Universit´e Toulouse 2 le Mirail Ann´ee universitaire 2006/2007 L2 MASS. Analyse S4
TD 4. Topologie et suites dans des EVN.
Exercice 1 1. Pr´eliminaire :
(a) Rappeler la d´efinition de la borne inf.
(b) Montrer que si I est une partie de R minor´ee (i.e. inf I existe), il existe une suite (xn) ∈ IN telle que xn→ inf I.
2. Soit (E, k.k) un env. On a montr´e que si A et B ´etaient deux sous-ensembles de E, on pouvait d´efinir la distance
d(A, B) = inf
x∈A,y∈Bkx − yk
et que si d(A, B) > 0, alors il existe deux ouverts U et V de E tels que A ⊂ U, B ⊂ V
U ∩ B = ∅.
D’autre part, on a vu que si F ´etait un sous ensemble ferm´e de E, alors pour tout x ∈ E, on a
d(x, F ) = 0 ⇔ x ∈ F.
A l’aide de la caract´erisation s´equentielle des ferm´es, montrer que si F et G sont deux ferm´es born´es disjoints de E, alors il existe deux ouverts U et V tels que F ⊂ U , G ⊂ G et U ∩ V = ∅. (Ind : on pourra construire des suites convergentes (xn) ∈ FN et (yn) ∈ GN
telles que kxn− ynk → 0.)
******************** Exercice 2 Soit E = (C0([0, 1], R), k.k
∞). On consid`ere une suite (fn) d’´el´ements de E qui
converge (pour la norme k.k∞) et l’on note f sa limite. On consid`ere ´egalement une suite (xn)
d’´el´ements de [0, 1] qui converge,et l’on note x sa limite. 1. Montrer que f ∈ E et x ∈ [0, 1].
2. Montrer que la suite num´erique (fn(xn)) converge vers f (x).
3. Montrer que ce r´esultat est faux s’il n’y a pas convergence uniforme. On pourra par exemple utiliser la suite (fn), d´efinie par
∀n ∈ N, fn(x) = 1 − x/n si 0 6 x 6 1/n0 sinon.
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Exercice 3 Soit (E, k.k) un evn et soit A ⊂ E. On rappelle qu’un point a ∈ E est ditadh´erent `
a A si toute boule ouverte centr´ee en a rencontre A. On peut alors d´efinir l’adh´erence A de A comme ´etant l’ensemble des points adh´erents `a A.
1. Donner une caract´erisation s´equentielle de l’adh´erence. 2. Montrer que A est un ferm´e qui contient A.
3. Montrer que tout ferm´e qui contient A contient A.
On a donc une caract´erisation de l’adh´erence :
A = \
F ⊃A,ferm´e
F.
4. D´eterminer l’adh´erence d’une boule ouverte B(x, r). (Pour y ∈ B0(x, r), on pourra consid´erer la suite
(yn) : yn= x +
n
n + 1(y − x)).
5. D´eterminer l’adh´erence de l’ensemble
U = {(x, y) ∈ R2/ xy > 1}.