converge vers x.

2. Montrer que A est fermé ssi toute suite d'éléments de A qui converge converge vers A.

3. Application : Soit E = {f ∈ C0_{(R) / f est bornée} muni de la norme innie et soit}

A = {f ∈ E / lim+∞(f ) = 0}. Montrer que A est fermé dansE.

Exercice 5 Soit n ∈ N∗_.

1. A tout n-uplet (a0, . . . , an−1) ∈ Cn, on associe le polynôme P (X) = Xn+an−1Xn−1+

. . . + a0. Montrer que pour toute racine z ∈ C de P , on a

|z| 6 max ( 1, n−1 X i=0 |ai| ) .

2. On note Sn l'ensemble des polynômes de R[X] unitaires, et scindés sur R. Montrer

que Sn est fermé dans Rn[X].

Exercice 6 Soit

Φ : R[X]2 _{→ R[X]}

(P, Q) 7→ R₀∞e−tP (t)Q(t)dt . 1. Montrer que Φ est un produit scalaire.

2. Déterminer inf(a,b)∈R2

R

R+e

−t_(t2_{− at − b)}2_dt_.

Exercice 7 Soit E un espace vectoriel normé, et soit V un sous espace vectoriel de E. 1. Montrer que V est encore un sous espace vectoriel de E.

2. Montrer que si V est d'intérieur non vide, alors V = E. (Ind : on pourra commencer par montrer que V contient une boule ouverte centrée en 0).