Zones de dégénérescence dans le régime stationnaire

Nous reprenons ici la même configuration de cavité que précédemment, à la différence du fait

que nous nous autoriserons à faire varier le coefficient de réflexion en intensité R du miroir de

sortie. Dans le régime linéaire, l’existence des zones de dégénérescence est due au couplage exercé

par le gain entre les différents modes de cavité. Il est naturel de penser qu’il en sera de même

dans le régime stationnaire en remplaçant le gain linéaire par le gain saturé. Or, dans le régime

stationnaire, le gain saturé compense exactement les pertes. Nous allons donc montrer que dans

le régime stationnaire la largeur des zones de dégénérescence ne dépend plus de la puissance de

pompeG

₀

, mais uniquement des pertesR.

Pour commencer, nous avons donc représenté sur la figure A.3 l’évolution de la corrélation

entre le mode propre uF L calculé par l’algorithme de Fox–Li saturé et le mode fondamental

gaussienu

₀

de la cavité vide, autour de la longueur de dégénérescenceL=R

_c

/2pour différentes

puissances de pompeG

₀

.

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

-1000 -500 0 500 1000

Figure ^{A.3 – Mesure des largeurs de dégénérescence}∆W autour deL=Rc/2 pour différentes

puissances de pompe avec un gain saturé de largeur wp = 0,75w

0

et un miroir de sortie de

coefficient de reflexion en intensité R= 0,98.

On constate que la largeur de dégénérescence∆W évolue très peu dans les différentes

situa-tions, même si l’effet de la saturation induit des effets importants sur le coefficient de corrélation

lorsque la puissance de pompe augmente. En revanche, nous pouvons voir sur la figure A.4 que

la largeur de la zone de dégénérescence augmente lorsque l’on diminue le coefficient de réflexion

R du miroir de sortie. La diminution deR va bien de pair avec l’augmentation du gain saturé.

Afin de déterminer la forme de la dépendance de ∆W en fonction de R, on peut s’inspirer

de l’équation de stationnarité (2.14). Le bon paramètre à considérer semble êtreα =

¹⁻

√ R √

R

. La

figure A.5 représente la dépendance de la largeur de dégénérescence∆W autour deL=Rc/2en

fonction de R, et semble être parfaitement interpolée par une combinaison linéaire particulière

de α etα

²

.

Encore une fois, nous n’avons pas de modèle pour expliquer la relation entre∆W etR, celle-ci

dépendant par ailleurs toujours de la taille de la pompe. Cependant, on peut voir sur la figure A.5

que l’extrapolation des points de mesure conduit à une largeur de dégénérescence nulle pour un

coefficient de réflexionR= 1, ce qui correspond bien à une situation où le gain est nul.

Zones de dégénérescence dans le régime stationnaire 157

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

-2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000

Figure ^{A.4 – Mesure des largeurs de dégénérescence} ∆W autour de L =Rc/2 pour différents

coefficients de réflexion en intensitéR du miroir de sortie, pour un gain saturé de largeurw

_p

=

0,75w

0

.

0

5

10

15

20

25

30

35

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

FigureA.5 – Dépendance de la largeur de dégénérescence∆W autour deL=R

_c

/2en fonction

du coefficient de réflexion en intensité R du miroir de sortie, pour un gain saturé de largeur

w

_p

= 0,75w

₀

.

Annexe B

Vortex tournants en z

Nous rappelons qu’un vortex optique est défini comme étant un zéro isolé du champ autour

duquel, sur un contour fermé, la phase varie continûment d’un multiple de2π. Nous dirons qu’un

vortex a une hélicité positive si la phase croit lorsque l’on parcourt ce contour dans le sens

trigo-nométrique et une hélicité négative dans le cas contraire. De plus, on définit l’ordre d’un vortex

comme étant le degré minimal du terme polynomial intervenant dans le développement limité du

champ autour de cette singularité. Dans cette annexe, nous montrons comment une

superposi-tion cohérente de vortex d’ordres différents localisés au même endroit peut conduire à un mode

constitué de vortex multiples tournant dans le plan transverse au rythme de la phase de Gouy en

fonction de la distancezde propagation. Dans un premier temps, nous montrons que la manière

la plus simple de construire un réseau de vortex où la position des zéros est parfaitement connue

est de superposer de manière cohérente des vortex de même hélicité. Nous montrons ensuite

qu’une combinaison arbitraire de vortex d’hélicités différentes conduit en général à l’apparition

de lignes nodales et non de vortex, mais qu’il existe toutefois un type de combinaison particulière

nous permettant de nous ramener au cas précédent. Enfin, nous montrons comment les réseaux

de vortex obtenus se comportent vis-à-vis de la propagation et illustrerons sur quelques exemples

leur rotation observée dans le plan transverse.

B.1 Composition de vortex de même hélicité

La famille de vortex que nous considérons ici est un sous-ensemble des modes Laguerre–

Gauss contenant un vortex mais aucune ligne nodale circulaire. Dans un repère de coordonnées

cylindriques(r,θ,z), un vortex d’ordre p≥0 et d’hélicitéh=±1 possède l’expression suivante :

v

^h_p

(r,θ,z) =r

^p

e

^hipθ

e

⁻

r² w(z)2

e

^−ik

r²

2R(z)

e

^i(p+1)ΨG(z)

, (B.1)

où la normalisation ne nous intéresse pas ici, et où w(z), R(z) et Ψ

_G

(z) sont donnés par les

expressions (1.9), (1.10) et (1.11) respectivement. On remarque que le mode d’ordre 0 est le

mode fondamental gaussien et ne contient en réalité pas de vortex.

Étant donné que nous nous intéressons ici à la composition de vortex de même hélicité, nous

pouvons travailler sans perte de généralité avec des vortex d’hélicité positive h = 1. De plus,

nous nous limitons à la composition de vortex dont les waist sont identiques et pouvons donc

nous restreindre à une étude dans le planz= 0. La propragation de ces superpositions de modes

pourra être étudiée par la suite à l’aide de l’expression (B.1).

Nous introduisons donc des fonctions permettant de décrire des vortex élémentaires d’ordre

p dans le planz= 0 :

v

_p

(r,θ) =re

^iθ

^p

e

⁻

r²

w₀²

, (B.2)

où w

₀

est la taille du vortex dans le planz= 0.

On s’intéresse désormais au profil transverse d’une combinaison arbitraire de vortex

élémen-taires (B.2) définie par :

v(r,θ) =e

⁻ r² w² 0

X

α

_p

re

^iθ

^p

, (B.3)

où ∀p, α

_p

∈_C.

On remarque évidemment qu’une telle combinaison de modes possède toujours une enveloppe

gaussienne de waist w

₀

. De plus, résoudre l’équation v(r,θ) = 0 revient à chercher les zéros du

polynôme à coefficients complexes P(X) =P

α

_p

X

p

, où on a simplement poséX =re

iθ

. Un tel

polynôme est scindé sur _Cet peut s’écrire de la manière suivante :

P(X) =P

₀

^X(X−X

_k

)

^dk

, (B.4)

où X

_k

=r

_i

e

^iθk

∈_Cest la k

^ème

racine du polynôme etd

_k

∈_N est son ordre.

L’expression (B.3) ne contient donc aucune ligne nodale, mais est en revanche un réseau de

vortex avec une enveloppe gaussienne dont les zéros sont situés aux positions(rk,θk)dans le plan

complexe. Réciproquement, si on souhaite créer un réseau de vortex dont les zéros sont à des

positions bien déterminées, il suffit de construire l’expression (B.4) de son choix et de la multiplier

par une fonction gaussienne. En développant l’expression obtenue on peut également retrouver les

poidsαp intervenant dans la décomposition en vortex élémentaires (B.2). La figure B.1 représente

des réseaux de vortex obtenus à partir d’expressions polynomiales simples.

Composition de vortex d’hélicités différentes 161

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