Exercices d’oral – 4

2021

Préparation aux oraux – 4

Exercice 1

[IMT PC 2018 Bettina Gouyet()]

Soit E un espace vectoriel de dimension n, et f ∈ L(E). On pose F =ng ∈ L(E)

 Im f ⊂Ker g et Im g ⊂ Ker f o

. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de L(E), et en donner sa dimension.

Exercice 2

[Centrale PC 2018 – Solène Damaschini] a. Montrer la convergence des sériesX

n>0

nk

2n pour k ∈ {0, 1, 2, 3}, et en calculer les sommes.

b. Montrer que l’on définit une variable aléatoire à valeurs dans N en posant P(X = n) = n

2n+1, puis calculer E(X) et

V(X).

c. Une urne contient X boules numérotées de 1 à X. On tire une boule au hasard et on note Y son numéro. Déterminer la loi de Y. Les variables X et Y sont-elles indépendantes ? Calculer cov(X, Y).

Exercice 3

[Mines PC 2018 – Nicolas Bletsas]

Pour n ∈ N on note Bnle nombre de partitions d’un ensemble à n éléments. On convient que B0= B1= 1.

a. Montrer que Bn+1= n X k=0 n k ! Bk.

b. Montrer que le rayon de convergence R de la série entièreXBn

n!x

n_{est strictement positif.}

c. On pose f : x 7→ +∞ X n=0 Bn n!x

n_{. Trouver une équation différentielle vérifiée par f sur ]−R, R[.}

d. En déduire une expression de Bnsous la forme d’une série.

Exercice 4

[X PC 2018 – Yanice Aloui]

Soit f ∈C1([0, 1], R). On pose pour tout n ∈ N∗, un= n X k=1 f _k n2  . a. Étudier (un) pour f : t 7→ t √ 1 + t.

b. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur f pour que la suite (un) converge, et déterminer alors sa

limite.

Exercice 5

[CCP PSI 2018 – Milla Ragobert] On pose In= 1 √ π Z +∞ −∞ tne−t2dt. On admet que I0= 1.

a. Pour n pair et n impair, calculer In.

b. Pour P et Q dans R[X], on pose φ(P, Q) =√1 π

Z+∞

−∞

P(t)Q(t) e−t2dt. φest-il un produit scalaire ? Calculer la distance de X2à R1[X].

Exercice 6

[Centrale PC 2018 – Élise Neyens]

On considère un polynôme P ∈ C[X] de degré supérieur ou égal à 2. Le but de cet exercice est de montrer que P possède au moins une racine complexe (théorème de d’Alembert) ; pour cela on raisonne par l’absurde en supposant que P ne s’annule pas sur C, et on définit F : R+→ Cen posant F(r) =

Z2π

0

rneinθ

P(r eiθ₎dθ.

a. Montrer que F est de classeC1sur R+. b. Montrer que F est constante.

c. Conclure en observant le comportement de F en 0 et en +∞.

Exercice 7

[Mines PC 2018 – Théa Chaduteau] Soit A ∈ Mn(R). Déterminer min

M∈Sn(R)

X

i,j

(aij−mij)2.

Exercice 8

[X PC 2020 – Théo Fauvet]

Soit (k, n) ∈ N2tel que k > 2 et n > 2, et p ∈]0, 1[. On considère k joueurs. Chacun d’eux lance au plus n fois une pièce donnant pile avec la probabilité p, et s’arrête lorsqu’il obtient pile. Le nombre de points obtenu par ce joueur est égal au nombre de face obtenu (il marque donc n points s’il n’obtient jamais pile).

a. Déterminer la loi du nombre de points obtenus par un joueur donné.