DM09: Somme de deux variables aléatoires (n°68 p.31) Correction
1. Calculer E(X)
On peut résumer la situation dans le tableau:
Issue e1 e2 ... ek
Valeur associée par X x1 x2 ... xk
Probabilité p1 p2 ... pk On a donc
( )
1 1 2 2 1...
k k i k i i iE X
p x
p x
p x
=p x
==
+
+
+
=
∑
.2. Démontrer que E(X+Y)=E(X)+E(Y)
On a:
(
)
1(
1 1)
2(
2 2)
(
)
1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( )...
...
...
...
(
)
( )
k k k k k k k k k k k E X E YE X
Y
p x
y
p
x
y
p
x
y
p x
p y
p x
p y
p x
p y
p x
p x
p x
p y
p y
p y
E X
E Y
+
=
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
=
+
3. Applicationa) L'univers contient
4
4=
256
issues équiprobables (on pourra ébaucher un arbre).A toute issue (nombre de quatre chiffres pris parmi 1,2,3,4), la variable aléatoire
M
1+
M
2+
M
3+
M
4 associe une somme de 0 et de 1.Il y a autant de 1 que de chiffres qui "manquent" dans l'écriture de l'issue, donc
M
1+
M
2+
M
3+
M
4 indique le nombre de chiffres non utilisés.Ainsi,
M
1+
M
2+
M
3+
M
4=
X
.Exemple: à l'issue 3113,
M
1associe 0,M
2associe 1,M
3associe 0 etM
4associe 1. Ainsi,M
1+
M
2+
M
3+
M
4 associe0 1 0 1
+ + + =
2
.b) Loi de
M
1L'événement "
