Universit´e Toulouse 2 le Mirail Ann´ee universitaire 2006/2007 L2 MASS. Analyse S4
TD 3. Topologie dans des EVN.
Exercice 1 Soit E un espace vectoriel. 1. Soit (Uk)k∈N une famille d’ouverts de E.
(a) Montrer que [
k∈N
Uk est encore un ouvert.
(b) Montrer que quelque soit la famille d’indices k1, . . . , ks, l’union s
\
i=1
Uki est encore un
ouvert.
2. Soit (Fk)k∈N une famille de ferm´es de E.
(a) Montrer que \
k∈N
Fk est encore un ferm´e.
(b) Montrer que quelque soit la famille d’indices k1, . . . , ks, l’union s [ i=1 Fki est encore un ferm´e. ******************** Exercice 2 Donner une ´ecriture simple des ensembles suivants :
I = [ n>1 1 n, 1 − 1 n , J = \ i>0,j>0 −1 i, 1 + 1 j . ********************
Exercice 3 Soit (E, k.k) un espace vectoriel norm´e. Pour tous sous-ensembles A et B de E, on d´efinit la distance entre A et B comme
d(A, B) = inf
x∈A,y∈Bkx − yk.
1. Montrer que si d(A, B) > 0, il existe deux ouverts disjoints U et V de E tels que A ⊂ U et B ⊂ V .
2. Soit F un sous ensemble ferm´e de E et soit x ∈ E. Montrer que d(x, F ) = 0 ⇔ x ∈ F . ********************
Exercice 4 1. Montrer `a l’aide de la caract´erisation s´equentielle des ferm´es que les ensemble suivants sont ferm´e dans les evn donn´es.
(a) L’ensemble des fonctions continues de [0, 1] → R dans l’ensemble des applications born´ees de [0, 1] → R, muni de la norme k.k∞.
(b) L’ensemble des matrices n × n diagonales dans Mn(R).
2. Montrer `a l’aide de la caract´erisation s´equentielle des ferm´es que les ensemble suivants ne sont pas ferm´e dans les evn donn´es.
(a) L’intervalle ]0, 1[ dans R.
(b) L’ensemble des matrices n × n inversibles dans Mn(R).
********************
Exercice 5 Soit E un espace vectoriel et soit F un ferm´e de E. Soit ´egalement r > 0. Montrer que l’ensemble
F0 = [
x∈F
B0(x, r) est encore un ferm´e.
Ind : On pourra commencer par montrer que si (yn) est une suite d’´el´ements de F0 qui
converge, il existe une suite (xn) d’´el´ements de F qui converge aussi telle que
∀n ∈ N, yn ∈ B0(xn, r).
