Propriétés de base

Les cavités Fabry–Perot dégénérées ont suscité l’intérêt dès les premiers instants du Laser [62].

Une étude plus détaillée sur la géométrie des modes transverses dans ce type de cavités est réalisée

dans la thèse de Dingjan [63]. Nous allons tout d’abord montrer qu’une cavité dégénérée d’ordreN

possède la propriété d’être auto–imageante pour tout faisceau faisant un nombreN d’aller–retours

dans la cavité. Nous présenterons ensuite quelques trajectoires de rayons géométriques possibles

à certaines longueurs de dégénérescence, qui nous seront utiles par la suite pour l’interprétation

des profls transverses des modes oscillant dans de telles cavités.

Système auto–imageant

Nous repartons ici de l’expression de la matrice ABCDM

_cav

donnée par (1.23) décrivant notre

cavité plan–concave. La recherche des valeurs propres σ

+

etσ− de Mcav conduit directement à

l’équation suivante :

σ

_±²

−2σ±

1−2 ^L

Rc

+ 1 = 0. (1.74)

On en déduit l’expression des valeurs propres :

σ±=

1−2 ^L

R

_c

±2i

s

L

R

_c

1− ^L

R

_c

. (1.75)

En posant L/Rc = sin

²

α, ce qui est possible car la condition de stabilité implique 0 <

L/Rc<1, on parvient à simplifier cette expression de la manière suivante :

σ±=e

^±i2α

. (1.76)

On retrouve bien le fait que les valeurs propresσ

+

etσ−sont complexes conjuguées l’une de

l’autre et que le déterminant de M

_cav

vaut un. De plus, on déduit de (1.76) que M

_cav^N

=_I si et

seulement siα=kπ/N, k∈_N. En d’autres termes, on a :

M

_cav^N

=_I ⇐⇒ L=R

_c

sin

²

k

N^π

, k∈_N, (1.77)

ce qui correspond rigoureusement à la condition de dégénérescence de la cavité donnée par (1.32).

La relation (1.19) permet d’affirmer que lorsque M

N

cav

= _I, tout faisceau gaussien d’ordre

unique retrouve son waist original après N aller–retours dans la cavité. De plus, nous avons vu

qu’à dégénérescence la phase de Gouy sur un aller vaut Ψ

_G

(L) = kπ/N. La phase de Gouy

sur N aller–retours est donc un multiple de 2π, ce qui signifie qu’après N aller–retours dans la

cavité tout mode d’ordre unique revient égal à lui même en phase, et ce quel que soit l’ordre du

mode. Par linéarité ceci est également valable pour toute combinaison linéaire de modes d’ordres

uniques, et donc pour toutes les distributions possibles de champ puisque ces derniers forment

une base.

On a donc montré que la notion de dégénérescence est équivalente à une propriété auto–

imageante de la cavité, à la fois en amplitude et en phase, pour N aller–retours d’un faisceau

quelconque dans cette cavité. Nous nous servirons de cette propriété par la suite pour développer

une methode permettant de construire des modes propres d’une cavité dégénérée en partant d’une

distribution initiale de champ quelconque.

Trajectoires géométriques

D’un point de vue de l’optique géométrique, la conditionM

_cav^N

=Is’interprète immédiatement

comme l’existence de trajectoires fermées des rayons qui bouclent sur eux mêmes aprèsN aller–

retours dans la cavité. Nous allons présenter quelques trajectoires possibles, en fonction de la

Laser à cavité dégénérée 45

position et l’angle d’incidence du rayon initial, dans des situations de dégénérescences distinctes

pour lesquellesL =Rc/2 (Ψ

G

(L) =π/4), L = 3Rc/4 (Ψ

G

(L) =π/3), et L =Rc/4 (Ψ

G

(L) =

π/6). Par souci de simplicité nous supposerons que les trajectoires des rayons considérés ont lieu

dans un plan.

Les tracés de rayons correspondant aux dégénérescences d’ordreN = 4,N = 3 etN = 6sont

réprésentés dans les figures 1.22, 1.23 et 1.24, respectivement.

Figure ^{1.22 – Trajectoires géométriques particulières lorsque}L=R

_c

/2 (ordre 4), ainsi que les

profils d’intensité des modes attendus sur le miroir plan (1), sur le miroir sphérique (2), et dans

un plan intermédiaire.

La première chose évidente à remarquer est que les dégénérescences d’ordre pair conduisent à

des trajectoires symétriques par rapport à l’axe optique, ce qui n’est pas le cas des dégénérescences

d’ordre impair. Ceci se traduira évidemment dans la symétrie du profil transverse observé dans un

laser, et nous verrons qu’une disymétrie dans le profil d’intensité d’un mode transverse témoigne

obligatoirement d’une configuration dégénérée ou proche de dégénérescence d’ordre impair.

La seconde chose à remarquer est que les impacts sur le miroir plan n’ont pas la même

géo-métrie que les impacts sur le miroir sphérique, ce qui conduira à des profils transverses différents

au niveau de ces deux plans. D’une manière générale, un mode transverse issu d’une cavité

dé-générée ne sera plus invariant de forme par propagation, ce qui est évident étant donné qu’il

combine plusieurs modes d’ordres différents.

Si on cherche maintenant à associer un profil transverse à chacun de ces rayons, on peut

raisonner sur un profil gaussien pour plus de simplicité. Si le waist de ce mode gaussien est bien

choisi, celui-ci peut rester à peu près le même au cours des différents aller–retours dans la cavité.

On peut alors prédire l’allure que possèderait le champ dans chaque plan en supposant que

l’intersection de deux rayons ayant des angles différents donne lieu à des franges d’interférence.

Figure^{1.23 – Trajectoires géométriques particulières lorsque}L= 3Rc/4(ordre 3), ainsi que les

profils d’intensité des modes attendus sur le miroir plan (1), sur le miroir sphérique (2), et dans

un plan intermédiaire.

On obtient donc des profils transverses constitués à la fois de motifs gaussiens et de franges

d’interférence, représentés sur les figures 1.22, 1.23 et 1.24. Des modes ainsi construits en partant

de trajectoires de rayons géométriques et en leur associant un profil transverse sont appelés

modes géométriques [64]. Nous verrons d’ici peu que de tels modes ont effectivement été observés

expérimentalement, et que l’analyse géométrique se prète très bien à leur description. Cependant

le raisonnement qui vient d’être fait ici est purement qualitatif, et nous donnerons une méthode

rigoureuse pour construire ces modes à la fin de cette section.

Enfin, il reste à remarquer que les profils transverses obtenus par l’application de ce

raison-nement géométrique peuvent être très différents en fonction du choix du rayon initial et de la

distribution initiale de champ attachée à ce rayon. La question de savoir comment prédire le bon

motif à partir des conditions expérimentales (notamment la position et le profil du gain) a été

très peu discutée, et nous verrons que ce problème ne peut pas réellement trouver de solution

satisfaisante. À défaut, on est malgré tout capable de constater a posteriori que les observations

expérimentales entrent dans la catégorie des modes géométriques.

Dans le document Étude de la sélection des structures transverses stationnaires dans les lasers (Page 50-53)